第26章 二次函数 综合与实践（分层作业本）-【众相原创】2026-2027学年新教材九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

综合与实践 主题：测量音乐喷泉水流的最高点与地面的距离 1.（2025南宁兴宁区校级月考)综合与实践 【问题情境】如图1是某景区的音乐喷泉，其水流的形状可近似地看成抛物线的一部分.某校九年 级数学兴趣小组欲测量该抛物线水流的最高点与地面的距离 【方案设计】如图2，该抛物线水流与地面的交点分别记为A,B,且AB=6m,AB的垂直平分线与抛 物线交于点P,与AB交于点O,OP即为抛物线水流的最高点与地面的距离.小组成员设计的方案 如下：拿一根长4.5m的竹竿CD,竖直放在线段OB上(CD⊥OB),当水流刚好经过竹竿顶部点C 时，测得竹竿底部点D到点0的距离为1.5m. 【问题解决】 (1)在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式和OP的长 (2)如果该小组成员想在喷泉下方拍照留念，恰好他们的身高都是1.68m,请问他们最多能站多 宽才不会被水淋到.（该小组成员站在线段AB上拍照.√2≈1.414，结果保留整数） O D 图1 图2 58 X 主题：探究汽车刹车距离 2.(2025南宁青秀区校级期中)综合与实践 问题情境：“道路千万条，安全第一条”，如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止， 这段距离称为刹车距离，某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽 车研发中心考察 数据采集：汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速 度行驶，对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制了如图2的函数图象 发现：开始刹车后行驶的距离y(单位：m)与刹车后行驶的时间t(单位：s)之间成二次函数关系. 问题解决： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)汽车司机踩下刹车后，多长时间汽车完全停下？ (3)若有一测速仪固定在汽车开始踩刹点的前65m处，在汽车刹车过程中，经过多长时间汽车超 过测速仪且与测速仪相距7m. y/m 63 开始踩刹车完全停止 27 5】 E。里。 刹车距离 0￥ 123456/s 图1 图2 59 主题：探究销售帆布包的最大利润 3.综合与实践 问题情境：综合实践小组设计并定制了一批以广西景点为背景的环保帆布包，在学校网络义卖平 台进行销售，并对销售过程中的数学问题进行了研究， 信息收集：小组同学将销售过程中的数据进行整理、分析，发现此款帆布包的销售额y(元)是销售 单价x(元/个)的二次函数(8<x<32),部分相关数据如下表： 销售单价x(元/个) 14 15 16 17 18 销售额y(元) 504 510 512 510 504 数学建模：(1)通过分析上表中的数据，直接写出该环保帆布包在销售过程中的最大销售额，并求 出销售额y(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式 问题解决：(2)已知每个环保帆布包的成本价为8元 ①若设这批环保帆布包的销售数量为g(个)，求销售数量g(个)与销售单价x(元/个)之间的关系 式，以及当销售单价为18元/个时的销售利润： ②求该环保帆布包的销售单价为多少时，销售利润最大？ 60③解：y1=y2,.M,N两点关于直线x=2对称 (2)不能.理由如下： .1+x2=4x2-x1=2,.x2=3,x1=1. 由题意，得消防员第二次灭火时水流所在抛物线是由第一 次抛物线向左平移2个单位长度得到的， 将x=1代人y=2-2x+1,得y三2》 .消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式 点M的坐标为(1,2)” 1 y、 8(x-4+2)2+16=-3 8(x-2)2+16. (4)解：x1=-1,x2-x1=2,.2=1 令x=0,则y=- 1629 3 2 15 将x,=-1,x2=1分别代人y=a(x-2)2-1, 2 得y=91-1,%=a-1,y,-y2=8a=34=3 .消防员第二次灭火时水流所在抛物线不过B(0,15), 1 水流不能到达点B处 该二次函数的表达式为y骨子+了 综合与实践 1.解：(1)建立合适的平面直角坐标系如解图. 5)解a≤1 抛物线顶点在y轴上， 【解法提示】a>0,.二次函数的图象开口向上.由(2)可 .设y=aa2+k, 知，二次函数图象的顶点坐标为(2，-1).又：点M,N在二 AB=6m,AB的垂直平分线与抛 次函数图象的对称轴的异侧，x,-x,=2,.点M在对称轴的 物线交于点P,与AB交于点O, .A(-3,0),B(3.0) 左侧，点N在对称轴的右侧，∴.当1≤x≤x2时，函数在x= 由题意可知，CD=4.5m, D Bx 2处取得最小值-1：当x1≤x≤x2时，函数的最大值与最 小值的差为1，.当x≤x≤x,时，函数的最大值为0.①若 0D=1.5m,.C(1.5,4.5), y1≥y2,则2-x1≥x2-2,即2-x1≥x+2-2,解得x1≤1，.0< 将A,C的坐标分别代人y=ar+6,得0=9咖6， x,≤1.：函数的最大值为y=a(x,-2)2-1=0,a= (4.5=1.52a+k, 2 (t,-2)心4a≤1：②若1<，则2-x1<,-2,即2-1<， 1 1 a=- 解得 3 +2-2,解得x1>1,.1<x,<2.:函数的最大值为y=a(x2 k=6 2)2-1=a-1=04= ∴.抛物线的函数表达式为y= x2“年<a<1.综上所述a的取值 6 .顶点为P(0,6),.0P=6m 范围为 <a≤1. 二阶广西中考抢先练 （2)当=168时.-子+6=168解得=》 1A2B3.D4C5.B6.m≤8 最大宽度为95-（-95)-18518x1,4145m 5 5 5 5 7.解：(1)①y=x2-8x-7. ∴他们最多能站5m宽才不会被水淋到. ②当x=4时，y有最小值16-32-7=-23. 2.解：(1)设二次函数的解析式为y=at+bt+c, (2)合理.理由如下： 由条件可得： y=x2+2ax+a-3=(x+a)2-a2+a-3. 1c=0, a=-3, :1>0,∴.函数有最小值，当x=-a时，y取得最小值， a+b+c=27, 解得b=30, 故甲同学的说法合理 9a+3b+c=63, c=0. (3)正确.理由如下： ∴.二次函数的解析式为y=-32+30, 当x=-a时，y=-a2+a-3,:-1<0,.y有最大值 (2)y=-32+30t=-3(t-5)2+75, 当a=时，y取最大值，最大值为-+3=- 答：汽车司机踩下刹车后，5s时汽车完全停下。 2 42 4 (3)由题意，得汽车开始刹车后行驶的距离y=65+7=72(m), 8灯 令72=-32+30L. 3 解得1=4,2=6（不符合题意，舍去）. 9.解：(1)由题意，得抛物线的顶点坐标为(4,16)， 答：在汽车刹车过程中，经过4s汽车超过测速仪且与测速 ∴.可设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+16. 仪相距7m. 3 将点A(0,10)代人，得10=a(0-4)2+16,a=- 3.解：(1)由表格可得，最大销售额为512元，则顶点坐标为 81 (16,512) .消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为y= g4*16 设y=a(x-16)2+512. 将(17,510)代人得a(17-16)2+512=510,解得a=-2, 参考答案 .销售额y(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式13.解：(1)由题意可得s=60,是正比例函数. 为y=-2(x-16)2+512. (2)由题意可得)=20，是反比例函数 (2)①由(1)得y=-2(x-16)2+512=-2x2+64x, x 则g=二=-2x+64=-2x+64, (3)由题意可得)y=6000-200040 ,是反比例函数 .销售数量q(个)与销售单价x(元/个)之间的关系式为g 14y=300 =-2x+64. 当x=18时，销售利润为(18-8)×(-2×18+64)=280（元）. 27.2反比例函数的图象和性质 ②设销售此款环保帆布包的销售利润为心元. 第1课时反比例函数的图象和性质 由①得，销售数量q(个)与销售单价x(元/个)之间的关系 1.A2.D3.C4.>5.C6.B7.A 式为q=-2x+64, 8.(1)k=-8. .1w=y-8(-2x+64)=-2x2+64x-8(-2x+64)=-2x2+80x- (2)函数图象位于第二、四象限，画图略。 512=-2(x-20)2+288, (3)点B(分-16)在这个反比例函数的图象上，点C(-3. ·此款环保帆布包的销售利润w是销售单价x的二次 5)不在这个反比例函数的图象上. 函数 9.010.2 .-2<0,且8<20<32 11.2(答案不唯一)12.-42 .当x=20时，w取得最大值， 13.m=2. “.当该环保帆布包的销售单价为20元/个时，销售利润 6 最大 14.(1)y关于x的函数解析式为y= 第二十七章反比例函数 (2)①2≤a<3. 27.1反比例函数的概念 ②证明：b=1-a,.-a=b-1. ·点B在第二象限， 1.D2.C3.C4.A5.C ∴.b>0,.b-1>-1,2b>0, 6.解：(1)自变量的取值范围为x≠0. .->-1,∴.2b-a>-1. √51 15.D (2)当x=-25时，y= -25 -2 第2课时反比例函数图象和性质的综合运用 （3)令y=-3,则5-3，解得x=-5 1.B2.D3.34.A5.D6.-4<x<0或x>3 7.（1)一次函数的解析式为y=x+1, 7.解：由题意，得V=Sh=360(定值)， 6 反比例函数的解析式为y=一 六S与h成反比例关系S=360 (2)S△ABc=5. :当游泳池的体积V一定时，它的底面积S是高度h的反 8.C9.-610.B11.k>k>k1 12.(1)y=-9 2 比例函数，且这个函数的比例系数是360， 3+1 当h=4m时，S=360 90(m2). (2)当y>y,时，自变量x的取值范围为-3<x<0或>2 9 4 8解：(1)设反比例函数的解析式为y=女（≠0），把x=-1。 15 (3)S0B=4 y=2代人得k=-2y=-2 13.16 小专题9反比例函数中系数k的几何意义 (2-3214-42号 1.62.3变式33.-6 9.A10.A11.-1 4.k=-4. 12.(1)y=12 5.A6.A7.-3 8.△ABC的面积为5. (2)解：当x=7.5时，=1 751.6； 27.3实际问题与反比例函数 300 1.y= 当)=75时，2-75，解得=1.6， 2400 ..当相邻两边中的一条边的长为7.5m时，另一条边的长 2.(1)y与x之间的函数关系式为y= 为1.6m. (2)销售单价应定为160元. 参考答案