专题03 函数的概念及应用（期中真题汇编，浙江专用）高一数学上学期

专题03 函数的概念及应用 3大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）函数的定义域是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据0的0次幂无意义，分母不为0和偶次根式下不小于0列出不等式组，解出即可. 【详解】 要使函数有意义，需满足 ，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 2．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题可根据函数解析式得出 ，然后通过计算即可得出结果. 【详解】 因为函数， 所以 ，解得且， 即函数的定义域为， 故选：D. 【点睛】 本题考查函数定义域的求法，要注意分式的分母不为，偶次根式的被开方数大于等于，考查计算能力，是简单题. 3．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）下列各组表示同一函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 A选项，对应法则不同，BD选项，定义域不同，C选项，定义域和对应关系相同. 【详解】 A选项，，故不是同一函数，A错误； B选项，的定义域为R，的定义域为， 故不是同一函数，B错误； C选项， ，且的定义域都为，故是同一函数，C正确； D选项，的定义域为R，的定义域为，D错误. 故选：C 4．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）（多选）已知函数，下列说法正确的是（       ） A.  B.  C. 的定义域为 D. 的图像关于对称 【答案】BD 【分析】 先求解函数的表达式及定义域，根据函数的性质判断各项正误. 【详解】 解：因为，所以，故B项正确； ，故A项错误； 因为，所以，故的定义域为，故C项错误； 因为，所以为偶函数，则的图像关于对称，故D项正确. 故选：BD. 5．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）已知函数 ，则（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用给定的分段函数，代入求值即可. 【详解】 依题意，. 故选：B 6．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据函数式的限制条件列不等式组求解. 【详解】 要使函数有意义，则 ， 解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 7．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）（多选）下列四组函数表示同一个函数的是（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】CD 【分析】 根据函数相等的定义逐项分析判断. 【详解】 对于选项A：的定义域为，的定义域为， 定义域不相同，所以不是同一个函数，故A错误； 对于选项B：、的定义域均为， 但，所以不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：与的定义域均为， 且，所以是同一个函数，故C正确； 对于选项D：因为的定义域为， 的定义域为， 定义域相同，对应法则相同，所以它们是同一个函数，故D正确； 故选：CD. 8．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）下列各组函数表示相同函数的是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 通过分析每组函数的定义域和对应法则，判断是否为相同函数. 【详解】 选项A：与对应法则不同，不是相同函数. 选项B：与对应法则不同，不是相同函数. 选项C：定义域为，定义域为，定义域不同，不是相同函数. 选项D：，与定义域均为，对应法则相同，是相同函数. 故选：D 9．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知函数 ，则（       ） A. 16 B. 8 C. 2 D. -2 【答案】C 【分析】 由分段函数解析式即可求解. 【详解】 由解析式可得：， 故选：C 10．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）已知，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求函数的值域、定义域，然后求. 【详解】 由，所以 由的定义域，所以， 所以. 故选：A 11．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）下列四个函数中，值域为的函数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据值域的概念，以及基本初等函数性质，逐一求出各函数值域，判断结果即可. 【详解】 由可知，对勾函数值域为，所以A错误； 由幂函数性质可知，函数的值域为，所以B错误； 由，函数值域为，所以C错误； 由，即，解得或，此时函数值域为，所以D正确； 故选：D. 12．（25-26学年高一上·浙江温州十校联·期中）（多选）下列各项中，与表示同一函数的是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BCD 【分析】 根据函数的定义，一一判断各选项函数的定义域和对应法则是否相同，即可得到答案. 【详解】 对于A，因为的定义域为，的定义域为， 两者定义域不同，故两函数不相等，故A错误； 对于B，由得，故的定义域为， 由 得，故的定义域为， 又两者对应法则相同，故两函数相等，故B正确； 对于C, 因为，的定义域均为R，且对应关系相同，故两函数相等，故C正确； 对于D， ， ， 两个函数的定义域均为，对应关系相同，所以两函数相等，故D正确. 故选：BCD. 13．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用换元法可得答案. 【详解】 令，则， 所以， 即. 故选：B. 14．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）已知函数 且，则（       ） A.  B.  C. 9 D. 3 【答案】C 【分析】 由可得的值，再由计算出答案. 【详解】 由题意知， 所以 ， 所以. 故选：C. 15．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）下列各组函数是同一个函数的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【分析】 利用同一函数的定义逐项分析判断得解. 【详解】 对于A，中，中，即两个函数定义域不同，A不是； 对于B，与定义域都为，且，B是； 对于C，中，而中，即两个函数定义域不同，C不是； 对于D，与定义域都为R，而，即对应法则不同，D不是. 故选：B 16．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 若，则 C. 不等式的解集为 D. 函数与是同一函数 【答案】AD 【分析】 对于A：利用充分必要条件的判定可判断；对于B：举反例即可；对于C：利用一元二次不等式的解法可判断；对于D：利用函数三要素可判断. 【详解】 A选项：由于集合真包含于集合， 所以“”是“”的充分不必要条件.故A正确. B选项：若，，此时，而.故B错误. C选项：当时，，故C错误. D选项：函数，当时，；当时，. 所以函数，与的定义域与解析式相同，是同一函数,故D正确. 故选：AD. 17．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先根据的定义域求的定义域，再根据的定义域求的定义域. 【详解】 函数的定义域为，又是增函数，当时，， 所以函数的定义域为， 由题意知，，即， 所以函数的定义域为， 故选：B. 18．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）（多选）下列各选项给出的数学命题中，正确的有（       ） A. 集合，表示相等集合 B. 若是一次函数，满足，则 C. 函数的值域为 D. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】 根据集合描述法结合函数定义域与值域化简集合，即可判断集合是否相等，从而判断A；利用待定系数法求解一次函数解析式即可判断B；根据函数结构分离函数结合函数单调性求值域即可判断C；根据一元二次不等式的解集确定参数关系，从而解新的一元二次不等式即可判断D. 【详解】 对于A，集合，，故两个集合不相等，故A不正确； 对于B，若是一次函数，则， 所以， 则 ，解得 ，所以，故B正确； 对于C，函数，则函数在上单调递增， 当时，，又，故函数的值域为，故C正确； 对于D，若关于的不等式的解集为， 则 ，所以 ， 则不等式转化为， 即，解得， 故不等式的解集为，故D正确. 故选：BCD. 19．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 函数的定义域为 B. 若，则 C. 函数在上的值域为 D. 函数的单调递增区间为 【答案】AC 【分析】 由具体函数的定义域结合一元二次不等式求解即可判断A；赋值法计算即可判断B；由初等函数单调性可确定函数值域，即可判断C；由二次函数的单调性即可判断D. 【详解】 对于A，因为，所以 的定义域为，故A正确； 对于B，因为， 令，则，故B错误； 对于C，函数在上单调递增， 所以，则值域为，故C正确； 对于D，因为，所以，所以或，所以定义域为， 又函数在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为，故D错误. 故选：AC 20．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若集合，，则 D. 函数的单调递增区间为 【答案】BD 【分析】 由同一函数的定义域和对应法则相同判断A，由抽象函数的定义域求法判断B，解分式及一元二次不等式求集合判断C，由二次函数、指数函数的性质及复合函数单调性判断D. 【详解】 A：由的定义域为R，的定义域为，不是同一函数，错， B：由的定义域为，对于有，则定义域为，对， C：由 ，则， 由，则，显然，错， D：由，在上单调递减，在上单调递增， 而在定义域上单调递增，故的单调递增区间为，对. 故选：BD 21．（25-26学年高一上·浙江五湖联盟·期中）已知，则函数的解析式为（     ） A.  B. （） C. （） D. （） 【答案】D 【分析】 通过配凑，得，进而求得函数的解析式，要注意的影响. 【详解】 因为， 设，则 所以. 所以函数的解析式为（）. 故选：D. 22．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）函数的定义域为　　　　　　　 【答案】且 【分析】 利用函数有意义列不等式求解. 【详解】 由题意得 ， 则函数定义域为 且. 故答案为且. 23．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）已知函数的定义域为，则k的取值范围为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意得到恒成立，通过即可求解. 【详解】 由题意可知恒成立， 即， 解得：， 即k的取值范围为， 故答案为： 24．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）已知函数 ，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据分段函数的定义直接计算. 【详解】 由已知， 则， 故答案为：. 25．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）函数 ，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据分段函数的解析式，代入即可求值. 【详解】 因为 ，. 故答案为：. 26．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）已知，则　　　　　　　　　　　． 【答案】； 【分析】 利用换元法，求函数的解析式. 【详解】 设，则， 则， 所以. 故答案为： 27．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中）设. （1）化简，若，求的值域； （2）若 ，求的值. 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）利用分数指数幂的运算化简即可，结合单调性可求值域； （2）利用分段函数的函数，计算即可求解. (1) 小问详解： ， 因为函数在上单调递增 的取值范围为. (2) 小问详解： . 28．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）函数的定义域为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用函数有意义列出不等式组求解即可. 【详解】 函数有意义，则 ，解得， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 29．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）已知函数 （1）求，的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1），     （2）或      【分析】 （1）根据分段函数直接代入求值即可； （2）由，再分，代入解方程即可． (1) 小问详解： 因为 ， 所以，； (2) 小问详解： 当时，，解得或（舍）， 当时，，解得， 综上所述，或． 30．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）设 ，若，则　　　　　　． 【答案】或0 【分析】 根据分段函数，分和两种情况即可求解. 【详解】 由题意有：当时，即时，，解得； 当时，即时，，解得， 所以或. 故答案为：或0. 31．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中）已知函数的图象过点和点. （1）求的解析式； （2）写出函数的定义域，若在上恒成立，求实数c的取值范围. 【答案】（1）     （2）定义域为R；      【分析】 （1）代入定点，解方程组即可； （2）结合基本不等式求出，恒成立问题转化为，即可得出c的取值范围. (1) 小问详解： 依题意得 ， 故； (2) 小问详解： 的定义域为， 当时，. 因为，所以，当且仅当时取等号. 所以，即. 故. 32．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）中，斜边，，是的中点，为线段（端点除外）上的动点，线段绕着点旋转到，当与垂直且相交时，则的面积范围为　　　　　　. 【答案】 【分析】 设，则，结合已知得且，利用二次函数的性质求范围. 【详解】 设，则， 由且与相交，则 ，得，    所以中边上的高， 故且， 由在上单调递增， 所以. 故答案为： 33．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）已知定义在上的函数为增函数，当时，满足，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 通过令和，得到，再令，得到，结合函数的单调性，得到，求解并验证即可. 【详解】 令得：， 令，得，即， 再令， 得， 因为， 即， 所以，又， 又定义在上的函数为增函数， 所以，解得， 当时， ， ， 因为，所以，而，不符合增函数，故舍去， 经验证符合题意， 所以. 故答案为：. 考点02 幂函数 1．（25-26学年高一上·浙江台金七校·期中）已知幂函数的图象不经过第二象限，则（       ） A.  B. 或 C. 或 D.  【答案】D 【分析】 根据幂函数的概念求出，再由函数图象不经过第二象限得出即可． 【详解】 解：因为是幂函数，所以，解得或， 当时，，显然其图象不经过第二象限，满足题意； 当时，，其图象经过第二象限，不满足题意； 综上，． 故选：D． 2．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）（多选）下列不等关系正确的有（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】BD 【分析】 利用指数函数的单调性可判断ABC选项，利用幂函数的单调性和奇偶性可判断D选项. 【详解】 对于A选项，因为指数函数在上为减函数，所以，A错； 对于B选项，因为指数函数在上为增函数，则，B对； 对于C选项，因为幂函数在上为减函数，且，故，C错； 对于D选项，令，该函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 且函数在上为增函数，故，D对. 故选：BD. 3．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）幂函数过点，则（     ）. A.  B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【分析】 由幂函数经过的点求参数值，再代入自变量求函数值. 【详解】 由题设，则， 故. 故选：C 4．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数（       ） A. 2 B.  C. 1 D. 1或 【答案】B 【分析】 根据幂函数的定义与单调性求解实数的值. 【详解】 知函数是幂函数， 则，解得或， 当时，，其在上单调递减，不符合题意， 当时，，其在上单调递增，符合题意， 故. 故选：B. 5．（25-26学年高一上·浙江宁波六校·期中）函数的大致图象为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可. 【详解】 函数是幂函数，定义域为R，是偶函数，排除D； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，排除A，选项B符合要求. 故选：B 6．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）已知幂函数的图象过点，则（       ） A. 2 B. 8 C.  D. 16 【答案】A 【分析】 由点求得函数解析式即可求解； 【详解】 设， 则，解得：， 所以， 故选：A 7．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中）（多选）设，则的大小关系可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABC 【分析】 取特值说明ABC的存在性，对于D证明其不成立. 【详解】 对于A：时，，故A正确； 对于B：时，，故B正确； 对于C：时，，故C正确 对于D：若成立，则由且且，解得且，显然不存在实数满足，故D不正确. 故选：ABC 8．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）已知幂函数的图像经过点和点则　　　　　. 【答案】3 【分析】 依次代入点和点即可求解. 【详解】 ， ， . 故答案为：3 9．（25-26学年高一上·浙江五湖联盟·期中）已知幂函数的图象过点，则　　　　　　　　　　　. 【答案】5 【分析】 设，根据函数过点，即可求出的值，即可取出函数解析式，再代入计算可得； 【详解】 解：设，因为幂函数的图象过点，所以，所以，所以，所以 故答案为： 10．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）已知幂函数为定义在上的增函数，则　　　　　　． 【答案】8 【分析】 先根据幂函数定义求，再结合单调性确定的值，最后计算. 【详解】 由幂函数定义，，解得或. 当时，指数，，在上是增函数，符合条件； 当时，指数，，定义域为，不符合. 故，. 故答案为： 11．（25-26学年高一上·浙江宁波六校·期中）若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据幂函数的定义得到，，根据指数函数的性质得到定点为，从而代入求解，得到. 【详解】 是幂函数，则，所以，． 在中，令，得，所以定点为， 故，又，解得． 故答案为： 12．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）已知幂函数的图象过点，函数的解析式为　　　　　　. 【答案】 【分析】 由点在图象上，应用待定系数法求解析式. 【详解】 由题设，则. 故答案为： 13．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）已知函数为奇函数，幂函数为偶函数，且在区间上单调递减，若，则　　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 先求得进而求得，，再根据和为奇函数求解. 【详解】 因为幂函数在区间上单调递减， 所以，解得 ， 因为 ， 所以 或 或 ， 当时，是奇函数，不符合题意； 当时， 是偶函数，符合题意； ，是奇函数，不符合题意； 则，，因为， 所以，因为函数为奇函数， 所以， 所以， 故答案为：3 14．（25-26学年高一上·浙江宁波·期中）幂函数在第一象限的大致图象如图所示. （1）求的解析式，并写出其值域； （2）若，求的值. 【答案】（1），值域为     （2）      【分析】 （1）根据幂函数的定义列方程可求出的两个可能取值，根据图象可排除一个，得到的解析式，进而可写出其值域； （2）根据的解析式可得到的表达式，结合已知条件即可求解. (1) 小问详解： 因为是幂函数， 所以，解得或, 所以或. 由图知在第一象限的图象是曲线，不是直线，所以. 所以的定义域为，值域也为. (2) 小问详解： 由（1）知， 由得. 所以. 15．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）已知幂函数在上单调递增. （1）求m的值； （2）当时，求函数的最小值. 【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）由幂函数的定义和单调性得到 ，求解即可； （2）由，，讨论单调性即可求解. (1) 小问详解： 由幂函数的定义及单调性得 ， 解得 ， 故． (2) 小问详解： 由（1）知， 则，对称轴为直线， 当时，在上单调递增， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当时，在上单调递减， 所以． 综上所述， 考点03 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（     ） A. 440元 B. 450元 C. 460元 D. 470元 【答案】B 【分析】 通过设售价提高的金额，建立收入的二次函数模型，利用二次函数的性质求最大值. 【详解】 设每个肉粽的售价提高元，则售价为元，日销售量为个. 收入. 因为二次函数开口向下，当时，取得最大值. 此时最大收入为元. 故选：B 2．（25-26学年高一上·浙江五湖联盟·期中）疫情期间，某防护服厂全力生产保障供应.生产防护服的固定成本为300万元，每生产万件，需另投入成本万元.当产量不大于40万件时，；当产量超过40万件时，.若每件防护服售价100元，且生产的防护服可全部销售完. （1）求防护服销售利润（万元）关于产量（万件）的函数关系式； （2）当产量为多少万件时，该防护服生产厂所获利润最大？ 【答案】（1）     （2）70万件      【分析】 （1）由题设分时和两种情况即可求解； （2）分时和两种情况结合函数性质分别求出利润最大值比较即可得解. (1) 小问详解： 当时， . 当时，. 即 . (2) 小问详解： ① 当时，， 当时，取得最大值2150； ② 当时，， 因为函数和均在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以时有. 因为，所以当产量为70万件时，该防护服生产厂所获利润最大. 3．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）已知某商品的成本价为每台10元，每月的销量（台）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数. （1）设每月获得的利润为（元），写出与之间的函数关系式. （2）规定该商品的单价不能超过25元，如果想要每月获得不少于3000元的利润，那么该商品的售价范围应该为多少? 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题可得与之间的函数关系式； （2）由（1）解二次不等式可得答案. (1) 小问详解： 依题可知每台商品的销售利润为元，每月的销量为台， 所以每月获得的利润与销售单价之间的函数关系为. (2) 小问详解： 由于每月获得的利润不得少于3000元，得， 化简得，解得. 由于销售单价不得高于25元， 故该商品的售价范围是 4．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）为加快落实新旧动能转换，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个项目，该项目可以把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品.经测算，该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为 ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不盈利，国家将给予补偿. （1）当时，判断该项目能否盈利.如果盈利，求出最大利润；如果该项目不盈利，要使该单位不亏损，则国家需要补偿资金的范围是多少元？ （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 【答案】（1）不盈利，5000元到20000元     （2）400吨      【分析】 （1）当时，该项目获利，说明不获利；当，时，取得最大值，要使该单位不亏损，从而得国家需要补偿资金的范围； （2）分段讨论，①当时，求出的最小值；②当时，求出的最小值；比较得每月处理量为多少吨时，能使每吨的平均处理成本最低． (1) 小问详解： 当时，设该项目获利为， 则， 所以当时，，因此该单位不会获利， 当时，取得最大值-5000， 当时，取得最小值-20000， 所以国家每月补贴的范围是5000元到20000元. (2) 小问详解： 由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 ① 当时，， 所以当时，取得最小值240； ② 当时，， 当且仅当，即时，取得最小值200， 因为200240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 5．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额（注：年平均盈利额）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理. （1）设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式 （2）哪种方案较为合理？并说明理由. 【答案】（1）     （2）方案二合理，理由如下： 方案一：， 当时，总盈利额取得最大值90万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：由（1）可得年平均利润额为 ， 当且仅当即时等号成立， 即当时，年平均盈利额最大为20万元，此时总盈利额万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 综上，两种方案获利都是110万元，但方案一需要5年，而方案二仅需要4年， 故方案二合理.      【分析】 （1）利用已知条件即可写出与的函数关系式； （2）分别写出两种方案的总利润以及所需要的时间，即可得出结论. (1) 小问详解： 根据题意可得， 则方案一中与的函数关系式为：； (2) 小问详解： 略 6．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为： ，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. （1）求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】（1） ，     （2）当时，取得最大值，且最大值为115万元      【分析】 （1）将给定的三点坐标代入函数式，求出，进而求出的表达式. （2）由（1）按与分段求出最大值，再比较大小即得. (1) 小问详解： 将，，三点代入，得 ， 解得 ，即 依题意， . (2) 小问详解： 由（1） 当时，，则当为时，取得最大值60万元； 当时， ，当且仅当时，即时取得等号， 此时取得最大值，且最大值为115万元， 所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元. 7．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）某书店销售一款文化纪念册，每年销售x千册，需要投入年固定成本10万元，另外投入流动成本万元，且 ，，每千册纪念册售价为10万元，且当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年销售量（千册）的函数解析式； （2）年销售量为多少千册时，该纪念册的年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） ，     （2）6，最大利润为万元.      【分析】 （1）根据“年利润=年销售收入-固定成本-流动成本”求得. （2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得正确答案. (1) 小问详解： ， (2) 小问详解： 当时，， 由对称轴知在递增，. 当时，. 当且仅当时等号成立， 而，由， ，， 所以当时，. 即当年销量为6千册时，该纪念册的年利润最大，最大年利润为万元. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念及应用 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．D 2．D 3．C 4．BD 5．B 6．D 7．CD 8．D 9．C 10．A 11．D 12．BCD 13．B 14．C 15．B 16．AD 17．B 18．BCD 19．AC 20．BD 21．D 22．【答案】且 【分析】 利用函数有意义列不等式求解. 【详解】 由题意得 ， 则函数定义域为 且. 故答案为且. 23．【答案】 【分析】 由题意得到恒成立，通过即可求解. 【详解】 由题意可知恒成立， 即， 解得：， 即k的取值范围为， 故答案为： 24．【答案】 【分析】 根据分段函数的定义直接计算. 【详解】 由已知， 则， 故答案为：. 25．【答案】 【分析】 根据分段函数的解析式，代入即可求值. 【详解】 因为 ，. 故答案为：. 26．【答案】； 【分析】 利用换元法，求函数的解析式. 【详解】 设，则， 则， 所以. 故答案为： 27．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）利用分数指数幂的运算化简即可，结合单调性可求值域； （2）利用分段函数的函数，计算即可求解. (1) 小问详解： ， 因为函数在上单调递增 的取值范围为. (2) 小问详解： . 28．【答案】 【分析】 利用函数有意义列出不等式组求解即可. 【详解】 函数有意义，则 ，解得， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 29．【答案】（1），     （2）或      【分析】 （1）根据分段函数直接代入求值即可； （2）由，再分，代入解方程即可． (1) 小问详解： 因为 ， 所以，； (2) 小问详解： 当时，，解得或（舍）， 当时，，解得， 综上所述，或． 30．【答案】或0 【分析】 根据分段函数，分和两种情况即可求解. 【详解】 由题意有：当时，即时，，解得； 当时，即时，，解得， 所以或. 故答案为：或0. 31．【答案】（1）     （2）定义域为R；      【分析】 （1）代入定点，解方程组即可； （2）结合基本不等式求出，恒成立问题转化为，即可得出c的取值范围. (1) 小问详解： 依题意得 ， 故； (2) 小问详解： 的定义域为， 当时，. 因为，所以，当且仅当时取等号. 所以，即. 故. 32．【答案】 【分析】 设，则，结合已知得且，利用二次函数的性质求范围. 【详解】 设，则， 由且与相交，则 ，得，    所以中边上的高， 故且， 由在上单调递增， 所以. 故答案为： 33．【答案】 【分析】 通过令和，得到，再令，得到，结合函数的单调性，得到，求解并验证即可. 【详解】 令得：， 令，得，即， 再令， 得， 因为， 即， 所以，又， 又定义在上的函数为增函数， 所以，解得， 当时， ， ， 因为，所以，而，不符合增函数，故舍去， 经验证符合题意， 所以. 故答案为：. 考点02 幂函数 1．D 2．BD 3．C 4．B 5．B 6．A 7．ABC 8．【答案】3 【分析】 依次代入点和点即可求解. 【详解】 ， ， . 故答案为：3 9．【答案】5 【分析】 设，根据函数过点，即可求出的值，即可取出函数解析式，再代入计算可得； 【详解】 解：设，因为幂函数的图象过点，所以，所以，所以，所以 故答案为： 10．【答案】8 【分析】 先根据幂函数定义求，再结合单调性确定的值，最后计算. 【详解】 由幂函数定义，，解得或. 当时，指数，，在上是增函数，符合条件； 当时，指数，，定义域为，不符合. 故，. 故答案为： 11．【答案】 【分析】 根据幂函数的定义得到，，根据指数函数的性质得到定点为，从而代入求解，得到. 【详解】 是幂函数，则，所以，． 在中，令，得，所以定点为， 故，又，解得． 故答案为： 12．【答案】 【分析】 由点在图象上，应用待定系数法求解析式. 【详解】 由题设，则. 故答案为： 13．【答案】3 【分析】 先求得进而求得，，再根据和为奇函数求解. 【详解】 因为幂函数在区间上单调递减， 所以，解得 ， 因为 ， 所以 或 或 ， 当时，是奇函数，不符合题意； 当时， 是偶函数，符合题意； ，是奇函数，不符合题意； 则，，因为， 所以，因为函数为奇函数， 所以， 所以， 故答案为：3 14．【答案】（1），值域为     （2）      【分析】 （1）根据幂函数的定义列方程可求出的两个可能取值，根据图象可排除一个，得到的解析式，进而可写出其值域； （2）根据的解析式可得到的表达式，结合已知条件即可求解. (1) 小问详解： 因为是幂函数， 所以，解得或, 所以或. 由图知在第一象限的图象是曲线，不是直线，所以. 所以的定义域为，值域也为. (2) 小问详解： 由（1）知， 由得. 所以. 15．【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）由幂函数的定义和单调性得到 ，求解即可； （2）由，，讨论单调性即可求解. (1) 小问详解： 由幂函数的定义及单调性得 ， 解得 ， 故． (2) 小问详解： 由（1）知， 则，对称轴为直线， 当时，在上单调递增， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当时，在上单调递减， 所以． 综上所述， 考点03 函数的应用（一） 1．B 2．【答案】（1）     （2）70万件      【分析】 （1）由题设分时和两种情况即可求解； （2）分时和两种情况结合函数性质分别求出利润最大值比较即可得解. (1) 小问详解： 当时， . 当时，. 即 . (2) 小问详解： ① 当时，， 当时，取得最大值2150； ② 当时，， 因为函数和均在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以时有. 因为，所以当产量为70万件时，该防护服生产厂所获利润最大. 3．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题可得与之间的函数关系式； （2）由（1）解二次不等式可得答案. (1) 小问详解： 依题可知每台商品的销售利润为元，每月的销量为台， 所以每月获得的利润与销售单价之间的函数关系为. (2) 小问详解： 由于每月获得的利润不得少于3000元，得， 化简得，解得. 由于销售单价不得高于25元， 故该商品的售价范围是 4．【答案】（1）不盈利，5000元到20000元     （2）400吨      【分析】 （1）当时，该项目获利，说明不获利；当，时，取得最大值，要使该单位不亏损，从而得国家需要补偿资金的范围； （2）分段讨论，①当时，求出的最小值；②当时，求出的最小值；比较得每月处理量为多少吨时，能使每吨的平均处理成本最低． (1) 小问详解： 当时，设该项目获利为， 则， 所以当时，，因此该单位不会获利， 当时，取得最大值-5000， 当时，取得最小值-20000， 所以国家每月补贴的范围是5000元到20000元. (2) 小问详解： 由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 ① 当时，， 所以当时，取得最小值240； ② 当时，， 当且仅当，即时，取得最小值200， 因为200240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 5．【答案】（1）     （2）方案二合理，理由如下： 方案一：， 当时，总盈利额取得最大值90万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：由（1）可得年平均利润额为 ， 当且仅当即时等号成立， 即当时，年平均盈利额最大为20万元，此时总盈利额万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 综上，两种方案获利都是110万元，但方案一需要5年，而方案二仅需要4年， 故方案二合理.      【分析】 （1）利用已知条件即可写出与的函数关系式； （2）分别写出两种方案的总利润以及所需要的时间，即可得出结论. (1) 小问详解： 根据题意可得， 则方案一中与的函数关系式为：； (2) 小问详解： 略 6．【答案】（1） ，     （2）当时，取得最大值，且最大值为115万元      【分析】 （1）将给定的三点坐标代入函数式，求出，进而求出的表达式. （2）由（1）按与分段求出最大值，再比较大小即得. (1) 小问详解： 将，，三点代入，得 ， 解得 ，即 依题意， . (2) 小问详解： 由（1） 当时，，则当为时，取得最大值60万元； 当时， ，当且仅当时，即时取得等号， 此时取得最大值，且最大值为115万元， 所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元. 7．【答案】（1） ，     （2）6，最大利润为万元.      【分析】 （1）根据“年利润=年销售收入-固定成本-流动成本”求得. （2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得正确答案. (1) 小问详解： ， (2) 小问详解： 当时，， 由对称轴知在递增，. 当时，. 当且仅当时等号成立， 而，由， ，， 所以当时，. 即当年销量为6千册时，该纪念册的年利润最大，最大年利润为万元. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念及应用 3大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）函数的定义域是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）下列各组表示同一函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）（多选）已知函数，下列说法正确的是（       ） A.  B.  C. 的定义域为 D. 的图像关于对称 5．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）已知函数 ，则（          ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）（多选）下列四组函数表示同一个函数的是（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 8．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）下列各组函数表示相同函数的是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知函数 ，则（       ） A. 16 B. 8 C. 2 D. -2 10．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）已知，，则（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）下列四个函数中，值域为的函数是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·浙江温州十校联·期中）（多选）下列各项中，与表示同一函数的是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 13．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）已知函数 且，则（       ） A.  B.  C. 9 D. 3 15．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）下列各组函数是同一个函数的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 16．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 若，则 C. 不等式的解集为 D. 函数与是同一函数 17．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）（多选）下列各选项给出的数学命题中，正确的有（       ） A. 集合，表示相等集合 B. 若是一次函数，满足，则 C. 函数的值域为 D. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 19．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 函数的定义域为 B. 若，则 C. 函数在上的值域为 D. 函数的单调递增区间为 20．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若集合，，则 D. 函数的单调递增区间为 21．（25-26学年高一上·浙江五湖联盟·期中）已知，则函数的解析式为（     ） A.  B. （） C. （） D. （） 22．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）函数的定义域为　　　　　　　 23．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）已知函数的定义域为，则k的取值范围为　　　　　　　　　　. 24．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）已知函数 ，则　　　　　　． 25．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）函数 ，则　　　　　　． 26．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）已知，则　　　　　　　　　　　． 27．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中）设. （1）化简，若，求的值域； （2）若 ，求的值. 28．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）函数的定义域为　　　　　　　　. 29．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）已知函数 （1）求，的值； （2）若，求实数的值． 30．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）设 ，若，则　　　　　　． 31．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中）已知函数的图象过点和点. （1）求的解析式； （2）写出函数的定义域，若在上恒成立，求实数c的取值范围. 32．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）中，斜边，，是的中点，为线段（端点除外）上的动点，线段绕着点旋转到，当与垂直且相交时，则的面积范围为　　　　　　. 33．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）已知定义在上的函数为增函数，当时，满足，则　　　　　　　　　　. 考点02 幂函数 1．（25-26学年高一上·浙江台金七校·期中）已知幂函数的图象不经过第二象限，则（       ） A.  B. 或 C. 或 D.  2．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）（多选）下列不等关系正确的有（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）幂函数过点，则（     ）. A.  B. 1 C. 2 D. 4 4．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数（       ） A. 2 B.  C. 1 D. 1或 5．（25-26学年高一上·浙江宁波六校·期中）函数的大致图象为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）已知幂函数的图象过点，则（       ） A. 2 B. 8 C.  D. 16 7．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中）（多选）设，则的大小关系可以是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）已知幂函数的图像经过点和点则　　　　　. 9．（25-26学年高一上·浙江五湖联盟·期中）已知幂函数的图象过点，则　　　　　　　　　　　. 10．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）已知幂函数为定义在上的增函数，则　　　　　　． 11．（25-26学年高一上·浙江宁波六校·期中）若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则　　　　　　． 12．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）已知幂函数的图象过点，函数的解析式为　　　　　　. 13．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）已知函数为奇函数，幂函数为偶函数，且在区间上单调递减，若，则　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年高一上·浙江宁波·期中）幂函数在第一象限的大致图象如图所示. （1）求的解析式，并写出其值域； （2）若，求的值. 15．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）已知幂函数在上单调递增. （1）求m的值； （2）当时，求函数的最小值. 考点03 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（     ） A. 440元 B. 450元 C. 460元 D. 470元 2．（25-26学年高一上·浙江五湖联盟·期中）疫情期间，某防护服厂全力生产保障供应.生产防护服的固定成本为300万元，每生产万件，需另投入成本万元.当产量不大于40万件时，；当产量超过40万件时，.若每件防护服售价100元，且生产的防护服可全部销售完. （1）求防护服销售利润（万元）关于产量（万件）的函数关系式； （2）当产量为多少万件时，该防护服生产厂所获利润最大？ 3．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）已知某商品的成本价为每台10元，每月的销量（台）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数. （1）设每月获得的利润为（元），写出与之间的函数关系式. （2）规定该商品的单价不能超过25元，如果想要每月获得不少于3000元的利润，那么该商品的售价范围应该为多少? 4．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）为加快落实新旧动能转换，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个项目，该项目可以把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品.经测算，该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为 ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不盈利，国家将给予补偿. （1）当时，判断该项目能否盈利.如果盈利，求出最大利润；如果该项目不盈利，要使该单位不亏损，则国家需要补偿资金的范围是多少元？ （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 5．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额（注：年平均盈利额）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理. （1）设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式 （2）哪种方案较为合理？并说明理由. 6．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为： ，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. （1）求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 7．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）某书店销售一款文化纪念册，每年销售x千册，需要投入年固定成本10万元，另外投入流动成本万元，且 ，，每千册纪念册售价为10万元，且当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年销售量（千册）的函数解析式； （2）年销售量为多少千册时，该纪念册的年利润最大？最大年利润是多少？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $