精品解析：浙江省杭州市杭高贡院、杭高钱江、杭高钱塘2025-2026学年高一上学期期中数学试题

杭州高级中学2025学年第一学期高一期中考试 数学试题卷 命题：王蕾 黎金传 审题：杭高贡院、钱江高一备课组 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分.本卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方. 3．答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效. 4．考试结束后，只需上交答题卡. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则是的（    ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如果，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. 15 B. 5 C. D. 21 7. 若正实数a，b满足，则下列说法正确是（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最大值4 D. 有最小值 8. 已知函数满足：对任意的非零实数，，都有成立，，若，，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题是正确是（ ） A. 函数的定义域是 B. 与是同一个函数 C. 不等式的解集为 D. 若，，则 10. 若幂函数的图像经过点，则下列说法中正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 若，则 C. 为增函数 D. 函数为偶函数 11. 关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（ ） A. 不等式的解集可以是 B. 不等式的解集可以是 C. 不等式的解集可以是 D. 不等式的解集可以是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分.两空题对一个得3分，共15分） 12. 已知，则的值为______ 13. 函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 14. 已知正实数x，y满足，则的最小值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，集合，， （1）当时，求，； （2）若，求m的取值范围． 16. 已知． （1）若的解集为，求a的取值范围； （2）解关于x的不等式． 17. 已知奇函数 （1）求实数a的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）函数，，是否存在实数b，使得函数的最大值为1？若存在，求出b的值，若不存在，说明理由． 18. 已知函数和． （1）求函数的单调减区间； （2）当时，对任意，，都有成立，求实数a的取值范围． （3）若对任意的，至少有，，使得，求实数a的取值范围． 19. 已知函数． （1）若，求函数定义域； （2）当时，若函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求a的取值范围； （3）是否存在实数a，使得函数在定义域内单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州高级中学2025学年第一学期高一期中考试 数学试题卷 命题：王蕾 黎金传 审题：杭高贡院、钱江高一备课组 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分.本卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方. 3．答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效. 4．考试结束后，只需上交答题卡. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得集合，再根据元素与集合关系即可求解． 【详解】由题可知，， 所以，故A正确；，故B错误； 因为集合中元素为，而非集合，故CD错误． 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，可得答案. 【详解】∵命题“”是存在量词命题，∴它的否定是“”． 故选：C． 3. 若，，则是的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出是的真子集，得到答案. 【详解】因为是的真子集，故是的充分不必要条件. 故选：A 4. 如果，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过观察三个数的特征可知最大，再利用作差法判断即可得出结果. 【详解】由选项可知，仅需要比较三个数的大小， 显然， ，所以最大， 由可得，， 所以，即 可得 故选：D 5. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的值域即可求解． 【详解】因为指数函数，所以． 6. 已知函数，则（ ） A. 15 B. 5 C. D. 21 【答案】A 【解析】 分析】根据分段函数解析式直接求解． 【详解】因为函数，所以． 7. 若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最大值4 D. 有最小值 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式及“1”的妙用分别判断各选项即可． 【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，故C错误； 对于D，因为，所以， 当且仅当时等号成立，故D错误． 8. 已知函数满足：对任意的非零实数，，都有成立，，若，，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】赋值，代入条件，整理计算，即可得答案. 【详解】令，得， 因为， 所以，解得. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题是正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 与是同一个函数 C. 不等式的解集为 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求解定义域即可判断A；根据同一函数的定义即可判断B；根据分式不等式的解法求解不等式即可判断C；根据不等式的性质即可判断D． 【详解】对于A，由，得或，所以定义域为，正确； 对于B，定义域为，定义域为， 所以与不是同一个函数，错误； 对于C，，解得，正确； 对于D，因为，所以， 又，所以，正确． 10. 若幂函数的图像经过点，则下列说法中正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 若，则 C. 为增函数 D. 函数为偶函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求解解析式，进而判断出ABC，再根据偶函数的定义即可判断D． 【详解】因为幂函数的图像经过点，所以， 所以， 对于A，因为定义域关于原点不对称，所以不为偶函数，故A错误； 对于BC，因为，所以在单调递增， 所以当，则，故BC正确； 对于D，定义域为，，所以为偶函数，故D正确． 11. 关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（ ） A. 不等式的解集可以是 B. 不等式的解集可以是 C. 不等式的解集可以是 D. 不等式的解集可以是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合二次函数的性质即可判断． 【详解】对于A，若，解集为，故A正确； 对于B，当时，，解集为，故B正确； 对于C，若不等式的解集为，则， 显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误； 对于D，若不等式的解集是， 则且方程的两根为， 所以，解得， 所以当时，不等式的解集是，故D正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分.两空题对一个得3分，共15分） 12. 已知，则的值为______ 【答案】7 【解析】 【分析】将完全平方后求解即可； 【详解】， 故答案为：7. 13. 函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】根据对勾函数的图像及基本不等式即可求解． 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 由对勾函数的图像可知，函数在上的单调增区间是，最小值是6． 14. 已知正实数x，y满足，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】设，则， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即， 所以当时，的最小值． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，集合，， （1）当时，求，； （2）若，求m的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【小问1详解】 由题设，，则或， 所以，； 【小问2详解】 由，若，则，满足题意； 若，则，可得， 综上，或. 16. 已知． （1）若的解集为，求a的取值范围； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集与判别式的关系即可求解； （2）根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 由题可知，，解得． 【小问2详解】 由题得，， 当，即时，不等式的解集为， 当时，即时，不等式的解集为， 当时，即时，不等式的解集为， 综上所述，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为． 17. 已知奇函数 （1）求实数a的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）函数，，是否存在实数b，使得函数最大值为1？若存在，求出b的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）1 （2）是上的单调增函数，证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先利用奇函数的性质求出字母，然后检验； （2）根据函数单调性定义证明即可； （3）化简函数解析式得出，换元后，利用二次函数最值的求法，分类讨论求解即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以， 检验：当时，， 因为，故满足题意. 【小问2详解】 是上的增函数，证明如下： 设任意，，， 因为 所以， ，∴，，， ， ∴是上的单调增函数． 【小问3详解】 令，由于，则， 即在上有最大值1, 因为二次函数开口向上，所以最大值在定义域端点处取得， 若， 此时有， 但此时，矛盾，不合题意； 若，此时有， 且此时，满足题意. 综上，存在，使函数的最大值为1. 18. 已知函数和． （1）求函数的单调减区间； （2）当时，对任意，，都有成立，求实数a的取值范围． （3）若对任意的，至少有，，使得，求实数a的取值范围． 【答案】（1）和 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数及二次函数的性质即可得出判断； （2）结合（1）求得在的最大值，根据题意列出不等式组即可求解； （3）根据题意，将条件转化为集合间包含关系，结合函数图像即可求解． 【小问1详解】 因为指数函数在上单调递减，所以在上单调递减， 二次函数在上单调递增，在单调递减， 所以的单调减区间为，． 【小问2详解】 由（1）知，在单调递增，所以， 当时，对任意，，都有成立，等价于， 解得． 所以a的取值范围为． 【小问3详解】 由题意得，， 并且对于值域中的每一个数，都至少有两个不同的数，使得成立， ①当时，函数在上单调递减，显然，此种情况不成立； ②当时，在上值域， 由的图像可知，只要使得，则，解得； ③当时，在上值域为，由的图像可知， 要满足即可，即，解得， 综上所述，． 所以a的取值范围为． 19. 已知函数． （1）若，求函数定义域； （2）当时，若函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求a的取值范围； （3）是否存在实数a，使得函数在定义域内单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）直接根据解析式求解定义域即可； （2）若存在区间，使得函数在上的值域为等价于在上有两个不相等的非负实数根，再根据换元法即可求解范围； （3）先讨论，根据函数的单调性先确定的大致范围，再根据的单调性确定的最终范围． 【小问1详解】 若，， ，解得． 【小问2详解】 因为，，所以， ， 若存在区间，使得函数在上的值域为等价于在上有两个不相等的非负实数根， 整理得，设，则， 则， 因为，所以当时，即， 又，所以当时，方程有两个不相等的实数根． 【小问3详解】 存在，理由如下， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 若使在上单调递减，则， 即当时，在上单调递减； 当时，，且在上单调递减， 因为，所以， 所以当时，函数在上单调递减， 综上所述，时，在定义域内单调递减． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $