专题01 集合与常用逻辑用语（期中真题汇编，浙江专用）高一数学上学期

专题01 集合与常用逻辑用语 5大高频考点概览 考点01 集合的概念 考点02 集合间的基本关系 考点03 集合的基本运算 考点04 充分条件与必要条件 考点05 全称量词与存在量词 考点01 集合的概念 1．（25-26学年高一上·浙江五湖联盟·期中）下列关系中，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）已知，则的值为（       ） A. 1或 B. 1 C.  D. 1或 3．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）下列关系中正确的个数是（     ） ①   ②   ③   ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．（25-26学年高一上·浙江宁波六校·期中）已知集合，，则（     ） A. -1 B. -3或1 C. 3 D. -3 考点02 集合间的基本关系 1．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）（多选）设集合，若，则实数可以是（       ） A. 0 B. 3 C.  D. 2 2．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）若集合，则集合的真子集有　　　　　　个． 3．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）设，集合，，若，则　　　　　. 考点03 集合的基本运算 1．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）设，，则（          ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·浙江台金七校·期中）已知集合则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）已知集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）浙BA比赛正在如火如荼进行中，某市篮球协会成员45人，统一去抢购该市参与的前后两场比赛门票，第一场抢购成功31人，第二场抢购成功29人，两场门票都抢购成功25人，则该协会两场门票都没抢购到的人数为（     ）. A. 6 B. 10 C. 13 D. 15 6．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）已知集合，集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中）集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）已知全集，，则（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）已知集合，，则中元素个数为（     ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 12．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）设集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中）已知集合A，B，定义集合且.若，则集合（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）（多选）下列集合表示图中阴影部分的为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·浙江宁波·期中）已知集合，，则下列正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）定义集合运算⊕，A，，，表示集合A中元素的个数，则以下说法不正确的是（     ） A. 若，，则 B. 若，则的值可能为4 C.  D.  18．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）已知集合，. （1）求，； （2）设集合，且，求实数的取值范围. 19．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）已知集合，，． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 20．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）设全集为，或，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 21．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）设全集，已知集合，集合． （1）若，求、； （2）若，求出的取值范围． 22．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）已知集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 23．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）已知．    （1）若，求图中阴影部分表示的集合； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 24．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）设，，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 25．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）设全集，集合，. （1）当时，求： （2）若，求实数m的取值范围. 26．（25-26学年高一上·浙江温州十校联·期中）已知集合，， （1）当时，求，； （2）若“”是“”成立的充分条件，求实数的取值范围. 27．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）已知集合，或. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 28．（25-26学年高一上·浙江宁波六校·期中）已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 29．（25-26学年高一上·浙江台金七校·期中）对于给定的非空数集，定义集合，当时，称具有孪生性质. （1）若集合，求集合和并判断是否具有孪生性质； （2）若集合，且，求证：； （3）若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值. 30．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）对于正整数集合，定义：若任意去掉个元素后，剩余的所有元素组成的集合都能划分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“-强可分集合”． （1）判断集合是否为“2-强可分集合”，并说明理由； （2）求证：集合一定不是“2-强可分集合”； （3）若集合是“1-强可分集合”． ①证明：为奇数； ②求集合中元素个数的最小值． 31．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称具有孪生性质. （1）若集合，求集合，； （2）若集合，，且，求的值并证明：； （3）若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值. 考点04 充分条件与必要条件 1．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）“”是“”的（       ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 2．（25-26学年高一上·浙江温州十校联·期中）“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”出自《论语·雍也》，意思是：对于学习，了解怎么学习的人，不如喜爱学习的人；喜爱学习的人，又不如以学习为乐的人.设命题：“一个人以学习为乐”，命题：“一个人喜爱学习”，则是的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）设，则“且”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）设x，，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（          ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）设，则“”是“集合”的（       ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）关于的不等式“”是“”成立的（     ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）（多选）下面命题正确的是（     ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“若，则”的否定是“存在，” C. 设，，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件 10．（25-26学年高一上·浙江五湖联盟·期中）（多选）下列各结论中正确的是（     ） A. “”是“”的充要条件 B. 的最小值为2 C. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 D. “”是“”的必要不充分条件 11．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）已知函数的定义域是D，则“的最小值是m”是“对任意，”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12．（25-26学年高一上·浙江宁波·期中）已知集合且，集合. （1）若，为自然数集，写出的所有子集； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 13．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中）已知集合或. （1）若，求及； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 14．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）已知集合，，全集. （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 考点05 全称量词与存在量词 1．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）命题“，”的否定是（        ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）命题“”的否定是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）命题“，”的否定为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）设命题，则为（          ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·浙江宁波·期中）命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）命题“，”的否定是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）命题“，”的否定形式为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9．（25-26学年高一上·浙江温州十校联·期中）若命题： ，.则命题的否定为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11．（25-26学年高一上·浙江宁波六校·期中）已知命题：，，则命题的否定为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 12．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）下列命题是全称量词命题的是（       ） A. 有一个偶数是素数 B. 至少存在一个奇数能被整除 C. 有些三角形是直角三角形 D. 每个四边形的内角和都是 13．（25-26学年高一上·浙江台金七校·期中）命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 14．（25-26学年高一上·浙江五湖联盟·期中）已知命题：，，则命题的否定为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 15．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）命题“，”的否定是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 5大高频考点概览 考点01 集合的概念 考点02 集合间的基本关系 考点03 集合的基本运算 考点04 充分条件与必要条件 考点05 全称量词与存在量词 考点01 集合的概念 1．（25-26学年高一上·浙江五湖联盟·期中）下列关系中，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据自然数集、整数集、有理数集、正整数集的定义判断各选项中元素与集合的关系. 【详解】 对于A，因为不是正整数，所以，故A错误； 对于B，因为是无理数，所以，故B错误； 对于C，因为0是自然数，所以，故C正确； 对于D，因为不是整数，所以，故D错误. 故选：C. 2．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）已知，则的值为（       ） A. 1或 B. 1 C.  D. 1或 【答案】C 【分析】 利用元素与集合的关系，结合集合中元素的互异性可得. 【详解】 因为，所以当时，解得，此时，不符合集合元素的互异性，舍去； 当，即，即时，解得或（舍去）， 又时，，此时集合为，符合题意，所以． 故选：C 3．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）下列关系中正确的个数是（     ） ①   ②   ③   ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】 利用常用数集的意义逐一判断即可. 【详解】 依题意，，① 正确；，② 错误；，③ 错误；，④ 错误， 因此正确命题的个数是1. 故选：A 4．（25-26学年高一上·浙江宁波六校·期中）已知集合，，则（     ） A. -1 B. -3或1 C. 3 D. -3 【答案】D 【分析】 根据元素与集合的关系求出的值，验证集合元素互异性即得. 【详解】 由可得或. ① 当时，解得或， 若，则，与集合元素互异性矛盾， 若，则，此时，符合题意，故； ② 当时，，由上分析可知不合题意. 故. 故选：D. 考点02 集合间的基本关系 1．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）（多选）设集合，若，则实数可以是（       ） A. 0 B. 3 C.  D. 2 【答案】ACD 【分析】 先求得集合，分类讨论，确定集合，根据，确定实数的值，得到答案. 【详解】 由方程，解得或，即， 因为，可得 对于方程，当时，此时集合，满足，符合题意； 当时，可得，若，可得或，解得或， 所以实数的可能取值为. 故选：ACD. 2．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）若集合，则集合的真子集有　　　　　　个． 【答案】7 【分析】 若集合有n个元素，则集合的真子集的个数为. 【详解】 集合有3个元素，则真子集的个数为个， 故答案为：7. 3．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）设，集合，，若，则　　　　　. 【答案】0 【分析】 根据集合相等计算求参. 【详解】 集合，，因为，所以， 则. 故答案为：0. 考点03 集合的基本运算 1．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）设，，则（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 直接根据交集的定义求解即可. 【详解】 由，， 则. 故选：B. 2．（25-26学年高一上·浙江台金七校·期中）已知集合则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】 ，故， 故选：D. 3．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）已知集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由交集的概念求得. 【详解】 由题意得，. 故选：A 4．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）已知集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据交集含义即可得到答案. 【详解】 根据交集含义即可得到. 故选：B. 5．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）浙BA比赛正在如火如荼进行中，某市篮球协会成员45人，统一去抢购该市参与的前后两场比赛门票，第一场抢购成功31人，第二场抢购成功29人，两场门票都抢购成功25人，则该协会两场门票都没抢购到的人数为（     ）. A. 6 B. 10 C. 13 D. 15 【答案】B 【分析】 首先求出仅第一场抢购成功和仅第二场抢购成功的人数，即可得解. 【详解】 因为第一场抢购成功31人，第二场抢购成功29人，两场门票都抢购成功25人， 则仅第一场抢购成功的有（人），仅第二场抢购成功（人）， 所以两场门票都没抢购到的人数为（人）. 故选：B 6．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）已知集合，集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据交集的知识求得正确答案. 【详解】 依题意，集合，集合， 所以. 故选：B 7．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中）集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用列举法表示集合，再利用交集的定义求解. 【详解】 依题意，，而， 所以. 故选：D 8．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据并集定义计算求解. 【详解】 集合，，则. 故选：D. 9．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）已知全集，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 解出集合，利用补集的定义可得出集合. 【详解】 因为全集，，故. 故选：C. 10．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据给定条件，利用并集的定义直接求解. 【详解】 由集合，，得. 故选：D 11．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）已知集合，，则中元素个数为（     ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【分析】 根据补集的定义即可求出． 【详解】 因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 12．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）设集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据集合交集的定义进行求解即可. 【详解】 因为， 所以， 故选：B 13．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中）已知集合A，B，定义集合且.若，则集合（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求出集合,,再由定义求出集合. 【详解】 易得 且. 故选：B 14．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由交集运算即可求解. 【详解】 ，， 则， 故选：A 15．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）（多选）下列集合表示图中阴影部分的为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 根据韦恩图及集合的交并补的意义判断即可. 【详解】 由题意可知阴影部分表示在集合中且不是集合中的元素， 所以阴影部分表示，故B正确； 对于A，因为中含有集合中的元素，与题意不符，故A错误； 对于C，因为表示在集合中且不是集合中的元素，与题意相符，故C正确； 对于D，因为表示在集合中且不是集合中的元素，与题意相符，故D正确. 故选：BCD. 16．（25-26学年高一上·浙江宁波·期中）已知集合，，则下列正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先求出集合，再利用元素和集合的关系，子集的定义，交集、并集的运算求解. 【详解】 ，，，故选项A错误； ，，故选项B正确； ，故选项C错误； ，故选项D错误. 故选：B. 17．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）定义集合运算⊕，A，，，表示集合A中元素的个数，则以下说法不正确的是（     ） A. 若，，则 B. 若，则的值可能为4 C.  D.  【答案】D 【分析】 根据集合B只有一个元素，分析集合A只有2个元素，设，可得，根据条件，分析计算，可求得集合A，即可判断A的正误；设，根据条件，计算可得的最大值为8，当有部分元素重合时，举例分析，可得，即可判断B的正误；根据所给定义，分析可得，，即可判断C的正误；举例时，计算可得，，即可判断D的正误. 【详解】 选项A：因为，只有一个元素，则集合A中只有2个元素， 所以设，则， 因为， 不妨设，则，所以， 所以，解得， 同理，若，则，所以，解得， 综上，故A正确； 选项B：由题意，设， 所以中最多有4个元素，（c，d，e，f均不相同时）， 此时 当与没有共同元素时， ， 当与有部分重复元素时，， 例如时， ，， 此时，则， 所以的值可能为4，故B正确； 选项C：，当A与B没有交集时取等号， 因为a有种取法，b有种取法， 所以， 因为， 所以，故C正确； 选项D：当时，， ， 所以，则，， 所以， 此时，故D错误. 故选：D 18．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）已知集合，. （1）求，； （2）设集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1），或     （2）      【分析】 （1）先求出集合，再根据交集、补集、并集的定义求解即可； （2）由得，进而分、两种情况讨论求解即可. (1) 小问详解： 依题意得：， 或， 所以. 而或，故或. (2) 小问详解： 因为集合，且，所以. ① 若，则，解得； ② 若，则需使 ，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 19．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）已知集合，，． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用补集和交集的定义可得出集合； （2）求出集合，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. (1) 小问详解： 因为，，所以， 因此. (2) 小问详解： 因为，，所以， 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得， 因为，画出数轴图，    可得 ，解得． 综上，实数的取值范围是． 20．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）设全集为，或，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）根据集合的交并补的定义即可求解， （2）根据子集关系即可求解. (1) 小问详解： 由于或，， 故，， ， (2) 小问详解： ∵，∴ 21．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）设全集，已知集合，集合． （1）若，求、； （2）若，求出的取值范围． 【答案】（1），或     （2）      【分析】 （1）先求出集合，再利用并集的概念和运算法则计算求出，利用补集的概念和运算法则求出； （2）利用集合间的关系，求出当时的范围，再求其否定即可得解. (1) 小问详解： ，， 集合， 集合， ， ， 或． (2) 小问详解： 集合，集合， 若，则，解得；若，则 ， 因此当时，，所以当时，的取值范围是. 22．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）已知集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）分别求两个集合，再求集合的运算； （2）分和两种情况，根据，列式求的取值范围. (1) 小问详解： ，若，则， 所以， 或. (2) 小问详解： 因为 当时，，解得 当时， ， 解得 所以实数的取值范围. 23．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）已知．    （1）若，求图中阴影部分表示的集合； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）先求解分式不等式和一元二次不等式，再根据图形表示阴影部分，计算即得； （2）由题意，易得是的真子集，根据参数分类考虑得到关于的不等式，求并集即得其取值范围. (1) 小问详解： 由可得，即，且 因此 又， 当时， 或，则， 由图知，阴影部分表示. (2) 小问详解： 由题意可得是的真子集，由（1）可得， ① 若，此时，满足是的真子集； ② 若，则或， 要使是的真子集，只需故 ； ③ 若，则或，此时显然是的真子集. 综上，可得的取值范围为. 24．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）设，，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或     （2）      【分析】 （1）解不等式求得，进而利用交集的意义求得，利用补集的意义求得，利用并集的意义求得； （2）令，由题意可得 ，求解即可. (1) 小问详解： 由，得，解得，所以， 又，所以， 或，或. (2) 小问详解： 由可得， 令，所以 ，解得， 所以实数的取值范围为. 25．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）设全集，集合，. （1）当时，求： （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求得集合A，当时，求得集合B，根据交集运算的概念，即可得答案. （2）先求得，由条件可得，分别讨论和两种情况，根据包含关系，列出不等式，求解即可得答案. (1) 小问详解： 由，解得或， 所以集合或， 当时，集合， 则． (2) 小问详解： 由（1）得， 由，可得， ①当时，需满足，解得，此时满足， ②，需满足 ，解得. 综上，. 26．（25-26学年高一上·浙江温州十校联·期中）已知集合，， （1）当时，求，； （2）若“”是“”成立的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）当时，解不等式求出集合，再求、； （2）根据充分条件的定义可得集合是集合的子集，分、两种情况讨论，由此可构造不等式组求得结果. (1) 小问详解： 当时，， 所以，，或， 求； (2) 小问详解： ， 若“”是“”成立的充分条件，则， 若，则，解得，满足； 若，则 ，解得， 综上，实数的取值范围为. 27．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）已知集合，或. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；     （2）.      【分析】 （1）先求出集合，再求； （2）先求出，假设，分类讨论，列不等式即可求出实数的取值范围. (1) 小问详解： 当时，，而或， 所以或； (2) 小问详解： 因为或，所以， 若， 当时，此时有，解得， 当时，要使，只需 ，解得， 综上：，则，要使得，则， 即实数的取值范围. 28．（25-26学年高一上·浙江宁波六校·期中）已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由是的充分不必要条件，可得是的真子集，再根据集合的包含关系列出不等式，即可得解. (1) 小问详解： 因为，所以， 当时，， 则，解得； 当时， 则 ，解得， 综上所述，实数的取值范围为. (2) 小问详解： 因为是的充分不必要条件， 所以是的真子集， 所以 ，（不同时取等号），解得. 所以实数的取值范围. 29．（25-26学年高一上·浙江台金七校·期中）对于给定的非空数集，定义集合，当时，称具有孪生性质. （1）若集合，求集合和并判断是否具有孪生性质； （2）若集合，且，求证：； （3）若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】（1），，具有孪生性质.     （2） 由集合， 得集合的元素在中产生， 且， 而，则中最大元素属于， 而为4个元素中的最大者，于是，即， 则构成的元素为，且与0或或重复， 又，所以，即.     （3）1350.      【分析】 （1）根据集合定义计算即可. （2）根据集合定义计算结合集合相等即可得出得证. （3）根据集合定义先求出的最大值，再根据孪生性质证明即可. (1) 小问详解： 由集合，得，因此， 又，所以. 因为，所以具有孪生性质. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 依题意，， 设满足题意，其中， 由， 得：， 由，得：， 由，得， 而中最小的元素为0，最大的元素为， 因此，即，解得， . 则，满足， 所以具有孪生性质.        所以集合中元素的个数的最大值是1350. 30．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）对于正整数集合，定义：若任意去掉个元素后，剩余的所有元素组成的集合都能划分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“-强可分集合”． （1）判断集合是否为“2-强可分集合”，并说明理由； （2）求证：集合一定不是“2-强可分集合”； （3）若集合是“1-强可分集合”． ①证明：为奇数； ②求集合中元素个数的最小值． 【答案】（1）不是“2-强可分集合”，理由如下： 因为，若去掉2和10， 则剩余元素之和为，故划分成的两个集合的元素之和应均为， 但是该集合的元素都是偶数，不管如何分割，元素之和不能为奇数， 所以不是“2-强可分集合”.     （2） 不妨设， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有，或者； 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③ ，或者④. 由① 、③ ，得，矛盾；由① 、④ ，得，矛盾； 由② 、③ ，得，矛盾；由② 、④ ，得，矛盾． 因此当时，集合一定不是“2-强可分集合”.     （3） ① 设集合所有元素之和为． 由题可知，均为偶数， 因此均为奇数或偶数． 如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数． 如果为偶数，则均为偶数，此时设，则也是“1-强可分集合”．重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“1-强可分集合”． 此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数． 综上所述，集合中元素个数为奇数. ②7.      【分析】 （1）根据强可分集合分析求解即可； （2）根据强可分集合分析求解即可； （3）根据强可分集合分析求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ① 略 ② 当时，显然任意集合不是“1-强可分集合”． 当时，设，不妨设， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有① ，或者② ； 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③ ，或者④ ． 由① 、③ ，得，矛盾；由① 、④ ，得，矛盾； 由② 、③ ，得，矛盾；由② 、④ ，得，矛盾． 因此当时，集合一定不是“1-强可分集合”； 当时，集合， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为24， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为23， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为22， 当移除7时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为21， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为20， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为19， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为18， 则集合是“-强可分集合”． 所以集合A中元素个数的最小值是7． 31．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称具有孪生性质. （1）若集合，求集合，； （2）若集合，，且，求的值并证明：； （3）若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】（1），     （2），证明：由于集合，， 则集合的元素在0，，，中产生， 且，， 而，故中最大元素属于，而为4个元素中的最大者， 故，即， 故，故中的3个元素为0，，，所以只能与0或或重合， 而，故即.     （3）1350      【分析】 （1）根据题目所给新定义，写出集合即可； （2）根据题目所给新定义，以及题干所给元素大小关系，求出元素差的大小关系，在根据条件列出方程，求出结果即可； （3）根据题目所给新定义，判断集合中元素满足的性质，分别讨论元素满足的条件，列出集合中元素个数满足的不等式，求出结果即可. (1) 小问详解： 因为集合，所以由，，，可得； ，，，可得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设满足题意，设， 则， ，又，， ，，即， ， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ，即， . 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即，故的最小值为675， 于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合C中元素的个数的最大值是1350. 考点04 充分条件与必要条件 1．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）“”是“”的（       ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】 解不等式，再根据结果判断命题条件. 【详解】 由题可知，，解得或， 所以“”是“”的必要非充分条件， 故选：B. 2．（25-26学年高一上·浙江温州十校联·期中）“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”出自《论语·雍也》，意思是：对于学习，了解怎么学习的人，不如喜爱学习的人；喜爱学习的人，又不如以学习为乐的人.设命题：“一个人以学习为乐”，命题：“一个人喜爱学习”，则是的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据充分、必要条件的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】 根据题意， 若命题（一个人以学习为乐）成立，则命题（一个人喜爱学习）一定成立，即； 但命题成立时，命题不一定成立（喜爱学习的人未必以学习为乐），即. 因此，是的充分不必要条件. 故选A. 3．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）设，则“且”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据不等式的性质及充分不必要的定义判断即可. 【详解】 且，则， 但，不能推出且， 例如：，满足，但. 故选：. 4．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）设x，，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】根据充分条件和必要条件的定义即可判断，进而可得正确选项. 【详解】 若可以得出，但得不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 5．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据两个命题的关系，得到两集合的包含关系，列不等式求解即可. 【详解】 依题意知：，， 因为是的必要不充分条件， 所以⫋，所以，解得. 故选：C 6．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）设，则“”是“集合”的（       ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 利用集合相等及充分条件、必要条件的定义分析选项即可. 【详解】 显然，此时，但时才有， 则充分性不成立； 若，易知，所以，所以且， 则必要性成立. 故选：C 7．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）关于的不等式“”是“”成立的（     ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 先解分式不等式，再根据必要不充分条件的判定判断即可． 【详解】 由，即， 即，解得， 所以“”是“”成立的必要不充分条件． 故选：C． 8．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 解分式不等式求的解，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】 由或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 9．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）（多选）下面命题正确的是（     ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“若，则”的否定是“存在，” C. 设，，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【分析】 根据充分性和必要性的定义判断即可. 【详解】 对选项A，“”“”，充分性满足， 而当时，可得或，故必要性不满足， 故“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对选项B，命题“若，则”的否定是“存在，使得，故B错误； 对选项C，当“且”成立，则“”成立，充分性满足， 但“”成立时，“且”不一定成立，如：，，必要性不满足， 则“且”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对选项D，由且，故“”是“”的必要不充分条件，故 D正确． 故选：AD. 10．（25-26学年高一上·浙江五湖联盟·期中）（多选）下列各结论中正确的是（     ） A. “”是“”的充要条件 B. 的最小值为2 C. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【分析】 利用充分条件、必要条件的定义判断A、D，根据对勾函数的性质判断B，根据二次函数的性质判断C. 【详解】 对于A：若，则 或 ，此时均有，故充分性成立； 若，则 或 ，此时均有，故必要性成立； 所以“”是“”的充要条件，故A正确； 对于B：令，则， 又对勾函数在上单调递增， 所以当时取最小值， 所以的最小值，当且仅当时取得，故B错误； 对于C：若函数在区间上单调递减，所以， 解得， 即实数的取值范围是，故C正确； 对于D：若，解得且， 所以由推不出，即充分性不成立； 由能推出，即必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ACD 11．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）已知函数的定义域是D，则“的最小值是m”是“对任意，”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据函数最值的特点可判断充分性，利用特殊函数，可判断必要性. 【详解】 已知函数的定义域是D，若的最小值是m，则对任意，是真命题； 若对任意，成立，例，其定义域为R，对任意，恒成立，但不是的最小值. 所以，”若对任意，，则的最小值是m“是假命题. 所以“的最小值是m”是“对任意，”的充分不必要条件. 故选：A. 12．（25-26学年高一上·浙江宁波·期中）已知集合且，集合. （1）若，为自然数集，写出的所有子集； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1），，，     （2）      【分析】 （1）解不等式求出集合，再根据交集的定义求出，从而写出其子集； （2）首先求出集合，解分式不等式求出集合，即可求出，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可. (1) 小问详解： 当时不等式，即，即， 解得，所以， 又为自然数集，所以， 则的子集有，，，； (2) 小问详解： 由，即，解得， 所以且， 由，等价于，解得或， 所以或， 所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以，所以 ，解得， 所以的取值范围为. 13．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中）已知集合或. （1）若，求及； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或，或     （2）或      【分析】 （1）把代入，利用补集、并集、交集的定义求解. （2）利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系，按是否为实数集分类求解. (1) 小问详解： 当时，或，由，得或， 所以或，或. (2) 小问详解： 由是的充分不必要条件，得是的真子集， 当时，，解得，满足是的真子集，因此； 当时， 或 ，解得或， 所以实数的取值范围为或. 14．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）已知集合，，全集. （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由补集与交集运算直接解出答案； （2）原命题等价于，讨论与，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. (1) 小问详解： 当时，， 或， 所以. (2) 小问详解： 因为“”是“”的充分条件， 所以， ① 当时，，满足题意； ② 当时： ； 综上所述：实数的取值范围为. 考点05 全称量词与存在量词 1．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）命题“，”的否定是（        ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 根据全称命题的否定的结构形式可得正确的选项. 【详解】 命题“，”的否定为：，”， 故选：C. 2．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）命题“”的否定是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据存在量词命题的否定形式，判断选项. 【详解】 存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“”的否定是“”. 故选：C 3．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）命题“，”的否定为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 由特称命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】 由特称命题的否定是全称命题，则原命题的否定为，. 故选：C 4．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 依据全称命题的否定规则，将量词替换并否定结论. 【详解】 全称命题的否定是特称命题，需将全称量词“∀”换为存在量词“∃”， 并对结论“”取否定“”，变量范围“”保持不变. 所以命题“，”的否定是：，. 故选：B 5．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）设命题，则为（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由特称命题否定的定义求解即可. 【详解】 由特称命题否定的定义知，为 故选：A 6．（25-26学年高一上·浙江宁波·期中）命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】 命题“，”为存在量词命题， 其否定为：，. 故选：C 7．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）命题“，”的否定是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 利用存在量词命题的否定可得出结论. 【详解】 命题“，”为存在量词命题， 该命题的否定为“，”. 故选：D. 8．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）命题“，”的否定形式为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 根据全称量词命题的否定的定义，分析即可得答案. 【详解】 命题“，”的否定是，. 故选：B 9．（25-26学年高一上·浙江温州十校联·期中）若命题： ，.则命题的否定为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 根据存在量词命题的否定为存在量词命题确定正确答案. 【详解】 原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题，的否定为，， 故选：C 10．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 利用全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】 命题“，”为全称量词命题， 该命题的否定为：，. 故选：D. 11．（25-26学年高一上·浙江宁波六校·期中）已知命题：，，则命题的否定为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 根据全称命题的否定即可得到答案. 【详解】 根据全称命题的否定得到命题的否定为， . 故选：C. 12．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）下列命题是全称量词命题的是（       ） A. 有一个偶数是素数 B. 至少存在一个奇数能被整除 C. 有些三角形是直角三角形 D. 每个四边形的内角和都是 【答案】D 【详解】直接根据全称命题的概念即可得结果. 【详解】 因为“有一个”，“至少存在一个”，“有些”均为存在量词，即ABC不合题意； “每个”是全称量词，即D符合题意. 故选：D 13．（25-26学年高一上·浙江台金七校·期中）命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 根据命题的否定的定义判断. 【详解】 存在量词命题的否定是全称量词命题，命题“，”的否定是，. 故选：C. 14．（25-26学年高一上·浙江五湖联盟·期中）已知命题：，，则命题的否定为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【分析】 根据全称量词命题的否定方法求命题的否定即可. 【详解】 因为全称量词命题的否定需通过改变量词，否定结论得到， 所以命题：，的否定为，， 故选：A. 15．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）命题“，”的否定是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【分析】 根据全称量词命题的否定判断求解. 【详解】 命题“，”的否定是，. 故选：A. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 考点01 集合的概念 考点02 集合间的基本关系 考点03 集合的基本运算 考点04 充分条件与必要条件 考点05 全称量词与存在量词 考点01 集合的概念 1．C 2．C 3．A 4．D 考点02 集合间的基本关系 1．ACD 2．【答案】7 【分析】 若集合有n个元素，则集合的真子集的个数为. 【详解】 集合有3个元素，则真子集的个数为个， 故答案为：7. 3．【答案】0 【分析】 根据集合相等计算求参. 【详解】 集合，，因为，所以， 则. 故答案为：0. 考点03 集合的基本运算 1．B 2．D 3．A 4．B 5．B 6．B 7．D 8．D 9．C 10．D 11．C 12．B 13．B 14．A 15．BCD 16．B 17．D 18．【答案】（1），或     （2）      【分析】 （1）先求出集合，再根据交集、补集、并集的定义求解即可； （2）由得，进而分、两种情况讨论求解即可. (1) 小问详解： 依题意得：， 或， 所以. 而或，故或. (2) 小问详解： 因为集合，且，所以. ① 若，则，解得； ② 若，则需使 ，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 19．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用补集和交集的定义可得出集合； （2）求出集合，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. (1) 小问详解： 因为，，所以， 因此. (2) 小问详解： 因为，，所以， 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得， 因为，画出数轴图，    可得 ，解得． 综上，实数的取值范围是． 20．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）根据集合的交并补的定义即可求解， （2）根据子集关系即可求解. (1) 小问详解： 由于或，， 故，， ， (2) 小问详解： ∵，∴ 21．【答案】（1），或     （2）      【分析】 （1）先求出集合，再利用并集的概念和运算法则计算求出，利用补集的概念和运算法则求出； （2）利用集合间的关系，求出当时的范围，再求其否定即可得解. (1) 小问详解： ，， 集合， 集合， ， ， 或． (2) 小问详解： 集合，集合， 若，则，解得；若，则 ， 因此当时，，所以当时，的取值范围是. 22．【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）分别求两个集合，再求集合的运算； （2）分和两种情况，根据，列式求的取值范围. (1) 小问详解： ，若，则， 所以， 或. (2) 小问详解： 因为 当时，，解得 当时， ， 解得 所以实数的取值范围. 23．【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）先求解分式不等式和一元二次不等式，再根据图形表示阴影部分，计算即得； （2）由题意，易得是的真子集，根据参数分类考虑得到关于的不等式，求并集即得其取值范围. (1) 小问详解： 由可得，即，且 因此 又， 当时， 或，则， 由图知，阴影部分表示. (2) 小问详解： 由题意可得是的真子集，由（1）可得， ① 若，此时，满足是的真子集； ② 若，则或， 要使是的真子集，只需故 ； ③ 若，则或，此时显然是的真子集. 综上，可得的取值范围为. 24．【答案】（1），或     （2）      【分析】 （1）解不等式求得，进而利用交集的意义求得，利用补集的意义求得，利用并集的意义求得； （2）令，由题意可得 ，求解即可. (1) 小问详解： 由，得，解得，所以， 又，所以， 或，或. (2) 小问详解： 由可得， 令，所以 ，解得， 所以实数的取值范围为. 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求得集合A，当时，求得集合B，根据交集运算的概念，即可得答案. （2）先求得，由条件可得，分别讨论和两种情况，根据包含关系，列出不等式，求解即可得答案. (1) 小问详解： 由，解得或， 所以集合或， 当时，集合， 则． (2) 小问详解： 由（1）得， 由，可得， ①当时，需满足，解得，此时满足， ②，需满足 ，解得. 综上，. 26．【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）当时，解不等式求出集合，再求、； （2）根据充分条件的定义可得集合是集合的子集，分、两种情况讨论，由此可构造不等式组求得结果. (1) 小问详解： 当时，， 所以，，或， 求； (2) 小问详解： ， 若“”是“”成立的充分条件，则， 若，则，解得，满足； 若，则 ，解得， 综上，实数的取值范围为. 27．【答案】（1）或；     （2）.      【分析】 （1）先求出集合，再求； （2）先求出，假设，分类讨论，列不等式即可求出实数的取值范围. (1) 小问详解： 当时，，而或， 所以或； (2) 小问详解： 因为或，所以， 若， 当时，此时有，解得， 当时，要使，只需 ，解得， 综上：，则，要使得，则， 即实数的取值范围. 28．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由是的充分不必要条件，可得是的真子集，再根据集合的包含关系列出不等式，即可得解. (1) 小问详解： 因为，所以， 当时，， 则，解得； 当时， 则 ，解得， 综上所述，实数的取值范围为. (2) 小问详解： 因为是的充分不必要条件， 所以是的真子集， 所以 ，（不同时取等号），解得. 所以实数的取值范围. 29．【答案】（1），，具有孪生性质.     （2） 由集合， 得集合的元素在中产生， 且， 而，则中最大元素属于， 而为4个元素中的最大者，于是，即， 则构成的元素为，且与0或或重复， 又，所以，即.     （3）1350.      【分析】 （1）根据集合定义计算即可. （2）根据集合定义计算结合集合相等即可得出得证. （3）根据集合定义先求出的最大值，再根据孪生性质证明即可. (1) 小问详解： 由集合，得，因此， 又，所以. 因为，所以具有孪生性质. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 依题意，， 设满足题意，其中， 由， 得：， 由，得：， 由，得， 而中最小的元素为0，最大的元素为， 因此，即，解得， . 则，满足， 所以具有孪生性质.        所以集合中元素的个数的最大值是1350. 30．【答案】（1）不是“2-强可分集合”，理由如下： 因为，若去掉2和10， 则剩余元素之和为，故划分成的两个集合的元素之和应均为， 但是该集合的元素都是偶数，不管如何分割，元素之和不能为奇数， 所以不是“2-强可分集合”.     （2） 不妨设， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有，或者； 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③ ，或者④. 由① 、③ ，得，矛盾；由① 、④ ，得，矛盾； 由② 、③ ，得，矛盾；由② 、④ ，得，矛盾． 因此当时，集合一定不是“2-强可分集合”.     （3） ① 设集合所有元素之和为． 由题可知，均为偶数， 因此均为奇数或偶数． 如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数． 如果为偶数，则均为偶数，此时设，则也是“1-强可分集合”．重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“1-强可分集合”． 此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数． 综上所述，集合中元素个数为奇数. ②7.      【分析】 （1）根据强可分集合分析求解即可； （2）根据强可分集合分析求解即可； （3）根据强可分集合分析求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ① 略 ② 当时，显然任意集合不是“1-强可分集合”． 当时，设，不妨设， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有① ，或者② ； 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③ ，或者④ ． 由① 、③ ，得，矛盾；由① 、④ ，得，矛盾； 由② 、③ ，得，矛盾；由② 、④ ，得，矛盾． 因此当时，集合一定不是“1-强可分集合”； 当时，集合， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为24， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为23， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为22， 当移除7时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为21， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为20， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为19， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为18， 则集合是“-强可分集合”． 所以集合A中元素个数的最小值是7． 31．【答案】（1），     （2），证明：由于集合，， 则集合的元素在0，，，中产生， 且，， 而，故中最大元素属于，而为4个元素中的最大者， 故，即， 故，故中的3个元素为0，，，所以只能与0或或重合， 而，故即.     （3）1350      【分析】 （1）根据题目所给新定义，写出集合即可； （2）根据题目所给新定义，以及题干所给元素大小关系，求出元素差的大小关系，在根据条件列出方程，求出结果即可； （3）根据题目所给新定义，判断集合中元素满足的性质，分别讨论元素满足的条件，列出集合中元素个数满足的不等式，求出结果即可. (1) 小问详解： 因为集合，所以由，，，可得； ，，，可得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设满足题意，设， 则， ，又，， ，，即， ， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ，即， . 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即，故的最小值为675， 于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合C中元素的个数的最大值是1350. 考点04 充分条件与必要条件 1．B 2．A 3．A 4．A 5．C 6．C 7．C 8．B 9．AD 10．ACD 11．A 12．【答案】（1），，，     （2）      【分析】 （1）解不等式求出集合，再根据交集的定义求出，从而写出其子集； （2）首先求出集合，解分式不等式求出集合，即可求出，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可. (1) 小问详解： 当时不等式，即，即， 解得，所以， 又为自然数集，所以， 则的子集有，，，； (2) 小问详解： 由，即，解得， 所以且， 由，等价于，解得或， 所以或， 所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以，所以 ，解得， 所以的取值范围为. 13．【答案】（1）或，或     （2）或      【分析】 （1）把代入，利用补集、并集、交集的定义求解. （2）利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系，按是否为实数集分类求解. (1) 小问详解： 当时，或，由，得或， 所以或，或. (2) 小问详解： 由是的充分不必要条件，得是的真子集， 当时，，解得，满足是的真子集，因此； 当时， 或 ，解得或， 所以实数的取值范围为或. 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由补集与交集运算直接解出答案； （2）原命题等价于，讨论与，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. (1) 小问详解： 当时，， 或， 所以. (2) 小问详解： 因为“”是“”的充分条件， 所以， ① 当时，，满足题意； ② 当时： ； 综上所述：实数的取值范围为. 考点05 全称量词与存在量词 1．C 2．C 3．C 4．B 5．A 6．C 7．D 8．B 9．C 10．D 11．C 12．D 13．C 14．A 15．A 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $