专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中真题汇编，浙江专用）高一数学上学期

专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）下列不等关系中成立的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 2．（25-26学年高一上·浙江五湖联盟·期中）（多选）已知，，则下列说法正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）（多选）下列命题是真命题的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）（多选）对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（       ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 5．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）下列命题是真命题的是（          ） A. 若，则. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 6．（25-26学年高一上·浙江五湖联盟·期中）给出下列命题，其中是真命题的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）（多选）若，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·浙江宁波·期中）已知命题：，命题：，则是的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）（多选）对于实数、、、，下列选项中正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 10．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）实数，满足，，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）（多选）下列命题正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 13．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）“”的一个充分条件可以是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）下列命题是真命题的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）（多选）已知正实数满足，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值为2 B. 的最大值为1 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 2．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）已知函数是幂函数，一次函数的图像过点，则的最小值是（       ） A. 3 B.  C.  D. 5 3．（25-26学年高一上·浙江宁波·期中）已知实数，，满足，则的最小值为（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）已知，则的最小值为（       ） A.  B. 2 C.  D.  5．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）（多选）已知，且，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 6．（25-26学年高一上·浙江台金七校·期中）（多选）已知正实数，满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）（多选）已知正数满足，下列说法正确的是（     ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为3 D. 的最大值为 8．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）已知正实数a，b，满足，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）已知，，，则（     ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为1 10．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中）（多选）设，且，则下列结论正确的是（       ） A. 的最小值为 B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最大值为 11．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）（多选）已知，，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）（多选）若，，且，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 13．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）下列不等式恒成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·浙江宁波六校·期中）（多选）若，则下列结论正确的有（       ） A.  B.  C. 的最小值为 D. 的最小值为 15．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）（多选）已知，，且，则下列结论正确的有（     ） A.  B. 的最小值为8 C. 的最小值是 D. 的最小值为2 16．（25-26学年高一上·浙江温州十校联·期中）已知，，，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）（1）比较代数式与的大小； （2）若，求的最小值； （3）已知正数，满足，求的最小值，此时为何值. 18．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）青岛二中为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为x m，鲜花种植的总面积S.    （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 19．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）已知，，且. （1）求的最小值； （2）已知恒成立，求实数的取值范围. 20．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）已知正实数、满足 （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最大值. 21．（25-26学年高一上·浙江宁波·期中）若，且，则的最大值是　　　　　　　　　　. 22．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中）若，则的最大值为　　　　　　　　　　　　　　. 23．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）已知，，且，则的最小值为　　　　　. 24．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为　　　　　． 25．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）已知，且，若不等式恒成立，则的最大值为　　　　　　　　　　　． 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），正确的有（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2．（25-26学年高一上·浙江台金七校·期中）已知，关于的不等式的解集为，则（       ） A. 3 B.  C. 1 D.  3．（25-26学年高一上·浙江五湖联盟·期中）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）函数的最大值为（       ） A.  B.  C. 1 D.  5．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中）不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）已知集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·浙江温州十校联·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（       ） A. 或 B.  C. 或 D.  11．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）已知一元二次方程的两个实根为和3，则（       ） A. 7 B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·浙江五湖联盟·期中）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）（多选）对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）若关于的不等式的解集为，则关于不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）已知，均为非负实数，且，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）已知关于的不等式的解集是． （1）解不等式； （2）为何值时，的解集为． 17．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）已知全集，集合， （1）求，； （2）求. 18．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）设，函数. （1）若，求函数在区间上的最大值； （2）若，写出函数的单调区间（写出必要的过程，不必证明）； （3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数解，求实数的取值范围. 19．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）已知函数． （1）若，对于恒成立，求实数的取值范围； （2）若的解集为，求解． 20．（25-26学年高一上·浙江五湖联盟·期中）已知，， （1）若，求； （2）当时，求实数的取值范围. 21．（25-26学年高一上·浙江五湖联盟·期中）已知函数. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）求关于的不等式的解集； （3）若在区间上恒成立，求实数的范围. 22．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）已知函数． （1）当时，函数在区间上单调递增，求的取值范围； （2）当时，求不等式的解集． 23．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中）已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）设函数. （i）当时，解不等式； （ii）若的最小值为，求的值. 24．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为　　　　　. 25．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）已知集合， （1）当时，求； （2）若存在正实数，使得“”是“”成立的充分条件，求正实数的取值范围. 26．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）已知函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，，求关于的不等式的解集（结果用表示）； （3）若，，，求的最小值. 27．（25-26学年高一上·浙江温州十校联·期中）2024苏州足球邀请赛组委会为保障赛事后勤服务，购进一套移动餐饮服务车，用于为赛场观众和工作人员提供餐饮.该服务车初始购置费用为36万元，预计从第1年到第年（），花在该服务车上的维护费用总计为万元（为使用年数）.该服务车每年可为赛事提供餐饮服务，稳定获得收入24万元. （1）该服务车使用几年后开始盈利？（即总收入减去初始购置费用及维护费用之差为正值） （2）若该服务车使用若干年后，组委会计划处理该设备，有两种方案： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由. 28．（25-26学年高一上·浙江温州十校联·期中）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为　　　　　　. 29．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③． （1）求函数的解析式； （2）若，，求： ①的最小值； ②讨论关于m的方程的解的个数． 30．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）已知函数． （1）若，且，求的值域； （2）若集合，求实数的取值范围； （3）非空集合，若，求实数的取值范围． 31．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）函数，， （1）求不等式的解集； （2）若的解集中有且只有一个整数，求的取值范围； （3）若，对于恒成立，求的取值范围. 32．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）已知函数． （1）当时，求函数的值域； （2）当时，解关于的不等式； （3）设函数，且函数的图象关于直线对称，试求函数的最大值． 33．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）已知二次函数． （1）若，且在上有两个互不相同的实数根，求的取值范围； （2）若的解集为，，对于，，使得成立，求实数的取值范围； （3）若对任意，不等式恒成立，求的最大值． 34．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）已知函数，其中为常数. （1）当时，写出函数的单调递增区间； （2）当时，解不等式的解集； （3）若在上存在2025个不同的实数，且，使得，求实数的取值范围. 35．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）函数对一切实数，均有成立，且 ． （1）求的值； （2）求函数的解析式； （3）对任意的，，都有成立，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．D 2．ABC 3．AC 4．BD 5．D 6．C 7．ACD 8．A 9．AB 10．C 11．D 12．BD 13．D 14．C 考点02 基本不等式 1．ACD 2．B 3．B 4．C 5．ABD 6．ABD 7．BCD 8．D 9．D 10．ABD 11．ABD 12．ABD 13．B 14．AB 15．ABD 16．D 17．【答案】（1）；（2）5；（3）， 【分析】 （1）作差法比较两个代数式的大小； （2）利用配凑法结合基本不等式求最小值； （3）先对式子进行变形，再利用基本不等式求最小值及此时的值. 【详解】 （1）， 由于，故， 所以； （2）由于，则， 故， 当且仅当，时，等号成立， 所以时，有最小值5； （3）由于， 则， ， 当且仅当，时，取最小值. 18．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. (1) 小问详解： 设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. (2) 小问详解： 由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 19．【答案】（1）16；     （2）.      【分析】 （1）先利用基本不等式得，再结合一元二次不等式解法即可得解； （2）由基本不等式求得右边的最小值，再结合分式不等式解法即可求解. (1) 小问详解： 因为， 所以，当且仅当即时等号成立， 因为， 所以，解得即， 所以的最小值是16； (2) 小问详解： 因为，， 所以， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为9， 又恒成立， 则，化简得，解得或, 所以m的取值范围是. 20．【答案】（1）9.     （2）8     （3）6.      【分析】 （1）利用“1”的代换结合基本不等式即可求解. （2）方法一：通过“双不等式法同时取等”的方法求解；方法二：利用“平均值不等式法”求解；方法三：由变形为，利用基本不等式得到，再将变形为，利用二次函数求最值即可；方法四：由变形得，令，进而有，利用基本不等式结合二次函数求最值即可. （3）方法一：将代入得，通过二次函数求最值；方法二：由，代入消元得，再通过二次函数求最值；方法三：利用“乘1”法，将原式整理化简为，通过二次函数求最值. (1) 小问详解： 当 ,即时等号成立，有最小值9. (2) 小问详解： 方法一（双不等式法同时取等）： （当且仅当时等号成立） （当且仅当时等号成立） 所以当，时，有最小值8. 方法二（平均值不等式法:调和平均值不超过平方平均值）： （当且仅当时等号成立）， 所以当，时，有最小值8. 方法三（配完全平方法）： . ∵，当且仅当，时等号成立. ， 当时，有最小值8. 方法四（消元法）： ， 令（由得），则， 则 ，当时时等号成立，所以有最小值8. (3) 小问详解： 方法一（整体代入转化）： ， 原式， 当 时，即，时等号成立，有最大值6. 方法二（整体代入消元法）： 由， 所以 （当且仅当时等号成立）. 方法三（乘1法）： 原式. 当 时，即，时等号成立，有最大值6. 21．【答案】0 【分析】 将已知变形，从而，利用基本不等式求解即可. 【详解】 ， 又， ，， 当且仅当 ，即当 时，等号成立，则的最大值为0. 故答案为：0. 22．【答案】 【分析】 利用，可求最大值. 【详解】 当时，， 所以， 所以， 当且仅当时取等号， 所以， 当且仅当且，即时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 23．【答案】 【分析】 由题设，结合重要不等式有，注意等号成立条件，从而得到，令得，解一元二次不等式求，即可得. 【详解】 由题设，且，则， 由，当且仅当时取等号，则， 令，则，整理得， 所以（舍）或，即， 当且仅当时取等号，故的最小值为. 故答案为： 24．【答案】 【分析】 分离参数，将问题转化为对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，可设及，然后通过基本不等式求得答案. 【详解】 由题意得，，整理得． 设，则， 再设，则 ，当且仅当，即时等号成立， 此时，所以，即实数的最小值为． 故答案为：. 25．【答案】./0.5 【分析】 利用已知条件化简不等式，再用换元法构造函数，利用柯西不等式求函数最小值，从而得出的最大值． 【详解】 ，， ， 原不等式化简为， ，，， ， ，，， ， 令， 令，则，则， 则， 当时， ， 当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，即，，当且仅当， 即时等号成立，此时， ， ，故最大值为． 故答案为：． 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．B 2．A 3．D 4．D 5．C 6．C 7．C 8．B 9．C 10．B 11．C 12．C 13．AD 14．B 15．A 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用三个二次关系待定系数计算参数，再解一元二次不等式即可； （2）利用二次函数的图象与性质计算判别式即可. (1) 小问详解： 由题意知3和2是方程的两根， ，解得， 不等式 即为，解得． 所求不等式的解集为． (2) 小问详解： 由上可知，即为， 即， 若此不等式的解集为， 则 ． 17．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）利用一元二次不等式的解法把集合具体化，再根据集合的运算法则计算即可； （2）根据集合的运算法则计算即可. (1) 小问详解： 集合 集合. 所以， . (2) 小问详解： . . 18．【答案】（1）；（2）在递增，递减，递增；（3）. 【分析】 （1）当时，化简函数的解析式，作出函数的图象，即可求解； （2）求出函数的解析式，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解； （3）当时，运用函数的单调性，结合函数的最值，即可求解. 【详解】 （1）由题意，当时，函数 作出函数的图象，如图所示， 可得函数在区间上为单调递增函数， 所以当，函数取得最大值，此时最大值为. （2）由函数 ① 当时，， 因为，所以，所以函数在上单调递增； ② 当时，， 因为，所以， 所以函数在递增，递减； 综上可得，函数在递增，递减，递增. （3）由（2）知，当时，函数在，递增，递减， 当且仅当时，关于的方程有三个不相等的实数解， 即， 令，则函数在上是增函数，故， 所以， 即实数的取值范围是. 【点睛】 本题主要考查了分段函数的单调性与最值，以及函数与方程的综合应用，其中解答中分类讨论结合二次函数的性质，结合函数的单调性，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 19．【答案】（1）     （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为      【分析】 （1）根据判别式即可求解. （2）根据韦达定理，将问题转化为，讨论两个根的大小，即可由一元二次不等式解的特点求解. (1) 小问详解： 当时，得恒成立 解得 所以实数的取值范围为 (2) 小问详解： 由已知得，且方程的两根分别为，3， 则 ，即 不等式等价于，即， 又，所以 当，即时，原不等式无解； 当，即时，解得； 当，即时，解得． 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 20．【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）解一元二次不等式，化简集合，根据并集运算求解； （2）根据包含关系，分类讨论，建立不等式求解. (1) 小问详解： 由，解得，故. 当时，，则， (2) 小问详解： 当时，，即， 若时， ，解得，，. 综上所述，. 21．【答案】（1）     （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.     （3）.      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解法求解； （2）对分类讨论求解即可； （3）分离参数后得，即可得解. (1) 小问详解： 当时，， 则，所以. 即不等式的解集为. (2) 小问详解： 因为. 所以① 当时，不等式的解集为； ② 当时，不等式的解集为； ③ 当时，不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. (3) 小问详解： 由在区间上恒成立得在区间上恒成立 等价于在区间上恒成立. 因为，所以 则在区间上恒成立. 即，所以的取值范围是. 22．【答案】（1）     （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为．      【分析】 （1）根据二次函数的性质得到，解得即可； （2）分、两大类，当时，再分、、、四种情况讨论，分别求出不等式的解集. (1) 小问详解： 当时， 又在区间上单调递增，所以，解得， 即的取值范围为； (2) 小问详解： 当时，则，则， 对于，即，解得； 当时，，则， 令，解得或， 当时，，则，解得或； 当时不等式化为． 当 ，即时，解得， 当，即时，解得， 当 ，即时，解得， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 23．【答案】（1）     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）首先设，再根据，求解即可. （2）（i）根据题意，利用换元法求解不等式即可；（ii）首先，得到函数，再分类讨论结合最小值求解即可. (1) 小问详解： 设，则， 依题意 ， 又. (2) 小问详解： 由（1）得. （i）当时，，设， ，即（舍）或， 所以或， 即的解集为. （ii），当且仅当时，等号成立，设， 当时，在上单调递增， （舍）， 当时，在[2，m]上单调递减，在上单调递增， 或（舍）， 综上所述，. 24．【答案】 【分析】 根据函数当时，恒成立得出根的情况，进而列不等式计算求解. 【详解】 因为函数，，且当时，恒成立， 则有一个根是3，且另外一个根是非正数， 所以 ，即得 ， 所以. 故答案为：. 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先解分式不等式及一元二次不等式，再应用交集定义计算求解； （2）应用充分条件的定义得出，再列式计算求解. (1) 小问详解： 当时，， (2) 小问详解： 是的充分条件且， 因为，所以 所以 所以. 26．【答案】（1）5     （2） 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为; 当时，不等式的解集为.     （3）      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解集，代入计算求参； （2）根据，分类讨论求解一元二次不等式； （3）应用常值代换结合基本不等式计算求解最小值. (1) 小问详解： ， ， ，. (2) 小问详解： ， ，. 而的两个根为1，， ① 当时，不等式解集为； ② 当时，不等式解集为 ③ 当时，不等式的解集为. (3) 小问详解： ，，. ， 当时取等号，又因为，解得 ， 综上所述，当，时，的最小值为. 27．【答案】（1）3年     （2） 该车运输若干年后，处理方案有两种： ① 当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出， ，当且仅当时，取等号， 方案① 最后的利润为：（万） ② 当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出， ， 时，利润最大为， 方案② 最后的利润为（万）， 两个方案的利润都是53万，按照时间成本来看， 第一个方案更好，因为用时更短，方案① 较为合算.      【分析】 （1）根据盈利列不等式，由此求得开始盈利的年份. （2）① 利用基本不等式进行求解，并求得最后的利润；② 利用二次函数的性质进行求解，并求得最后的利润.比较两个方案最后的利润，从而选择合算的方案. (1) 小问详解： 由题意可得，即， 解得， ，该车运输3年后开始盈利； (2) 小问详解： 略 28．【答案】 【分析】 根据一元二次不等式恒成立问题，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】 当时，不等式化为 < 0，此时对一切实数都成立； 当时，此时不等式为含参数二次不等式， 想要保证该不等式小于0对一切实数都成立， 则应满足： ，解得：， 综上，的取值范围为：. 故答案为：. 29．【答案】（1）     （2）① ； ② 当时，方程无解；当时，方程有4个解；当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解.      【分析】 （1）由得，对称轴为，然后设，利用另外两个条件列出方程组求解即得； （2）① 根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论研究最小值； ② 根据① 中求得的函数的解析式，分析各段上的函数值的正负，从而得到函数的解析式，画出函数的图象，利用数形结合方法讨论方程的实数根的个数. (1) 小问详解： （1）由得，对称轴为， 设， ∴ ，得 ， ∴． (2) 小问详解： （2）①，，对称轴， ⅰ当即时，在单调递增， ， ⅱ即时，在单调递减，在单调递增， ∴， ⅲ当即时，在单调递减， ， 综上： ② 画出函数的图象图下图所示：    利用图象的翻转变换得到函数的图象如图所示：    方程的根的个数为函数的图象与直线的交点个数，由图象可知： 当时，方程无解；当时，方程有4个解；当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解. 30．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）根据题意，代值得参数的值，由二次函数的性质，从而求出的值域； （2）对于嵌套函数，先讨论不同范围下，外函数小于0时的解，在谈论内函数的最小值不在此范围内即可求解； （3）将A、B集合化简，分别得和，若两集合相等，则方程无解或者与同解，分类讨论即可. (1) 小问详解： ， ， ， 当时，取最小值，当时，取最大值6， ； (2) 小问详解： 由得， ， 当时，恒成立，显然成立； 当时，设，由得， 由得，故； 当时，由得， 由得，故； 综上所述，； (3) 小问详解： 由得， 由得，即 ， 记， ， ， 得或， 又， 方程无解或者与同解， 当时，； 当时，的解为，代入， 检验得，符合； 当时，； 综上所述，或. 31．【答案】（1） 当时，无解； 当时，； 当时，.     （2）      （3）       【分析】 （1）根据二次不等式的解法，对原式进行因式分解，对参数进行分类讨论，求出结果即可； （2）根据不等式，构造函数，判断函数解集中满足条件的整数解，进而列出不等式组，求出参数范围； （3）根据二次函数图像的性质，对参数进行分类讨论，根据恒成立条件，列出不等式组，求出参数范围. (1) 小问详解： 由题意得，解得或， 当时，，此时无解； 当时，； 当时，. (2) 小问详解： 由题意得，令， 可知，当时，，解得无整数根（舍）； 当时，，说明唯一的整数根为0， 则 ，即 ，解得， 得的取值范围为. (3) 小问详解： 由已知得， 令，其中恒成立， 令，解得或， 可知 ， 当时， 当时，在上单调递增，最大值为成立； 当时，此时在递减，递增； 可得 ，即 ，解得； 当，即时，在递增，递减，递增， 可得 ，即 ，解得； 当时，即时，在递减，递增，递减，递增； 可得 ，即 ，此时无解； 综上所述：的取值范围为. 32．【答案】（1）     （2）当或时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式解集为；     （3）      【分析】 （1）对二次函数配方，得到顶点式即可求解； （2）当，再分、、三种情况讨论二次不等式的解集即可； （3）根据对称性得到，解法一：利用换元法变成可配对使用平方差公式整理得到后使用基本不等式求解；解法二：直接配对结合后根据利用基本不等式求解． (1) 小问详解： ， 则，所以函数的值域是； (2) 小问详解： 由题可知，． ① 当，即或时，或； ② 当，，当时，，当时，； ③ 当，即时，． 综上，当或时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； (3) 小问详解： ，易知，是的两根， 由函数的图象关于直线对称，可知、也是的两根， 故， 解法一：令， 则， 当且仅当，即时取等． 解法二：， 当且仅当，即时取等． 33．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据二次函数根的分布列不等式组求解即可； （2）根据不等式得解 ，则，由题意，按照、和分类讨论，利用最小值列不等式求解即可； （3）根据二次型恒成立求得，求得，令，，按照和分类讨论，即可求解最大值． (1) 小问详解： ，则， 因为在上有两个互不相同的实数根， 所以 ，解得． (2) 小问详解： 由的解集为，则 ，即 ， 故， 令，，且，， 要使，总，使得成立， 所以，只需，而的对称轴为， ① 当，即时，只需，即， ② 当，即时，只需，即，不符合条件， ③ 当，即时，只需，即，不符合条件， 综上，． (3) 小问详解： 若对任意，不等式恒成立， 整理得恒成立，显然， 所以 ，则， 所以． 令，因为，所以， 若时，此时． 若时，， 当且仅当时，即时，上式取得等号， 综上：的最大值为． 34．【答案】（1）和     （2）     （3）      【分析】 （1）根据二次函数的图象与性质直接写出函数的单调递增区间即可； （2）分区间讨论去掉绝对值号，解一元二次不等式即可； （3）分类讨论，根据二次函数的单调性及函数的最大值、最小值的分析即可求解. (1) 小问详解： 当时， ， 由二次函数的图象与性质可得：函数的单调递增区间为和. (2) 小问详解： 当时， ， 当时，，即，解得，所以； 当时，，即，解得. 综上，当时，解不等式的解集为. (3) 小问详解： ， ① 当时，时，， 由二次函数的图象与性质可得：函数在上单调递增， 所以， 令，解得； ② 当时，时，， 由二次函数的图象与性质可得：函数在上单调递增， 所以， 令，解得； ③ 当时， ， 由二次函数的图象与性质可得：函数在和上单调递增，在上单调递减，所以， 不妨设，其中， 则，不满足条件； ④ 当时，时，， 由二次函数的图象与性质可得：函数在上单调递增，在上单调递减， 不妨设，其中， 所以 ，不满足条件. 综上，实数的取值范围为. 35．【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（Ⅰ）由，取，进而可求解的值； （Ⅱ）由，令，，再由（1），即可求解函数的解析式； （Ⅲ）由题意可得，要使任意都有成立，转化为，分类讨论即可求解． 【详解】（1）因为 取 得 又∵   ∴ （2）因为 令 由（1）知 ∴ 即. （3）∵，    ∴在上单调递增， ∴ 要使任意，都有成立， 当 ，显然不成立. 当 ∴ 综上所述,实数的取值范围是 【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中根据题意合理赋值，以及把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）下列不等关系中成立的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【分析】 举反例可以判断项；根据作差法可以判断项. 【详解】 若，不妨设，，则，故错误； 若，不妨设，，则，故错误； 若，，不妨设，，则，故错误； 因为， 又，所以，，所以，即，故正确. 故选： 2．（25-26学年高一上·浙江五湖联盟·期中）（多选）已知，，则下列说法正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABC 【分析】 根据不等式的性质就可以得到答案. 【详解】 对于A：两个不等式相加得,所以A正确; 对于B：因为，所以,因为，所以,所以B正确; 对于C：两个不等式相乘得,所以C正确; 对于D：因为，所以,因为，所以,所以D错误. 故选：ABC 3．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）（多选）下列命题是真命题的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【分析】 根据不等式的性质、差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】 A选项，若，由不等式的性质可知，A选项正确. B选项，若，当时，，所以B选项错误. C选项，若，则，C选项正确. D选项，若，则，D选项错误. 故选：AC 4．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）（多选）对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（       ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【详解】（1）可举反例证明不正确.（2）因为成立，则.（3）为正数，为负数时不成立.（4）因为，则，所以. 【详解】A选项：，，但是，A不正确； B选项：因为成立，则，那么，B正确； C选项：，但是，C不正确； D选项：因为，则，又，所以，D正确. 故选：BD 【点睛】此题考查不等式比较大小，一般可通过特值法证伪判错，属于简单题目. 5．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）下列命题是真命题的是（          ） A. 若，则. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】D 【分析】 举例说明判断ABC；作差推理判断D. 【详解】 对于A，取，则，，此时，A错误； 对于B，取，则，，此时，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，由，得，， 因此，即，D正确. 故选：D 6．（25-26学年高一上·浙江五湖联盟·期中）给出下列命题，其中是真命题的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 对A、B、D，通过取特殊值，即可判断正误，对C，通过作差法，即可判断正误. 【详解】 对于A，若，则，所以A错误， 对于B，取，显然有，但，所以B错误， 对于C，因为，又，则， 所以，即，所以C正确， 对于D，取，显然有，但，所以D错误， 故选：C. 7．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）（多选）若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 结合利用不等式性质判断ACD；举反例判断B. 【详解】 对于A，因为，所以，所以，即，故A正确； 对于B，时，满足，但是，故B错误； 对于C，因为，所以， 由得，即，故C正确； 对于D，因为，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 8．（25-26学年高一上·浙江宁波·期中）已知命题：，命题：，则是的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】 若，则，， 所以，所以， 即由能够推出，所以充分性成立； 当，，时，，满足， 但是不成立， 所以由推不出，即必要性不成立； 所以是的充分不必要条件. 故选：A 9．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）（多选）对于实数、、、，下列选项中正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】AB 【分析】 由不等式的性质判断AB选项，举反例说明CD选项. 【详解】 由不等式的性质可知AB正确； 对于C选项：当时，，C错误； 对于D选项：当时，，此时，D错误. 故选：AB. 10．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 利用作差法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】 由可得， 由已知且，若，则，所以，，则，矛盾. 若，则，从而，合乎题意. 综上所述，“”是“”的充要条件. 故选：C. 11．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）实数，满足，，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用不等式的性质即可求解. 【详解】 不等式性质：      . 故选：D. 12．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）（多选）下列命题正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【分析】 举特殊值可判断A；利用作差法可判断B，举特殊值可判断C；由基本不等式及不等式性质可判断D. 【详解】 对于A，因为，若， 则，故A错误； 对于B， ，因为， 所以，则，即，故B正确； 对于C，若，取， 则，故C错误； 对于D，若， 则， 即， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：BD 13．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）“”的一个充分条件可以是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据不等式的基本性质和充分条件定义，利用指数函数单调性判断选项A；利用不等式的基本性质判断选项B，D；利用赋值法判断选项C． 【详解】 单调递增，，，即，不能推出，故A错误； ，若，则，即； 若，则，即，不能推出，故B错误； ，，，， 当时满足，且， 不能推出，故C错误； ，， ，即， 能推出，故D正确． 故选：D． 14．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）下列命题是真命题的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【分析】 根据不等式的基本性质逐一判断即可. 【详解】 若，，满足，但此时，故A错误； 若，， ，则，故B错误； 若，则，故C正确； 取，，满足，但此时，故D错误； 故选：C 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）（多选）已知正实数满足，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值为2 B. 的最大值为1 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【分析】 利用基本不等式，结合条件等式进行了最值证明，从而可判断ACD，对于B则举反例说明不成立. 【详解】 由可得：， 因为，所以， 解得或，由于，所以舍去， 即，此时取等号条件是，与联立可解得：，故A正确； 由可得：， 因为，所以， 又因为，所以解得， 此时取等号条件是，与联立可解得：，故C正确； 由可得：，由，可得， 则， 此时取等号条件是，即，故D正确； 取，可得，故B错误； 故选：ACD． 2．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）已知函数是幂函数，一次函数的图像过点，则的最小值是（       ） A. 3 B.  C.  D. 5 【答案】B 【分析】 根据幂函数定义，求出点，代入一次函数中，得到，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】 由是幂函数，可得，，即，， 又由点在一次函数的图像上，所以， 因为，，所以由基本不等式，得 ， 当且仅当时取等号，即当，时，， 故选：B. 3．（25-26学年高一上·浙江宁波·期中）已知实数，，满足，则的最小值为（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【分析】 利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】 因为，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：B 4．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）已知，则的最小值为（       ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】 应用基本不等式计算求出最小值. 【详解】 因为，则， 当且仅当时，所以的最小值为. 故选：C. 5．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）（多选）已知，且，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 【答案】ABD 【分析】 利用不等式性质可判断A；根据基本不等式判断BD；结合二次函数性质判断C； 【详解】 由，得，因为，所以，解得， 又，所以，故A正确； 因为，故，所以，所以， 当且仅当时取等号，故B正确； 由，得，所以， 当时，取最小值，最小值是，故C错误； ， 当且仅当时，结合，即取时等号，故D正确. 故选：ABD. 6．（25-26学年高一上·浙江台金七校·期中）（多选）已知正实数，满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 利用基本不等式判断ABC，利用不等式的性质判断D. 【详解】 由得. 对于A项，，所以，当且仅当时等号成立，A项正确； 对于B项，，解得， 当且仅当时等号成立，B项正确； 对于C项，由，得，C项错误； 对于D项，由，得，所以， 所以，D项正确. 故选：ABD. 7．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）（多选）已知正数满足，下列说法正确的是（     ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为3 D. 的最大值为 【答案】BCD 【分析】 根据基本不等式，即可判断A，利用“1”的变换，结合基本不等式判断B、C，先计算，再根据A的结果判断D. 【详解】 对于A，，，当时等号成立，所以的最大值为，故A错误； 对于B，，当，即时等号成立， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，，当，即时等号成立， 所以的最小值为3，故C正确； 对于D，，当时等号成立， 所以的最大值为，故D正确. 故选：BCD 8．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）已知正实数a，b，满足，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 令，则，再代入已知，可得关于的一元二次方程有正实数根，再根据求解即可. 【详解】 令，则， 则， 由题意知关于的一元二次方程有正实数根， 因为，， 所以，解得， 即. 所以的取值范围是. 故选：D 9．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）已知，，，则（     ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为1 【答案】D 【分析】 根据可判断AB，令，，得到，再根据即可判断CD． 【详解】 解：（当且仅当时取等）， 令，则，则，所以； 令，， 则， （当且仅当，即，时取等）． 故选：D． 10．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中）（多选）设，且，则下列结论正确的是（       ） A. 的最小值为 B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【分析】 利用基本不等式求解最值判断ABC，结合换元法利用二次函数性质求解最值判断D. 【详解】 对于A，因为，且， 所以， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，因为，且，所以， 当且仅当即时取等号，故C错误； 对于D， ， 由A可知，记， 因为函数在上单调递减， 所以， 即的最大值为，故D正确. 故选：ABD 11．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）（多选）已知，，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 对于A：分析可知，运算求解即可；对于B：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可；对于CD：利用基本不等式直接运算求解即可. 【详解】 因为，，且， 对于选项A：因为，则，解得，故A正确； 对于选项B：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故B正确； 对于选项C：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 即，可得，所以，故C错误； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故D正确； 故选：ABD. 12．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）（多选）若，，且，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【分析】 根据题干等式，以及基本不等式的性质，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】 对A，由可得，化简得，解得，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，所以A正确； 对B，可知， 即，当且仅当，即时等号成立，所以B正确； 对C，因为，可知，所以C错误； 对D，因为，又因为，所以， 即，当且仅当，即时等号成立，所以D正确； 故选：ABD. 13．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）下列不等式恒成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【详解】 当时，不等式显然不成立，故选项A错误； 因为，故选项B正确； ，不等式显然不成立，故选项C错误； 不等式成立的条件为，，故选项D错误. 故选：B. 14．（25-26学年高一上·浙江宁波六校·期中）（多选）若，则下列结论正确的有（       ） A.  B.  C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【分析】 对于A：利用基本不等式，结合已知条件求解的取值范围；对于B：利用不等式可判断；对于C：变形，然后利用基本不等式求解其最小值；对于D：令，且，于是，然后利用基本不等式求解其最小值． 【详解】 因为，所以有． 对于A：因为， 所以，可得， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B：因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C：因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，故C错误； 对于D：令，所以，且， 于是 ， 当且仅当，即时取等号，故D错误， 故选：AB． 15．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）（多选）已知，，且，则下列结论正确的有（     ） A.  B. 的最小值为8 C. 的最小值是 D. 的最小值为2 【答案】ABD 【分析】 对于A，，又，可判断，对于BCD，由，得，再结合基本不等式逐个判断即可. 【详解】 由，得，又， 所以，即，故A正确， 由，得，由A，，所以， 所以，当且仅当时，等号成立，故B正确， 由，令， 得，解得， 即，当且仅当时，取等号，C错误； ， 当且仅当时，取等号，故D正确， 故选：ABD 16．（25-26学年高一上·浙江温州十校联·期中）已知，，，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由条件可得，再利用基本不等式求的最小值，由此可得结论. 【详解】 因为， 因为，，，所以， 所以. 又因为， 当且仅当 即 时取等号. 所以. 故选：D 17．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）（1）比较代数式与的大小； （2）若，求的最小值； （3）已知正数，满足，求的最小值，此时为何值. 【答案】（1）；（2）5；（3）， 【分析】 （1）作差法比较两个代数式的大小； （2）利用配凑法结合基本不等式求最小值； （3）先对式子进行变形，再利用基本不等式求最小值及此时的值. 【详解】 （1）， 由于，故， 所以； （2）由于，则， 故， 当且仅当，时，等号成立， 所以时，有最小值5； （3）由于， 则， ， 当且仅当，时，取最小值. 18．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）青岛二中为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为x m，鲜花种植的总面积S.    （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. (1) 小问详解： 设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. (2) 小问详解： 由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 19．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）已知，，且. （1）求的最小值； （2）已知恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）16；     （2）.      【分析】 （1）先利用基本不等式得，再结合一元二次不等式解法即可得解； （2）由基本不等式求得右边的最小值，再结合分式不等式解法即可求解. (1) 小问详解： 因为， 所以，当且仅当即时等号成立， 因为， 所以，解得即， 所以的最小值是16； (2) 小问详解： 因为，， 所以， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为9， 又恒成立， 则，化简得，解得或, 所以m的取值范围是. 20．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）已知正实数、满足 （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最大值. 【答案】（1）9.     （2）8     （3）6.      【分析】 （1）利用“1”的代换结合基本不等式即可求解. （2）方法一：通过“双不等式法同时取等”的方法求解；方法二：利用“平均值不等式法”求解；方法三：由变形为，利用基本不等式得到，再将变形为，利用二次函数求最值即可；方法四：由变形得，令，进而有，利用基本不等式结合二次函数求最值即可. （3）方法一：将代入得，通过二次函数求最值；方法二：由，代入消元得，再通过二次函数求最值；方法三：利用“乘1”法，将原式整理化简为，通过二次函数求最值. (1) 小问详解： 当 ,即时等号成立，有最小值9. (2) 小问详解： 方法一（双不等式法同时取等）： （当且仅当时等号成立） （当且仅当时等号成立） 所以当，时，有最小值8. 方法二（平均值不等式法:调和平均值不超过平方平均值）： （当且仅当时等号成立）， 所以当，时，有最小值8. 方法三（配完全平方法）： . ∵，当且仅当，时等号成立. ， 当时，有最小值8. 方法四（消元法）： ， 令（由得），则， 则 ，当时时等号成立，所以有最小值8. (3) 小问详解： 方法一（整体代入转化）： ， 原式， 当 时，即，时等号成立，有最大值6. 方法二（整体代入消元法）： 由， 所以 （当且仅当时等号成立）. 方法三（乘1法）： 原式. 当 时，即，时等号成立，有最大值6. 21．（25-26学年高一上·浙江宁波·期中）若，且，则的最大值是　　　　　　　　　　. 【答案】0 【分析】 将已知变形，从而，利用基本不等式求解即可. 【详解】 ， 又， ，， 当且仅当 ，即当 时，等号成立，则的最大值为0. 故答案为：0. 22．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中）若，则的最大值为　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用，可求最大值. 【详解】 当时，， 所以， 所以， 当且仅当时取等号， 所以， 当且仅当且，即时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 23．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）已知，，且，则的最小值为　　　　　. 【答案】 【分析】 由题设，结合重要不等式有，注意等号成立条件，从而得到，令得，解一元二次不等式求，即可得. 【详解】 由题设，且，则， 由，当且仅当时取等号，则， 令，则，整理得， 所以（舍）或，即， 当且仅当时取等号，故的最小值为. 故答案为： 24．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为　　　　　． 【答案】 【分析】 分离参数，将问题转化为对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，可设及，然后通过基本不等式求得答案. 【详解】 由题意得，，整理得． 设，则， 再设，则 ，当且仅当，即时等号成立， 此时，所以，即实数的最小值为． 故答案为：. 25．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）已知，且，若不等式恒成立，则的最大值为　　　　　　　　　　　． 【答案】./0.5 【分析】 利用已知条件化简不等式，再用换元法构造函数，利用柯西不等式求函数最小值，从而得出的最大值． 【详解】 ，， ， 原不等式化简为， ，，， ， ，，， ， 令， 令，则，则， 则， 当时， ， 当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，即，，当且仅当， 即时等号成立，此时， ， ，故最大值为． 故答案为：． 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），正确的有（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 结合二次函数的图象与性质求得正确答案. 【详解】 根据图象可知，（1）错误. 图象与轴有两个交点，，（2）正确. 当时，，（3）正确. 当时，；当时，. 两式相加得，而，所以，（4）正确. 所以正确的有个. 故选：B 2．（25-26学年高一上·浙江台金七校·期中）已知，关于的不等式的解集为，则（       ） A. 3 B.  C. 1 D.  【答案】A 【分析】 由题意得出相应一元二次方程的解，结合韦达定理求解可得． 【详解】 由题意的两根为和1， 所以，即， 所以， 故选：A． 3．（25-26学年高一上·浙江五湖联盟·期中）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据条件，将问题转化成恒成立，再由二次函数的性质，即可求解. 【详解】 由题知恒成立，则，解得， 故选：D. 4．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）函数的最大值为（       ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】D 【分析】 换元再配方可得答案. 【详解】 令，则， 所以. 故选：D. 5．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中）不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用一元二次不等式的解法直接求解即可. 【详解】 因为，所以， 故不等式的解集为. 故选：C 6．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）已知集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先根据已知条件求出集合，再利用交集的定义和运算法则求解． 【详解】 ， ， ，解得， ， ． 故选：C． 7．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用平方法转化为一元二次不等式求解. 【详解】 不等式，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C 8．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 的对称轴为，根据二次函数的性质可得，解出即可得出实数k的取值范围 【详解】 ，其对称轴为， 若函数在区间上是单调增函数，则，∴， 所以，实数k的取值范围是. 故选：B. 9．（25-26学年高一上·浙江温州十校联·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先得出集合B,再应用交集定义计算求解. 【详解】 集合，， 则 故选：C 10．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（       ） A. 或 B.  C. 或 D.  【答案】B 【分析】 根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程根的关系求得，再代入不等式，化简求解即可. 【详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以是方程的两个根，且， 由韦达定理得 ，所以， 所以不等式，又， 则，即， 解得，所以不等式的解集是. 故选：B. 11．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）已知一元二次方程的两个实根为和3，则（       ） A. 7 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据已知条件，利用根与系数的关系分别求出，进而计算． 【详解】 和3是一元二次方程的两个实根， ，解得 ， ． 故选：C． 12．（25-26学年高一上·浙江五湖联盟·期中）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定条件，求出常数m和n，再解一元二次不等式即可. 【详解】 由题意知，甲的常数正确，由韦达定理可知，故； 乙的常数正确，故，故. 所以原不等式为，即，解得， 所以解集为. 故选：C. 13．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）（多选）对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 解不等式得到，故，或，从而得到，然后利用集合关系判断充分不必要条件，即可得解. 【详解】 由，得，解得， 因此，或， 又因为表示不大于的最大整数，所以，即不等式的解集为. 因为和是的真子集，故AD是的充分不必要条件； 因为是的真子集，故是的必要不充分条件. 故选：AD 14．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）若关于的不等式的解集为，则关于不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意得到，故原不等式等价于，求解即可. 【详解】 因为不等式的解集为， 所以且，可得，即 ， 所以不等式等价于， 即，解得或. 所以关于x的不等式的解集为. 故选：B 15．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）已知，均为非负实数，且，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设，可得，然后利用二次函数的性质求函数的最值即可. 【详解】 因为，，，令，则，， 所以， 所以当时，， 令，， 则函数的对称轴为， 所以当时函数有最小值， 即，当且仅当且时取等号； 所以， 故选：A. 16．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）已知关于的不等式的解集是． （1）解不等式； （2）为何值时，的解集为． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用三个二次关系待定系数计算参数，再解一元二次不等式即可； （2）利用二次函数的图象与性质计算判别式即可. (1) 小问详解： 由题意知3和2是方程的两根， ，解得， 不等式 即为，解得． 所求不等式的解集为． (2) 小问详解： 由上可知，即为， 即， 若此不等式的解集为， 则 ． 17．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）已知全集，集合， （1）求，； （2）求. 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）利用一元二次不等式的解法把集合具体化，再根据集合的运算法则计算即可； （2）根据集合的运算法则计算即可. (1) 小问详解： 集合 集合. 所以， . (2) 小问详解： . . 18．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）设，函数. （1）若，求函数在区间上的最大值； （2）若，写出函数的单调区间（写出必要的过程，不必证明）； （3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）在递增，递减，递增；（3）. 【分析】 （1）当时，化简函数的解析式，作出函数的图象，即可求解； （2）求出函数的解析式，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解； （3）当时，运用函数的单调性，结合函数的最值，即可求解. 【详解】 （1）由题意，当时，函数 作出函数的图象，如图所示， 可得函数在区间上为单调递增函数， 所以当，函数取得最大值，此时最大值为. （2）由函数 ① 当时，， 因为，所以，所以函数在上单调递增； ② 当时，， 因为，所以， 所以函数在递增，递减； 综上可得，函数在递增，递减，递增. （3）由（2）知，当时，函数在，递增，递减， 当且仅当时，关于的方程有三个不相等的实数解， 即， 令，则函数在上是增函数，故， 所以， 即实数的取值范围是. 【点睛】 本题主要考查了分段函数的单调性与最值，以及函数与方程的综合应用，其中解答中分类讨论结合二次函数的性质，结合函数的单调性，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 19．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）已知函数． （1）若，对于恒成立，求实数的取值范围； （2）若的解集为，求解． 【答案】（1）     （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为      【分析】 （1）根据判别式即可求解. （2）根据韦达定理，将问题转化为，讨论两个根的大小，即可由一元二次不等式解的特点求解. (1) 小问详解： 当时，得恒成立 解得 所以实数的取值范围为 (2) 小问详解： 由已知得，且方程的两根分别为，3， 则 ，即 不等式等价于，即， 又，所以 当，即时，原不等式无解； 当，即时，解得； 当，即时，解得． 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 20．（25-26学年高一上·浙江五湖联盟·期中）已知，， （1）若，求； （2）当时，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）解一元二次不等式，化简集合，根据并集运算求解； （2）根据包含关系，分类讨论，建立不等式求解. (1) 小问详解： 由，解得，故. 当时，，则， (2) 小问详解： 当时，，即， 若时， ，解得，，. 综上所述，. 21．（25-26学年高一上·浙江五湖联盟·期中）已知函数. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）求关于的不等式的解集； （3）若在区间上恒成立，求实数的范围. 【答案】（1）     （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.     （3）.      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解法求解； （2）对分类讨论求解即可； （3）分离参数后得，即可得解. (1) 小问详解： 当时，， 则，所以. 即不等式的解集为. (2) 小问详解： 因为. 所以① 当时，不等式的解集为； ② 当时，不等式的解集为； ③ 当时，不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. (3) 小问详解： 由在区间上恒成立得在区间上恒成立 等价于在区间上恒成立. 因为，所以 则在区间上恒成立. 即，所以的取值范围是. 22．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）已知函数． （1）当时，函数在区间上单调递增，求的取值范围； （2）当时，求不等式的解集． 【答案】（1）     （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为．      【分析】 （1）根据二次函数的性质得到，解得即可； （2）分、两大类，当时，再分、、、四种情况讨论，分别求出不等式的解集. (1) 小问详解： 当时， 又在区间上单调递增，所以，解得， 即的取值范围为； (2) 小问详解： 当时，则，则， 对于，即，解得； 当时，，则， 令，解得或， 当时，，则，解得或； 当时不等式化为． 当 ，即时，解得， 当，即时，解得， 当 ，即时，解得， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 23．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中）已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）设函数. （i）当时，解不等式； （ii）若的最小值为，求的值. 【答案】（1）     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）首先设，再根据，求解即可. （2）（i）根据题意，利用换元法求解不等式即可；（ii）首先，得到函数，再分类讨论结合最小值求解即可. (1) 小问详解： 设，则， 依题意 ， 又. (2) 小问详解： 由（1）得. （i）当时，，设， ，即（舍）或， 所以或， 即的解集为. （ii），当且仅当时，等号成立，设， 当时，在上单调递增， （舍）， 当时，在[2，m]上单调递减，在上单调递增， 或（舍）， 综上所述，. 24．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为　　　　　. 【答案】 【分析】 根据函数当时，恒成立得出根的情况，进而列不等式计算求解. 【详解】 因为函数，，且当时，恒成立， 则有一个根是3，且另外一个根是非正数， 所以 ，即得 ， 所以. 故答案为：. 25．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）已知集合， （1）当时，求； （2）若存在正实数，使得“”是“”成立的充分条件，求正实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先解分式不等式及一元二次不等式，再应用交集定义计算求解； （2）应用充分条件的定义得出，再列式计算求解. (1) 小问详解： 当时，， (2) 小问详解： 是的充分条件且， 因为，所以 所以 所以. 26．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）已知函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，，求关于的不等式的解集（结果用表示）； （3）若，，，求的最小值. 【答案】（1）5     （2） 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为; 当时，不等式的解集为.     （3）      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解集，代入计算求参； （2）根据，分类讨论求解一元二次不等式； （3）应用常值代换结合基本不等式计算求解最小值. (1) 小问详解： ， ， ，. (2) 小问详解： ， ，. 而的两个根为1，， ① 当时，不等式解集为； ② 当时，不等式解集为 ③ 当时，不等式的解集为. (3) 小问详解： ，，. ， 当时取等号，又因为，解得 ， 综上所述，当，时，的最小值为. 27．（25-26学年高一上·浙江温州十校联·期中）2024苏州足球邀请赛组委会为保障赛事后勤服务，购进一套移动餐饮服务车，用于为赛场观众和工作人员提供餐饮.该服务车初始购置费用为36万元，预计从第1年到第年（），花在该服务车上的维护费用总计为万元（为使用年数）.该服务车每年可为赛事提供餐饮服务，稳定获得收入24万元. （1）该服务车使用几年后开始盈利？（即总收入减去初始购置费用及维护费用之差为正值） （2）若该服务车使用若干年后，组委会计划处理该设备，有两种方案： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由. 【答案】（1）3年     （2） 该车运输若干年后，处理方案有两种： ① 当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出， ，当且仅当时，取等号， 方案① 最后的利润为：（万） ② 当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出， ， 时，利润最大为， 方案② 最后的利润为（万）， 两个方案的利润都是53万，按照时间成本来看， 第一个方案更好，因为用时更短，方案① 较为合算.      【分析】 （1）根据盈利列不等式，由此求得开始盈利的年份. （2）① 利用基本不等式进行求解，并求得最后的利润；② 利用二次函数的性质进行求解，并求得最后的利润.比较两个方案最后的利润，从而选择合算的方案. (1) 小问详解： 由题意可得，即， 解得， ，该车运输3年后开始盈利； (2) 小问详解： 略 28．（25-26学年高一上·浙江温州十校联·期中）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据一元二次不等式恒成立问题，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】 当时，不等式化为< 0，此时对一切实数都成立； 当时，此时不等式为含参数二次不等式， 想要保证该不等式小于0对一切实数都成立， 则应满足： ，解得：， 综上，的取值范围为：. 故答案为：. 29．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③． （1）求函数的解析式； （2）若，，求： ①的最小值； ②讨论关于m的方程的解的个数． 【答案】（1）     （2）① ； ② 当时，方程无解；当时，方程有4个解；当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解.      【分析】 （1）由得，对称轴为，然后设，利用另外两个条件列出方程组求解即得； （2）① 根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论研究最小值； ② 根据① 中求得的函数的解析式，分析各段上的函数值的正负，从而得到函数的解析式，画出函数的图象，利用数形结合方法讨论方程的实数根的个数. (1) 小问详解： （1）由得，对称轴为， 设， ∴ ，得 ， ∴． (2) 小问详解： （2）①，，对称轴， ⅰ当即时，在单调递增， ， ⅱ即时，在单调递减，在单调递增， ∴， ⅲ当即时，在单调递减， ， 综上： ② 画出函数的图象图下图所示：    利用图象的翻转变换得到函数的图象如图所示：    方程的根的个数为函数的图象与直线的交点个数，由图象可知： 当时，方程无解；当时，方程有4个解；当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解. 30．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）已知函数． （1）若，且，求的值域； （2）若集合，求实数的取值范围； （3）非空集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）根据题意，代值得参数的值，由二次函数的性质，从而求出的值域； （2）对于嵌套函数，先讨论不同范围下，外函数小于0时的解，在谈论内函数的最小值不在此范围内即可求解； （3）将A、B集合化简，分别得和，若两集合相等，则方程无解或者与同解，分类讨论即可. (1) 小问详解： ， ， ， 当时，取最小值，当时，取最大值6， ； (2) 小问详解： 由得， ， 当时，恒成立，显然成立； 当时，设，由得， 由得，故； 当时，由得， 由得，故； 综上所述，； (3) 小问详解： 由得， 由得，即 ， 记， ， ， 得或， 又， 方程无解或者与同解， 当时，； 当时，的解为，代入， 检验得，符合； 当时，； 综上所述，或. 31．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）函数，， （1）求不等式的解集； （2）若的解集中有且只有一个整数，求的取值范围； （3）若，对于恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，无解； 当时，； 当时，.     （2）      （3）       【分析】 （1）根据二次不等式的解法，对原式进行因式分解，对参数进行分类讨论，求出结果即可； （2）根据不等式，构造函数，判断函数解集中满足条件的整数解，进而列出不等式组，求出参数范围； （3）根据二次函数图像的性质，对参数进行分类讨论，根据恒成立条件，列出不等式组，求出参数范围. (1) 小问详解： 由题意得，解得或， 当时，，此时无解； 当时，； 当时，. (2) 小问详解： 由题意得，令， 可知，当时，，解得无整数根（舍）； 当时，，说明唯一的整数根为0， 则 ，即 ，解得， 得的取值范围为. (3) 小问详解： 由已知得， 令，其中恒成立， 令，解得或， 可知 ， 当时， 当时，在上单调递增，最大值为成立； 当时，此时在递减，递增； 可得 ，即 ，解得； 当，即时，在递增，递减，递增， 可得 ，即 ，解得； 当时，即时，在递减，递增，递减，递增； 可得 ，即 ，此时无解； 综上所述：的取值范围为. 32．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）已知函数． （1）当时，求函数的值域； （2）当时，解关于的不等式； （3）设函数，且函数的图象关于直线对称，试求函数的最大值． 【答案】（1）     （2）当或时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式解集为；     （3）      【分析】 （1）对二次函数配方，得到顶点式即可求解； （2）当，再分、、三种情况讨论二次不等式的解集即可； （3）根据对称性得到，解法一：利用换元法变成可配对使用平方差公式整理得到后使用基本不等式求解；解法二：直接配对结合后根据利用基本不等式求解． (1) 小问详解： ， 则，所以函数的值域是； (2) 小问详解： 由题可知，． ① 当，即或时，或； ② 当，，当时，，当时，； ③ 当，即时，． 综上，当或时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； (3) 小问详解： ，易知，是的两根， 由函数的图象关于直线对称，可知、也是的两根， 故， 解法一：令， 则， 当且仅当，即时取等． 解法二：， 当且仅当，即时取等． 33．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）已知二次函数． （1）若，且在上有两个互不相同的实数根，求的取值范围； （2）若的解集为，，对于，，使得成立，求实数的取值范围； （3）若对任意，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据二次函数根的分布列不等式组求解即可； （2）根据不等式得解 ，则，由题意，按照、和分类讨论，利用最小值列不等式求解即可； （3）根据二次型恒成立求得，求得，令，，按照和分类讨论，即可求解最大值． (1) 小问详解： ，则， 因为在上有两个互不相同的实数根， 所以 ，解得． (2) 小问详解： 由的解集为，则 ，即 ， 故， 令，，且，， 要使，总，使得成立， 所以，只需，而的对称轴为， ① 当，即时，只需，即， ② 当，即时，只需，即，不符合条件， ③ 当，即时，只需，即，不符合条件， 综上，． (3) 小问详解： 若对任意，不等式恒成立， 整理得恒成立，显然， 所以 ，则， 所以． 令，因为，所以， 若时，此时． 若时，， 当且仅当时，即时，上式取得等号， 综上：的最大值为． 34．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）已知函数，其中为常数. （1）当时，写出函数的单调递增区间； （2）当时，解不等式的解集； （3）若在上存在2025个不同的实数，且，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）和     （2）     （3）      【分析】 （1）根据二次函数的图象与性质直接写出函数的单调递增区间即可； （2）分区间讨论去掉绝对值号，解一元二次不等式即可； （3）分类讨论，根据二次函数的单调性及函数的最大值、最小值的分析即可求解. (1) 小问详解： 当时， ， 由二次函数的图象与性质可得：函数的单调递增区间为和. (2) 小问详解： 当时， ， 当时，，即，解得，所以； 当时，，即，解得. 综上，当时，解不等式的解集为. (3) 小问详解： ， ① 当时，时，， 由二次函数的图象与性质可得：函数在上单调递增， 所以， 令，解得； ② 当时，时，， 由二次函数的图象与性质可得：函数在上单调递增， 所以， 令，解得； ③ 当时， ， 由二次函数的图象与性质可得：函数在和上单调递增，在上单调递减，所以， 不妨设，其中， 则，不满足条件； ④ 当时，时，， 由二次函数的图象与性质可得：函数在上单调递增，在上单调递减， 不妨设，其中， 所以 ，不满足条件. 综上，实数的取值范围为. 35．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）函数对一切实数，均有成立，且 ． （1）求的值； （2）求函数的解析式； （3）对任意的，，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（Ⅰ）由，取，进而可求解的值； （Ⅱ）由，令，，再由（1），即可求解函数的解析式； （Ⅲ）由题意可得，要使任意都有成立，转化为，分类讨论即可求解． 【详解】（1）因为 取 得 又∵   ∴ （2）因为 令 由（1）知 ∴ 即. （3）∵，    ∴在上单调递增， ∴ 要使任意，都有成立， 当 ，显然不成立. 当 ∴ 综上所述,实数的取值范围是 【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中根据题意合理赋值，以及把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $