精品解析：浙江省杭州第四中学吴山校区2025-2026学年高一上学期期中数学试题

杭州四中（吴山）2025学年第一学期高一年级期中考试 数学试题卷 命题人：刘明哲 审核人：孟样迪 2025年11月 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、考场号、座位号，并填涂卡号． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效． 4．考试结束，只上交答题卷． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 命题“，使得”的否定形式是（ ） A ，使得 B. ，使得 C ，使得 D. ，使得 3. 幂函数的图象经过（ ），且在第一象限内（ ） A 第一、二象限 单调递减 B. 第一、三象限 单调递减 C. 第一、二象限 单调递增 D. 第一、三象限 单调递增 4. 若函数定义域为，则函数的定义域为（） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 7. “对任意的正实数，均有”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 关于的方程在上有实数解，其中为实数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 下列函数中，与函数是同一个函数的有（ ） A. B. C. D. 10. 不等式的解集是，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. 不等式的解集是或 D. 不等式的解集是 11. 设，若满足，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 若，，则B集合中所有元素之和为______． 13. 已知x，y均为正数，满足，则的最小值为______． 14. 对于实数x、y、z，记是x、y、z中的最大者，例如：，，．若非负实数a、b满足，则的最小值是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15 设集合，集合． （1）若，求，； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 已知函数 （1）请写出函数的单调递增区间； （2）求，（其中）值； （3）当时，求x的取值范围． 17. 已知函数定义域为，，且当时，． （1）求证：； （2）求证：； （3）请判断的正负，并由此构造一个符合题目要求的函数表达式． 18. 已知是定义域为的奇函数． （1）当时，，且，求实数的值． （2）当实数时，， （i）求的值； （ii）当时，若，求实数m的取值范围． 19. 二次函数的图像关于y轴对称，且恒有，函数，且恒有． （1）求a，b，c的值； （2）若函数在内单调递减，在内单调递增，求实数k的值； （3），若对任意，，，都有，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州四中（吴山）2025学年第一学期高一年级期中考试 数学试题卷 命题人：刘明哲 审核人：孟样迪 2025年11月 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、考场号、座位号，并填涂卡号． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效． 4．考试结束，只上交答题卷． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 详解】. 2. 命题“，使得”的否定形式是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，可直接得到结果. 【详解】由题意可知，存在量词命题“，使得”的否定形式为全称量词命题“，使得”． 故选：D 3. 幂函数的图象经过（ ），且在第一象限内（ ） A. 第一、二象限 单调递减 B. 第一、三象限 单调递减 C. 第一、二象限 单调递增 D. 第一、三象限 单调递增 【答案】C 【解析】 【详解】幂函数的定义域为，由，得函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又，则该函数图象在轴及上方， 而，则函数在上单调递增， 所以幂函数的图象经过第一、二象限，且在第一象限内单调递增. 4. 若函数定义域为，则函数的定义域为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】需同时满足内层函数的定义域要求和分母不为零两个条件. 【详解】已知的定义域为，则. 对于，则，解得：. 又因为，即：. 所以函数的定义域. 5. 若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将代入函数解析式计算得解. 【详解】将代入， 得到，解得. 故选：B. 6. 已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可. 【详解】选项A，取，，，，满足条件，但，A错误； 选项B，当，时，满足，但，B错误； 选项C，当时，有，， ， 则，所以，C正确； 选项D，且，则，， 则，得，D错误. 7. “对任意的正实数，均有”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据对任意的正实数，均有求得的取值范围为，再结合充分、必要条件的概念判断即可. 【详解】对任意的正实数，均有，则对于任意的正实数成立， 因为时，，当且仅当时等号成立， 所以对任意的正实数，均有，则的取值范围为， 所以“对任意的正实数，均有”是“”的必要不充分条件. 8. 关于的方程在上有实数解，其中为实数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将看成两点间距离的平方，再利用点到直线距离求解. 【详解】由，得. 设，当时为增函数，而， 所以. 所以方程转化为. 而即为点到点的距离的平方， 而点满足， 则的最小值即为点到直线距离的平方的最小值， 即的最小值.而， 设，则在为增函数， 所以，则. 所以最小值为. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 下列函数中，与函数是同一个函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，根据同一函数的概念，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意知的定义域为R， 的定义域为，故与函数不是同一个函数，A错误； 的定义域为R，且，与函数是同一个函数，B正确； ，函数定义域为R，则，与对应关系不一样， 故与函数不是同一个函数，C错误； ，函数定义域为R，且， 与函数是同一个函数，D正确. 10. 不等式的解集是，则下列选项正确的有（ ） A B. C. 不等式的解集是或 D. 不等式的解集是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用二次式的关系，结合韦达定理，求得，且，再由不等式的性质和解法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由不等式的解集是， 可得，可得，且，所以A正确； 对于B，因为，代入不等式得，所以，所以B正确； 对于C，因为，不等式即为， 又因为，不等式等价于，即， 解得，所以不等式的解集为，所以C错误； 对于D，因为，不等式即为， 因为，可得，解得， 所以不等式的解集为，所以D正确. 11. 设，若满足，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用初等函数的性质，求得函数的单调性和值域，画出函数的图像，设，得到，求得，结合换元法和函数的单调性，求得函数的值域，即可求解. 【详解】当时，，可得在上单调递减，且值域为， 当时，， 若，可得，此时在上单调递减，且值域为， 若，可得，此时在上单调递增，且值域为， 画出函数的图像，如图所示， 设，则，其中，，， 由，可得；由，可得； 由，可得， 所以， 令，则且，代入可得， 因为在上为单调递增函数， 当时，，当时，，所以， 所以，结合选项，可得，即B、C、D选项符合题意. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 若，，则B集合中所有元素之和为______． 【答案】13 【解析】 【详解】当，当，故, 因此B集合中所有元素之和为. 13. 已知x，y均为正数，满足，则的最小值为______． 【答案】25 【解析】 【分析】利用“的代换”的方法，结合基本不等式，求得的最小值. 【详解】． 当且仅当且，即时取等号， 所以． 14. 对于实数x、y、z，记是x、y、z中的最大者，例如：，，．若非负实数a、b满足，则的最小值是______． 【答案】9 【解析】 【分析】令，根据的定义，通过配凑系数法，结合条件，求得的最小值； 【详解】令，则． 为非负实数，且， ，． 且当时， 的最小值为9. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 设集合，集合． （1）若，求，； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）, （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，， 所以， 又， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，解得； 当时，则，解得， 综上，实数a的取值范围. 16. 已知函数 （1）请写出函数的单调递增区间； （2）求，（其中）的值； （3）当时，求x的取值范围． 【答案】（1），， （2）， （3）或， 【解析】 【分析】（1）分段考虑，结合二次函数以及一次函数的单调性即可求解， （2）根据自变量的取值，代入即可求解， （3）分情况考虑，解不等式即可得解. 【小问1详解】 当时，，此时在单调递增， 当时，在 单调递增， 故的单调递增区间为，， 【小问2详解】 由于，故, 由于，故， 【小问3详解】 当时，，由得，解得， 当时，，由得，解得， 当时，，也符合，故， 综上可得当时，求x的取值范围为或， 17. 已知函数定义域为，，且当时，． （1）求证：； （2）求证：； （3）请判断的正负，并由此构造一个符合题目要求的函数表达式． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3） 为正； 【解析】 【分析】（1）直接将代入即可； （2）分别将代入，即可完成证明； （3）计算为正，因，满足，因此构造分段指数函数. 【小问1详解】 由条件得，，，令，得到，故； 【小问2详解】 由（1）知，，令，则：， 再令，则：，故. 【小问3详解】 ，结果为正； . 18. 已知是定义域为的奇函数． （1）当时，，且，求实数的值． （2）当实数时，， （i）求的值； （ii）当时，若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数性质建立关于的方程，再结合已知条件代入求解； （2）（i）根据奇函数性质建立关于的方程，结合解析式特点求解即可.（ii）利用对勾函数单调性，将，转化为求解不等式，进而利用换元法求解即可. 【小问1详解】 因为是定义域为的奇函数， 故，且，得， 当时，，代入得，即； 再代入得，解得， 即. 【小问2详解】 （i）因为是上的奇函数，对任意，满足， 则，由不恒0，故， 即，解得 （ii）当时，时， 由对勾函数单调性，可得在上单调递增. 由题意得，则，， 所以由，可得. 令，可得，即， 由得，即，解得， 即的取值范围为. 19. 二次函数的图像关于y轴对称，且恒有，函数，且恒有． （1）求a，b，c的值； （2）若函数在内单调递减，在内单调递增，求实数k的值； （3），若对任意，，，都有，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，分别求解即可； （2）利用换元法，设，再结合复合函数的单调性即可求解； （3）若对任意，，，都有等价于，再利用换元法分类讨论的最值即可求解． 【小问1详解】 因为二次函数的图像关于y轴对称，所以， 因为，所以， 所以，，， 又，所以． 【小问2详解】 ， 设，则， 因为函数在上单调递减， 所以函数在内单调递减，在内单调递增等价于在递减，在递增， 所以，解得． 【小问3详解】 若对任意，，，都有等价于， ， 设，则 ， 当时，， 当时，，设，， ①当时，即时，，所以， 由得，解得； ②当时，即时，，所以， 由得，解得； ③当时，即时，，恒成立； 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $