精品解析：浙江省杭州市西湖区之江中学2025-2026学年高一上期中考数学试题

杭州之江高级中学2025学年第一学期 高一年级数学期中考试试题卷 命题人：杨苗苗 审题人：董菊 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分. 2．答题前，在答题卷密封区内填写班级和姓名. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4．考试结束，上交答题卷. 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. 或 D. 6. 已知函数，是偶函数，则（ ） A. 1 B. 1或4 C. 3 D. 4 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 不等式的解集是，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 设正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最大值为2 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3冰题，每小题5分，共15分. 12. 已知关于x的一元二次方程无实数解，则实数a的取值范围是_________. 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 14. 已知函数，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合，其中． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 16. （1）已知是二次函数，且满足，，求解析式； （2）已知，求的解析式． 17. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 设二次函数. （1）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围； （2）若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 19. 函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州之江高级中学2025学年第一学期 高一年级数学期中考试试题卷 命题人：杨苗苗 审题人：董菊 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分. 2．答题前，在答题卷密封区内填写班级和姓名. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4．考试结束，上交答题卷. 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解即可. 【详解】因为，所以． 故选：A 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分性和必要性的定义，结合不等式的性质进行判断即可. 【详解】由， 当时，不一定能推出， 例如，显然，但是不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题否定定义可得答案. 【详解】由题可得命题“”的否定是“”. 故选：D 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过分子有理化可判断a和b的大小关系，再由不等式性质可判断a和c大小关系可得. 【详解】因为，， 因为，所以，故， 所以．因为，，所以．综上，． 故选：A. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式列不等式组求解即可. 【详解】要使函数有意义，则， 解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D 6. 已知函数，是偶函数，则（ ） A. 1 B. 1或4 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称及求解即可. 【详解】由题意，，解得，即， 又，则， 则，即，所以. 故选：D 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除B，C，利用函数的单调性排除A即可. 【详解】对于函数，定义域为， 因为， 所以函数为偶函数，故B，C错误， 当时，， 又在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递增，故A错误，D正确． 故选：D． 8. 若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出函数的图象的示意图，不等式等价于或，结合图象求解即可. 【详解】因为偶函数在区间上单调递减且， 所以函数在区间上单调递增且， 作出函数的图象的示意图如图所示， 由图象知当或时，；当时，， 不等式等价于或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A：，定义域为，而，定义域也是，两个函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一个函数，故A正确； 对于B：，定义域为，而，定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于C：，需满足，即，而，需满足，即， 且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故C正确； 对于D：，定义域为，而，定义域为，且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故D正确. 10. 不等式的解集是，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据解集和韦达定理得到，再一一分析即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以有，所以AC错误， 则，，故BD正确． 故选： BD． 11. 设正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最大值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于A，∵，∴，当且仅当时，即，时等号成立，故A正确； 对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确； 对于C，由A可得，又，，当且仅当，时等号成立，故C正确； 对于D，，所以，当且仅当，时等号成立，故D错误． 故选：ABC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3冰题，每小题5分，共15分. 12. 已知关于x的一元二次方程无实数解，则实数a的取值范围是_________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据方程无实数解，由判别式小于零求解即得参数范围. 【详解】因为无实数解，所以， 解得， 故答案为：. 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数及抽象函数的定义域求法结合条件即得. 【详解】函数的定义域为，即，则， 所以函数的定义域为． 对于函数，需满足，解得， 即函数的定义域为． 故答案为：． 14. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【详解】. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合，其中． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用并集和补集运算即可； （2）利用充分条件转化为子集关系，再结合分类讨论即可求解. 【小问1详解】 当时，代入集合得, 由，因此， 求补集得. 【小问2详解】 因为“”是“”的充分条件，所以，分两种情况讨论： 当为空集，空集是任意集合的子集，此时满足，解得，符合要求； 当不为空集，需同时满足，解不等式组可得， 综上可得，的取值范围是. 16. （1）已知是二次函数，且满足，，求解析式； （2）已知，求的解析式． 【答案】（1） ；（2）． 【解析】 【分析】（1）设出二次函数代入，对应系数相等即可. （2）法一：把的右边配成的表达式，然后整体换成即可. 法二：换元，求出代入找到与的关系，然后换成即可. 【详解】（1）令 ，． 因为，所以，则． 由题意可知： 即. 得，所以． 所以 （2）法一：配凑法 根据． 可以得到． 法二：换元法 令，则 ． . 17. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【小问1详解】 当时，； 当时，， ． 【小问2详解】 若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 18. 设二次函数. （1）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围； （2）若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由恒成立可知在上恒成立，即可得； （2）依题意可知需满足成立即可，由基本不等式计算可得. 【小问1详解】 对任意实数，恒成立， 即，恒成立， 即可得，所以 【小问2详解】 存在，使得成立，即， 只需成立，即需成立， 因为，所以（当且仅当时等号成立）， 则，所以， 综上得实数的取值范围是. 19. 函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围． 【答案】（1）时， ； （2） 在上的单调递增， 证明如下： 任取，，且，则， 因为，，且，所以，，， 则，即， 所以在上的单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）当时，，代入函数解析式根据奇函数性质得到答案. （2）确定在上的单调递增，任取，，且，计算得到证明. （3）确定为上的增函数，变换得到，根据函数的单调性解不等式得到答案. 【小问1详解】 当时，，则， 因为函数为奇函数，所以， 即时，的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上的单调递增，且函数为上的奇函数，故为上的增函数. 由，， 于是 ，解得，即所求为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $