专题05 指数函数与对数函数（期中真题汇编，浙江专用）高一数学上学期

专题05 指数函数与对数函数 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．B 2．B 3．C 4．B 5．【答案】16 【分析】 根据指数运算性质求解. 【详解】 . 故答案为：. 6．【答案】 【分析】 利用指数运算法则和根式的性质运算求解. 【详解】 . 7．【答案】（1）2；（2）4 【分析】 （1）根据指数幂的运算法则，化简即可得答案. （2）将条件左右同时平方，可得，同理可得，代入所求，即可得答案. 【详解】 （1）原式. （2），∴， ，∴， 原式. 8．【答案】0 【分析】 应用指数幂的运算及根式与指数幂关系化简求值. 【详解】 由. 故答案为：0 9．【答案】 【分析】 利用指数运算及根式运算求解. 【详解】 . 故答案为： 10．【答案】3 【分析】 根据根式与指数幂的运算性质即可求解. 【详解】 ， 故答案为：3 11．【答案】（1）3 ；（2） ． 【分析】 （1）根据幂指数运算，直接求解即可； （2）由，得到，再分和两种情况讨论求解即可． 【详解】 解：（1）原式． （2）由题知， 当时，则，解得； 当时，则 解得， 综上所述． 考点02 指数函数 1．A 2．A 3．D 4．A 5．C 6．A 7．C 8．D 9．D 10．ABD 11．A 12．B 13．BCD 14．A 15．ABD 16．D 17．A 18．D 19．AC 20．【答案】/0.5 【分析】 根据指数函数定义即可得到方程，解出即可. 【详解】 由题意得 ，解得或1（舍去）. 故答案为：. 21．【答案】 【分析】 根据分段函数解析式计算可得. 【详解】 因为 ，所以， 则. 故答案为： 22．【答案】 【分析】 根据指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】 令，因为指数函数在R上单调递增， 所以有，而， 因此函数的值域为. 故答案为： 23．【答案】（1）1或     （2）     （3）      【分析】 （1）方法一利用特值求出，再验证是奇函数，方法二利用奇函数的定义式进行求解即可； （2）利用单调性求出，解含有指数的方程即可； （3）根据单调性确定的值，结合不等式有解，分离参数可得答案. (1) 小问详解： 解法1：因为函数是上的奇函数． 所以，得到， 即， 解得或， 当时，， 对于成立； 当时，， 对于成立 综上，实数的值等于1或 解法2：因为函数是上的奇函数． 所以对于， 即 化简得， 即， 得， 解得或． (2) 小问详解： 当时，， 由于是上的增函数， 所以是上的减函数，不合题意； 当时，， 由于是上的增函数， 所以是上的增函数. 解方程，即， 得，解得. (3) 小问详解： 由（2）知当时，函数是上的减函数． 在上有解， 即在上有解， 令，上式化简得在上有解， 即在上有解，令，设， 则只需，， 所以，所以实数的取值范围是. 24．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）通过解不等式求出集合，再进行并集； （2）通过解含参不等式求出集合C，又由得，根据集合之间的包含关系列不等式求解即可. (1) 小问详解： ，. ∴. (2) 小问详解： . . ∴或 解得或 所以的取值范围为或 25．【答案】 【分析】 当时，得，当时，得，求解即可. 【详解】 当时，由，得，解得，符合； 当时，由，得， 所以，所以，所以， 解得，符合， 所以的的取值范围是. 故答案为：. 26．【答案】（1）     （2）     （3）.      【分析】 （1）把代入，利用指数函数的值域，结合二次函数求出值域. （2）按分类，结合指数函数的值域及二次函数求出取得最小值的. （3）由（2）的结论，等价变形不等式，分享参数并构造函数，求出最小值即可得解. (1) 小问详解： 当时，，而， 所以的值域为. (2) 小问详解： 令，函数， 当，即时，在上递增，此时无最值，不满足题意； 当，即时，在上递减，在上递增， 所以，而，解得， 所以的最小值为时，. (3) 小问详解： 由（2）知，， 不等式， 设，依题意，有实数解， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，解得， 所以实数的取值范围为. 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由解出答案； （2）令，易得，则可将原命题等价于在上的最小值为10，再讨论与的大小即可解出答案. (1) 小问详解： 因为函数是上的奇函数， 所以，解得， 当时，，此时恒成立. 所以. (2) 小问详解： 由（1）知， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以在上单调递增， 又 所以， 令，， 所以在上的最小值为10， 等价于在上的最小值为10， 二次函数，开口向上，对称轴， ① 当即，在上单调递增， 所以. ② 当即，在上单调递减，在上单调递增， 所以，方程无解. 综上所述：. 28．【答案】 【分析】 利用二次函数、指数函数的性质，结合复合函数的单调性确定的单调区间，再由已知区间的单调性列不等式求参数范围. 【详解】 令，其图象的开口向下，对称轴为且， 所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在各定义域上均单调递增，则在定义域上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 由在上单调递减，则，可得 ， 所以. 故答案为： 29．【答案】 【分析】 根据解析式作出函数的图象，得到的范围，再由得到，从而得解. 【详解】 对于 ， 当时，，则； 当时，，则，且当时，； 当时，，则， 且当时，，当时，，； 作出函数的图象，如图， 不妨设，因为，则， 由得，则， 由，得，即， 则. 故答案为：. 考点03 对数 1．【答案】 【分析】 根据函数的定义，将代入函数中，再结合对数的运算法则进行计算. 【详解】 将代入函数可得： . 故答案为：. 2．【答案】（1）81     （2）      【分析】 （1）根据指数幂的运算性质计算可得； （2）根据对数的运算性质计算可得. (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： ； 3．【答案】0 【分析】 利用对数的运算公式可得答案. 【详解】 故答案为：0 4．【答案】 【分析】 根据指数幂运算公式和对数运算性质计算即可. 【详解】 故答案为：. 5．【答案】./0.5 【分析】 根据指数幂的运算法则和对数的运算法则，对各项进行化简，然后进行计算． 【详解】 ，， ， ． 故答案为：． 6．【答案】 【分析】 先应用对数运算律对化简，再求解． 【详解】 依题意，， ，所以． 故答案为：. 考点04 对数函数 1．A 2．BC 3．ACD 4．B 5．B 6．【答案】－2 【详解】原式＝lg(÷25)＝lg＝－2 考点：对数运算 7．【答案】 【分析】 先讨论当时，不等式转化为，确定函数在时的单调性得最值即可得此时的取值范围，再根据此范围确定当时，函数的单调性，从而得最值得的取值范围，综合可得结论. 【详解】 当时，不等式为，即， 因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； 由于，则当时，函数在上单调递减， 所以，解得，所以； 综上，的取值范围是. 故答案为：. 考点05 函数的应用（二） 1．C 2．AB 3．A 4．ACD 5．ABD 6．ABD 7．B 8．ABD 9．AD 10．C 11．【答案】（1），     （2）A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元      【分析】 （1）利用待定系数法求得，根据图② 的数据代入的解析式后可求参数的值，从而可求. （2）列出企业利润的函数解析式，结合换元法可求利润最大值. (1) 小问详解： 由题设，由图知，故，故. 又，，所以，， 所以，故，故，故． (2) 小问详解： 设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 所以当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 12．【答案】（1）     （2）甲产品投入40万元，乙产品投入20万元      【分析】 （1）利用已知条件建立分段函数模型即可； （2）利用换元法结合二次函数的性质、基本不等式计算最值并比较即可. (1) 小问详解： 因为甲产品的投入为万元，则乙产品的投入为万元， 当时，， 当时，． 综上： ； (2) 小问详解： 当时，令， 则总利润为， 显然当时，（万元），即当时，（万元）， 当时， （万元）， 当且仅当，即时“”成立，有（万元）， ， 该公司在甲产品投入40万元，在乙产品投入20万元，总利润最大，最大总收益为111万元． 13．【答案】 【分析】 首先画出函数的图象，再转化为函数图象的交点问题，求的取值范围. 【详解】 ， 当时，，即，得（舍）或 当时，，即，得或（舍）， 所以 ， 若方程有四个不相同的实数根， 即与有4个交点， 如图，画出函数的图象， 此时与有4个交点，则. 故答案为： 14．【答案】（1） ；     （2）当成本为1万元时，该工厂每月的利润最大，最大利润是16万元．      【分析】 （1）由利润=销售额-成本，得函数关系式； （2）结合二次函数的性质及基本不等式求出各段的最大值，比较大小，即可求出分段函数的最值. (1) 小问详解： 由题意可得 ； 所以 (2) 小问详解： 当时，， ， 当且仅当即时等号成立，此时， 当时，为开口向下的抛物线，其对称轴为， 所以当时，， 综上所述：当成本为1万元时，该工厂每月的利润最大，最大利润是16万元． 15．【答案】（1）     （2）隧道内车流量的最大值约为2700辆/小时,此时车流密度约为75辆/千米.      【分析】 （1）根据分段函数的性质，列不等式即可求解， （2）根据基本不等式求解函数的最值即可求解. (1) 小问详解： 由 可得 当时，，符合题意， 当时，令，可得， 综上可得 (2) 小问详解： 由题意得 ， 当时,为增函数,所以,当时等号成立; 当时，， ， 故, 当且仅当，即时等号成立. 由于 所以,隧道内车流量的最大值约为2700辆/小时，此时车流密度约为75辆/千米. 16．【答案】（1）     （2）363千元．      【分析】 （1）根据题意，分段表示函数即得； （2）利用函数的单调性，分别求解分段函数在每段上函数的最小值，取其较小的即可. (1) 小问详解： 当时，， 当时，， 所以 (2) 小问详解： 当时，单调递增，所以， 当时，单调递减，所以， 因为，所以该商场日收益的最小值为363千元． 17．【答案】（1） ；（2）当时，日产量为万件日盈利额最大； 当时，日产量为3万件时日盈利额最大． 【分析】 （1）根据“日盈利额合格产品盈利次品亏损”的原则，以及对日产量为自变量进行分段求出日盈利额（万元）表示为日产量（万件）的函数； （2）利用导数求出（1）中分段函数在每段定义域上的最值，进而确定日盈利额的最大值以及相应的值. 【详解】 （1）当时，， 当时， ∴日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系式为 （2）当时，日盈利额为0 当时，    令得或（舍去） ∴当时， ∴在上单增 ∴最大值 当时，在上单增，在上单减 ∴最大值 综上：当时，日产量为万件日盈利额最大 当时，日产量为3万件时日盈利额最大 18．【答案】（1）答案见解析     （2）商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元      【分析】 （1）由题意可知，分别代入和运算求解即可； （2）设商品投入万元，则商品投入万元，分和两种情况，利用基本不等式以及二次函数性质运算求解即可. (1) 小问详解： 因为投入10万元，所以， 若只经销商品，则所获得的收益为万元； 若只经销商品，则所获得的收益为万元. (2) 小问详解： 设商品投入万元，则商品投入万元， 可知总收益， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以在上的总收益最大值为16万元； 若，则， 可知的图象开口向下，对称轴为，则， 所以在上的总收益最大值小于万元； 因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元. 19．【答案】60,16 【详解】试题分析：首先的函数值可由表达式直接得出，再根据与的函数值不相等，说明求要用对应的表达式，将方程组联解，可以求出c、A的值． 由题意可得：所以 而可得出故 从而 故答案为 考点：函数模型的选择与应用． 20．【答案】 【分析】 由单调性求出解析式，转化为与图像有两个交点，数形结合求的取值范围即可. 【详解】 由题意设，则， 因为函数，，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 当时，， 所以， 则， 设，则与的图象有2个交点． 因为在单调递增且， 所以当时，，则不会有两个交点； 当时，在单调递增，在单调递减，且，可得， 所以． 故答案为：. 21．【答案】（1），     （2） （ⅰ）设方程的三个根分别为，，（，）， 方程可变形为， 展开得， 对比方程形式可知，，即， 则，， ∴， （ⅱ）      【分析】 （1）根据，代入原方程中化简即可求解， （2）根据方程的根将方程设为，展开与原方程对照，即可求解（ⅰ），对进行讨论，求解不等式即可得解（ⅱ）. (1) 小问详解： 故，代入原方程中得， 化简得， 由于， 其中一根 . (2) 小问详解： （ⅰ）略 （ⅱ）设方程的重根为a，由（ⅰ）知，，不等式可以因式分解为 当时，则 或 或 解得， 此时，， 由于为上的单调递减函数， （2）当时， ① ，此时，. ② 当 时，此时原不等式恒负，无解， 综上，. 22．【答案】（1）     （2）或或     （3）      【分析】 （1）解不等式即可得； （2）由题成立，求出的范围，再检验在此范围内不等式恒成立； （3）分，两类讨论，求出方程的根并使得根在一定范围内，列出不等式，解不等式即可. (1) 小问详解： 由，解得， 所以函数的定义域D:； (2) 小问详解： 若对任意，不等式恒成立，则成立， 所以，解得或,或； 当时，可化为， 即成立； 当时，可化为， 即 成立； 当时， 时，，， 所以， ，所以时，. 同理当时，；故时，. 故实数a的取值范围是：或或. (3) 小问详解： 若存在，使得方程有解，即，显然， 当时，上式化为，两边平方化简得，解得， 又； 当时，上式化为， 时，两边平方得，   整理得， 解得，设， 或 ， 代入得 或 ， 解得， 综上： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）若，则（       ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 15 【答案】B 【分析】 由完全平方公式求解. 【详解】 因为，所以， 所以，所以， 所以， 故选：B. 2．（25-26学年高一上·浙江宁波·期中）已知a，b为正实数，则可化简为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据指数幂的运算法则化简即可. 【详解】 因为a，b为正实数， 所以. 故选：B. 3．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）设 ，则（     ） A. -1 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由分段函数解析式即可求解. 【详解】 ， 故选：C 4．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）已知，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由根式与有理数指数幂的关系及指数幂的运算性质化简，即可得. 【详解】 由于，则； 故选：B 5．（25-26学年高一上·浙江温州十校联·期中）　　　　　　. 【答案】16 【分析】 根据指数运算性质求解. 【详解】 . 故答案为：. 6．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）计算： 【答案】 【分析】 利用指数运算法则和根式的性质运算求解. 【详解】 . 7．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）（1）求值： （2）已知，求的值. 【答案】（1）2；（2）4 【分析】 （1）根据指数幂的运算法则，化简即可得答案. （2）将条件左右同时平方，可得，同理可得，代入所求，即可得答案. 【详解】 （1）原式. （2），∴， ，∴， 原式. 8．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）求值：　　　　　　. 【答案】0 【分析】 应用指数幂的运算及根式与指数幂关系化简求值. 【详解】 由. 故答案为：0 9．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）计算：　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用指数运算及根式运算求解. 【详解】 . 故答案为： 10．（25-26学年高一上·浙江宁波六校·期中）求值：　　　　　　　　　　. 【答案】3 【分析】 根据根式与指数幂的运算性质即可求解. 【详解】 ， 故答案为：3 11．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）（1）计算：； （2）已知集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】（1）3 ；（2） ． 【分析】 （1）根据幂指数运算，直接求解即可； （2）由，得到，再分和两种情况讨论求解即可． 【详解】 解：（1）原式． （2）由题知， 当时，则，解得； 当时，则 解得， 综上所述． 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中）指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先由指数函数的图象判断出，进而分析出二次函数的图象与轴的两个交点，即可解出. 【详解】 由指数函数的图象可知：. 令，解得， 则， 对应只有A选项符合题意. 故选：A 2．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中）1986年4月26日，乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染.主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为.专家估计，要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年.到2025年4月26日，原有的锶90还剩（       ） （参考数据：） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意得出年后的含量，计算即可． 【详解】 设年后的锶90的剩余含量为， 则， 从1986年4月26日到2025年4月26日，经过39年， 所以原有的锶90还剩. 故选：A 3．（25-26学年高一上·浙江温州十校联·期中）函数与的图象（     ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于直线对称 D. 关于原点对称 【答案】D 【分析】 方法1：根据两个函数图象上点的坐标确定两函数图象的关系. 方法2：做出函数与的图象，数形结合，判断两函数图象的关系. 【详解】 方法1：设为函数图象上任意一点， 则， 所以点在函数的图象上. 因为点与点关于原点对称， 所以函数图象上任意一点关于原点的对称点都在函数的图象上； 设为函数的图象上任意一点，则. 即在函数的图象上. 因为点与点关于原点对称， 所以函数图象上任意一点关于原点的对称点都在函数的图象上. 所以函数与函数的图象关于原点对称. 故选：D 方法2：在同一坐标系内，做出函数与的图象如下： 由图可知：函数与的图象的图象关于原点对称. 故选：D 4．（25-26学年高一上·浙江温州十校联·期中）若，，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据指数函数，幂函数的单调性比较大小. 【详解】 因为，所以函数在上单调递减，所以. 因为，所以函数在上单调递增，所以， 又， 所以； 又，即. 综上：. 故选：A 5．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）已知函数图象恒过定点，且点在函数图象上，则的最小值为（     ） A. 4 B. 1 C. 2 D.  【答案】C 【分析】 由指数函数性质得定点坐标，代入直线方程得的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】 由得，又，所以定点为，从而， ， 当且仅当时等号成立. 故选：C. 6．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）已知，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据指数函数单调性得，再结合幂函数性质比较大小即可. 【详解】 , 而，所以. 故选：A. 7．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）定义取大函数 ，现有，，则下列结论正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【分析】 根据取大函数的定义，取值判断ABD；分段推理判断C. 【详解】 在同一坐标系内作出函数的图象，如图： 当时，，当时，， 对于A，，而，A错误； 对于B，，而，B错误； 对于C，当时，，由，得， 函数在R上是增函数，则； 当时，由，得，则，C正确； 对于D，，而，D错误. 故选：C 8．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）已知函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由根式、分式的性质及指数函数的单调性求函数的定义域. 【详解】 由题设，则，即定义域为. 故选：D 9．（25-26学年高一上·浙江宁波·期中）已知函数 ，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先求出函数在上的单调性与值域，再分、、三种情况求出函数在上的单调性与值域，即可求出参数的取值范围. 【详解】 因为 ， 当时，所以在上单调递增， 所以，即； 又当时为单调函数， 要使存在实数，使得成立，又， 当时在上单调递增，所以， 则需，解得； 当时， 此时对且，都有成立，故； 当时在上单调递减，则， 此时一定存在实数，使得成立； 综上可得实数的取值范围为. 故选：D 10．（25-26学年高一上·浙江宁波·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 和表示的是同一个函数 C. 函数的单调递减区间是 D. 已知不等式的解集为，则， 【答案】ABD 【分析】 根据指数函数的性质判断A，根据相等函数的定义判断B，求出函数的单调区间，即可判断C，、为关于的方程的两解，利用韦达定理得到方程，即可判断D. 【详解】 对于A：当时，在定义域上单调递增，所以， 又，所以，故A正确； 对于B：因为，又， 所以与的定义域均为，且解析式一致，故与是同一函数，故B正确； 对于C：的单调递减区间为，，故C错误； 对于D：因为不等式的解集为， 所以、为关于的方程的两解， 所以 ，解得 ，故D正确. 故选：ABD 11．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知函数 是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用分段函数的单调性进行求解即可． 【详解】 若在上为增函数， 则满足 ，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A． 12．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）使得不等式成立的一个充分不必要条件是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 确定已知不等式的充要条件，分别求解四个选项得不等式，结合充分不必要条件判断即可得结论. 【详解】 使得不等式成立充要条件为且， 若，则可得或或； 若，则； 若，则； 若，则且； 综上可得，得不等式成立的一个充分不必要条件是. 故选：B. 13．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中正确的是（     ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 【答案】BCD 【分析】 利用偶函数的定义举例判断A；利用奇函数的定义推理判断B；利用指数型复合函数单调性判断C；求出的值域，进而求出的值域判断D. 【详解】 依题意，函数的定义域为， A，，，，函数不是偶函数，A错； B，，则函数是奇函数，B对； C，函数在上单调递增，则函数在R上是增函数，C对； D，由，得，则，的值域为，D对. 故选：BCD 14．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）设，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】 在上单调递增，在上单调递减，． 故选：A． 15．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）（多选）若关于的不等式的解集是，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 首先根据不等式与方程的关系可知 ，再用表示，再根据选项，即可判断. 【详解】 由题意可知， ，得，， 因为，所以，故A正确； ，即，，故B正确， ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD 16．（25-26学年高一上·浙江宁波六校·期中）已知，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 结合待比较的三个数的指数，底数的特点，构造指数函数，幂函数，根据它们的单调性即可求解. 【详解】 设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即； 设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即. 故. 故选：D 17．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满……连续进行次后，容器中纯酒精剩下不到，则至少是（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【分析】 根据已知分析第次倒出，剩下纯酒精为，再列不等式，结合指数函数的性质求参数值. 【详解】 由题意，第一次倒出，剩下纯酒精为， 加满水后含酒精，第二次倒出，剩下纯酒精为， 加满水后含酒精，第三次倒出，剩下纯酒精为， ， 连续进行次后，第次倒出，剩下纯酒精为， 令，，故至少是4. 故选：A 18．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）已知，函数在上的最大值为，最小值为，则下列式子一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 要解决这道题，我们可以先对函数进行化简，再分析其对称性，进而得出最大值和最小值的关系. 【详解】 所以函数关于点对称， 又在上单调递增，且，所以在上单调递减， 则在上单调递增 由，则这个区间关于点对称，所以最值关于点对称， 那么最值和为，即 故选：D 19．（25-26学年高一上·浙江温州十校联·期中）（多选）关于函数，下列说法正确的是（     ） A. 的定义域是 B. 是偶函数 C. 的值域为 D. 在单调递减 【答案】AC 【分析】 根据函数的定义域、值域、奇偶性以及单调性的相关知识逐一进行分析即可. 【详解】 要使函数有意义，则，解得，的定义域是，正确. 函数的定义域不关于原点对称，函数既不是奇函数也不是偶函数，错误. 令，，则，， 令，，则在定义域上单调递增， 当时，；当时，， 的值域为，正确. 令，，在单调递增，在单调递减， 令，，则在定义域上单调递增， 根据复合函数的单调性的原则，可得在单调递增，在单调递减，错误. 故选：. 20．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）若函数是指数函数，则实数　　　　　　　　　　　． 【答案】./0.5 【分析】 根据指数函数定义即可得到方程，解出即可. 【详解】 由题意得 ，解得或1（舍去）. 故答案为：. 21．（25-26学年高一上·浙江宁波·期中）已知函数 ，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据分段函数解析式计算可得. 【详解】 因为 ，所以， 则. 故答案为： 22．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）函数的值域为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】 令，因为指数函数在R上单调递增， 所以有，而， 因此函数的值域为. 故答案为： 23．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）已知函数是上的奇函数． （1）求实数的值； （2）若函数是上的增函数，求解方程； （3）若函数是上的减函数，且关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）1或     （2）     （3）      【分析】 （1）方法一利用特值求出，再验证是奇函数，方法二利用奇函数的定义式进行求解即可； （2）利用单调性求出，解含有指数的方程即可； （3）根据单调性确定的值，结合不等式有解，分离参数可得答案. (1) 小问详解： 解法1：因为函数是上的奇函数． 所以，得到， 即， 解得或， 当时，， 对于成立； 当时，， 对于成立 综上，实数的值等于1或 解法2：因为函数是上的奇函数． 所以对于， 即 化简得， 即， 得， 解得或． (2) 小问详解： 当时，， 由于是上的增函数， 所以是上的减函数，不合题意； 当时，， 由于是上的增函数， 所以是上的增函数. 解方程，即， 得，解得. (3) 小问详解： 由（2）知当时，函数是上的减函数． 在上有解， 即在上有解， 令，上式化简得在上有解， 即在上有解，令，设， 则只需，， 所以，所以实数的取值范围是. 24．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）已知集合，， （1）求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）通过解不等式求出集合，再进行并集； （2）通过解含参不等式求出集合C，又由得，根据集合之间的包含关系列不等式求解即可. (1) 小问详解： ，. ∴. (2) 小问详解： . . ∴或 解得或 所以的取值范围为或 25．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中），则满足的实数的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 当时，得，当时，得，求解即可. 【详解】 当时，由，得，解得，符合； 当时，由，得， 所以，所以，所以， 解得，符合， 所以的的取值范围是. 故答案为：. 26．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）已知函数. （1）当时，求的值域； （2）若的最小值为，求的值； （3）在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）.      【分析】 （1）把代入，利用指数函数的值域，结合二次函数求出值域. （2）按分类，结合指数函数的值域及二次函数求出取得最小值的. （3）由（2）的结论，等价变形不等式，分享参数并构造函数，求出最小值即可得解. (1) 小问详解： 当时，，而， 所以的值域为. (2) 小问详解： 令，函数， 当，即时，在上递增，此时无最值，不满足题意； 当，即时，在上递减，在上递增， 所以，而，解得， 所以的最小值为时，. (3) 小问详解： 由（2）知，， 不等式， 设，依题意，有实数解， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，解得， 所以实数的取值范围为. 27．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）已知函数是上的奇函数，函数. （1）求实数的值； （2）若函数在上的最小值为10，求实数的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由解出答案； （2）令，易得，则可将原命题等价于在上的最小值为10，再讨论与的大小即可解出答案. (1) 小问详解： 因为函数是上的奇函数， 所以，解得， 当时，，此时恒成立. 所以. (2) 小问详解： 由（1）知， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以在上单调递增， 又 所以， 令，， 所以在上的最小值为10， 等价于在上的最小值为10， 二次函数，开口向上，对称轴， ① 当即，在上单调递增， 所以. ② 当即，在上单调递减，在上单调递增， 所以，方程无解. 综上所述：. 28．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）函数在单调递减，则的取值范围为　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用二次函数、指数函数的性质，结合复合函数的单调性确定的单调区间，再由已知区间的单调性列不等式求参数范围. 【详解】 令，其图象的开口向下，对称轴为且， 所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在各定义域上均单调递增，则在定义域上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 由在上单调递减，则，可得 ， 所以. 故答案为： 29．（25-26学年高一上·浙江宁波六校·期中）设 ，若有不相等的实数满足，则的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据解析式作出函数的图象，得到的范围，再由得到，从而得解. 【详解】 对于 ， 当时，，则； 当时，，则，且当时，； 当时，，则， 且当时，，当时，，； 作出函数的图象，如图， 不妨设，因为，则， 由得，则， 由，得，即， 则. 故答案为：. 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·浙江台金七校·期中）已知，那么　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据函数的定义，将代入函数中，再结合对数的运算法则进行计算. 【详解】 将代入函数可得： . 故答案为：. 2．（25-26学年高一上·浙江台金七校·期中）求值： （1）； （2）. 【答案】（1）81     （2）      【分析】 （1）根据指数幂的运算性质计算可得； （2）根据对数的运算性质计算可得. (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： ； 3．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）求值：　　　　　　　　　　　． 【答案】0 【分析】 利用对数的运算公式可得答案. 【详解】 故答案为：0 4．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）计算　　　　　. 【答案】 【分析】 根据指数幂运算公式和对数运算性质计算即可. 【详解】 故答案为：. 5．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）计算：　　　　　　　　　　． 【答案】./0.5 【分析】 根据指数幂的运算法则和对数的运算法则，对各项进行化简，然后进行计算． 【详解】 ，， ， ． 故答案为：． 6．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）已知，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 先应用对数运算律对化简，再求解． 【详解】 依题意，， ，所以． 故答案为：. 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·浙江台金七校·期中）“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】 根据对数函数性质结合充分、必要条件分析判断. 【详解】 若，可得，即，即充分性成立； 若，例如，则，不成立，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（25-26学年高一上·浙江台金七校·期中）（多选）如图，这是函数和的大致图象，其中，图象中在点处形成了4条曲线，从左至右分别记为，则（       ） A. 是函数的图象 B. 是函数的图象 C. 是函数的图象 D. 是函数的图象 【答案】BC 【分析】 中，令，解得或，同理中，令，解得或，故，再图象中，画出，确定是函数的图象，是函数的图象. 【详解】 中，令，则， ，若，则，，解得， 若，则，，解得， 同理中，令，则， ，若，则，，解得， 若，则，，解得， 因为，所以， 作出直线，如下： 显然，是函数的图象，是函数的图象. 故选；BC 3．（25-26学年高一上·浙江台金七校·期中）（多选）若，则下列不等式一定成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 由指数函数性质可判断A；例举法可判断B；同时除以可判断C；去绝对值并结合对数函数可判断D. 【详解】 因为，对A，为减函数，所以，A项正确； 对B，，则，故B项错误； 对C，，因为，所以同时除以有，故C项正确； 对D，因为，所以，又，所以，对数函数为增函数，所以，D项正确. 故选：ACD 4．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）若，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用指数函数单调性、对数运算法则即可求解. 【详解】 ，，， 故. 故选：B. 5．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）已知，则实数的大小顺序为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用指数函数、对数函数的单调性即可求解. 【详解】 由函数单调递增， 则， 由单调递增， 则， 由单调递减， 则，即， 所以. 故选：B. 6．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）lg－lg25＝　　　　　　　　　　　　. 【答案】－2 【详解】原式＝lg(÷25)＝lg＝－2 考点：对数运算 7．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数 ，若，则的取值范围是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先讨论当时，不等式转化为，确定函数在时的单调性得最值即可得此时的取值范围，再根据此范围确定当时，函数的单调性，从而得最值得的取值范围，综合可得结论. 【详解】 当时，不等式为，即， 因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； 由于，则当时，函数在上单调递减， 所以，解得，所以； 综上，的取值范围是. 故答案为：. 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）函数的零点所在的区间是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据零点存在定理求解即可. 【详解】 因为，，且为增函数， 所以的零点所在的区间为. 故选：C. 2．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）（多选）已知函数 ，其中，若存在实数，使得关于的方程恰有三个互异的实数解，则实数的取值可以为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AB 【分析】 本题首先可以根据题意绘出函数的大致图像，然后根据当时得出恰有三个互异的实数解需要满足，最后通过计算即可得出结果. 【详解】 当时， 函数 的大致图像如图所示： 因为当时，， 所以要存在实数a，使关于的方程恰有三个互异的实数解， 需要满足且，解得， 故选：A、B. 【点睛】 本题考查根据方程根的数目求参数，能否绘出函数的图像是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查推理能力与计算能力，是中档题. 3．（25-26学年高一上·浙江台金七校·期中）若，则，，的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先由可得，，，由，得，，在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，结合图象可得结果. 【详解】 因为，而当时，，当时，， 所以， 因为，而当时，，所以， 因为，而当时，，所以， 由，得，， 所以为和图象交点的横坐标，为和图象交点的横坐标， 在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，如图所示， 由图可得 综上， 故选：A 4．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）（多选）年8月日，我国新疆、西藏等地发生多次至级地震，一般来说，震级在3级以上时，我们称该地震为有感地震（即人们能感觉到此次地震）.里氏震级R与地震释放能量E的关系为.已知6级地震释放的能量为，则下列说法正确的是（     ） A. 震级越大，地震释放的能量越大 B.  C. 8级地震释放的能量为6级地震释放能量的1000倍 D. 某次地震释放的能量为，则该地震为有感地震 【答案】ACD 【分析】 根据题中所给的里式震级R与地震释放能量E的关系进行分析判断可得. 【详解】 由6级地震释放的能量为，所以，解得，所以B错误； ，根据指数函数的性质，R越大，则E就越大，所以A正确； 当R=8时，，当R=6时，，所以.所以C正确； 当时，，地震释放的能量为， 则该地震超过了3级，所以有震感，所以D正确. 故选：ACD. 5．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）（多选）已知函数 ，若有四个解，且满足，则下列结论正确的是（       ） A. 0 B.  C. 的最小值为 D.  【答案】ABD 【分析】 画出函数的图象，根据对称性和指数函数的图象和性质结合基本不等式即可求出． 【详解】 作出函数的图象， 因是方程的四个互不相等的解，则，A选项正确； 因为， 则有，是方程的两个根，必有， 因为，所以，所以，所以，B选项正确； ， 因为，且， 所以，C选项错误； ，是方程的两个不等根，则，即，所以， 整理得，，即， 于是得，D选项正确； 故选：ABD. 6．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）（多选）定义 已知函数，则下列说法正确的是（     ） A. 当时， B. 若方程有两个不相等的实数根，则 C. 若方程有两个不相等的实数根，则 D. 若，则 【答案】ABD 【分析】 画出函数图象，根据新定义，数形结合判断ABD; 当时，分类讨论方程或的根可判断C. 【详解】 当时，， 对于A，画出与的图象如下图所示，    所以 ，A选项正确， 画出的图象如下图所示，    对于B选项，方程，即有两个不相等的实数根， 由图可知的取值范围是，所以B选项正确. 对于C选项，方程，即， 可得或， 当时，或， 由图可知无解，有唯一解， 也即时，方程有唯一解，所以C选项错误. 对于D选项，结合图象以及凸函数的性质可知，在和上， 均满足（），所以D正确. 故选：ABD 7．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）奇函数和偶函数的图象分别如图1、图2所示，方程和的实根个数分别，，则（     ） A. 3 B. 7 C. 10 D. 14 【答案】B 【分析】 令，得到，从而求出对应的解，，同理可得有4个解，，得到答案. 【详解】 结合函数图象可知中，令，则，故， 结合图象可知，的根为0，有2个根，无解； 故有3个解，故； 中，令，则有2个根，不妨设， 当，即，此时有2个解， 当，即，此时有2个解， 故有4个解，即， 综上，. 故选：B 【点睛】 方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：① 利用换元思想，设出内层函数；② 分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③ 内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 8．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）（多选）根据官方最新统计，截至2025年1月温州市机动车保有量为341.2万辆，这不仅反映了人们的生活水平不断提高；同时也对城市基础设施带来了极大的挑战，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当，车流速度是车流密度的一次函数．规定车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）．下列说法正确的是（     ） A. 若车流密度为50辆/千米时，则车流速度为50千米/小时 B. 若车流密度为50辆/千米时，则车流量为2500辆/小时 C. 当车流密度为200辆/千米时，车流量可以达到最大值 D. 车流量最大值可以达到约为3333辆/小时 【答案】ABD 【分析】 根据题意用分段函数并结合待定系数法求出函数的关系式即可判断A，再由题意得到的解析式，代值即可判断B，最后根据分段函数求得最值即可判断C，D． 【详解】 由题意，当时,； 当时，设 由已知得 ，  解得 ， ∴； 所以时，，故A正确； 由上可得 ， 时，，故B正确； ① 当时，为增函数， ∴当时，取得最大值，且最大值为 ， ② 当时，， ∴当时，取得最大值，且最大值为．， 所以的最大值为， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，且最大值为3333辆/小时，故C错误，D正确； 故选：ABD. 9．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）（多选）设函数的定义域为，若对任意，存在唯一的实数满足，则可以是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 由函数满足的条件，逐个选项验证即可. 【详解】 若，定义域为，则， 即， 因为，且单调递增， 所以对任意，存在唯一的实数满足，A正确； 若，定义域为， 则， 即， 当时，，而，无解，不符合，B错误； 若，定义域为，则， 即， 取，得，而，不符合题意，C错误； 若，定义域为，则， 即 而的值域为，的值域为，且单调递增， 所以对任意，存在唯一的实数满足，D正确； 故选：AD 10．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为（       ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】C 【分析】 根据函数解析式求解可得，结合对称性可得函数关于对称，从而由零点的唯一性可得的值. 【详解】 因为， 则， 则函数关于对称， 要使得函数的图象与轴有且只有一个交点，根据对称性可得， 所以. 故选：C. 11．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. （1）分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； （2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1），     （2）A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元      【分析】 （1）利用待定系数法求得，根据图② 的数据代入的解析式后可求参数的值，从而可求. （2）列出企业利润的函数解析式，结合换元法可求利润最大值. (1) 小问详解： 由题设，由图知，故，故. 又，，所以，， 所以，故，故，故． (2) 小问详解： 设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 所以当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 12．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）近年来我市提出了“科技强市”的发展目标，全市各企业积极响应．某企业为进一步提高经济效益，着手研发新产品．现计划投入60万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，在对市场进行调研分析后发现，甲、乙产品的利润与研发投入（单位：万元）满足 ，．设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）． （1）求的表达式； （2）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？ 【答案】（1）     （2）甲产品投入40万元，乙产品投入20万元      【分析】 （1）利用已知条件建立分段函数模型即可； （2）利用换元法结合二次函数的性质、基本不等式计算最值并比较即可. (1) 小问详解： 因为甲产品的投入为万元，则乙产品的投入为万元， 当时，， 当时，． 综上： ； (2) 小问详解： 当时，令， 则总利润为， 显然当时，（万元），即当时，（万元）， 当时， （万元）， 当且仅当，即时“”成立，有（万元）， ， 该公司在甲产品投入40万元，在乙产品投入20万元，总利润最大，最大总收益为111万元． 13．（25-26学年高一上·浙江台州·期中），记 ，若方程有四个不相同的实数根，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 首先画出函数的图象，再转化为函数图象的交点问题，求的取值范围. 【详解】 ， 当时，，即，得（舍）或 当时，，即，得或（舍）， 所以 ， 若方程有四个不相同的实数根， 即与有4个交点， 如图，画出函数的图象， 此时与有4个交点，则. 故答案为： 14．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）经过调研发现，某机器工厂每月生产的机器数量（单位：台）和成本（单位：万元）满足如下关系： ．已知该机器的市场售价为1万元/台，且供不应求，记工厂每月的利润为（单位：万元）． （1）求的函数解析式； （2）当成本为多少万元时，该工厂每月的利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】（1） ；     （2）当成本为1万元时，该工厂每月的利润最大，最大利润是16万元．      【分析】 （1）由利润=销售额-成本，得函数关系式； （2）结合二次函数的性质及基本不等式求出各段的最大值，比较大小，即可求出分段函数的最值. (1) 小问详解： 由题意可得 ； 所以 (2) 小问详解： 当时，， ， 当且仅当即时等号成立，此时， 当时，为开口向下的抛物线，其对称轴为， 所以当时，， 综上所述：当成本为1万元时，该工厂每月的利润最大，最大利润是16万元． 15．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵的有效措施.某市城市规划部门为了提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位:千米/小时）和车流密度（单位:辆/千米）所满足的关系式: ，研究表明:当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时的车流速度是0千米/小时. （1）若车流速度不小于20千米/小时，求车流密度的取值范围； （2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位:辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）. 【答案】（1）     （2）隧道内车流量的最大值约为2700辆/小时,此时车流密度约为75辆/千米.      【分析】 （1）根据分段函数的性质，列不等式即可求解， （2）根据基本不等式求解函数的最值即可求解. (1) 小问详解： 由 可得 当时，，符合题意， 当时，令，可得， 综上可得 (2) 小问详解： 由题意得 ， 当时,为增函数,所以,当时等号成立; 当时，， ， 故, 当且仅当，即时等号成立. 由于 所以,隧道内车流量的最大值约为2700辆/小时，此时车流密度约为75辆/千米. 16．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）经市场调查，某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数（千人）与时间（天）的函数关系近似满足，人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足 ． （1）求该商场的日收益（千元）与时间（天）的函数关系式； （2）求该商场日收益的最小值． 【答案】（1）     （2）363千元．      【分析】 （1）根据题意，分段表示函数即得； （2）利用函数的单调性，分别求解分段函数在每段上函数的最小值，取其较小的即可. (1) 小问详解： 当时，， 当时，， 所以 (2) 小问详解： 当时，单调递增，所以， 当时，单调递减，所以， 因为，所以该商场日收益的最小值为363千元． 17．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）工厂生产某种产品，次品率与日产量（万件）间的关系 （为常数，且），已知每生产一件合格产品盈利元，每出现一件次品亏损元. （1）将日盈利额（万元）表示为日产量（万件）的函数； （2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注： ） 【答案】（1） ；（2）当时，日产量为万件日盈利额最大； 当时，日产量为3万件时日盈利额最大． 【分析】 （1）根据“日盈利额合格产品盈利次品亏损”的原则，以及对日产量为自变量进行分段求出日盈利额（万元）表示为日产量（万件）的函数； （2）利用导数求出（1）中分段函数在每段定义域上的最值，进而确定日盈利额的最大值以及相应的值. 【详解】 （1）当时，， 当时， ∴日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系式为 （2）当时，日盈利额为0 当时，    令得或（舍去） ∴当时， ∴在上单增 ∴最大值 当时，在上单增，在上单减 ∴最大值 综上：当时，日产量为万件日盈利额最大 当时，日产量为3万件时日盈利额最大 18．（25-26学年高一上·浙江宁波六校·期中）大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销，两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销，商品所获得的收益分别为万元与万元，其中， ，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品. （1）假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； （2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益. 【答案】（1）答案见解析     （2）商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元      【分析】 （1）由题意可知，分别代入和运算求解即可； （2）设商品投入万元，则商品投入万元，分和两种情况，利用基本不等式以及二次函数性质运算求解即可. (1) 小问详解： 因为投入10万元，所以， 若只经销商品，则所获得的收益为万元； 若只经销商品，则所获得的收益为万元. (2) 小问详解： 设商品投入万元，则商品投入万元， 可知总收益， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以在上的总收益最大值为16万元； 若，则， 可知的图象开口向下，对称轴为，则， 所以在上的总收益最大值小于万元； 因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元. 19．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝ (A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________． 【答案】60,16 【详解】试题分析：首先的函数值可由表达式直接得出，再根据与的函数值不相等，说明求要用对应的表达式，将方程组联解，可以求出c、A的值． 由题意可得：所以 而可得出故 从而 故答案为 考点：函数模型的选择与应用． 20．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）已知定义在上的单调函数满足，若方程有2个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 由单调性求出解析式，转化为与图像有两个交点，数形结合求的取值范围即可. 【详解】 由题意设，则， 因为函数，，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 当时，， 所以， 则， 设，则与的图象有2个交点． 因为在单调递增且， 所以当时，，则不会有两个交点； 当时，在单调递增，在单调递减，且，可得， 所以． 故答案为：. 21．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）三次方程可以通过坐标变换变形为不含二次项的三次方程.该三次方程其中一个根的求根公式为，其判别式. （1）将三次方程变形为不含二次项的三次方程的形式，并写出变形后方程的其中一个根（无需过程）； （2）方程的三个根分别为，，（）， （ⅰ）求证：； （ⅱ）设函数，为方程的一根，若不等式在上有解，求的取值范围. 【答案】（1），     （2） （ⅰ）设方程的三个根分别为，，（，）， 方程可变形为， 展开得， 对比方程形式可知，，即， 则，， ∴， （ⅱ）      【分析】 （1）根据，代入原方程中化简即可求解， （2）根据方程的根将方程设为，展开与原方程对照，即可求解（ⅰ），对进行讨论，求解不等式即可得解（ⅱ）. (1) 小问详解： 故，代入原方程中得， 化简得， 由于， 其中一根 . (2) 小问详解： （ⅰ）略 （ⅱ）设方程的重根为a，由（ⅰ）知，，不等式可以因式分解为 当时，则 或 或 解得， 此时，， 由于为上的单调递减函数， （2）当时， ① ，此时，. ② 当 时，此时原不等式恒负，无解， 综上，. 22．（25-26学年高一上·浙江宁波·期中）已知函数（其中a为实数），定义域为D. （1）求函数的定义域D； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）若存在，使得方程有解，求实数a的取值范围. 【答案】（1）     （2）或或     （3）      【分析】 （1）解不等式即可得； （2）由题成立，求出的范围，再检验在此范围内不等式恒成立； （3）分，两类讨论，求出方程的根并使得根在一定范围内，列出不等式，解不等式即可. (1) 小问详解： 由，解得， 所以函数的定义域D:； (2) 小问详解： 若对任意，不等式恒成立，则成立， 所以，解得或,或； 当时，可化为， 即成立； 当时，可化为， 即 成立； 当时， 时，，， 所以， ，所以时，. 同理当时，；故时，. 故实数a的取值范围是：或或. (3) 小问详解： 若存在，使得方程有解，即，显然， 当时，上式化为，两边平方化简得，解得， 又； 当时，上式化为， 时，两边平方得，   整理得， 解得，设， 或 ， 代入得 或 ， 解得， 综上： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）若，则（       ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 15 2．（25-26学年高一上·浙江宁波·期中）已知a，b为正实数，则可化简为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）设 ，则（     ） A. -1 B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）已知，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·浙江温州十校联·期中）　　　　　　. 6．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）计算： 7．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）（1）求值： （2）已知，求的值. 8．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）求值：　　　　　　. 9．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）计算：　　　　　　　　　　　. 10．（25-26学年高一上·浙江宁波六校·期中）求值：　　　　　　　　　　. 11．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）（1）计算：； （2）已知集合，，若，求实数的取值范围． 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中）指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中）1986年4月26日，乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染.主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为.专家估计，要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年.到2025年4月26日，原有的锶90还剩（       ） （参考数据：） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·浙江温州十校联·期中）函数与的图象（     ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于直线对称 D. 关于原点对称 4．（25-26学年高一上·浙江温州十校联·期中）若，，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）已知函数图象恒过定点，且点在函数图象上，则的最小值为（     ） A. 4 B. 1 C. 2 D.  6．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）已知，则（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）定义取大函数 ，现有，，则下列结论正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）已知函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·浙江宁波·期中）已知函数 ，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·浙江宁波·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 和表示的是同一个函数 C. 函数的单调递减区间是 D. 已知不等式的解集为，则， 11．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知函数 是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）使得不等式成立的一个充分不必要条件是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中正确的是（     ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 14．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）设，则（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）（多选）若关于的不等式的解集是，则（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·浙江宁波六校·期中）已知，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满……连续进行次后，容器中纯酒精剩下不到，则至少是（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 18．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）已知，函数在上的最大值为，最小值为，则下列式子一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·浙江温州十校联·期中）（多选）关于函数，下列说法正确的是（     ） A. 的定义域是 B. 是偶函数 C. 的值域为 D. 在单调递减 20．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）若函数是指数函数，则实数　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年高一上·浙江宁波·期中）已知函数 ，则　　　　　　　　　　. 22．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）函数的值域为　　　　　　　　　　. 23．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）已知函数是上的奇函数． （1）求实数的值； （2）若函数是上的增函数，求解方程； （3）若函数是上的减函数，且关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 24．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）已知集合，， （1）求； （2）若，求的取值范围. 25．（25-26学年高一上·浙江温州新力量·期中），则满足的实数的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　. 26．（25-26学年高一上·浙江北斗联盟·期中）已知函数. （1）当时，求的值域； （2）若的最小值为，求的值； （3）在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数的取值范围. 27．（25-26学年高一上·浙江金兰教育合·期中）已知函数是上的奇函数，函数. （1）求实数的值； （2）若函数在上的最小值为10，求实数的值. 28．（25-26学年高一上·浙江温州环大罗·期中）函数在单调递减，则的取值范围为　　　　　　. 29．（25-26学年高一上·浙江宁波六校·期中）设 ，若有不相等的实数满足，则的取值范围是　　　　　　. 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·浙江台金七校·期中）已知，那么　　　　　　　　　　. 2．（25-26学年高一上·浙江台金七校·期中）求值： （1）； （2）. 3．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）求值：　　　　　　　　　　　． 4．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）计算　　　　　. 5．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）计算：　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）已知，则　　　　　　． 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·浙江台金七校·期中）“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 2．（25-26学年高一上·浙江台金七校·期中）（多选）如图，这是函数和的大致图象，其中，图象中在点处形成了4条曲线，从左至右分别记为，则（       ） A. 是函数的图象 B. 是函数的图象 C. 是函数的图象 D. 是函数的图象 3．（25-26学年高一上·浙江台金七校·期中）（多选）若，则下列不等式一定成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）若，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）已知，则实数的大小顺序为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）lg－lg25＝　　　　　　　　　　　　. 7．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数 ，若，则的取值范围是　　　　　　　． 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）函数的零点所在的区间是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）（多选）已知函数 ，其中，若存在实数，使得关于的方程恰有三个互异的实数解，则实数的取值可以为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·浙江台金七校·期中）若，则，，的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）（多选）年8月日，我国新疆、西藏等地发生多次至级地震，一般来说，震级在3级以上时，我们称该地震为有感地震（即人们能感觉到此次地震）.里氏震级R与地震释放能量E的关系为.已知6级地震释放的能量为，则下列说法正确的是（     ） A. 震级越大，地震释放的能量越大 B.  C. 8级地震释放的能量为6级地震释放能量的1000倍 D. 某次地震释放的能量为，则该地震为有感地震 5．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）（多选）已知函数 ，若有四个解，且满足，则下列结论正确的是（       ） A. 0 B.  C. 的最小值为 D.  6．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）（多选）定义 已知函数，则下列说法正确的是（     ） A. 当时， B. 若方程有两个不相等的实数根，则 C. 若方程有两个不相等的实数根，则 D. 若，则 7．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）奇函数和偶函数的图象分别如图1、图2所示，方程和的实根个数分别，，则（     ） A. 3 B. 7 C. 10 D. 14 8．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）（多选）根据官方最新统计，截至2025年1月温州市机动车保有量为341.2万辆，这不仅反映了人们的生活水平不断提高；同时也对城市基础设施带来了极大的挑战，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当，车流速度是车流密度的一次函数．规定车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）．下列说法正确的是（     ） A. 若车流密度为50辆/千米时，则车流速度为50千米/小时 B. 若车流密度为50辆/千米时，则车流量为2500辆/小时 C. 当车流密度为200辆/千米时，车流量可以达到最大值 D. 车流量最大值可以达到约为3333辆/小时 9．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）（多选）设函数的定义域为，若对任意，存在唯一的实数满足，则可以是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）已知函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为（       ） A.  B.  C.  D. 1 11．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. （1）分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； （2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 12．（25-26学年高一上·浙江衢州·期中）近年来我市提出了“科技强市”的发展目标，全市各企业积极响应．某企业为进一步提高经济效益，着手研发新产品．现计划投入60万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，在对市场进行调研分析后发现，甲、乙产品的利润与研发投入（单位：万元）满足 ，．设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）． （1）求的表达式； （2）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？ 13．（25-26学年高一上·浙江台州·期中），记 ，若方程有四个不相同的实数根，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年高一上·浙江台州·期中）经过调研发现，某机器工厂每月生产的机器数量（单位：台）和成本（单位：万元）满足如下关系： ．已知该机器的市场售价为1万元/台，且供不应求，记工厂每月的利润为（单位：万元）． （1）求的函数解析式； （2）当成本为多少万元时，该工厂每月的利润最大？最大利润是多少万元？ 15．（25-26学年高一上·浙江丽水发展共·期中）随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵的有效措施.某市城市规划部门为了提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位:千米/小时）和车流密度（单位:辆/千米）所满足的关系式: ，研究表明:当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时的车流速度是0千米/小时. （1）若车流速度不小于20千米/小时，求车流密度的取值范围； （2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位:辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）. 16．（25-26学年高一上·浙江温州·期中）经市场调查，某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数（千人）与时间（天）的函数关系近似满足，人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足 ． （1）求该商场的日收益（千元）与时间（天）的函数关系式； （2）求该商场日收益的最小值． 17．（25-26学年高一上·浙江浙里特色联·期中）工厂生产某种产品，次品率与日产量（万件）间的关系 （为常数，且），已知每生产一件合格产品盈利元，每出现一件次品亏损元. （1）将日盈利额（万元）表示为日产量（万件）的函数； （2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注： ） 18．（25-26学年高一上·浙江宁波六校·期中）大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销，两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销，商品所获得的收益分别为万元与万元，其中， ，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品. （1）假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； （2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益. 19．（25-26学年高一上·浙江台州十校联·期中）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝ (A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________． 20．（25-26学年高一上·浙江浙东北·期中）已知定义在上的单调函数满足，若方程有2个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　　　　　． 21．（25-26学年高一上·浙江高中联盟·期中）三次方程可以通过坐标变换变形为不含二次项的三次方程.该三次方程其中一个根的求根公式为，其判别式. （1）将三次方程变形为不含二次项的三次方程的形式，并写出变形后方程的其中一个根（无需过程）； （2）方程的三个根分别为，，（）， （ⅰ）求证：； （ⅱ）设函数，为方程的一根，若不等式在上有解，求的取值范围. 22．（25-26学年高一上·浙江宁波·期中）已知函数（其中a为实数），定义域为D. （1）求函数的定义域D； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）若存在，使得方程有解，求实数a的取值范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $