相反数、绝对值与数轴 专项训练（六大题型）-2026-2027学年人教版七年级上册数学

七年级上册 第一章 有理数 专项训练 相反数、绝对值与数轴 专项训练（六大题型） 人教版数学七年级上册 （建议用时：100分钟　测试范围：第一章 有理数 1.2 有理数） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．六个考点依次训练：每个考点先看一道例题精讲（含错解示例），再做跟踪训练，跟踪训练按基础、中档、难排列。 2．数轴题先确定原点、正方向和每格表示的长度，再读点或画点；两点在原点两侧时距离用和，同侧时用差。 3．含绝对值、多重符号的数先化简再比较；动点问题要分段、分情况写清依据。 内容速览　六考点 例题精讲6道＋跟踪训练42题（选择21·填空14·解答7） 配套解析：解析版26页，含速查表、答案、分析、详解、错解示例、易错提醒；题目配图15幅 　考点归纳 1．数轴读点与画点：由刻度读出点表示的数（含非整数刻度、原点未标出）、在数轴上画点排序、原点与单位长度改变后的读数、竖直数轴 2．相反数与多重符号化简：相反数的意义、在一个数前面添上“－”号得到它的相反数、多重符号的化简、含字母的式子的相反数 3．绝对值的意义与化简：绝对值的几何意义、|a|＝a与|a|＝－a成立的条件、借助数轴去绝对值符号、绝对值在实际问题中的含义 4．利用数轴比较大小与范围：正数、0、负数的大小关系，两个负数比较大小，字母表示的数的大小，满足条件的数的范围与整数 5．数轴上的距离与动点：两点间的距离、点的移动、线段的中点、动点的相遇与往返 6．综合与新定义：镜像数、倍距点、整点覆盖、折线数轴上的动点、翻折距与分类讨论 　例题精讲01　数轴读点与画点 1．【例题精讲】如图，数轴上的刻度线间隔相同，点A表示－1.2，点B表示0.4，原点没有标出。 (1)每个间隔表示多少个单位长度？原点在点A右侧第几条刻度线处？ (2)点C表示的数是多少？ (3)表示－0.6的点在点A右侧第几条刻度线处？ 【答案】（1）0.2，第6条；（2）1；（3）第3条 【解析】【分析】由两个已知点求每格的长度，是读“不标准”数轴的第一步。 【解答】(1)点A在原点左侧1.2个单位长度，点B在原点右侧0.4个单位长度，A，B两点相距1.2＋0.4＝1.6个单位长度； 图上点A到点B共有8个间隔，所以每个间隔表示1.6÷8＝0.2个单位长度； 点A到原点1.2个单位长度，1.2÷0.2＝6，所以原点在点A右侧第6条刻度线处。 (2)点C在点B右侧3个间隔处，与点B相距3×0.2＝0.6个单位长度，所以点C表示0.4＋0.6＝1。 (3)表示－0.6的点在原点左侧0.6个单位长度，即原点左侧0.6÷0.2＝3个间隔处；原点在点A右侧第6条刻度线处，所以它在点A右侧第6－3＝3条刻度线处。 【错解示例】（错误示范）把每个间隔当成1个单位长度，由点B表示0.4直接得点C表示0.4＋3＝3.4。 【错因】图上刻度线只表示“等分”，每个间隔表示多少要由两个已知点算出来，不能默认是1。 【方法点评】读数轴抓住三件事：原点在哪、正方向朝哪、每格多长；已知两个点就能把这三件事全部求出来，再读任何一个点。 　考点01　数轴读点与画点 2．如图，数轴上相邻两条刻度线之间的距离是1个单位长度，点M正好在两条刻度线的正中间，点M表示的数是(____)。 A．1.5 B．－2.5 C．－1.5 D．－0.5 3．如图，这段数轴上的刻度线间隔相同，只有两条刻度线下方写了数，原点没有标出。点A表示的数是________，点B表示的数是________。 4．把－(＋2.5)，|－1|，，0这四个数分别表示在同一条数轴上，从左往右数，第二个点表示的数是(____)。 A． B．－1 C．0 D．－2.5 5．如图，数轴上的刻度线间隔相同，但原点没有标出。已知点Q表示－1，点S表示1.5，那么点P表示的数的相反数是(____)。 A．3 B．－2 C．2.5 D．2 6．如图，某视频播放器的进度条可以看成一条数轴：以正片开始的位置为原点，向右为正方向，1个单位长度表示1分钟，进度条上的刻度线间隔相同。片头广告开始的位置在点A处，一个精彩片段开始的位置在点B处。点A表示的数是________，从点A开始一直播放到点B，共要播放________分钟。 7．数轴上点A表示－2.4。现在把原点移到原来表示3的点处，并把原来的2个单位长度作为新的1个单位长度（正方向不变），那么在新的数轴上，点A表示的数是(____)。 A．－4.2 B．－2.7 C．0.3 D．－10.8 8．如图，某景区有一部连接山顶观景台、入口平台和地下溶洞的观光电梯。把电梯井看成一条竖直的数轴：以入口平台为原点，向上为正方向，1个单位长度表示20m，图中相邻两条刻度线间隔1个单位长度。观景台、换乘厅、溶洞分别在点A，B，C处，点B在两条刻度线的正中间。 (1)分别写出点A，B，C表示的数； (2)游客从观景台乘电梯直达溶洞，电梯运行了多少米？ (3)要在换乘厅与溶洞的正中间加设一个应急平台D，点D表示的数是多少？应急平台在入口平台下方多少米？ 　例题精讲02　相反数与多重符号化简 9．【例题精讲】已知－[－(＋x)]与＋互为相反数，求x的值（结果写成小数），并求－{－[－x]}的值。 【答案】x＝－3.6，－{－[－x]}＝3.6 【解析】【分析】先把两个多重符号式分别化简，再用“只有符号不同的两个数互为相反数”求x。 【解答】－[－(＋x)]中有2个“－”号，化简得x；＋中有2个“－”号，化简得＝3.6； x与3.6互为相反数，所以x＝－3.6； －{－[－x]}中有3个“－”号，化简得－x，把x＝－3.6代入，－x＝－(－3.6)＝3.6。 【错解示例】（错误示范）看到＋的最外层是“＋”号，就认为它等于－3.6，得x＝3.6。 【错因】多重符号的结果只由“－”号的个数决定，与最外层是“＋”还是“－”无关。 【方法点评】含字母的多重符号式同样数“－”号化简；x本身可能是负数，所以－x不一定是负数，代入时要给负数加括号。 　考点02　相反数与多重符号化简 10．下列各式：①－(－4.8)；②－(＋4.8)；③－[－(＋4.8)]；④－[＋(＋4.8)]；⑤＋[＋(＋4.8)]。化简后结果等于－4.8的有(____)。 A．4个 B．2个 C．1个 D．3个 11．化简下列各式，第一个结果写成小数，第二个结果写成分数：＝________；＋{－[＋(＋0.375)]}＝________。 12．设a表示一个有理数，下列说法中正确的是(____)。 A．－a一定是负数 B．a的相反数一定比a小 C．若a＝－a，则a是负数 D．－a的相反数是a 13．如图，数轴上点A表示的数是a。对于下面四个式子：①－a；②－(－a)；③－[－(－a)]；④＋[－(＋a)]，化简后所表示的点与点A重合的是________（填序号），位于原点右侧的是________（填序号）。 14．某记账软件中，收入记为正数、支出记为负数；每对一条记录点一次“撤销”，软件就在这条记录前面添上一个“－”号。小林的三条记录是：支出36.5元（撤销了1次）、收入20元（撤销了2次）、支出12.4元（撤销了3次）。这三条记录最终表示的数的和是(____)。 A．68.9 B．28.9 C．48.9 D．44.1 15．数轴上表示正整数a与它的相反数－a的两个点之间（不含这两个点）恰好有9个表示整数的点，则－[－(－a)]＝________；若把“不含这两个点”改为“含这两个点”，其余条件不变，则a＝________。 16．在数3.5的前面依次添上n个“－”号，每添一个都把前面得到的式子整体加上括号，得到的式子记作第n个式子。例如，第1个式子是－3.5，第2个式子是－(－3.5)，第3个式子是－[－(－3.5)]。 (1)化简第5个式子和第6个式子； (2)第1个到第20个式子中，化简后结果是负数的有几个？第99个式子化简后是多少？ (3)任意相邻的两个式子（第k个与第(k＋1)个）化简后的结果有什么关系？在数轴上表示它们的两个点相距多少个单位长度？ (4)在数轴上画出表示第1个到第20个式子化简结果的点，一共能画出几个不同的点？ 　例题精讲03　绝对值的意义与化简 17．【例题精讲】有理数x，y满足：x的绝对值是2.5，y的绝对值是，并且|x|＝－x，|y|＝y（结果写成小数）。 (1)求x，y的值； (2)把x，y，－x，－y按从小到大的顺序用“＜”连接起来； (3)求数轴上表示x，y的两个点之间的距离。 【答案】（1）x＝－2.5，y＝1.2；（2）x＜－y＜y＜－x；（3）3.7 【解析】【分析】绝对值只确定“离原点多远”，正负号要由另外的条件确定。 【解答】(1)绝对值是2.5的数有2.5和－2.5两个；|x|＝－x说明x是负数或0，所以x＝－2.5。 绝对值是的数有和两个，＝1.2；|y|＝y说明y是正数或0，所以y＝1.2。 (2)x＝－2.5，－y＝－1.2，y＝1.2，－x＝2.5；两个负数比较，绝对值大的反而小，－2.5＜－1.2，所以x＜－y＜y＜－x。 (3)表示x的点在原点左侧2.5个单位长度，表示y的点在原点右侧1.2个单位长度，两点相距2.5＋1.2＝3.7个单位长度。 【错解示例】（错误示范）由“x的绝对值是2.5”直接写出x＝2.5，又由y的绝对值是写出y＝±1.2。 【错因】漏用了|x|＝－x与|y|＝y这两个条件：它们分别说明x不是正数、y不是负数。 【方法点评】已知一个数的绝对值，这个数一般有两个（互为相反数）；再结合“|a|＝a说明a是正数或0，|a|＝－a说明a是负数或0”就能确定唯一的值。 　考点03　绝对值的意义与化简 18．－|－的相反数是(____)。 A． B． C． D． 19．若|x|＝x，且x是绝对值小于3.2的整数，则x可以取的值共有________个，这些值的和是________。 20．如图，数轴上的两个点分别表示有理数a，b，化简|a|＋|b|的结果是(____)。 A．a＋b B．a－b C．－a－b D．－a＋b 21．某车站把列车实际到站时刻与计划到站时刻的差叫作偏差：晚到记为正数，早到记为负数（单位：min），偏差的绝对值不超过1的算作准点。某天上午6趟列车的偏差依次为－1.5，＋0.5，＋1，－0.8，＋2，－1。这6趟列车中准点的有________趟；偏离计划时刻最多的一趟列车是________（填“早到”或“晚到”）了________min。 22．满足|x|＋x＝0且x的绝对值小于3的整数x共有(____)。 A．3个 B．2个 C．5个 D．4个 23．若|－x|＝－x，且表示x的点在表示－1.5的点的右侧，则满足条件的最小整数x是(____)。 A．－2 B．0 C．－1 D．1 24．某粮油店购进一批标注为每袋500g的小包装大米，抽检8袋，超出500g的克数记为正数，不足的克数记为负数，结果如下（单位：g）：＋3.5，－2，＋1.2，－4.5，0，－0.8，＋2.6，－1.5。店里规定：偏差的绝对值不超过2的为一等品，大于2且不超过4的为二等品，其余为不合格品。 (1)这8袋中一等品、二等品、不合格品各有几袋？ (2)这8袋中最重的一袋比最轻的一袋重多少克？ (3)又抽检了一袋，它的偏差x满足|x|＝－x，并且是二等品，写出x的取值范围。 　例题精讲04　利用数轴比较大小与范围 25．【例题精讲】写出满足－(＋＜x＜|－的所有整数x，并求这些整数的绝对值之和。 【答案】整数x共4个（从－2到1）；绝对值之和为4 【解析】【分析】先化简端点，再借助数轴从左往右找整数，端点能不能取到要看清。 【解答】先化简两端：－(＋＝＝－2.6，|－＝＝1.75，所以－2.6＜x＜1.75； 在数轴上，表示x的点在表示－2.6的点右侧，并且在表示1.75的点的左侧； －3在－2.6的左侧，不符合；从－2起向右依次是－2，－1，0，1，2，其中2在1.75的右侧，不符合； 所以整数x为－2，－1，0，1，它们的绝对值之和是2＋1＋0＋1＝4。 【错解示例】（错误示范）把“比－2.6大”理解成“绝对值比2.6大”，写出－3，从而得到x为－3，－2，－1，0，1。 【错因】两个负数比较大小，绝对值大的反而小：－3的绝对值大于2.6，所以－3＜－2.6，不在范围内。 【方法点评】求“范围内的整数”，把两个端点画在数轴上，从左端点右边第一个整数数到右端点，最不容易漏数或多数。 　考点04　利用数轴比较大小与范围 26．下面是四个湖泊湖面的海拔（约数）：死海－430m，里海－28m，太湖＋3m，加利利海－212m。湖面海拔最低的湖与最高的湖分别是(____)。 A．里海，太湖 B．死海，太湖 C．太湖，死海 D．里海，死海 27．某日清晨，两个冷库的温度分别是℃和－0.45℃，温度较低的是第________个冷库；另有两份记录分别写成－|－2.6|℃和－(＋℃，化简后比较，这两个温度________（填“相等”或“不相等”）。 28．如图，数轴上的点A，B都在两条刻度线的正中间。有理数c表示的点在A，B两点之间，并且c的相反数大于点B表示的数，则c可能是(____)。 A．－1 B．－3 C．1 D．－2 29．冷链运输车厢内的温度要保持在－20℃到－15℃之间（包括－20℃和－15℃）。一位质检员把七次读数记成了下面的式子（有的没有化简，单位：℃）：－(－16)，－|－17.5|，－21，－15.2，－|－15|，－(＋19.8)，－14.6。其中符合要求的读数有(____)。 A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 30．若整数x满足：表示x的点到原点的距离小于表示的点到原点的距离，并且x的相反数不小于－1，则x可以取的值有________个，其中绝对值最大的一个是________。 31．有理数a，b在数轴上对应的点分别在原点的两侧，表示a的点在原点左侧，且它到原点的距离是表示b的点到原点距离的2倍。若0.6＜b＜1，则a可能是(____)。 A．－0.4 B．1.5 C．－1.5 D．－2.8 32．如图，有理数a，b，c在数轴上对应的点依次是A，B，C（图中只标出了0和1）。 (1)在这条数轴上大致画出a，b，c的相反数所对应的点，并把这六个数用“＜”连接起来； (2)比较|a|与|b|的大小，并化简|c|； (3)若有理数x表示的点在b的相反数所对应的点与点A之间（不含这两个点），化简|x|，并写出这样的x中所有的整数。 　例题精讲05　数轴上的距离与动点 33．【例题精讲】一款横版闯关游戏把地面看成一条数轴，角色的出发点A表示－3.5，角色向右走了m个单位长度（m＞0），停在点B处。 (1)若点B与点A表示的数互为相反数，求m； (2)若点B到原点的距离是1.5，求m； (3)若A，B两点到表示1的点的距离相等，求m。 【答案】（1）m＝7；（2）m＝2或m＝5；（3）m＝9 【解析】【分析】移动问题先确定终点的所有可能位置，再用“同侧用差、两侧用和”求移动的距离。 【解答】(1)－3.5的相反数是3.5，点B表示3.5；点A到原点3.5个单位长度，原点到点B也是3.5个单位长度，所以m＝3.5＋3.5＝7。 (2)到原点距离是1.5的点表示1.5或－1.5。点B表示－1.5时，它在点A右侧，m＝3.5－1.5＝2；点B表示1.5时，m＝3.5＋1.5＝5；所以m＝2或m＝5。 (3)点A在表示1的点左侧，与它相距1＋3.5＝4.5个单位长度；点B与点A不重合（m＞0），又到表示1的点距离相等，所以点B在表示1的点右侧4.5个单位长度处，表示1＋4.5＝5.5； 点A到点B的距离是3.5＋5.5＝9，所以m＝9。 【错解示例】（错误示范）(2)只想到点B在原点右侧，写成m＝3.5＋1.5＝5，漏掉了点B表示－1.5的情况。 【错因】“到原点的距离是1.5”的点有两个，点A向右移动时先经过表示－1.5的点，再经过表示1.5的点，两种情况都成立。 【方法点评】题目给出“距离”而没给方向时，终点往往有两个；逐一检验它们是否满足“向右移动”等附加条件，再下结论。 　考点05　数轴上的距离与动点 34．数轴上点A表示－3.5，点B表示2.25，A，B两点之间的距离是(____)。 A．5.75 B．1.25 C．－5.75 D．－1.25 35．把竖直方向看成一条数轴，以海平面为原点，向上为正方向，1个单位长度表示1m。一名潜水员从海平面下8m处先下潜6.5m，再上浮11m，这时他的位置在数轴上表示的数是________，他在海平面下________m处。 36．在数轴上，以表示－1的点为一个端点画一条长3.5个单位长度的线段（线段画在哪一侧没有限定），线段的另一个端点表示的数是(____)。 A．2.5 B．－4.5 C．－2.5或4.5 D．－4.5或2.5 37．如图，把商场的电梯井看成一条竖直的数轴：以一楼地面为原点，向上为正方向，1个单位长度表示1m。电梯从地下车库的点P处（表示－7.5）出发，以每秒1.5m的速度匀速上升，一直到达顶层的点Q处（表示12），电梯上升用的时间是(____)。 A．8秒 B．13秒 C．3秒 D．29.25秒 38．数轴上点A表示－4.6，点B表示的数是x。已知线段AB的中点表示－1.2，那么x＝________，点B与表示6的点相距________个单位长度。 39．如图，一条数轴上标出了点A（表示－3）和点B（表示5）。动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，到达点B后立即按原速度返回。运动7秒时，点P表示的数是(____)。 A．－1 B．11 C．－4 D．2 40．如图，点A，B在数轴上，分别对应－9和13。动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动；2秒后，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动。设点P运动的时间为t秒。 (1)当t＝2时，点P表示什么数？这时两个动点之间的距离是多少？ (2)t为何值时P，Q两点相遇？相遇点表示的数是多少？ (3)t为何值时，P，Q两点相距6个单位长度？ 　例题精讲06　综合与新定义 41．【例题精讲】规定：在数轴上，若表示数a与表示数b的两个点分别在表示数m的点的两侧，且到这个点的距离相等，就称b是a关于m的“镜像数”（a＝m时，a关于m的镜像数就是m）。 (1)求3.5关于2的镜像数b，再求b关于－1的镜像数c； (2)任取一个数a，先求a关于2的镜像数，再求所得的数关于－1的镜像数，最后的结果与a有什么关系？用a＝－2，a＝6验证你的发现； (3)若(2)中最后得到的数与a互为相反数，求a。 【答案】（1）b＝0.5，c＝－2.5；（2）结果比a小6；（3）a＝3 【解析】【分析】新定义题先用具体的数读懂定义，再从几个例子中找规律，最后用规律解决问题。 【解答】(1)表示3.5的点在表示2的点右侧1.5个单位长度，它的镜像点在表示2的点左侧1.5个单位长度，b＝2－1.5＝0.5； 表示0.5的点在表示－1的点右侧1.5个单位长度，它的镜像点在表示－1的点左侧1.5个单位长度，也就是原点左侧1＋1.5＝2.5个单位长度处，c＝－2.5。 (2)由(1)，3.5经过两次镜像变为－2.5，比3.5小6； 验证a＝－2：表示－2的点在表示2的点左侧4个单位长度，镜像点在表示2的点右侧4个单位长度，表示6；表示6的点在表示－1的点右侧7个单位长度，镜像点在表示－1的点左侧7个单位长度，表示－8；表示－8的点在表示－2的点左侧6个单位长度，比－2小6； 验证a＝6：表示6的点在表示2的点右侧4个单位长度，镜像点在表示2的点左侧4个单位长度，表示－2；表示－2的点在表示－1的点左侧1个单位长度，镜像点在表示－1的点右侧1个单位长度，表示0；0比6小6。 所以两次镜像后的结果比a小6，表示它的点在表示a的点左侧6个单位长度处。 (3)由(2)，最后得到的数与a所表示的两个点相距6个单位长度；它们互为相反数，两点分别在原点两侧且到原点的距离相等，各为6÷2＝3； 最后得到的数在a的左侧，所以a在原点右侧，a＝3（此时最后得到的数是－3，与3互为相反数）。 【错解示例】（错误示范）把3.5关于2的镜像数算成2－3.5＝－1.5。 【错因】镜像数不是“m减去a”：要先求a到m的距离，再从m向另一侧量出同样的距离，3.5关于2的镜像数是2－(3.5－2)＝0.5。 【方法点评】两次镜像相当于一次平移：“关于2”再“关于－1”，两面镜子相距3，点就向左移动了2×3＝6个单位长度。由特殊到一般的归纳，是探究新定义的常用方法。 　考点06　综合与新定义 42．按本考点例题中“镜像数”的规定，如图，3关于1的镜像数是－1。那么－2.5关于－1的镜像数是(____)。 A．2.5 B．－4 C．0.5 D．－3.5 43．仍按“镜像数”的规定：若x关于2的镜像数是－3.6，则x＝________；若0.8关于m的镜像数是－5.2，则m＝________。 44．数轴上点A表示－2，点B与点A相距3.5个单位长度，点C与点B相距1.5个单位长度，那么点C表示的数中，最小的与最大的分别是(____)。 A．0，3 B．－4，3 C．－7，－4 D．－7，3 45．规定：若数轴上的点C到点A的距离与它到点B的距离之和，恰好等于线段AB长度的2倍，就称点C是A，B的“倍距点”。已知点A表示－1，点B表示3，那么A，B的倍距点表示的数是________。 46．把数轴上表示整数的点叫作整点。一条长4.5个单位长度的线段AB画在数轴上（点A在点B左侧），点A表示的数a是负数，且线段AB盖住的整点中（含端点），恰好有2个表示负整数。那么a的取值范围是________，线段AB盖住的整点共有________个。 47．如图，把一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中点A表示－8，点B表示6，点C表示16，折线上相邻两点的距离与它们在原数轴上的距离相同。动点P从点A出发沿折线向点C方向运动，同时动点Q从点C出发沿折线向点A方向运动。两点在O，B之间运动时的速度都是每秒1个单位长度，在其他路段运动时的速度都是每秒2个单位长度。 (1)点P从点A运动到点C共需多少秒？ (2)P，Q两点在运动几秒时相遇？相遇点表示的数是多少？ (3)当点P到达点B时，点Q在何处？此时P，Q两点之间（沿折线）相距多少个单位长度？ (4)P，Q两点谁先到达终点？ 48．规定：数轴上点M，N分别表示数m，n，把表示m的相反数的点与点N之间的距离，叫作点M到点N的“翻折距”。例如，点M表示1，点N表示4时，表示－1的点与点N相距5，所以点M到点N的翻折距是5。 (1)若点M表示－2.5，点N表示4，分别求点M到点N的翻折距与点N到点M的翻折距； (2)若点M表示3，点M到点N的翻折距是5，求点N表示的数； (3)点M从表示－6的点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时点N从表示1的点出发，以每秒0.5个单位长度的速度向右运动。经过几秒，点M到点N的翻折距为0？经过几秒，翻折距为1？ 　参考答案与解析 　客观题答案速查 题号 2 3 4 5 6 7 答案 C －3；0.5 A D －0.8；3.2 B 题号 10 11 12 13 14 15 18 答案 B 1.25； D ②；①③④ A －5；4 C 题号 19 20 21 22 23 26 答案 4；6 D 4；晚到；2 A C B 题号 27 28 29 30 31 34 答案 一；相等 D B 5；－3 C A 题号 35 36 37 38 39 42 答案 －3.5；3.5 D B 2.2；3.8 A C 题号 43 44 45 46 答案 7.6；－2.2 D －3或5 －3＜a≤－2；4或5 　考点01　数轴读点与画点 2．【答案】C 【解析】【分析】先确定点M在哪两条刻度线之间，再看它离原点多远、在原点的哪一侧。 【详解】点M在表示－2与－1的两条刻度线正中间，它离表示－1的点0.5个单位长度，并且在这个点的左侧； 所以点M在原点左侧，与原点的距离是1＋0.5＝1.5个单位长度，点M表示的数是－1.5。 所以选C。 A项：只看点M与原点的距离1.5，漏写了负号，按此错法真算得1.5；B项：把点M看成在表示－2的点左侧半格处，列式－2－0.5，按此错法真算得－2.5；D项：从表示－1的点向右数了半格，列式－1＋0.5，按此错法真算得－0.5。 【易错提醒】读负半轴上的点，先看它与原点的距离，再在前面添上“－”号；从哪条刻度线出发、向哪边数要看清。 3．【答案】－3；0.5 【解析】【分析】先由两条标了数的刻度线算出每个间隔表示多少个单位长度，再从最近的已知点数格子。 【详解】从表示－2的点到原点有2个单位长度，从原点到表示1的点有1个单位长度，两点之间共3个单位长度； 图上这两条刻度线之间有6个间隔，所以每个间隔表示3÷6＝0.5个单位长度； 点A在表示－2的点左侧2个间隔处，与它相距2×0.5＝1个单位长度，所以点A表示－3； 点B在表示1的点左侧1个间隔处，与它相距0.5个单位长度，所以点B表示1－0.5＝0.5。 所以答案为－3；0.5。 【易错提醒】刻度线上没有写1时，不能默认一格就是1个单位长度，要先由两个已知数算出每格的长度。 4．【答案】A 【解析】【分析】先把每个数化简，再按“负数在原点左侧、离原点越远越靠左”确定四个点的左右顺序。 【详解】先化简：－(＋2.5)＝－2.5，|－1|＝1，＝－0.75，0仍是0； 在数轴上，负数在原点左侧，离原点越远越靠左：－2.5离原点2.5个单位长度，－0.75离原点0.75个单位长度，所以－2.5在的左侧； 四个点从左到右依次表示－2.5，，0，1，第二个点表示的数是。 所以选A。 B项：把|－1|当成了－1，四个点从左到右依次表示－2.5，－1，，0，按此错法会选－1；C项：按从右往左的顺序数，数到的第二个点是表示0的点，按此错法会选0；D项：以为负数的绝对值越大，表示它的点越靠右，排成，－2.5，0，1，按此错法会选－2.5。 【易错提醒】带符号或绝对值的数先化简再画点；负数离原点越远越靠左。 5．【答案】D 【解析】【分析】用已知的两个点求出每个间隔表示的长度，从点Q向左数格子求出点P表示的数，再写出它的相反数。 【详解】点Q表示－1，点S表示1.5，这两个点之间的距离是1＋1.5＝2.5个单位长度； 图上点Q到点S共有5个间隔，所以每个间隔表示2.5÷5＝0.5个单位长度； 点P在点Q左侧2个间隔处，与点Q相距2×0.5＝1个单位长度；从表示－1的点向左移动1个单位长度，到达表示－2的点，所以点P表示－2； －2的相反数是2。 所以选D。 A项：把每个间隔当成1个单位长度，得点P表示－1－2＝－3，它的相反数是3，按此错法真算得3；B项：求出点P表示－2后，忘记再求它的相反数，按此错法真算得－2；C项：从点Q向左数间隔时多数了一格，得点P表示－1－3×0.5＝－2.5，它的相反数是2.5，按此错法真算得2.5。 【易错提醒】原点没有标出时，先用两个已知点算出每格的长度；题目问的是相反数，最后一步别漏。 6．【答案】－0.8；3.2 【解析】【分析】先求每格表示几分钟，再读出点A，B表示的数；两点在原点两侧，距离是它们到原点距离的和。 【详解】表示0与1的两条刻度线之间有5个间隔，所以每个间隔表示1÷5＝0.2个单位长度，即0.2分钟； 点A在原点左侧4个间隔处，与原点相距4×0.2＝0.8，所以点A表示－0.8； 点B在原点右侧12个间隔处，表示12×0.2＝2.4； 点A在原点左侧0.8个单位长度，点B在原点右侧2.4个单位长度，A，B两点相距0.8＋2.4＝3.2个单位长度，所以要播放3.2分钟。 故填－0.8；3.2。 【错解示例】（错误示范）把每个间隔当作1分钟，得点A表示－4，A，B两点相距4＋12＝16，要播放16分钟。 【错因】进度条上0与1之间有5个间隔，每个间隔只表示0.2分钟，读数前要先求每格的长度。 【易错提醒】两点在原点两侧时，它们之间的距离等于两点到原点的距离之和，不是相减。 7．【答案】B 【解析】【分析】数轴上一个点表示的数由“在原点哪一侧”和“离原点几个单位长度”决定，两件事都要按新数轴重新确定。 【详解】在原来的数轴上，点A在原来表示3的点（新原点）左侧，两点相距3＋2.4＝5.4个原单位长度； 新的1个单位长度等于原来的2个单位长度，所以5.4个原单位长度是5.4÷2＝2.7个新单位长度； 点A在新原点左侧，所以在新数轴上点A表示－2.7。 所以选B。 A项：先把－2.4除以2得－1.2，再减去3，把移原点的3没有换成新单位，按此错法真算得－4.2；C项：把移原点的方向弄反，算成(－2.4＋3)÷2，按此错法真算得0.3；D项：以为单位长度变大时距离要乘2，算成(－2.4－3)×2，按此错法真算得－10.8。 【点评】点本身没有动，变的是原点和单位长度；把“离新原点多远、在哪一侧”两件事分开处理，就不会把次序弄乱。 【易错提醒】原点、单位长度都改变时，先在原数轴上求距离，再换算成新单位；最后看点在新原点哪一侧定符号。 8．【答案】（1）A：3，B：－1.5，C：－4；（2）140m；（3）－2.75，下方55m 【解析】【分析】先读出三个点表示的数，再按“两点在原点两侧用和、同侧用差”求距离，最后把单位长度换算成米。 【解答】(1)竖直数轴向上为正方向，原点上方的点表示正数，下方的点表示负数。点A在原点上方第3条刻度线处，表示3；点B在原点下方第1与第2条刻度线的正中间，离原点1.5个单位长度，表示－1.5；点C在原点下方第4条刻度线处，表示－4。 (2)点A在原点上方3个单位长度，点C在原点下方4个单位长度，A，C两点相距3＋4＝7个单位长度； 1个单位长度表示20m，所以电梯运行了7×20＝140（m）。 (3)点B表示－1.5，点C表示－4，B，C两点都在原点下方，相距4－1.5＝2.5个单位长度； 点D在B，C正中间，与点B相距2.5÷2＝1.25个单位长度，且在点B下方，所以点D离原点1.5＋1.25＝2.75个单位长度，点D表示－2.75； 2.75×20＝55（m），所以应急平台在入口平台下方55m。 【错解示例】（错误示范）(2)用3－4＝－1，认为A，C两点相距1个单位长度，电梯运行了1×20＝20（m）。 【错因】点A在原点上方、点C在原点下方，两点在原点两侧，距离是3＋4＝7，不是3与4的差。 【点评】竖直数轴与水平数轴的读法一样，只是“右”换成了“上”；求中点时先求两点距离的一半，再从较近的点出发去数。 【易错提醒】竖直数轴向上为正，读原点下方的点要添“－”号；同在原点一侧的两点，距离是它们到原点距离的差。 　考点02　相反数与多重符号化简 10．【答案】B 【解析】【分析】逐个数出每个式子中“－”号的个数，奇数个结果为负，偶数个结果为正。 【详解】多重符号化简只看“－”号的个数：“－”号有奇数个，结果为负；有偶数个，结果为正；“＋”号不改变符号。 ①－(－4.8)中有2个“－”号，化简得4.8； ②－(＋4.8)中有1个“－”号，化简得－4.8； ③－[－(＋4.8)]中有2个“－”号，化简得4.8； ④－[＋(＋4.8)]中有1个“－”号，化简得－4.8； ⑤＋[＋(＋4.8)]中有0个“－”号，化简得4.8； 化简后等于－4.8的是②④，共2个。 所以选B。 A项：只看最外层的符号定正负，按此错法会选4个；C项：只看紧挨着4.8的那个符号定正负，按此错法会选1个；D项：把“＋”号也当成改变符号，按全部符号的个数定正负，按此错法会选3个。 【易错提醒】化简多重符号只数“－”号的个数，与“＋”号的个数、最外层是什么符号都无关。 11．【答案】1.25； 【解析】【分析】数“－”号的个数定符号，数本身的绝对值不变。 【详解】中有4个“－”号，是偶数个，结果为正，＝＝1.25； ＋{－[＋(＋0.375)]}中只有1个“－”号，是奇数个，结果为负，＋{－[＋(＋0.375)]}＝－0.375＝。 因此应填1.25；。 【易错提醒】“－”号有偶数个时结果为正，也可以从里往外一层一层去括号，每遇到一个“－”号就取一次相反数。 12．【答案】D 【解析】【分析】字母可以表示任意有理数，用正数、0、负数分别代入检验，找出对所有a都成立的说法。 【详解】在－a前面再添一个“－”号得－(－a)＝a，所以－a的相反数是a，这一说法正确； 当a＝－2时，－a＝2是正数，所以“－a一定是负数”不对；此时a的相反数2比a大，所以“a的相反数一定比a小”不对； a＝－a说明表示a的点与表示－a的点重合，只有原点满足，所以a＝0，“a是负数”不对。 所以选D。 A项：以为－a一定是负数，没有想到a是负数时－a是正数，按此错法会选－a一定是负数；B项：以为一个数的相反数一定比它小，没有想到a是负数时a的相反数比a大，按此错法会选a的相反数一定比a小；C项：把“a＝－a”错当成“a是负数”，实际上只有0满足a＝－a，按此错法会选若a＝－a，则a是负数。 【易错提醒】字母a可以表示正数、负数或0，－a不一定是负数；判断含字母的说法时，正数、0、负数三种情况都要试。 13．【答案】②；①③④ 【解析】【分析】先数“－”号把每个式子化成a或－a，再由点A的位置判断a的正负。 【详解】先化简：①－a；②－(－a)＝a；③－[－(－a)]中有3个“－”号，化简得－a；④＋[－(＋a)]中有1个“－”号，化简得－a； 所以与点A重合的是②； 由图可知点A在原点左侧，a是负数，－a是正数，所以①③④表示的点都在原点右侧。 所以答案是②；①③④。 【易错提醒】－a不一定在原点左侧：a是负数时，－a是正数，表示－a的点在原点右侧。 14．【答案】A 【解析】【分析】把每次“撤销”看成在前面添一个“－”号，连同原记录的符号一起数“－”号的个数，化简后再相加。 【详解】添一次“－”号就得到原数的相反数。支出36.5元记作－36.5，撤销1次后变为－(－36.5)＝36.5； 收入20元记作20，撤销2次后变为－(－20)＝20； 支出12.4元记作－12.4，撤销3次后变为－[－(－(－12.4))]，有4个“－”号，化简得12.4； 三条记录最终的和是36.5＋20＋12.4＝68.9。 所以选A。 B项：以为撤销偶数次也会改变符号，把收入20元当成了支出，从和中减去20，按此错法真算得28.9；C项：漏看了收入20元这条记录，只把另外两条撤销后的结果相加，按此错法真算得48.9；D项：数“－”号时漏掉了第三条原记录本身的“－”号，以为有3个“－”号，把它当成了支出，从和中减去12.4，按此错法真算得44.1。 【易错提醒】撤销几次就在前面添几个“－”号，偶数次撤销等于没撤销；原记录本身的“－”号也要算进去。 15．【答案】－5；4 【解析】【分析】表示a与－a的点到原点距离相等，先数出它们之间整数点的个数与a的关系，再由个数求a。 【详解】表示a与－a的两个点关于原点左右对称，它们之间的整数点中，原点占1个，其余的在原点左右两侧，个数相同； 不含两端时，除原点外还有9－1＝8个整数点，两侧各有8÷2＝4个，即1，2，3，4与－1，－2，－3，－4，所以a是4后面的整数5，a＝5；－[－(－a)]中有3个“－”号，化简得－a＝－5； 含两端时，除原点外两侧仍各有4个整数点，并且最外侧的两个就是表示a与－a的点，所以a＝4。 故答案为－5；4。 【错解示例】（错误示范）漏数了原点，把9个整数点平均分到原点两侧，每侧9÷2＝4.5个，得a＝4.5＋1＝5.5。 【错因】原点也是整数点，要先去掉原点再平分：(9－1)÷2＝4，两侧各4个，a＝5；而且a是正整数，5.5不合题意。 【易错提醒】数整数点时原点也是整数点，别漏掉；“含”与“不含”两端点，个数相差2。 16．【答案】（1）－3.5，3.5；（2）10个，－3.5；（3）互为相反数，相距7个单位长度；（4）2个 【解析】【分析】第n个式子中有n个“－”号，化简结果由n的奇偶决定。 【解答】(1)第n个式子中有n个“－”号。第5个式子有5个“－”号，是奇数个，化简得－3.5；第6个式子有6个“－”号，是偶数个，化简得3.5。 (2)n为奇数时化简结果是－3.5，n为偶数时是3.5；1到20中奇数有10个，所以化简后是负数的有10个；99是奇数，第99个式子化简后是－3.5。 (3)k与k＋1一个是奇数、一个是偶数，两个化简结果一个是－3.5、一个是3.5，互为相反数；表示它们的两个点在原点两侧，到原点的距离都是3.5，相距3.5＋3.5＝7个单位长度。 (4)化简结果只有－3.5和3.5两个数，所以只能画出2个不同的点。 【错解示例】（错误示范）(2)以为添的“－”号越多结果越小，认为20个式子化简后都是－3.5，负数有20个。 【错因】只有“－”号个数为奇数时结果才是－3.5，偶数个时结果是3.5。 【点评】从具体的第1、2、3个式子入手，找出“奇数个－号得负、偶数个得正”的规律，再用规律判断任意一个式子，是探究规律的常用思路。 【易错提醒】n个“－”号的式子，化简结果只由n的奇偶决定；相邻两个式子的结果互为相反数。 　考点03　绝对值的意义与化简 18．【答案】C 【解析】【分析】先去掉绝对值符号化简－|－，再求化简结果的相反数。 【详解】|－＝，所以－|－＝； 的相反数是。 所以选C。 A项：化简得－|－＝后，忘记再求它的相反数，按此错法真算得；B项：把“求相反数”错当成“求倒数”，写出了的倒数，按此错法真算得；D项：既求了相反数又取了倒数，按此错法真算得。 【易错提醒】先算绝对值，再看绝对值号外面的“－”号，最后按题目要求求相反数，三步不能省。 19．【答案】4；6 【解析】【分析】|x|＝x说明x是正数或0，再在绝对值小于3.2的整数中挑出符合的数。 【详解】一个正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以|x|＝x说明x是正数或0； 绝对值小于3.2的整数中，是正数或0的有0，1，2，3，共4个； 它们的和是0＋1＋2＋3＝6。 所以答案为4；6。 【易错提醒】|x|＝x成立时x可以是0，别只写正数。 20．【答案】D 【解析】【分析】先由点的位置判断a，b的正负，再分别去掉绝对值符号。 【详解】由图可知，表示a的点在原点左侧，a是负数，所以|a|＝－a； 表示b的点在原点右侧，b是正数，所以|b|＝b； 所以|a|＋|b|＝－a＋b。 所以选D。 A项：把|a|直接写成a，没有注意a是负数，按此错法会选a＋b；B项：把a，b的正负判断反了，按此错法会选a－b；C项：以为去掉绝对值符号后都要添上“－”号，按此错法会选－a－b。 【易错提醒】去绝对值符号先看里面的数是正是负：正数照写，负数写成它的相反数。 21．【答案】4；晚到；2 【解析】【分析】偏差的绝对值表示偏离计划时刻的时间，正负号表示早到还是晚到，分开判断。 【详解】6个偏差的绝对值依次是1.5，0.5，1，0.8，2，1； 绝对值不超过1的有0.5，1，0.8，1，对应＋0.5，＋1，－0.8，－1这4趟，所以准点的有4趟（偏差为＋1和－1的两趟恰好在界限上，也算准点）； 偏离计划时刻的多少看偏差的绝对值，绝对值最大的是|＋2|＝2，它是正数，表示晚到，所以这趟列车晚到了2min。 故填4；晚到；2。 【错解示例】（错误示范）把偏差为－1的一趟当成不准点，只数出＋0.5，＋1，－0.8这3趟准点。 【错因】准点的条件是偏差的绝对值不超过1，|－1|＝1，这趟也准点；“不超过”包括等于。 【易错提醒】“不超过1”包括等于1；偏离的多少看绝对值，早到还是晚到看正负号。 22．【答案】A 【解析】【分析】把|x|＋x＝0化成|x|＝－x，得出x是负数或0，再在绝对值小于3的整数中挑选。 【详解】|x|＋x＝0，即|x|＝－x，一个数的绝对值等于它的相反数，说明这个数是负数或0； 绝对值小于3的整数有－2，－1，0，1，2，其中是负数或0的有－2，－1，0； 所以满足条件的整数共有3个。 所以选A。 B项：漏掉了x＝0（0的绝对值与0的和也是0），按此错法会选2个；C项：没有用条件|x|＋x＝0，把绝对值小于3的整数都算上了，按此错法会选5个；D项：把“绝对值小于3”当成了“绝对值不大于3”，多算了x＝－3，按此错法会选4个。 【易错提醒】|x|＝－x时x可以是0；“绝对值小于3”不含3，负整数到－2为止。 23．【答案】C 【解析】【分析】绝对值等于它本身的数是正数或0，这里的“它本身”是整个－x，先由此判断x的正负，再结合点的位置找整数。 【详解】|－x|＝－x，说明－x是正数或0，所以x是负数或0，表示x的点在原点处或原点左侧； 又表示x的点在表示－1.5的点的右侧，所以这个点在表示－1.5的点与原点之间（可以是原点），这一段上的整数只有－1和0； 其中最小的是－1（表示－2的点在表示－1.5的点左侧，不符合）。 所以选C。 A项：把表示－1.5的点左侧最近的整数－2也算了进来，按此错法会选－2；B项：以为|－x|＝－x说明x是正数或0，在符合位置的整数中取最小的非负整数，按此错法会选0；D项：以为|－x|＝－x说明x是正数，按此错法会选1。 【易错提醒】|A|＝A的条件是A是正数或0，这里的A是整个－x，不是x；－x是正数或0时，x是负数或0。 24．【答案】（1）一等品5袋，二等品2袋，不合格品1袋；（2）8g；（3）－4≤x＜－2 【解析】【分析】偏差的绝对值表示与标准质量相差多少，用它分等；比较轻重直接比较偏差的大小。 【解答】(1)8个偏差的绝对值依次是3.5，2，1.2，4.5，0，0.8，2.6，1.5。 不超过2的有2，1.2，0，0.8，1.5，共5袋是一等品；大于2且不超过4的有3.5，2.6，共2袋是二等品；4.5大于4，1袋是不合格品。 (2)最重的一袋偏差最大，是＋3.5g；最轻的一袋偏差最小，是－4.5g； 最重的一袋比500g多3.5g，最轻的一袋比500g少4.5g，所以最重的比最轻的重3.5＋4.5＝8（g）。 (3)|x|＝－x，说明x是负数或0；又这袋是二等品，所以x的绝对值大于2且不超过4； x不是正数，绝对值大于2且不超过4，所以表示x的点在原点左侧，与原点的距离大于2且不超过4，即－4≤x＜－2。 【错解示例】（错误示范）(3)把|x|＝－x理解为x是正数，写成2＜x≤4。 【错因】|x|＝－x说明x是负数或0；二等品的偏差在原点左侧，应为－4≤x＜－2。 【点评】绝对值只管“差多少”，不管“多还是少”；(3)中“|x|＝－x”补上了“x不是正数”这一信息，两者合起来才能确定x的范围。 【易错提醒】分等看绝对值，比轻重看正负；把绝对值的范围翻译成负数的范围时，端点的“含”与“不含”要跟着对调位置。 　考点04　利用数轴比较大小与范围 26．【答案】B 【解析】【分析】正数大于负数；几个负数比较大小时，先比较绝对值，绝对值大的反而小。 【详解】海拔用正数表示高于海平面，用负数表示低于海平面； 正数大于负数，所以太湖的＋3m最高； 三个负数比较，绝对值大的反而小：430＞212＞28，所以－430＜－212＜－28，死海最低。 所以选B。 A项：比较两个负数时比了绝对值，以为绝对值小的负数更小，按此错法会选里海，太湖；C项：把“最低”和“最高”弄反了，按此错法会选太湖，死海；D项：漏看了太湖的＋3m，只在三个负数里比较，又去掉负号只比较数字大小，以为28最小、430最大，按此错法会选里海，死海。 【易错提醒】两个负数比较，绝对值大的反而小；海拔中“－430m”比“－28m”低得多。 27．【答案】一；相等 【解析】【分析】两个负数比较大小时先比较它们的绝对值；有绝对值或多重符号的先化简。 【详解】|－＝，≈0.4545，0.4545…＞0.45，两个负数比较，绝对值大的反而小，所以＜－0.45，第一个冷库的温度较低； －|－2.6|＝－2.6，－(＋＝＝－2.6，所以两者相等。 因此应填一；相等。 【易错提醒】分数与小数比较时先化成同一种形式；带绝对值或多重符号的数先化简再比较。 28．【答案】D 【解析】【分析】先读出A，B表示的数，再把“c的相反数大于b”转化为c的范围，与“c在A，B之间”合起来。 【详解】由图可知点A表示－2.5，点B表示1.5； c的相反数大于1.5，说明－c是大于1.5的正数，c是负数且c的绝对值大于1.5，即c＜－1.5； 又c在A，B之间，c＞－2.5，所以－2.5＜c＜－1.5，四个选项中只有－2符合。 所以选D。 A项：只检查了c在A，B之间且是负数，没有检查c的相反数是否大于点B表示的数，－1也满足这一不完整的条件，按此错法可能选－1；B项：只检查了c的相反数大于点B表示的数，忽略了c要在A，B两点之间，－3也满足这一不完整的条件，按此错法可能选－3；C项：把“c的相反数大于b”看成了“c大于b的相反数”，得到表示c的点在表示－1.5的点右侧，1满足这一错误条件，按此错法可能选1。 【易错提醒】“c的相反数大于1.5”要翻译成“c＜－1.5”；两个条件要同时满足，逐个选项都检验。 29．【答案】B 【解析】【分析】先把每个式子化简，再逐个判断是否不小于－20且不大于－15。 【详解】先化简：－(－16)＝16，－|－17.5|＝－17.5，－|－15|＝－15，－(＋19.8)＝－19.8； 七个读数是16，－17.5，－21，－15.2，－15，－19.8，－14.6； 在－20与－15之间（含端点）的有－17.5，－15.2，－15，－19.8，共4个；16是正数，－21＜－20，－14.6＞－15，都不符合。 所以选B。 A项：把－(－16)当成了－16，多算了一个，按此错法会选5个；C项：把端点－15℃排除在外，按此错法会选3个；D项：只看直接写成负数的三个读数，没有化简其余的式子，按此错法会选1个。 【易错提醒】－14.6比－15大，不在范围内；“包括”说明端点－15、－20都符合。 30．【答案】5；－3 【解析】【分析】把两个条件分别翻译成x的范围，再找同时满足的整数。 【详解】表示的点到原点的距离是，即3.5，所以|x|＜3.5，整数x可以是－3，－2，－1，0，1，2，3； x的相反数不小于－1，即－x等于－1或比－1大，说明x不大于1（x＝2时，－x＝－2＜－1，不符合）； 所以x可以取－3，－2，－1，0，1，共5个，其中绝对值最大的是－3（|－3|＝3，其余的绝对值都不超过2）。 所以答案是5；－3。 【错解示例】（错误示范）由“x的相反数不小于－1”得x不小于1，于是x只能取1，2，3，共3个。 【错因】－x不小于－1时，x不大于1，“不小于”要跟着变成“不大于”；可以用x＝2检验：－2＜－1，不符合。 【易错提醒】“x的相反数不小于－1”等价于“x不大于1”，符号方向要跟着改变。 31．【答案】C 【解析】【分析】用“到原点的距离”把a与b联系起来：先求a的绝对值的范围，再由a在原点左侧确定a的范围。 【详解】表示b的点在原点右侧，b是正数，它到原点的距离就是b，在0.6与1之间； 表示a的点到原点的距离是它的2倍，在1.2与2之间； 又表示a的点在原点左侧，所以a在－2与－1.2之间，四个选项中只有－1.5符合。 所以选C。 A项：把倍数关系弄反，按b到原点的距离是a的2倍计算，得a在－0.5与－0.3之间，按此错法会选－0.4；B项：没有注意a在原点左侧，得a在1.2与2之间，按此错法会选1.5；D项：把“2倍”当成了“多2”，得a在－3与－2.6之间，按此错法会选－2.8。 【易错提醒】先求“到原点的距离”的范围，再由点在原点左侧添上负号；负数范围的左右端点要对调。 32．【答案】（1）c＜－b＜a＜－a＜b＜－c；（2）|a|＜|b|，|c|＝－c；（3）|x|＝－x，x＝－1 【解析】【分析】借助“互为相反数的两个点到原点距离相等”画出三个相反数的点，再从左到右读出大小；化简绝对值先判断正负。 【解答】(1)由图可知：c在原点左侧，离原点最远（3到4个单位长度之间）；a在原点左侧，离原点不到1个单位长度；b在原点右侧，离原点1到2个单位长度之间。 互为相反数的两个数表示的点在原点两侧且到原点距离相等，据此画出－a（原点右侧、离原点不到1）、－b（原点左侧、离原点1到2之间）、－c（原点右侧、离原点3到4之间）。 从左到右依次是c，－b，a，－a，b，－c，所以c＜－b＜a＜－a＜b＜－c。 (2)|a|是点A到原点的距离，不到1；|b|是点B到原点的距离，在1与2之间，所以|a|＜|b|。 c是负数，负数的绝对值是它的相反数，所以|c|＝－c，二者相等。 (3)由(1)，b的相反数所对应的点在原点左侧、离原点1到2之间，点A在原点左侧、离原点不到1，所以表示x的点在原点左侧，x是负数，|x|＝－x； 这个点与点A之间只有表示－1的整数点，所以整数x＝－1。 【错解示例】（错误示范）(3)看到表示x的点在两个点之间，就写|x|＝x。 【错因】去绝对值要先看x的正负：这两个点都在原点左侧，x是负数，|x|＝－x。 【点评】含字母的数比较大小，不必知道字母的确切值，只要知道它在原点哪一侧、离原点大约多远；这正是数轴“以形助数”的作用。 【易错提醒】画相反数的点就是把点“翻”到原点另一侧、距离不变；判断|x|先要确定x的正负。 　考点05　数轴上的距离与动点 34．【答案】A 【解析】【分析】先看两点在原点的同侧还是两侧：两侧时距离是到原点距离之和，同侧时是差。 【详解】点A在原点左侧，与原点相距3.5；点B在原点右侧，与原点相距2.25； 两点在原点两侧，所以它们之间的距离是3.5＋2.25＝5.75。 所以选A。 B项：把两点在原点两侧当成同侧，用3.5减去2.25，按此错法真算得1.25；C项：用A表示的数减去B表示的数，没有取绝对值，按此错法真算得－5.75；D项：把两个数直接相加，按此错法真算得－1.25。 【易错提醒】距离不会是负数；两点在原点两侧时距离等于它们到原点距离的和。 35．【答案】－3.5；3.5 【解析】【分析】把下潜、上浮看成沿竖直数轴向下、向上移动，依次计算所到达的点表示的数。 【详解】海平面下8m处表示－8；下潜6.5m就是从表示－8的点沿数轴向下移动6.5个单位长度，到达原点下方8＋6.5＝14.5个单位长度处，即表示－14.5的点； 再上浮11m，从表示－14.5的点向上移动11个单位长度，还没有到原点，到达原点下方14.5－11＝3.5个单位长度处，即表示－3.5的点； －3.5表示在海平面下3.5m处。 故答案为－3.5；3.5。 【易错提醒】下潜时离海平面越来越远，上浮时越来越近；先算离海平面多远，再看在上方还是下方定符号；最后问“海平面下多少米”，答的是距离，不带负号。 36．【答案】D 【解析】【分析】与某点相距一定长度的点有两个，分别在这个点的左、右两侧。 【详解】从表示－1的点向右移动3.5个单位长度，先移动1个单位长度到达原点，再移动3.5－1＝2.5个单位长度，到达表示2.5的点； 从表示－1的点向左移动3.5个单位长度，到达原点左侧1＋3.5＝4.5个单位长度处，即表示－4.5的点； 所以所求的数是－4.5或2.5。 所以选D。 A项：只考虑了向右移动3.5个单位长度，按此错法真算得2.5；B项：只考虑了向左移动3.5个单位长度，按此错法真算得－4.5；C项：把表示－1的点看成了表示1的点，按此错法真算得－2.5或4.5。 【易错提醒】没有限定画在哪一侧，左右两种情况都要考虑。 37．【答案】B 【解析】【分析】先求P，Q两点间的距离（即电梯走过的路程），再用路程除以速度。 【详解】点P在原点下方7.5个单位长度，点Q在原点上方12个单位长度，P，Q两点在原点两侧，相距7.5＋12＝19.5个单位长度，即19.5m； 电梯每秒上升1.5m，用时19.5÷1.5＝13（秒）。 所以选B。 A项：漏算了车库到一楼地面的一段，只用了原点到顶层的12m，按此错法真算得8秒；C项：把路程算成了12－7.5，按此错法真算得3秒；D项：求出路程后用路程乘速度，按此错法真算得29.25秒。 【易错提醒】从地下到地上要经过原点，路程是两段之和；时间＝路程÷速度。 38．【答案】2.2；3.8 【解析】【分析】中点到两端的距离相等：先求A到中点的距离，再从中点出发向右量出同样的长度找到点B。 【详解】点A表示－4.6，中点表示－1.2，两点都在原点左侧，中点在点A右侧，与点A相距4.6－1.2＝3.4个单位长度； 点B在中点右侧，与中点也相距3.4个单位长度：从表示－1.2的点向右移动3.4个单位长度，先移动1.2个单位长度到达原点，再移动3.4－1.2＝2.2个单位长度，所以x＝2.2； 点B表示2.2，与表示6的点都在原点右侧，相距6－2.2＝3.8个单位长度。 所以答案为2.2；3.8。 【错解示例】（错误示范）把(－4.6)与(－1.2)的和除以2，得x＝－2.9。 【错因】－1.2是中点，不是另一个端点；这样求出的是点A与中点的中点。 【易错提醒】中点到两个端点的距离相等，先求点A到中点的距离，再从中点向同一方向走相同的距离。 39．【答案】A 【解析】【分析】把运动分成“A到B”和“B返回”两段，先求第一段用时，再算返回走了多远。 【详解】A，B两点相距3＋5＝8个单位长度，点P从A到B用时8÷2＝4（秒）； 之后点P返回，又运动了7－4＝3（秒），向左运动了2×3＝6个单位长度； 从表示5的点向左移动6个单位长度，先移动5个单位长度到达原点，再移动6－5＝1个单位长度，所以运动7秒时点P表示－1。 所以选A。 B项：没有考虑到达点B后要返回，一直向右运动，按此错法真算得11；C项：以为点P从原点出发，到达点B用了2.5秒后返回，按此错法真算得－4；D项：返回后用了7－4＝3秒，却忘记乘速度，按此错法真算得2。 【易错提醒】往返运动要分段：先算到达折返点用的时间，剩下的时间向反方向运动。 40．【答案】（1）－5，18；（2）t＝8，相遇点表示7；（3）t＝6或t＝10 【解析】【分析】先算出Q出发时两点的距离，之后两点相向运动，用“距离÷速度和”求时间；相距6要分相遇前、后两种情况。 【解答】(1)t＝2时，点P向右运动了2×2＝4个单位长度，从表示－9的点向右移动4个单位长度，到达原点左侧9－4＝5个单位长度处，表示－5；此时点Q刚要出发，还在点B处， 表示－5的点在原点左侧5个单位长度，点B在原点右侧13个单位长度，P，Q两点相距5＋13＝18个单位长度。 (2)t＝2之后两点相向运动，每秒共靠近2＋1＝3个单位长度，相遇还要18÷3＝6（秒），所以t＝2＋6＝8； 此时点P共向右运动了2×8＝16个单位长度，从表示－9的点向右移动16个单位长度，越过原点后又移动了16－9＝7个单位长度，相遇点表示7。 (3)t不超过2时，点Q还没有出发，两点相距不少于18个单位长度，不会相距6； 相遇前，两点从相距18到相距6，要靠近18－6＝12个单位长度，用时12÷3＝4（秒），t＝2＋4＝6； 相遇后两点继续运动，距离又逐渐变大，从t＝2起共需“先靠近18、再远离6”，即两点合计运动18＋6＝24个单位长度，用时24÷3＝8（秒），t＝2＋8＝10。 所以t＝6或t＝10时，P，Q两点相距6个单位长度。 【错解示例】（错误示范）(2)忽略Q晚出发2秒，用(9＋13)÷(2＋1)＝（秒）作为相遇时间。 【错因】前2秒只有P在运动，Q出发时两点只相距18，应从t＝2开始用18÷3计算。 【点评】相向运动中两点的距离每秒减少“速度和”；相遇以后距离每秒增加“速度和”。抓住这一点，用算术方法就能解决这类动点问题。 【易错提醒】Q晚出发2秒，前2秒只有P在动；相距6有相遇前、相遇后两种情况。 　考点06　综合与新定义 42．【答案】C 【解析】【分析】先求表示a的点到表示m的点的距离，再从表示m的点向另一侧量出同样的距离。 【详解】表示－2.5的点在表示－1的点左侧，两点相距2.5－1＝1.5个单位长度； 它的镜像数所表示的点在表示－1的点右侧，也相距1.5个单位长度，从表示－1的点向右移动1.5个单位长度，先移动1个单位长度到达原点，再移动1.5－1＝0.5个单位长度，所以镜像数是0.5。 所以选C。 A项：把“关于－1的镜像数”当成了相反数（关于原点），按此错法真算得2.5；B项：量出距离1.5后向左量，算成－2.5－1.5，按此错法真算得－4；D项：直接把两个数相加，按此错法真算得－3.5。 【易错提醒】镜像数所表示的点与原来的点在“镜子”（表示m的点）两侧，不是在原点两侧。 43．【答案】7.6；－2.2 【解析】【分析】镜像关系是对称的：已知镜像数求原数，从表示m的点向另一侧量同样的距离；求m就是求两点的中点。 【详解】表示－3.6的点在表示2的点左侧，两点相距3.6＋2＝5.6个单位长度，所以表示x的点在表示2的点右侧5.6个单位长度处，x＝2＋5.6＝7.6； 表示0.8与－5.2的两个点相距0.8＋5.2＝6个单位长度，表示m的点是它们的中点，在表示－5.2的点右侧3个单位长度处，也就是原点左侧5.2－3＝2.2个单位长度处，m＝－2.2。 故填7.6；－2.2。 【错解示例】（错误示范）认为x＝2－(－3.6)＝5.6。 【错因】表示x与－3.6的两点到表示2的点距离相等：先求距离2＋3.6＝5.6，再从2向右量5.6，得x＝7.6。 【易错提醒】a与它关于m的镜像数，所表示的两个点的正中间就是表示m的点。 44．【答案】D 【解析】【分析】先确定点B的两种位置，再对每一种确定点C的两种位置，共四种情况。 【详解】点B在点A右侧时，从表示－2的点向右移动3.5个单位长度，越过原点后又移动了3.5－2＝1.5个单位长度，点B表示1.5；在左侧时向左移动3.5个单位长度，到达原点左侧2＋3.5＝5.5个单位长度处，点B表示－5.5； B表示1.5时，从表示1.5的点向右、向左各移动1.5个单位长度，点C表示3或0；B表示－5.5时，从表示－5.5的点向右移动1.5个单位长度到达原点左侧4个单位长度处，向左移动1.5个单位长度到达原点左侧7个单位长度处，点C表示－4或－7； 点C表示的数共有4种可能：3，0，－4，－7，其中最小的是－7，最大的是3。 所以选D。 A项：只考虑了点B在点A右侧的情况，点C只能表示3或0，按此错法会选0，3；B项：只考虑了点C在点B右侧的情况，点C只能表示3或－4，按此错法会选－4，3；C项：只考虑了点B在点A左侧的情况，点C只能表示－4或－7，按此错法会选－7，－4。 【易错提醒】两次“相距”各有左右两种情况，共2×2＝4种，一种都不能漏。 45．【答案】－3或5 【解析】【分析】按点C在线段AB上、点A左侧、点B右侧三种情况讨论距离之和。 【详解】线段AB的长度是1＋3＝4，倍距点到A，B的距离之和是8； 若点C在A，B之间（含端点），它到A，B的距离之和就是AB的长度4，不是8，所以点C在线段AB外； 若点C在点A左侧，CB比CA多出线段AB的长4，两段合起来是8，所以CA＝(8－4)÷2＝2，点C在表示－1的点左侧2个单位长度处，表示－3； 若点C在点B右侧，CA比CB多出4，同理CB＝(8－4)÷2＝2，点C在表示3的点右侧2个单位长度处，表示5。 所以倍距点表示的数是－3或5。 【错解示例】（错误示范）只考虑点C在点B右侧，得倍距点表示5。 【错因】点C在点A左侧时同样满足条件，另一个倍距点表示－3。 【易错提醒】点在线段上时到两端距离之和等于线段长；在线段外时要分左、右两侧讨论。 46．【答案】－3＜a≤－2；4或5 【解析】【分析】先由“恰好2个负整点”确定是哪两个负整数，从而求出a的范围；再看点B落在哪一段，分类数出非负整点。 【详解】盖住的负整数恰好有2个，且线段从点A向右延伸4.5个单位长度，一定盖住原点，所以盖住的2个负整数只能是－2和－1； 要盖住－2，需a≤－2；不盖住－3，需a＞－3，所以－3＜a≤－2； 点B表示a＋4.5，在1.5与2.5之间（含2.5）：点B在1.5与2之间（不含2）时，盖住的非负整点是0，1，共4个整点； 点B在2与2.5之间（含端点）时，盖住的非负整点是0，1，2，共5个整点。 所以盖住的整点共有4个或5个。 因此应填－3＜a≤－2；4或5。 【错解示例】（错误示范）把a＝－3也算进去，写成－3≤a≤－2。 【错因】a＝－3时线段盖住－3，－2，－1三个负整点，不合题意，左端要写“＜”。 【点评】线段长度一定时，盖住的整点个数取决于端点是否落在整点上；用“左端点的范围→右端点的范围”两步推，情况就不会遗漏。 【易错提醒】端点落在整点上也算“盖住”；a＝－2时恰好盖住－2，a＝－3时会多盖住－3。 47．【答案】（1）15秒；（2）7.5秒，相遇点表示3.5；（3）点Q表示1，相距5个单位长度；（4）同时到达 【解析】【分析】速度分段不同，先分段计算各点到达转折点的时刻，确定某一时刻两点各在哪一段，再用“距离÷速度和”求相遇时间。 【解答】(1)AO＝8，OB＝6，BC＝16－6＝10。点P走AO用时8÷2＝4（秒），走OB用时6÷1＝6（秒），走BC用时10÷2＝5（秒），共4＋6＋5＝15（秒）。 (2)点Q走CB用时10÷2＝5（秒），5秒时Q到达点B；此时点P已走完AO（用时4秒），又在OB段走了1秒，位于表示1的点处。 5秒时P，Q都在O，B之间，相距6－1＝5个单位长度，两点相向而行，速度都是每秒1个单位长度，再经过5÷(1＋1)＝2.5（秒）相遇； 所以两点在运动5＋2.5＝7.5秒时相遇，相遇点表示1＋2.5＝3.5。 (3)点P到达点B用时4＋6＝10（秒）。点Q在前5秒走完CB，之后在BO段以每秒1个单位长度运动了10－5＝5（秒），从表示6的点向左走了5个单位长度，表示1； 此时P在点B（表示6），Q在表示1的点，两点都在O，B之间，相距6－1＝5个单位长度。 (4)点Q从C到A：走CB用时5秒，走BO用时6秒，走OA用时8÷2＝4（秒），共15秒，与点P用时相同，所以两点同时到达终点。 【错解示例】（错误示范）(1)全程都按每秒2个单位长度计算，得(8＋6＋10)÷2＝12（秒）。 【错因】O，B之间速度只有每秒1个单位长度，这一段要单独用6÷1＝6（秒）计算。 【点评】折线数轴的本质是“分段匀速”：按转折点把时间切开，每一段内按匀速处理；两点走的路段相同、只是顺序相反，所以总用时相同。 【易错提醒】速度在O，B两点处改变，求时间要分段；判断相遇先看两点各自在哪一段。 48．【答案】（1）都是1.5；（2）2或－8；（3）秒时为0；秒或4秒时为1 【解析】【分析】把“点M到点N的翻折距”翻译成“表示－m的点与点N的距离”；动点问题中先弄清表示－m的点怎样运动，再按相向运动计算。 【解答】(1)m＝－2.5，它的相反数是2.5，表示2.5的点与点N（表示4）相距4－2.5＝1.5，所以点M到点N的翻折距是1.5； n＝4，它的相反数是－4，表示－4的点与点M（表示－2.5）相距4－2.5＝1.5，所以点N到点M的翻折距也是1.5。 (2)m＝3，它的相反数是－3，点N与表示－3的点相距5：从表示－3的点向右移动5个单位长度，越过原点后又移动了5－3＝2个单位长度，点N表示2；向左移动5个单位长度，到达原点左侧3＋5＝8个单位长度处，点N表示－8。 (3)设运动了t秒，点M表示的数从－6开始每秒增加1，它的相反数所表示的点从表示6的点出发，每秒向左移动1个单位长度；点N从表示1的点出发，每秒向右移动0.5个单位长度。 开始时这两个点相距6－1＝5个单位长度，并且相向运动，每秒靠近1＋0.5＝1.5个单位长度。 翻折距为0，就是这两个点重合，需要5÷1.5＝（秒）； 翻折距为1有两种情况：重合前相距1，两点共靠近5－1＝4个单位长度，需要4÷1.5＝（秒）；重合后又分开到相距1，两点共运动5＋1＝6个单位长度，需要6÷1.5＝4（秒）。 所以经过秒翻折距为0，经过秒或4秒翻折距为1。 【错解示例】（错误示范）(2)把翻折距当成点M与点N的距离，得点N表示3＋5＝8或3－5＝－2。 【错因】翻折距是表示－m的点与点N的距离，要从表示－3的点出发量5个单位长度。 【点评】新定义题先用例子读懂定义，再把它翻译成熟悉的“两点距离”；(3)中点M向右动，它的相反数的点就向左动，这一步是解题的关键。 【易错提醒】翻折距是“m的相反数”所表示的点与点N的距离，不是点M与点N的距离；动点问题里要跟踪的是表示－m的那个点。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $七年级上册 第一章 有理数 专项训练 相反数、绝对值与数轴 专项训练（六大题型） 人教版数学七年级上册 （建议用时：100分钟　测试范围：第一章 有理数 1.2 有理数） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．六个考点依次训练：每个考点先看一道例题精讲（含错解示例），再做跟踪训练，跟踪训练按基础、中档、难排列。 2．数轴题先确定原点、正方向和每格表示的长度，再读点或画点；两点在原点两侧时距离用和，同侧时用差。 3．含绝对值、多重符号的数先化简再比较；动点问题要分段、分情况写清依据。 内容速览　六考点 例题精讲6道＋跟踪训练42题（选择21·填空14·解答7） 配套解析：解析版26页，含速查表、答案、分析、详解、错解示例、易错提醒；题目配图15幅 　考点归纳 1．数轴读点与画点：由刻度读出点表示的数（含非整数刻度、原点未标出）、在数轴上画点排序、原点与单位长度改变后的读数、竖直数轴 2．相反数与多重符号化简：相反数的意义、在一个数前面添上“－”号得到它的相反数、多重符号的化简、含字母的式子的相反数 3．绝对值的意义与化简：绝对值的几何意义、|a|＝a与|a|＝－a成立的条件、借助数轴去绝对值符号、绝对值在实际问题中的含义 4．利用数轴比较大小与范围：正数、0、负数的大小关系，两个负数比较大小，字母表示的数的大小，满足条件的数的范围与整数 5．数轴上的距离与动点：两点间的距离、点的移动、线段的中点、动点的相遇与往返 6．综合与新定义：镜像数、倍距点、整点覆盖、折线数轴上的动点、翻折距与分类讨论 　例题精讲01　数轴读点与画点 1．【例题精讲】如图，数轴上的刻度线间隔相同，点A表示－1.2，点B表示0.4，原点没有标出。 (1)每个间隔表示多少个单位长度？原点在点A右侧第几条刻度线处？ (2)点C表示的数是多少？ (3)表示－0.6的点在点A右侧第几条刻度线处？ 【答案】（1）0.2，第6条；（2）1；（3）第3条 【解析】【分析】由两个已知点求每格的长度，是读“不标准”数轴的第一步。 【解答】(1)点A在原点左侧1.2个单位长度，点B在原点右侧0.4个单位长度，A，B两点相距1.2＋0.4＝1.6个单位长度； 图上点A到点B共有8个间隔，所以每个间隔表示1.6÷8＝0.2个单位长度； 点A到原点1.2个单位长度，1.2÷0.2＝6，所以原点在点A右侧第6条刻度线处。 (2)点C在点B右侧3个间隔处，与点B相距3×0.2＝0.6个单位长度，所以点C表示0.4＋0.6＝1。 (3)表示－0.6的点在原点左侧0.6个单位长度，即原点左侧0.6÷0.2＝3个间隔处；原点在点A右侧第6条刻度线处，所以它在点A右侧第6－3＝3条刻度线处。 【错解示例】（错误示范）把每个间隔当成1个单位长度，由点B表示0.4直接得点C表示0.4＋3＝3.4。 【错因】图上刻度线只表示“等分”，每个间隔表示多少要由两个已知点算出来，不能默认是1。 【方法点评】读数轴抓住三件事：原点在哪、正方向朝哪、每格多长；已知两个点就能把这三件事全部求出来，再读任何一个点。 　考点01　数轴读点与画点 2．如图，数轴上相邻两条刻度线之间的距离是1个单位长度，点M正好在两条刻度线的正中间，点M表示的数是(____)。 A．1.5 B．－2.5 C．－1.5 D．－0.5 3．如图，这段数轴上的刻度线间隔相同，只有两条刻度线下方写了数，原点没有标出。点A表示的数是________，点B表示的数是________。 4．把－(＋2.5)，|－1|，，0这四个数分别表示在同一条数轴上，从左往右数，第二个点表示的数是(____)。 A． B．－1 C．0 D．－2.5 5．如图，数轴上的刻度线间隔相同，但原点没有标出。已知点Q表示－1，点S表示1.5，那么点P表示的数的相反数是(____)。 A．3 B．－2 C．2.5 D．2 6．如图，某视频播放器的进度条可以看成一条数轴：以正片开始的位置为原点，向右为正方向，1个单位长度表示1分钟，进度条上的刻度线间隔相同。片头广告开始的位置在点A处，一个精彩片段开始的位置在点B处。点A表示的数是________，从点A开始一直播放到点B，共要播放________分钟。 7．数轴上点A表示－2.4。现在把原点移到原来表示3的点处，并把原来的2个单位长度作为新的1个单位长度（正方向不变），那么在新的数轴上，点A表示的数是(____)。 A．－4.2 B．－2.7 C．0.3 D．－10.8 8．如图，某景区有一部连接山顶观景台、入口平台和地下溶洞的观光电梯。把电梯井看成一条竖直的数轴：以入口平台为原点，向上为正方向，1个单位长度表示20m，图中相邻两条刻度线间隔1个单位长度。观景台、换乘厅、溶洞分别在点A，B，C处，点B在两条刻度线的正中间。 (1)分别写出点A，B，C表示的数； (2)游客从观景台乘电梯直达溶洞，电梯运行了多少米？ (3)要在换乘厅与溶洞的正中间加设一个应急平台D，点D表示的数是多少？应急平台在入口平台下方多少米？ 　例题精讲02　相反数与多重符号化简 9．【例题精讲】已知－[－(＋x)]与＋互为相反数，求x的值（结果写成小数），并求－{－[－x]}的值。 【答案】x＝－3.6，－{－[－x]}＝3.6 【解析】【分析】先把两个多重符号式分别化简，再用“只有符号不同的两个数互为相反数”求x。 【解答】－[－(＋x)]中有2个“－”号，化简得x；＋中有2个“－”号，化简得＝3.6； x与3.6互为相反数，所以x＝－3.6； －{－[－x]}中有3个“－”号，化简得－x，把x＝－3.6代入，－x＝－(－3.6)＝3.6。 【错解示例】（错误示范）看到＋的最外层是“＋”号，就认为它等于－3.6，得x＝3.6。 【错因】多重符号的结果只由“－”号的个数决定，与最外层是“＋”还是“－”无关。 【方法点评】含字母的多重符号式同样数“－”号化简；x本身可能是负数，所以－x不一定是负数，代入时要给负数加括号。 　考点02　相反数与多重符号化简 10．下列各式：①－(－4.8)；②－(＋4.8)；③－[－(＋4.8)]；④－[＋(＋4.8)]；⑤＋[＋(＋4.8)]。化简后结果等于－4.8的有(____)。 A．4个 B．2个 C．1个 D．3个 11．化简下列各式，第一个结果写成小数，第二个结果写成分数：＝________；＋{－[＋(＋0.375)]}＝________。 12．设a表示一个有理数，下列说法中正确的是(____)。 A．－a一定是负数 B．a的相反数一定比a小 C．若a＝－a，则a是负数 D．－a的相反数是a 13．如图，数轴上点A表示的数是a。对于下面四个式子：①－a；②－(－a)；③－[－(－a)]；④＋[－(＋a)]，化简后所表示的点与点A重合的是________（填序号），位于原点右侧的是________（填序号）。 14．某记账软件中，收入记为正数、支出记为负数；每对一条记录点一次“撤销”，软件就在这条记录前面添上一个“－”号。小林的三条记录是：支出36.5元（撤销了1次）、收入20元（撤销了2次）、支出12.4元（撤销了3次）。这三条记录最终表示的数的和是(____)。 A．68.9 B．28.9 C．48.9 D．44.1 15．数轴上表示正整数a与它的相反数－a的两个点之间（不含这两个点）恰好有9个表示整数的点，则－[－(－a)]＝________；若把“不含这两个点”改为“含这两个点”，其余条件不变，则a＝________。 16．在数3.5的前面依次添上n个“－”号，每添一个都把前面得到的式子整体加上括号，得到的式子记作第n个式子。例如，第1个式子是－3.5，第2个式子是－(－3.5)，第3个式子是－[－(－3.5)]。 (1)化简第5个式子和第6个式子； (2)第1个到第20个式子中，化简后结果是负数的有几个？第99个式子化简后是多少？ (3)任意相邻的两个式子（第k个与第(k＋1)个）化简后的结果有什么关系？在数轴上表示它们的两个点相距多少个单位长度？ (4)在数轴上画出表示第1个到第20个式子化简结果的点，一共能画出几个不同的点？ 　例题精讲03　绝对值的意义与化简 17．【例题精讲】有理数x，y满足：x的绝对值是2.5，y的绝对值是，并且|x|＝－x，|y|＝y（结果写成小数）。 (1)求x，y的值； (2)把x，y，－x，－y按从小到大的顺序用“＜”连接起来； (3)求数轴上表示x，y的两个点之间的距离。 【答案】（1）x＝－2.5，y＝1.2；（2）x＜－y＜y＜－x；（3）3.7 【解析】【分析】绝对值只确定“离原点多远”，正负号要由另外的条件确定。 【解答】(1)绝对值是2.5的数有2.5和－2.5两个；|x|＝－x说明x是负数或0，所以x＝－2.5。 绝对值是的数有和两个，＝1.2；|y|＝y说明y是正数或0，所以y＝1.2。 (2)x＝－2.5，－y＝－1.2，y＝1.2，－x＝2.5；两个负数比较，绝对值大的反而小，－2.5＜－1.2，所以x＜－y＜y＜－x。 (3)表示x的点在原点左侧2.5个单位长度，表示y的点在原点右侧1.2个单位长度，两点相距2.5＋1.2＝3.7个单位长度。 【错解示例】（错误示范）由“x的绝对值是2.5”直接写出x＝2.5，又由y的绝对值是写出y＝±1.2。 【错因】漏用了|x|＝－x与|y|＝y这两个条件：它们分别说明x不是正数、y不是负数。 【方法点评】已知一个数的绝对值，这个数一般有两个（互为相反数）；再结合“|a|＝a说明a是正数或0，|a|＝－a说明a是负数或0”就能确定唯一的值。 　考点03　绝对值的意义与化简 18．－|－的相反数是(____)。 A． B． C． D． 19．若|x|＝x，且x是绝对值小于3.2的整数，则x可以取的值共有________个，这些值的和是________。 20．如图，数轴上的两个点分别表示有理数a，b，化简|a|＋|b|的结果是(____)。 A．a＋b B．a－b C．－a－b D．－a＋b 21．某车站把列车实际到站时刻与计划到站时刻的差叫作偏差：晚到记为正数，早到记为负数（单位：min），偏差的绝对值不超过1的算作准点。某天上午6趟列车的偏差依次为－1.5，＋0.5，＋1，－0.8，＋2，－1。这6趟列车中准点的有________趟；偏离计划时刻最多的一趟列车是________（填“早到”或“晚到”）了________min。 22．满足|x|＋x＝0且x的绝对值小于3的整数x共有(____)。 A．3个 B．2个 C．5个 D．4个 23．若|－x|＝－x，且表示x的点在表示－1.5的点的右侧，则满足条件的最小整数x是(____)。 A．－2 B．0 C．－1 D．1 24．某粮油店购进一批标注为每袋500g的小包装大米，抽检8袋，超出500g的克数记为正数，不足的克数记为负数，结果如下（单位：g）：＋3.5，－2，＋1.2，－4.5，0，－0.8，＋2.6，－1.5。店里规定：偏差的绝对值不超过2的为一等品，大于2且不超过4的为二等品，其余为不合格品。 (1)这8袋中一等品、二等品、不合格品各有几袋？ (2)这8袋中最重的一袋比最轻的一袋重多少克？ (3)又抽检了一袋，它的偏差x满足|x|＝－x，并且是二等品，写出x的取值范围。 　例题精讲04　利用数轴比较大小与范围 25．【例题精讲】写出满足－(＋＜x＜|－的所有整数x，并求这些整数的绝对值之和。 【答案】整数x共4个（从－2到1）；绝对值之和为4 【解析】【分析】先化简端点，再借助数轴从左往右找整数，端点能不能取到要看清。 【解答】先化简两端：－(＋＝＝－2.6，|－＝＝1.75，所以－2.6＜x＜1.75； 在数轴上，表示x的点在表示－2.6的点右侧，并且在表示1.75的点的左侧； －3在－2.6的左侧，不符合；从－2起向右依次是－2，－1，0，1，2，其中2在1.75的右侧，不符合； 所以整数x为－2，－1，0，1，它们的绝对值之和是2＋1＋0＋1＝4。 【错解示例】（错误示范）把“比－2.6大”理解成“绝对值比2.6大”，写出－3，从而得到x为－3，－2，－1，0，1。 【错因】两个负数比较大小，绝对值大的反而小：－3的绝对值大于2.6，所以－3＜－2.6，不在范围内。 【方法点评】求“范围内的整数”，把两个端点画在数轴上，从左端点右边第一个整数数到右端点，最不容易漏数或多数。 　考点04　利用数轴比较大小与范围 26．下面是四个湖泊湖面的海拔（约数）：死海－430m，里海－28m，太湖＋3m，加利利海－212m。湖面海拔最低的湖与最高的湖分别是(____)。 A．里海，太湖 B．死海，太湖 C．太湖，死海 D．里海，死海 27．某日清晨，两个冷库的温度分别是℃和－0.45℃，温度较低的是第________个冷库；另有两份记录分别写成－|－2.6|℃和－(＋℃，化简后比较，这两个温度________（填“相等”或“不相等”）。 28．如图，数轴上的点A，B都在两条刻度线的正中间。有理数c表示的点在A，B两点之间，并且c的相反数大于点B表示的数，则c可能是(____)。 A．－1 B．－3 C．1 D．－2 29．冷链运输车厢内的温度要保持在－20℃到－15℃之间（包括－20℃和－15℃）。一位质检员把七次读数记成了下面的式子（有的没有化简，单位：℃）：－(－16)，－|－17.5|，－21，－15.2，－|－15|，－(＋19.8)，－14.6。其中符合要求的读数有(____)。 A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 30．若整数x满足：表示x的点到原点的距离小于表示的点到原点的距离，并且x的相反数不小于－1，则x可以取的值有________个，其中绝对值最大的一个是________。 31．有理数a，b在数轴上对应的点分别在原点的两侧，表示a的点在原点左侧，且它到原点的距离是表示b的点到原点距离的2倍。若0.6＜b＜1，则a可能是(____)。 A．－0.4 B．1.5 C．－1.5 D．－2.8 32．如图，有理数a，b，c在数轴上对应的点依次是A，B，C（图中只标出了0和1）。 (1)在这条数轴上大致画出a，b，c的相反数所对应的点，并把这六个数用“＜”连接起来； (2)比较|a|与|b|的大小，并化简|c|； (3)若有理数x表示的点在b的相反数所对应的点与点A之间（不含这两个点），化简|x|，并写出这样的x中所有的整数。 　例题精讲05　数轴上的距离与动点 33．【例题精讲】一款横版闯关游戏把地面看成一条数轴，角色的出发点A表示－3.5，角色向右走了m个单位长度（m＞0），停在点B处。 (1)若点B与点A表示的数互为相反数，求m； (2)若点B到原点的距离是1.5，求m； (3)若A，B两点到表示1的点的距离相等，求m。 【答案】（1）m＝7；（2）m＝2或m＝5；（3）m＝9 【解析】【分析】移动问题先确定终点的所有可能位置，再用“同侧用差、两侧用和”求移动的距离。 【解答】(1)－3.5的相反数是3.5，点B表示3.5；点A到原点3.5个单位长度，原点到点B也是3.5个单位长度，所以m＝3.5＋3.5＝7。 (2)到原点距离是1.5的点表示1.5或－1.5。点B表示－1.5时，它在点A右侧，m＝3.5－1.5＝2；点B表示1.5时，m＝3.5＋1.5＝5；所以m＝2或m＝5。 (3)点A在表示1的点左侧，与它相距1＋3.5＝4.5个单位长度；点B与点A不重合（m＞0），又到表示1的点距离相等，所以点B在表示1的点右侧4.5个单位长度处，表示1＋4.5＝5.5； 点A到点B的距离是3.5＋5.5＝9，所以m＝9。 【错解示例】（错误示范）(2)只想到点B在原点右侧，写成m＝3.5＋1.5＝5，漏掉了点B表示－1.5的情况。 【错因】“到原点的距离是1.5”的点有两个，点A向右移动时先经过表示－1.5的点，再经过表示1.5的点，两种情况都成立。 【方法点评】题目给出“距离”而没给方向时，终点往往有两个；逐一检验它们是否满足“向右移动”等附加条件，再下结论。 　考点05　数轴上的距离与动点 34．数轴上点A表示－3.5，点B表示2.25，A，B两点之间的距离是(____)。 A．5.75 B．1.25 C．－5.75 D．－1.25 35．把竖直方向看成一条数轴，以海平面为原点，向上为正方向，1个单位长度表示1m。一名潜水员从海平面下8m处先下潜6.5m，再上浮11m，这时他的位置在数轴上表示的数是________，他在海平面下________m处。 36．在数轴上，以表示－1的点为一个端点画一条长3.5个单位长度的线段（线段画在哪一侧没有限定），线段的另一个端点表示的数是(____)。 A．2.5 B．－4.5 C．－2.5或4.5 D．－4.5或2.5 37．如图，把商场的电梯井看成一条竖直的数轴：以一楼地面为原点，向上为正方向，1个单位长度表示1m。电梯从地下车库的点P处（表示－7.5）出发，以每秒1.5m的速度匀速上升，一直到达顶层的点Q处（表示12），电梯上升用的时间是(____)。 A．8秒 B．13秒 C．3秒 D．29.25秒 38．数轴上点A表示－4.6，点B表示的数是x。已知线段AB的中点表示－1.2，那么x＝________，点B与表示6的点相距________个单位长度。 39．如图，一条数轴上标出了点A（表示－3）和点B（表示5）。动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，到达点B后立即按原速度返回。运动7秒时，点P表示的数是(____)。 A．－1 B．11 C．－4 D．2 40．如图，点A，B在数轴上，分别对应－9和13。动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动；2秒后，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动。设点P运动的时间为t秒。 (1)当t＝2时，点P表示什么数？这时两个动点之间的距离是多少？ (2)t为何值时P，Q两点相遇？相遇点表示的数是多少？ (3)t为何值时，P，Q两点相距6个单位长度？ 　例题精讲06　综合与新定义 41．【例题精讲】规定：在数轴上，若表示数a与表示数b的两个点分别在表示数m的点的两侧，且到这个点的距离相等，就称b是a关于m的“镜像数”（a＝m时，a关于m的镜像数就是m）。 (1)求3.5关于2的镜像数b，再求b关于－1的镜像数c； (2)任取一个数a，先求a关于2的镜像数，再求所得的数关于－1的镜像数，最后的结果与a有什么关系？用a＝－2，a＝6验证你的发现； (3)若(2)中最后得到的数与a互为相反数，求a。 【答案】（1）b＝0.5，c＝－2.5；（2）结果比a小6；（3）a＝3 【解析】【分析】新定义题先用具体的数读懂定义，再从几个例子中找规律，最后用规律解决问题。 【解答】(1)表示3.5的点在表示2的点右侧1.5个单位长度，它的镜像点在表示2的点左侧1.5个单位长度，b＝2－1.5＝0.5； 表示0.5的点在表示－1的点右侧1.5个单位长度，它的镜像点在表示－1的点左侧1.5个单位长度，也就是原点左侧1＋1.5＝2.5个单位长度处，c＝－2.5。 (2)由(1)，3.5经过两次镜像变为－2.5，比3.5小6； 验证a＝－2：表示－2的点在表示2的点左侧4个单位长度，镜像点在表示2的点右侧4个单位长度，表示6；表示6的点在表示－1的点右侧7个单位长度，镜像点在表示－1的点左侧7个单位长度，表示－8；表示－8的点在表示－2的点左侧6个单位长度，比－2小6； 验证a＝6：表示6的点在表示2的点右侧4个单位长度，镜像点在表示2的点左侧4个单位长度，表示－2；表示－2的点在表示－1的点左侧1个单位长度，镜像点在表示－1的点右侧1个单位长度，表示0；0比6小6。 所以两次镜像后的结果比a小6，表示它的点在表示a的点左侧6个单位长度处。 (3)由(2)，最后得到的数与a所表示的两个点相距6个单位长度；它们互为相反数，两点分别在原点两侧且到原点的距离相等，各为6÷2＝3； 最后得到的数在a的左侧，所以a在原点右侧，a＝3（此时最后得到的数是－3，与3互为相反数）。 【错解示例】（错误示范）把3.5关于2的镜像数算成2－3.5＝－1.5。 【错因】镜像数不是“m减去a”：要先求a到m的距离，再从m向另一侧量出同样的距离，3.5关于2的镜像数是2－(3.5－2)＝0.5。 【方法点评】两次镜像相当于一次平移：“关于2”再“关于－1”，两面镜子相距3，点就向左移动了2×3＝6个单位长度。由特殊到一般的归纳，是探究新定义的常用方法。 　考点06　综合与新定义 42．按本考点例题中“镜像数”的规定，如图，3关于1的镜像数是－1。那么－2.5关于－1的镜像数是(____)。 A．2.5 B．－4 C．0.5 D．－3.5 43．仍按“镜像数”的规定：若x关于2的镜像数是－3.6，则x＝________；若0.8关于m的镜像数是－5.2，则m＝________。 44．数轴上点A表示－2，点B与点A相距3.5个单位长度，点C与点B相距1.5个单位长度，那么点C表示的数中，最小的与最大的分别是(____)。 A．0，3 B．－4，3 C．－7，－4 D．－7，3 45．规定：若数轴上的点C到点A的距离与它到点B的距离之和，恰好等于线段AB长度的2倍，就称点C是A，B的“倍距点”。已知点A表示－1，点B表示3，那么A，B的倍距点表示的数是________。 46．把数轴上表示整数的点叫作整点。一条长4.5个单位长度的线段AB画在数轴上（点A在点B左侧），点A表示的数a是负数，且线段AB盖住的整点中（含端点），恰好有2个表示负整数。那么a的取值范围是________，线段AB盖住的整点共有________个。 47．如图，把一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中点A表示－8，点B表示6，点C表示16，折线上相邻两点的距离与它们在原数轴上的距离相同。动点P从点A出发沿折线向点C方向运动，同时动点Q从点C出发沿折线向点A方向运动。两点在O，B之间运动时的速度都是每秒1个单位长度，在其他路段运动时的速度都是每秒2个单位长度。 (1)点P从点A运动到点C共需多少秒？ (2)P，Q两点在运动几秒时相遇？相遇点表示的数是多少？ (3)当点P到达点B时，点Q在何处？此时P，Q两点之间（沿折线）相距多少个单位长度？ (4)P，Q两点谁先到达终点？ 48．规定：数轴上点M，N分别表示数m，n，把表示m的相反数的点与点N之间的距离，叫作点M到点N的“翻折距”。例如，点M表示1，点N表示4时，表示－1的点与点N相距5，所以点M到点N的翻折距是5。 (1)若点M表示－2.5，点N表示4，分别求点M到点N的翻折距与点N到点M的翻折距； (2)若点M表示3，点M到点N的翻折距是5，求点N表示的数； (3)点M从表示－6的点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时点N从表示1的点出发，以每秒0.5个单位长度的速度向右运动。经过几秒，点M到点N的翻折距为0？经过几秒，翻折距为1？ 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $