专题01 有理数的运算与数轴、绝对值之间的联合应用的五大题型（高效培优专项训练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数运算与数轴、绝对值的几何应用，通过五题型构建“运算-几何”双向转化方法体系，强化数形结合思维与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点的移动问题|多题覆盖|用有理数加减法表示点坐标变化|运算结果→点位置关系| |折叠问题|多题覆盖|对称性质建立方程求解|折叠对称→中点公式→方程思想| |符号判断|多题覆盖|数轴位置分析运算符号|数的位置→符号推理| |两点距离|多题覆盖|绝对值意义转化距离公式|绝对值几何意义→距离计算| |绝对值化简|多题覆盖|数轴判断符号去绝对值|符号判断→代数化简|

专题01 有理数的运算与数轴、绝对值等之间的联合应用 题型一 利用有理数的加减法解决数轴上的点的移动问题 题型二 利用有理数的加法解决数轴的折叠问题 题型三 利用数轴以及有理数的混合运算判断式子的符号 题型四 利用有理数的减法以及绝对值的意义解决数轴上两点之间的距离问题 题型五 利用数轴以及有理数的加减法判断式子的符号并对绝对值进行化简 题型一：利用有理数的加减法解决数轴上的点的移动问题 1．如图，数轴上点A，B，O表示的数分别是，动点P，Q同时从点A，B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设P，Q运动秒，写出P，Q点表示的数，计算，比较即可选出答案． 【详解】解：设P，Q运动秒， 则点表示的数为：， 点表示的数为：， ∴， ∴， ∴． 2．数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的平移（动点问题），由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，，推出开始运动后，，即可求解． 【详解】解：由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，， 开始运动后，， ∵， ∴，整理得：； ∵在运动过程中始终满足， ∴，解得：， 故选：C． 3．点A、B、M在数轴上，且点M分别到点A、B的距离相等．点A沿着数轴从数字处以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，点B沿着数轴从数字4处以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点M的运动方式是沿着数轴（    ） A．从数字1处以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动 B．从数字1处以每秒0.5个单位长度的速度向左匀速运动 C．从数字2处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动 D．从数字2处以每秒0.5个单位长度的速度向右匀速运动 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和列代数式，用到的知识点是数轴上两点之间的距离．设运动时间为t秒，表示出点A和点B的位置，利用点M到A、B距离相等得出点M是A、B的中点，求出点M的位置表达式，从而确定其运动方式． 【详解】解：设运动时间为t（）秒， ∵点A从处以每秒3个单位向左运动， ∴t秒后点A表示的数为：， ∵点B从4处以每秒2个单位向右运动， ∴t秒后点B表示的数为：， ∵点M到点A、B的距离相等， ∴点M是线段的中点， ∴点M表示的数为：， ∴点M从数字1处以每秒0.5个单位长度的速度向左匀速运动． 故选：B． 4．点在数轴上距原点5个单位长度，将点先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点，则点表示的数是（   ） A．1或 B．或9 C．1或9 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的移动，数轴上表示的数，由题意可得点表示的数是或，分两种情况求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点在数轴上距原点5个单位长度， ∴点表示的数为：或， 当点表示的数为时，， 当点表示的数为时，， ∴点表示的数是或， 故选：A． 5．小花在做题时，画了一条数轴（向右为正方向），数轴上原有一点，其表示的数是．由于粗心，小花把数轴的原点标错了位置，使得点正好落在的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应（   ） A．向右移动2个单位长度 B．向左移动2个单位长度 C．向右移动4个单位长度 D．向左移动4个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查了对数轴概念的理解，掌握数轴的概念是解题的关键． 原有点的正确坐标为，但标错原点后点落在的相反数的位置即处，则点错误位置与正确位置相差个单位长度；点的坐标从变为，说明错误的原点相对于正确原点的位置向左移动了个单位长度，进而得到答案． 【详解】解：点原本表示的数为，现在却落在的相反数即处， 这两个位置之间的距离为个单位长度． 即点错误位置与正确位置相差个单位长度． 由于是数轴的原点标错了位置才导致点位置错误，而点的坐标从变为，说明错误的原点相对于正确原点的位置向左移动了个单位长度， 所以要想把数轴画正确，原点应向右移动个单位长度． 故选：C． 6．已知数轴上点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位长度得到点B，若数轴上点C到点A和点B的距离相等，则用含a的代数式表示点C对应的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的动点问题． 点C到点A和点B的距离相等，故点C为线段的中点，利用中点公式即可求解． 【详解】解：∵点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位得到点B， ∴点B对应的数为． ∵点C到点A和点B的距离相等， ∴点C为的中点， ∴点C对应的数为． 故选：A． 7．点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 8．如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为_______． 【答案】0.6/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴．求出在数轴上点B和点C的距离，这个距离等于点C和点B表示的两数之间的距离，点B表示，则点C表示的数即可求出． 【详解】解：∵数轴上点B和点C对应刻度尺上的数分别为1.8，5.4，且数轴的单位长度是， ∴点B和点C的距离为， ∴当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为， 故答案为：0.6． 9．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】(1)4 (2)64岁 【分析】（1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求出一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车 ，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】（1）解：如图1， 由题意可知，三个火车的长为， 则一个火车的长为； （2）解：同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 题型二：利用有理数的加法解决数轴的折叠问题 10．如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使﹣3表示的点与1表示的点重合，则与﹣5表示的点对应的点表示的数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．﹣1 【答案】A 【分析】求出折痕和数轴交点表示的数，对折后重合的每一对对应点到此交点距离相等即可求出答案． 【详解】解：∵折叠纸面，使表示﹣3的点与表示1的点重合， ∴折痕和数轴交点表示的数是， 而表示﹣5的点与此交点距离为﹣1﹣（﹣5）＝4， ∴与表示﹣5的点对应的点表示的数是﹣1+4＝3， 故选：A． 11．小超在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，若数轴上A、B两点之间的距离为在B的左侧，且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，以对应的点对折，根据数轴上点的位置判断即可得到结果． 【详解】解：根据折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合，得到以对应的点对折， ∵数轴上A、B两点之间的距离为6（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合， ∴A表示的数为，B表示的数为2． 故选：A． 12．如图，数轴上有A，B两点，但是现在不确定原点的位置，老师告诉同学们原点位于A，B之间，而且若将负半轴沿原点折叠到正半轴上，发现点A落在点B右侧6个单位长度处，则线段的中点表示的数为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴、折叠以及线段的中点问题．先根据题意画出图形，求出的长即可得出线段的中点表示的数． 【详解】解：如图，点A落在点处，点C是线段的中点，， 设点A表示的数为，则， ∴． ∴． ∴． 即线段的中点表示的数为． 故选：A． 13．在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若折叠后的点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴和数轴上两点间的距离，图1中的长度13，图2中的，用就是的长度，用两点之间的距离公式得出点C表示的数． 【详解】解：图1：， 图2：，   ， 点C表示的数是：， 故选：C． 14．如图，嘉嘉在纸片上画了一条不完整的数轴，折叠纸片，使数轴上表示的点与表示3的点重合，若该数轴上两点之间的距离是10，按上次折痕折叠之后也互相重合，则点表示的数为_______． 【答案】6或/或6 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数等知识．根据数轴上表示的点与表示3的点重合得到从表示1的点处折叠，根据数轴上两点之间的距离是10得到点P到表示1的点的距离是5，即可得到点表示的数为6或． 【详解】解：因为轴上表示的点与表示3的点重合， 所以是从表示1的点处折叠， 因为数轴上两点之间的距离是10， 所以点P到表示1的点的距离是5， 所以点表示的数为6或． 故答案为：6或． 15．已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为2024（A在B的左侧），且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的知识，注意根据轴对称的性质，可以求得使两个点重合的折痕经过的点所表示的数即是两个数的平均数． 【详解】解：依题意得：两数是关于和8的中点对称，即关于对称， 、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经以上方法折叠后重合，则、关于所表示的点对称， ． 故答案为：． 16．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： 已知点，，表示的数分别为，，，观察数轴， （1），两点之间的距离为______； （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是______； （3）若数轴上，两点间的距离为（在左侧），表示数的点到，两点的距离相等，则将数轴折叠，使得点与点重合时，点代表的数是______（用含，的式子表示这个数）． 【答案】 【分析】此题考查列代数式，数轴上两点之间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． （1）根据两点之间距离即可求解； （2）先找到对称中心，再根据数轴的概念解答即可； （3）根据两点之间距离即可求解． 【详解】解：（1）依题意，两点之间的距离为； 故答案为：； （2）∵将数轴折叠，使得点与点重合， ∴折叠点表示的数为， 则点重合的点表示的数是：； 故答案为： （3）∵数轴上，两点间的距离为（在左侧），表示数的点到，两点的距离相等，将数轴折叠，使得点与点重合 ∴． 即点代表的数是 故答案为： 17．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 ； A．     B． C．     D． ②一机器人从原点开始，第次向左跳个单位，紧接着第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，第次向右跳个单位，依此规律跳，当它跳次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示的点重合 ． ②若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则点表示 ，点表示 ． ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为，，折叠中间点表示的数为 ．（用含有，的式子表示） 【答案】(1)①D；②1012； (2)①；②；；③． 【分析】本题主要考查了数轴上的平移、翻折变换，以及有理数的运算、中点公式．熟练掌握数轴上点的移动规律、折叠中点的计算方法是解题的关键． （1）①先确定数轴上正负方向移动的表示方法，再列算式计算结果．②观察跳跃规律，将相邻两次跳跃看作一组计算每组结果，再根据总次数求总和． （2）①先求折叠中点，再利用中点与两点的距离关系计算对应点．②根据折叠中点和两点距离，结合、位置关系计算两点表示的数．③根据数轴上两点中点的计算方法推导式子． 【详解】（1）解：①， 答案：； ②每两次为一组，每组结果：， ， …， 次共组， ∴总和：， 答案：； （2）解：①折叠中点：， 设与重合的数为，则 ， 解得， 答案：； ②折叠中点为，、距离，在左、在右： ，， 答案：：；：； ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为，，折叠中间点表示的数为， 答案：． 18．（1）把下列各数填在表示集合的相应大括号中： ，，，25，0，，，，10% 整数集合：{                             …}； 非负数集合：{                             …}； （2）阅读：已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面，使数轴上表示数的点与表示数0的点重合，解答下列问题： ①数轴上表示数3的点与表示数______的点重合； ②若点到原点的距离是6个单位长度，并且，两点经折叠后重合，则点表示的数是______； ③若数轴上，两点之间的距离为2026，并且，两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，则点表示的数是_______． 【答案】（1）； （2）①；②或；③． 【分析】本题考查了有理数的分类与数轴的折叠问题，解题的关键是明确整数、非负数的定义，以及数轴折叠时对称中心的确定方法． （1）根据整数（正整数、0、负整数）和非负数（正数与0）的定义，对各数进行分类． （2）先确定折叠的对称中心为，再利用“对称点到对称中心的距离相等”分别求解各问． 【详解】（1）解：整数集合：； 非负数集合： （2）①解：折叠对称中心为，设与3重合的点为，则，解得 故答案为：． ②解：点表示的数为或， 当时，，解得； 当时，，解得． 故答案为：或． ③解：设表示的数为，表示的数为，则，且， 解得， 故答案为：． 题型三：利用数轴以及有理数的混合运算判断式子的符号 19．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴确定，的取值范围及绝对值大小，利用有理数加减法法则判断． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，且∴，故选项B正确， ∵，， ∴，故选项A错误， ∵，，故选项C、D错误． 20．如图，数轴上的点，分别对应有理数，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴得出之间的关系． 【详解】解：由数轴可得，，且， ∴，． 21．如图，数轴上的点A，B对应实数a，b，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， 由数轴可知，，，，，故选项A，C，D错误，不符合题意． 选项B正确，故选B． 22．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用数轴确定a、b的取值范围，然后逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，，，， ∴选项A、B、C说法错误；选项D说法正确． 23．数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知的大小关系，判断各因式的正负，再利用同号得正，异号得负判断乘积的符号，即可选出正确选项. 【详解】解：∵， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， 逐个分析选项： 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C成立； 选项D：，D错误. 24．若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中： ①  ②  ③  ④  ⑤ 其中正确的说法有________（填序号）． 【答案】④ 【分析】根据数轴的意义，得到，计算判断即可； 【详解】解：根据题意，得，， ，，，，， 故①②③⑤错误；④正确； 25．如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，且，则________（填“，或”）． 【答案】 【分析】根据数轴中点的定义，由是线段的中点，则点表示的数满足，再结合数轴上数的正负性判断与的大小关系． 【详解】解：， 点是线段的中点， 根据中点公式：， 等式两边同时乘以，得：， 由数轴可知：， ，即． 26．已知，，三点在不完整的数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是，，． (1)比较大小：______0，______0（填写“>”或“<”） (2)若，请把的倒数表示在数轴上； (3)在（2）的条件下，点从点出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，求此时点在数轴上表示的数． 【答案】(1)； (2)在数轴上表示如图所示： (3) 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数、倒数的定义、有理数的运算； （1）由数轴可得，，，即可得出答案； （2）的倒数为，再将表示在数轴上即可； （3）根据题意即可求解． 【详解】（1）解：由数轴可得，，， ∴，． 故答案为：；； （2）解：的倒数为， （3）解：∵ ∴， 即点在数轴上表示的数是． 27．已知A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a，b，c，且． (1)比较：　　0，　　0；（填“”或“”） (2)在数轴上标出的相反数和； (3)点D从点A出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，此时点D在数轴上表示的数是　　 ． 【答案】(1)， (2)的相反数是3， 在数轴上表示如下； ； (3) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴的知识和相反数． （1）利用有理数的大小比较解答； （2）利用数轴知识，相反数的定义解答； （3）利用数轴知识解答． 【详解】（1）解：由数轴知：，， ∴，； 故答案为：，； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴点D在数轴上表示的数是． 故答案为：． 题型四：利用有理数的减法以及绝对值的意义解决数轴上两点之间的距离问题 28．如图，数轴上两点之间的距离为，表示的数是，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴知，点在点的左边， ∴点表示的数是． 29．如图，点到原点的距离是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】观察数轴得：点A表示的数为，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：点A表示的数为， ∴点到原点的距离是3． 30．在数轴上，表示的点到原点的距离为（    ） A． B． C．4 D．-4 【答案】A 【详解】解：∵数轴上，表示数的点到原点的距离等于， ∴表示的点到原点的距离为． 31．如图，数轴上点P所表示的数为x，则下列说法正确的是（     ） A．在x和0之间有3个负数 B．与3相比，x离0更近一些 C．在x和之间有5个整数 D．x比大 【答案】C 【详解】解：A、在x和0之间有无数个负数，原说法不正确，该选项不符合题意； B、与3相比，x离0更远一些，原说法不正确，该选项不符合题意； C、在x和之间有5个整数，原说法正确，该选项符合题意； D、x比小，原说法不正确，该选项不符合题意． 32．已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，则点，之间的距离是________． 【答案】 【分析】直接利用数轴上两点间距离的计算方法求解即可． 【详解】解：数轴上点表示的数是，点表示的数是， 点，之间的距离为：． 33．在数轴上，点表示的数为1，数轴上与点的距离为3，且在点的左侧的点表示的数是____． 【答案】 【分析】根据数轴上点表示的数以及两点之间的距离求解即可． 【详解】解：∵点表示的数为1，数轴上与点的距离为3，且在点的左侧， ∴． 34．（）在数轴上表示出下列各点． A．        B．        C．       D． （）点和点之间相差___________个单位长度． 【答案】 （）见解析 （） 【分析】先将各数在数轴上表示出来，然后可得出点和点之间的距离． 【详解】解：（）如图所示 （）由图可得：点和点之间相差个单位长度． 35．如图，在数轴上有、、三点． (1)点表示的数是____； (2)点与点到点的距离相等且两点不重合，则点表示的数是____； (3)请在数轴上描出，用点表示，将点、、三个点表示的数用“”连接． 【答案】(1) (2) (3) 将点表示在数轴上，如下： ∴点、、三个点表示的数用“”连接为． 【分析】本题主要考查的是数轴的认识以及实数与数轴上点的对应关系，解题的关键是找出各点在数轴上的位置； （1）直接观察数轴即可解决； （2）分析题意可知点与点是关于点的对称点，由此可以求解； （3）先在数轴上标记点，，然后根据数轴上点的大小关系即可求解． 【详解】（1）解：由数轴可知，点表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵点表示的数是，点表示的数是， ∴点到点的距离为， ∵点与点到点的距离相等且两点不重合， ∴点到点的距离为， ∴点表示的数是， 故答案为：； （3）略 36．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，沿数轴做移动游戏．游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为______，乙在数轴上对应的数为______； (2)若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个单位长度？ (3)从初始位置开始，假如完成了10局游戏，且甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n（n为正整数）次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值； (4)从初始位置开始，若进行了k（k为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2个单位长度，请直接写出k的值． 【答案】(1)，5 (2)乙的手势是布，4个单位长度 (3) (4)7或5 【分析】（1）根据题意，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，第一局时平局，甲在数轴上对应的数为，乙在数轴上对应的数为，解答即可； （2）三局后甲对应的数为，乙对应的数为．第四局游戏结束后，乙在数轴上对应的数是2，且，解答即可． （3）根据乙赢了n次，则乙输了次，则10局游戏结束后，乙停留的位置表示的数，由他最终停留的位置对应的数为m，故，根据n是正整数，利用绝对值解答即可． （4）甲、乙每移动一次，甲、乙的距离变化（相遇前缩小，相遇后扩大）2个单位长度． 最终甲与乙的位置相距2个单位长度，则共需变化14个单位长度或10个单位长度， 或，解答即可． 本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的四则运算，绝对值的应用，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，第一局时平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； 故甲在数轴上对应的数为，乙在数轴上对应的数为， 故答案为：，5． （2）解：从前三局来看，甲一平一胜一负， 三局后甲对应的数为，乙对应的数为． 第四局游戏结束后，乙在数轴上对应的数是2，且， 故第四局游戏的结果是乙向西移动1个单位长度， 所以第四局游戏为平局，即乙第四局的手势是布； 第四局游戏结束后甲对应的数为，乙在数轴上对应的数是2， 故， 所以此时甲与乙在数轴上相距4个单位长度． （3）解；乙赢了n次，则乙输了次 10局游戏结束后，乙停留的位置表示的数， 由他最终停留的位置对应的数为m， 故． 因为n为正整数， 当时，， 当时，， 故时，该位置距离原点O最近． （4）解：k的值为7或5． 初始位置时甲、乙两人相距12个单位长度． 若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度； 若甲赢，则甲向东移动4个单位长度；同时乙向东移动2个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度； 若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度， 所以甲、乙每移动一次，甲、乙的距离变化（相遇前缩小，相遇后扩大）2个单位长度． 最终甲与乙的位置相距2个单位长度，则共需变化14个单位长度或10个单位长度， 或， 所以k的值为7或5． 题型五：利用数轴以及有理数的加减法判断式子的符号并对绝对值进行化简 37．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和，据此分析其最小值． 【详解】解：∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和， ∴当时，的值最小，为到的距离，即； ∴最小值是1； 故选A． 38．如图，数轴上点、表示的数分别是、，、为数轴上一点，其表示的数为．当点在数轴上移动时，若的值始终保持不变，则时，的值为（   ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据的值始终保持不变可知点M在点A和点B之间，然后根据即可求出的值． 【详解】解：∵的值始终保持不变，根据数轴上两点间距离的几何意义， 可知点在、之间，此时， 又∵，将其代入中，得到，即，解得， 故选：B． 39．如图，数轴上点、表示的数分别是、，；为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若 的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据 的值始终保持不变，可知，所以可得：，又因为，可得：，等式两边同时除以即可得到． 【详解】解： 的值始终保持不变， ， ， 又， ， ． 故选：A． 40．现在我们已经知道，数轴上两点之间的距离可以由两点所表示的数来刻画，如数轴上A、B两点分别表示和5，则A、B两点之间的距离为．在求的最小值时，先把式子化为，然后借助于数轴，分析即可得到最小值为5．按照这样的方法，式子的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义以及学生的分析、推理能力，体现了数形结合的思想方法． 画出数轴并根据绝对值的几何意义分析即可求解． 【详解】解：表示的是数轴上表示数的点分别到表示数2、的点的距离之差，画出数轴如图所示， 可知当时，这个距离之差取得最大值， 即取得最大值，最大值为． 故选∶ C 41．由绝对值的几何意义，我们知道表示数轴上某一点到原点的距离，同理可以得到表示数轴上某一点到表示数3的点的距离，表示数轴上某一点到表示数－2的点的距离．设，结合数轴，则下面的结论中正确的是（    ） A．S没有最小值 B．有有限个x（不止一个）使S取得最小值 C．只有一个x使S取得最小值 D．有无限个x使S取得最小值 【答案】D 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和应用．根据题意，可得表示数轴上某一点到点、点1的距离的和，的最小值是2，当时，都能取到最小值2，据此解答即可． 【详解】解：如图， ，，， 的最小值是2， 当时，都能取到最小值2， 有无穷个使取最小值． 故选：D． 42．阅读下面的材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示在数轴上对应的点到原点的距离：表示x与a在数轴上对应的点之间的距离；例：，表示数x与1在数轴上对应的点的距离是2．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是_____；数轴上表示x与的两点之间的距离是_____． (2)若，则_____． (3)若数轴上表示数a的点位于表示与2的两点之间，则_____． (4)已知有理数b，则的最小值是_____． 【答案】(1)； (2)6或 (3)5 (4)8 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离的计算，绝对值的性质的综合，掌握绝对值的性质计算及数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离的计算公式求解即可； （2）根据数轴上表示x与2的两点的位置不同，分两种情况计算即可； （3）数轴上表示数a的点位于表示与2的两点之间，则该点到表示与2的两点的距离为这两点间的距离； （4）当时，表示数b的点到表示与3两点的距离之和恰为表示与3两点的距离，且为最小距离． 【详解】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是，数轴上表示x与的两点之间的距离是． 故答案为：；． （2）解：若， 则或， 或． 故答案为：6或． （3）解：若数轴上表示数a的点位于表示与2的两点之间， 则． 故答案为：5． （4）解：表示数轴上表示数b的点到表示与3两点的距离之和， 当时，的值最小，为． 故答案为：8． 43．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了重要的规律：如果数轴上点A、B分别表示有理数a、b，那么A、B两点间的距离表示为．例如数轴上表示4和的两点之间的距离可表示为． （1）如图，在数轴上点M表示数1，点N表示数，则M、N两点间的距离为_______； （2）若，则x的值为_______． 【答案】 5 或3 【分析】此题考查了绝对值的几何意义，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据题干公式即可解答； （2）表示到的距离，表示到的距离，分类讨论，即或，分别求得的值即可． 【详解】（1）解：M、N两点间的距离为； 故答案为：； （2）解：表示到的距离，表示到的距离， 当在左边，即时， ； 当在右边，即时， ； 故答案为：或． 44．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离是____；表示和两点之间的距离是____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于，如果表示数和的两点之间的距离是，那么____． （2）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_____． （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是___． （4）当___时，的值最小，最小值是____． 【答案】 或 【分析】本题考查数轴与绝对值的综合，解题关键在于根据数轴上点的位置化简绝对值，其次注意分类讨论问题，最后计算仔细即可． （1）本题根据数轴上两点距离运算规则直接求解即可． （2）本题首先根据已知判别与的正负，从而化简绝对值运算求解． （3）本题根据的范围分类讨论，化简绝对值后与比较大小，进一步确定的范围，最后在该范围内寻找符合条件的整数点． （4）本题首先在的不同范围下分类讨论，继而化简绝对值进行运算，进一步确定结果取值范围，最后比较不同情况下结果大小，取最小值． 【详解】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是，； 表示和两点之间的距离是，； 一般地，数轴上表示和数的两点之间的距离等于， 如果表示数和的两点之间的距离是，则可记为：，那么或． 故答案为；；或． （2），． 故答案为． （3）当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 使得的所有整数为：，，，，，，，， ． 故答案为． （4）当时，， 当时，，则， 当时，，则， 当时，， 由上可得，当时，的值最小，最小值是. 故答案为；． 45．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律．而平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： 【应用一】平移 （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是____________； （2）一个机器人从数轴上表示的点出发，并在数轴上移动2次，每次移动3个单位后到达点，则点表示的数是____________． （3）如图，半径为2的圆上有一点落在数轴上点处，则将圆在数轴上向右滚动（无滑动）一周后点在数轴上所表示的数为____________． （4）的几何意义为数轴上表示数与的两点间的距离．例如，可理解为2与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且．点所表示的数为7，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． ①____________，____________． ②经过____________秒点到C，D的距离和为8． 【应用二】翻折 （1）已知纸面上有一数轴，折叠纸面，表示的点与表示4的点重合，则表示的点与表示___________的点重合； （2）若数轴上A、B两点之间的距离为8，点在点的左侧，A、B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示的点，则点表示的数为____________； （3）在数轴上，点表示的数为2025，点表示的数为，将点P、Q两点重合后折叠，折痕与数轴交于点；将点与点重合后折叠，新的折痕与数轴交于点，若此时点与点的距离为3，数的值为___________． 【答案】应用一：（1）1；（2）5或或；（3）；（4）①2；；②2.5或10.5；应用二：（1）6；（2）；（3）2013或2037 【分析】本题考查了数轴和正负数，数形结合和分类讨论思想是解题的关键． （1）根据向左移动就减，向右移动就加，列式求解； （2）分向右移动2次或向左移动2次或向右移动1次再向左移动1次或向左移动1次再向右移动1次分类求解； （3）求出圆的周长即可解答问题； （4）①根据非负数的性质可得结论； ②设运动时间为t秒，点M表示的数为，根据题意得，再分类讨论求解即可； 应用二：（1）根据折叠对称的性质列式求解； （2）根据折叠轴对称的性质，列式求解； （3）根据折叠轴对称的性质，列式求解． 【详解】解：应用一：（1）， 故答案为：1； （2）两次都向右：； 两次都向左：； 先向右再向左：； 先向左再向右：； 故答案为：5或或； （3）圆的半径为2，周长为：， 从A点(数轴上表示1)向右滚动一周，终点表示的数为， 故答案为：； （4）①∵， ∴，， ∴，； 故答案为：2；； ②设运动时间为t秒，点M表示的数为， ∵到和的距离和为8， ∴； 分情况讨论： 当时，，解得， 当时，，此情况无解； 当时，，解得， 故答案为： 2.5 或10.5； 应用二：（1）折痕所在点对应的数是， 表示的点与折痕对称点表示的数为， 故答案为：6； （2）折痕点表示的数是，A、B距离为8，所以A到折痕的距离是， 又A在折痕左侧， ∴， 故答案为：； （3）第一次折痕M表示的数为：， 第二次折痕N表示的数为：； 根据题意， ∴， ， ， 解得：或， 故答案为：2013或2037． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数的运算与数轴、绝对值等之间的联合应用 题型一 利用有理数的加减法解决数轴上的点的移动问题 题型二 利用有理数的加法解决数轴的折叠问题 题型三 利用数轴以及有理数的混合运算判断式子的符号 题型四 利用有理数的减法以及绝对值的意义解决数轴上两点之间的距离问题 题型五 利用数轴以及有理数的加减法判断式子的符号并对绝对值进行化简 题型一：利用有理数的加减法解决数轴上的点的移动问题 1．如图，数轴上点A，B，O表示的数分别是，动点P，Q同时从点A，B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 3．点A、B、M在数轴上，且点M分别到点A、B的距离相等．点A沿着数轴从数字处以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，点B沿着数轴从数字4处以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点M的运动方式是沿着数轴（    ） A．从数字1处以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动 B．从数字1处以每秒0.5个单位长度的速度向左匀速运动 C．从数字2处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动 D．从数字2处以每秒0.5个单位长度的速度向右匀速运动 4．点在数轴上距原点5个单位长度，将点先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点，则点表示的数是（   ） A．1或 B．或9 C．1或9 D．或 5．小花在做题时，画了一条数轴（向右为正方向），数轴上原有一点，其表示的数是．由于粗心，小花把数轴的原点标错了位置，使得点正好落在的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应（   ） A．向右移动2个单位长度 B．向左移动2个单位长度 C．向右移动4个单位长度 D．向左移动4个单位长度 6．已知数轴上点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位长度得到点B，若数轴上点C到点A和点B的距离相等，则用含a的代数式表示点C对应的数为（   ） A． B． C． D． 7．点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 8．如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为_______． 9．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 题型二：利用有理数的加法解决数轴的折叠问题 10．如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使﹣3表示的点与1表示的点重合，则与﹣5表示的点对应的点表示的数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．﹣1 11．小超在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，若数轴上A、B两点之间的距离为在B的左侧，且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A． B． C． D． 12．如图，数轴上有A，B两点，但是现在不确定原点的位置，老师告诉同学们原点位于A，B之间，而且若将负半轴沿原点折叠到正半轴上，发现点A落在点B右侧6个单位长度处，则线段的中点表示的数为（    ） A． B． C．2 D．3 13．在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若折叠后的点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ）    A． B．2 C． D．3 14．如图，嘉嘉在纸片上画了一条不完整的数轴，折叠纸片，使数轴上表示的点与表示3的点重合，若该数轴上两点之间的距离是10，按上次折痕折叠之后也互相重合，则点表示的数为_______． 15．已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为2024（A在B的左侧），且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是_______． 16．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： 已知点，，表示的数分别为，，，观察数轴， （1），两点之间的距离为______； （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是______； （3）若数轴上，两点间的距离为（在左侧），表示数的点到，两点的距离相等，则将数轴折叠，使得点与点重合时，点代表的数是______（用含，的式子表示这个数）． 17．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 ； A．     B． C．     D． ②一机器人从原点开始，第次向左跳个单位，紧接着第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，第次向右跳个单位，依此规律跳，当它跳次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示的点重合 ． ②若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则点表示 ，点表示 ． ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为，，折叠中间点表示的数为 ．（用含有，的式子表示） 18．（1）把下列各数填在表示集合的相应大括号中： ，，，25，0，，，，10% 整数集合：{                             …}； 非负数集合：{                             …}； （2）阅读：已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面，使数轴上表示数的点与表示数0的点重合，解答下列问题： ①数轴上表示数3的点与表示数______的点重合； ②若点到原点的距离是6个单位长度，并且，两点经折叠后重合，则点表示的数是______； ③若数轴上，两点之间的距离为2026，并且，两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，则点表示的数是_______． 题型三：利用数轴以及有理数的混合运算判断式子的符号 19．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 20．如图，数轴上的点，分别对应有理数，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 21．如图，数轴上的点A，B对应实数a，b，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 22．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 23．数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 24．若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中： ①  ②  ③  ④  ⑤ 其中正确的说法有________（填序号）． 25．如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，且，则________（填“，或”）． 26．已知，，三点在不完整的数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是，，． (1)比较大小：______0，______0（填写“>”或“<”） (2)若，请把的倒数表示在数轴上； (3)在（2）的条件下，点从点出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，求此时点在数轴上表示的数． 27．已知A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a，b，c，且． (1)比较：　　0，　　0；（填“”或“”） (2)在数轴上标出的相反数和； (3)点D从点A出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，此时点D在数轴上表示的数是　　 ． 题型四：利用有理数的减法以及绝对值的意义解决数轴上两点之间的距离问题 28．如图，数轴上两点之间的距离为，表示的数是，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 29．如图，点到原点的距离是（     ） A．3 B． C． D． 30．在数轴上，表示的点到原点的距离为（    ） A． B． C．4 D．-4 31．如图，数轴上点P所表示的数为x，则下列说法正确的是（     ） A．在x和0之间有3个负数 B．与3相比，x离0更近一些 C．在x和之间有5个整数 D．x比大 32．已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，则点，之间的距离是________． 33．在数轴上，点表示的数为1，数轴上与点的距离为3，且在点的左侧的点表示的数是____． 34．（）在数轴上表示出下列各点． A．        B．        C．       D． （）点和点之间相差___________个单位长度． 35．如图，在数轴上有、、三点． (1)点表示的数是____； (2)点与点到点的距离相等且两点不重合，则点表示的数是____； (3)请在数轴上描出，用点表示，将点、、三个点表示的数用“”连接． ∴点、、三个点表示的数用“”连接为． 36．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，沿数轴做移动游戏．游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为______，乙在数轴上对应的数为______； (2)若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个单位长度？ (3)从初始位置开始，假如完成了10局游戏，且甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n（n为正整数）次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值； (4)从初始位置开始，若进行了k（k为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2个单位长度，请直接写出k的值． 题型五：利用数轴以及有理数的加减法判断式子的符号并对绝对值进行化简 37．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 38．如图，数轴上点、表示的数分别是、，、为数轴上一点，其表示的数为．当点在数轴上移动时，若的值始终保持不变，则时，的值为（   ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 39．如图，数轴上点、表示的数分别是、，；为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若 的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 40．现在我们已经知道，数轴上两点之间的距离可以由两点所表示的数来刻画，如数轴上A、B两点分别表示和5，则A、B两点之间的距离为．在求的最小值时，先把式子化为，然后借助于数轴，分析即可得到最小值为5．按照这样的方法，式子的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 41．由绝对值的几何意义，我们知道表示数轴上某一点到原点的距离，同理可以得到表示数轴上某一点到表示数3的点的距离，表示数轴上某一点到表示数－2的点的距离．设，结合数轴，则下面的结论中正确的是（    ） A．S没有最小值 B．有有限个x（不止一个）使S取得最小值 C．只有一个x使S取得最小值 D．有无限个x使S取得最小值 42．阅读下面的材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示在数轴上对应的点到原点的距离：表示x与a在数轴上对应的点之间的距离；例：，表示数x与1在数轴上对应的点的距离是2．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是_____；数轴上表示x与的两点之间的距离是_____． (2)若，则_____． (3)若数轴上表示数a的点位于表示与2的两点之间，则_____． (4)已知有理数b，则的最小值是_____． 43．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了重要的规律：如果数轴上点A、B分别表示有理数a、b，那么A、B两点间的距离表示为．例如数轴上表示4和的两点之间的距离可表示为． （1）如图，在数轴上点M表示数1，点N表示数，则M、N两点间的距离为_______； （2）若，则x的值为_______． 44．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离是____；表示和两点之间的距离是____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于，如果表示数和的两点之间的距离是，那么____． （2）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_____． （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是___． （4）当___时，的值最小，最小值是____． 45．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律．而平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： 【应用一】平移 （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是____________； （2）一个机器人从数轴上表示的点出发，并在数轴上移动2次，每次移动3个单位后到达点，则点表示的数是____________． （3）如图，半径为2的圆上有一点落在数轴上点处，则将圆在数轴上向右滚动（无滑动）一周后点在数轴上所表示的数为____________． （4）的几何意义为数轴上表示数与的两点间的距离．例如，可理解为2与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且．点所表示的数为7，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． ①____________，____________． ②经过____________秒点到C，D的距离和为8． 【应用二】翻折 （1）已知纸面上有一数轴，折叠纸面，表示的点与表示4的点重合，则表示的点与表示___________的点重合； （2）若数轴上A、B两点之间的距离为8，点在点的左侧，A、B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示的点，则点表示的数为____________； （3）在数轴上，点表示的数为2025，点表示的数为，将点P、Q两点重合后折叠，折痕与数轴交于点；将点与点重合后折叠，新的折痕与数轴交于点，若此时点与点的距离为3，数的值为___________． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数的运算与数轴、绝对值等之间的联合应用 题型一 利用有理数的加减法解决数轴上的点的移动问题 题型二 利用有理数的加法解决数轴的折叠问题 题型三 利用数轴以及有理数的混合运算判断式子的符号 题型四 利用有理数的减法以及绝对值的意义解决数轴上两点之间的距离问题 题型五 利用数轴以及有理数的加减法判断式子的符号并对绝对值进行化简 题型一：利用有理数的加减法解决数轴上的点的移动问题 1．A 2．C 3．B 4．A 5．C 6．A 7． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 8．0.6/ 【详解】解：∵数轴上点B和点C对应刻度尺上的数分别为1.8，5.4，且数轴的单位长度是， ∴点B和点C的距离为， ∴当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为， 故答案为：0.6． 9．(1)4 (2)64岁 【详解】（1）解：如图1， 由题意可知，三个火车的长为， 则一个火车的长为； （2）解：同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 题型二：利用有理数的加法解决数轴的折叠问题 10．A 11．A 12．A 13．C 14．6或/或6 【详解】解：因为轴上表示的点与表示3的点重合， 所以是从表示1的点处折叠， 因为数轴上两点之间的距离是10， 所以点P到表示1的点的距离是5， 所以点表示的数为6或． 故答案为：6或． 15． 【详解】解：依题意得：两数是关于和8的中点对称，即关于对称， 、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经以上方法折叠后重合，则、关于所表示的点对称， ． 故答案为：． 16． 【详解】解：（1）依题意，两点之间的距离为； 故答案为：； （2）∵将数轴折叠，使得点与点重合， ∴折叠点表示的数为， 则点重合的点表示的数是：； 故答案为： （3）∵数轴上，两点间的距离为（在左侧），表示数的点到，两点的距离相等，将数轴折叠，使得点与点重合 ∴． 即点代表的数是 故答案为： 17．(1)①D；②1012； (2)①；②；；③． 【详解】（1）解：①， 答案：； ②每两次为一组，每组结果：， ， …， 次共组， ∴总和：， 答案：； （2）解：①折叠中点：， 设与重合的数为，则 ， 解得， 答案：； ②折叠中点为，、距离，在左、在右： ，， 答案：：；：； ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为，，折叠中间点表示的数为， 答案：． 18．（1）； （2）①；②或；③． 【详解】（1）解：整数集合：； 非负数集合： （2）①解：折叠对称中心为，设与3重合的点为，则，解得 故答案为：． ②解：点表示的数为或， 当时，，解得； 当时，，解得． 故答案为：或． ③解：设表示的数为，表示的数为，则，且， 解得， 故答案为：． 题型三：利用数轴以及有理数的混合运算判断式子的符号 19．B 20．D 21．B 22．D 23．C 24．④ 【详解】解：根据题意，得，， ，，，，， 故①②③⑤错误；④正确； 25． 【详解】解：， 点是线段的中点， 根据中点公式：， 等式两边同时乘以，得：， 由数轴可知：， ，即． 26．(1)； (2)在数轴上表示如图所示： (3) 【详解】（1）解：由数轴可得，，， ∴，． 故答案为：；； （2）解：的倒数为， （3）解：∵ ∴， 即点在数轴上表示的数是． 27．(1)， (2)的相反数是3， 在数轴上表示如下； ； (3) 【详解】（1）解：由数轴知：，， ∴，； 故答案为：，； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴点D在数轴上表示的数是． 故答案为：． 题型四：利用有理数的减法以及绝对值的意义解决数轴上两点之间的距离问题 28．D 29．A 30．A 31．C 32． 33． 34．（）见解析 （） 【详解】解：（）如图所示 （）由图可得：点和点之间相差个单位长度． 35．(1) (2) (3)将点表示在数轴上，如下： ∴点、、三个点表示的数用“”连接为． 【详解】（1）解：由数轴可知，点表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵点表示的数是，点表示的数是， ∴点到点的距离为， ∵点与点到点的距离相等且两点不重合， ∴点到点的距离为， ∴点表示的数是， 故答案为：； （3）略 36．(1)，5 (2)乙的手势是布，4个单位长度 (3) (4)7或5 【详解】（1）解：根据题意，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，第一局时平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； 故甲在数轴上对应的数为，乙在数轴上对应的数为， 故答案为：，5． （2）解：从前三局来看，甲一平一胜一负， 三局后甲对应的数为，乙对应的数为． 第四局游戏结束后，乙在数轴上对应的数是2，且， 故第四局游戏的结果是乙向西移动1个单位长度， 所以第四局游戏为平局，即乙第四局的手势是布； 第四局游戏结束后甲对应的数为，乙在数轴上对应的数是2， 故， 所以此时甲与乙在数轴上相距4个单位长度． （3）解；乙赢了n次，则乙输了次 10局游戏结束后，乙停留的位置表示的数， 由他最终停留的位置对应的数为m， 故． 因为n为正整数， 当时，， 当时，， 故时，该位置距离原点O最近． （4）解：k的值为7或5． 初始位置时甲、乙两人相距12个单位长度． 若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度； 若甲赢，则甲向东移动4个单位长度；同时乙向东移动2个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度； 若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度， 所以甲、乙每移动一次，甲、乙的距离变化（相遇前缩小，相遇后扩大）2个单位长度． 最终甲与乙的位置相距2个单位长度，则共需变化14个单位长度或10个单位长度， 或， 所以k的值为7或5． 题型五：利用数轴以及有理数的加减法判断式子的符号并对绝对值进行化简 37．A 38．B 39．A 40．C 41．D 42．(1)； (2)6或 (3)5 (4)8 【详解】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是，数轴上表示x与的两点之间的距离是． 故答案为：；． （2）解：若， 则或， 或． 故答案为：6或． （3）解：若数轴上表示数a的点位于表示与2的两点之间， 则． 故答案为：5． （4）解：表示数轴上表示数b的点到表示与3两点的距离之和， 当时，的值最小，为． 故答案为：8． 43．5 或3 【详解】（1）解：M、N两点间的距离为； 故答案为：； （2）解：表示到的距离，表示到的距离， 当在左边，即时， ； 当在右边，即时， ； 故答案为：或． 44． 或 【详解】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是，； 表示和两点之间的距离是，； 一般地，数轴上表示和数的两点之间的距离等于， 如果表示数和的两点之间的距离是，则可记为：，那么或． 故答案为；；或． （2），． 故答案为． （3）当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 使得的所有整数为：，，，，，，，， ． 故答案为． （4）当时，， 当时，，则， 当时，，则， 当时，， 由上可得，当时，的值最小，最小值是. 故答案为；． 45．应用一：（1）1；（2）5或或；（3）；（4）①2；；②2.5或10.5；应用二：（1）6；（2）；（3）2013或2037 【详解】解：应用一：（1）， 故答案为：1； （2）两次都向右：； 两次都向左：； 先向右再向左：； 先向左再向右：； 故答案为：5或或； （3）圆的半径为2，周长为：， 从A点(数轴上表示1)向右滚动一周，终点表示的数为， 故答案为：； （4）①∵， ∴，， ∴，； 故答案为：2；； ②设运动时间为t秒，点M表示的数为， ∵到和的距离和为8， ∴； 分情况讨论： 当时，，解得， 当时，，此情况无解； 当时，，解得， 故答案为： 2.5 或10.5； 应用二：（1）折痕所在点对应的数是， 表示的点与折痕对称点表示的数为， 故答案为：6； （2）折痕点表示的数是，A、B距离为8，所以A到折痕的距离是， 又A在折痕左侧， ∴， 故答案为：； （3）第一次折痕M表示的数为：， 第二次折痕N表示的数为：； 根据题意， ∴， ， ， 解得：或， 故答案为：2013或2037． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $