第1章 二次函数（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 本单元卷为初中数学二次函数单元复习提升卷，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，全面考查二次函数定义、性质、图像变换及实际应用，适配数学眼光、思维与语言核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、性质、图像变换|结合菱形与抛物线考查几何直观，如第7题| |填空题|6/18|函数关系式、图像与方程关系|设置喷泉高度问题，体现模型意识，如第15题| |解答题|8/72|实际应用（利润、产量）、综合探究|以小麦产量研究为情境，培养应用意识，如第23题；设计动点与抛物线综合题，发展推理能力，如第24题|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章二次函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.下列函数是二次函数的是() A.y=2x+1 B.y=1 C.y=1-x2 D.y- 2.若y=(a-4)r2+7x-5 二次函数，则“的值为() A.-4 B.4 C.±4 D.±2 3.对于二次函数'-3(-少+7，下列结论正确的是() A.当x=-1时，y有最大值为7 B.图象的对称轴是直线x=1 C.图象的对称轴是直线x=-1 D.当x>1时，y随x的增大而增大 4.已知点()，（民，，(4，）都在二次函数=-(x-2+C的图象上，则片，为，⅓的大小关系是 () A.片>为>为B为>%>为 C,为>为>y D.为>乃>2 5.用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y 平方米，根据题意，可列式为() A.y=12-2xB.y=(02-xc.y=(2-2xxD.y=(6-xx =x2+8x+15 6.将抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是 () A.y=(x+1)2-3 B.y=(x+7乃-3 C.y=(x+1)2+1 D.y=(x+7)}+1 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,菱形O4BC的顶点0小C在抛物线y=上，其中点O为坐标原点，对角线OB在 且OB=6.则菱形OABC的面积是() B A.18 B.6V6 C.9 D.4V5 8.如图1，在△ABC中，AB=AC=6cm,∠B=30°.动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿折线 B→A→C向终点C运动：动点N同时从点B出发，以lcm/s的速度沿边BC向终点C运动.规定其中一 个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为付)，△BMW的面积为(m）,y与 之间的函数图象如图2所示，则下列结论正确的是() ①m=3;②△BMN的最大面积a为4cm2;③当t=4s时，BN=CM;④当t为l.5s和4.5s时，△BMN的面 1.25cm2 积为 Ay/cm2 ----- M B m 6 图1 图2 A.②③ B.①③ C.①②③ D.①②④ 9.函数是描述现实世界变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决很多现实问题.如某型号飞机着陆 后滑行的距离S(m)关于滑行的时间t(s)的函数关系式是s=-2+80t,请结合函数图象，用数学眼光判 断下列关于该运动情况的描述，其中错误的是() 217 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.飞机着陆后前5s滑行的距离为350m B.飞机着陆后滑行800m才能停下来 C.飞机滑行过程中，最后10s滑行了600m D.飞机滑行过程中，最后50m滑行用时5s 10.二次函数y=ar+hx+c(a≠0 的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0:②a-b+c<0,③ 4a+2b+c>0④am2+bm<a+b(m≠1） ,其中正确的是() A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 1.某化肥厂10月份生产某种化肥200，如果1山、12月的月平均增长率为，则12月份化肥的产量0 与x之间的函数关系式为 12.己知点 3B(2,为），都在抛物线'=+2x+3上，则片一为.（用>”，“<”或“=” 填空) y=-x2+bx+c 13.抛物线 的部分图象如图所示，则关于x的方程t+hx+c=0。 的解是 4。已知抛物线'=--2与x轴的交点为m0 ,则代数式-m+m+2021的值为. 317 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA的长为1.5m,水流在各个方向上沿 形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到点O的距离为3m。 建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间近似满足函数关系 式'=ar+x+ca≠0 ),则水流喷出的最大高度为 16,如图，在平面直角坐标系0中，抛物线”=-r+2x+3 x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,则 点C的坐标为 若抛物线上存在一点P,对称轴上存在一点O,使得以C,B,P,Q为顶点的四 边形是平行四边形，则点P的坐标为 3 -3-210 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知二次函数'r+x+c (0,-3)(2,5) 的图象经过 (1)求这个二次函数的解析式； (2)当-2≤x<2时，直接写出y的取值范围 18.如图，己知抛物线y=X+mr+n经过点 A(-5,2),B(3,2) 417 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求抛物线的表达式。 (2)利用函数图象，求当-5<x≤0时，y的取值范围. 19.在平面直角坐标系中，二次函数'=ar+br+2 A(2,k),B(-1,k) 的图象过点 6 (1)求a的值： ②已知二次函数y=ar2+br+2的最大值为240，求该=次函数的表达式. 51 20.某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y(万件)与销 售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100, (1)写出每月的利润L(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式： (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 2L,如图1，已知抛物线”=ar+br-3 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为 （-1,0 ，且抛物线对称轴为直线x=1 N 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (②)如图2，连接BC,P为线段BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PMLx轴交BC于点M,作PN1y 517 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 轴交y轴于点N,求3PM+PN的最大值及此时点P的坐标： 2。如果二次函数'=+br+(0+0)与辅的两个交点的距离为1，郑么称这样的函数为“邻交函数”， 例如，二次函数'=-5x+6与'轴的两个交点分别是2,0），(3,0) 两点的距离为1，则此函数 y=x2-5x+6 是“邻交函数” y=4x2-1 (1)判断二次函数 是不是“邻交函数” (2②若二次函数y=r-2ax+2 “邻交函数”，求“的值. 6)若二次函数少=ar+x+1(a>0 是“邻交函数”，令=10a-b,求'的最大值. 23.综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氨量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同 的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析.研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每 亩的产量'（千克）与每亩施氦量x(千克)的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中0≤x≤28， 设中肥力麦田每亩的产量为”（千克），低肥力麦田每亩的产量为片（千克），己知点 A(0,160) B(18,646)C(28,496) 均在描述与关系的抛物线上，且点B是这条抛物线的顶点 y/千克 B 646 中肥力：y=▲ 496 ---------C 低肥力： 160 y2-x2+26x+140 140 0246810121416182022242628x千克 (①建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量”与的函数关系式， (②)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量片与'的函数关系式为 2=-x2+26x+140 ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氨量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氨量，以 及此时两种麦田小麦每亩产量的差； 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块.当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到 最大时，两块麦田的总产量为m千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克 经判断n小于m,请直接写出m与n的差 24.抛物线y=2+bx+c经过点A:B(4,0),C(0,-2). 7n A M D 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： ②点P(,）是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作平行》轴的直线交'于点M.点(，)是抛 物线第四象限上的一个动点，分别连接10，M0,若：-44-)=4 ①如图1，求△AQM的面积的最大值： ②如图2，过点作D1y轴交于点D,过点P作x轴的平行线交y轴于点N.在直线PN上，将点N向 左平移至点T,且WT=1,过点P,M,T的圆弧在第四象限内交该抛物线于点G,连接GP,GT,求 证：∠TGP=∠AQD 717学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章二次函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 题号 心 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C C C A B 0 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.y=200(1+x)月 12.< 13.=16=-3 14.2019 15.2m/2米 16. (0,3) 4,5)或2-)或2,3) 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(1)y=r+2x-3 -4≤y<5 (2) 【详解】(1)解： 把0，-3），2,5)f代入y=r+r+c ∫c=-3 得4+2b+c=5, 「b=2 解得c=-3 1/12 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 =x2+2x-3 .二次函数的解析式为 （2)解：将=次函数配方得"=+2x-3=(x+-4 函数的对称轴为直线x=-1 .1>0 二次函数开口向上， ∴.当x=-1时，y取得最小值4： 当=-2时，y=(-2+1-4=-3 时，y=(2+1)2-4=5 当x=2 即在-2≤x<2时，y的取值范围是4≤y<5 18.()y=r2+2x-13 -14≤y<2 (2 [25-5m+n=2 【详解】(1)解：(1)把A(-5,2)B(3,2)分别代入y=x2+mx+n得9+3m+n=2, m=2 解得n=-13, 所以抛物线的表达式为”=？+2x-13 (2)解：y=x+2x-13=(x+1-14 .当x=-1时，y有最小值-14， .-5<x≤0时，y的取值范围为14≤y<2 19.(1)-1 (2)y=-x2+x+2 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：二次函数'=r+br+2 A(2,k),B(-1,k) 的图象过点 ∴.k=4a+2b+2,k=a-b+2, .4a+2b+2=a-b+2, 3a+3b=0 解得b=-a, :aa (2)解：由(1)知b=-a, 故二次函数少=r+br+ 转化为y=ar2-ar+2 4 :屋数的最大位为了女， ∴.二次函数图象开口向下，即a<0,且24 4, 整理，得a2-a-2=0, 解得a=-l或a=2(舍去)， 故a=-1. =-x2+x+2 故抛物线的解析式为 L=-2x2+136x-1800(18<x≤50) 20.(1) (2)当销售单价为34元时.厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元. 【详解】(1)解：由题意，单件利润： (-18)元，销售量=-2x+100, L=(x-18)y =x-18j-2x+100 =-2x2+100x+36x-1800 =-2x2+136x-1800, 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 结合实际意义，销售量y≥0， 即-2x+10020,x≤50； 单价高于成本x>18,自变量取值范围：18<x≤50. L=-2x2+136x-1800(18<x≤50) ·函数关系式： (2)解：对于二次函数L=ax2+bx+c,a=-2,b=136,c=-1800, x=-6-,136=136-34 对称轴： 2a2×(-2)4 34在取值范围18<x≤50内，将x=34代入利润函数： L=-2×342+136×34-1800 =-2×1156+4624-1800 =-2312+4624-1800 =512, ∴·当销售单价为34元时，每月获得最大利润，最大利润为512万元. 21.1)y=x2-2x-3 【详解】(1)解：：已知抛物线"=ar+br-3 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐 标为10) 且抛物线对称轴为直线=1， a-b-3=0 b =1, 2a a=1 解得b=-2, :y=2-2x-3 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：：抛物线对称轴为直线x=1,A点的坐标为 -1,0) B(3,0) 当x=0,y=-3. :c0-3) 设直线BC解析式为y=c+d, 3k+d=0 d=-3, [k=1 解得d=-3, ∴直线BC表达式为y=x-3, 设P(m,m-2m-30<m<3) 则由题意得V(0,㎡-2m-3),M(mm-3) :PV=m,PM=m-3-(m2-2m-3）=-m2+3m wpw-3(43mm=0m--3 -3<0, 当m 25 3时，3PM+PN取得最大值，最大值为3， 3 9 22.(1)是“邻交函数” 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 e号 (3)t的最大值为9 【详解】(1)解：在=4- 中，当'=0时，4r-1=0, 解得号， 六次盈数1与轴的两个安点的生标分别得】 ·二次函数少=4- 与x轴的两个交点的距离为1， ·二次函数少=4r2-1 “邻交函数”： (2)解：=次函数=-2ar+2 “邻交函数”， ∴，关于x的一元二次方程x2-2x+2=0有两个不相同的实数根，且两根之差为1， 设关于x的一元二次方程-2x+2=0的两个实数根分别为m,m>m）, ∴.m+n=2a,mn=2」 :m(m+1)=2 .m2+m-2=0, 解得m=1或m=-2, 当m=时，n=2,则20=1+2=3，解得03 当m=2时，n=-小则2a=2-1-3解得@= 2 综上所述，a=±3 Γ2 6/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=ax2+bx+1(a>0) (3)解：二次函数 是“邻交函数”， 二次函数 =a+br+1(a>0)与x轴有两个交点，且这两个交点的距离为1， 在'=r+r+1(a>0)中，当y=0时，ar+bx+1=0, 解得-6F- 40,x=-b+vF-4a 2a 2a -b+F-4a_-b-B-40-1 .x3-x=1,即2a 2a 2Nb2-4a=1 ..2a Vb-4a=a .b2-4a=a2, .b2=a2+4a, .t=10a-b2 =10a-a2-4a =-a2+6a =-(a-3)2+9 -1<0, .当a=3时，t有最大值，最大值为9. 3 23.a)%=-2(-18+646(0≤x≤28） (2)①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为 299.5千克；②15 B(18,646) 【详解】(1)解：由题意得，点 是描述”与关系的抛物线的顶点， 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·设片=a(r-18)}2+646 (0,160) 点 在描述片与x关系的抛物线上， :a0-182+646=160,解得a=2 y与x的商数关系式为=-18+660sx≤28。 (2)解：0°h=-x+26x+140=-(x-13}+309 ∴a=-1<0,开口向下， 又0≤x≤28， ·当=1B时，乃取得最大值，此时号 2=309 两种麦田每亩施氨量相同， 3 :当x=13时，y=-2×(13-18°+646=608.5. 此时片-片=608.5-309=29.5 答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千 克 ②4=-30x-18)+646,为=-(k-13+309. 3 :”的最大值为646，”的最大值为309。 .m=646+309=955 令y=男+y=36x-18+646-(-13旷+309 号x2+80x+300 =6-16+940 .当x=16时，y有最大值，为940. ∴.n=940」 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴m-n=955-940=15. 24国- 2 841 2①80： ②证明：由0可得1(-1,0) :点P(:,）是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作平行'轴的直线交轴于点M,过点P作轴的 平行线交y轴于点N, Mk.0s>0,0--2 ∠MPN=90°， Pw--2 :点(5，)是抛物线第四象限上的一个动点，过点作D1)轴交于点D, 1 将点N向左平移至点T,且NT=1, -2 PT=x-(-1)=x+1 连接TM, B、 G M 9/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tan∠PMT= PT x,+1 x+1 2(x+1)2 PM123 2-2-2 2(2-3x-4)G+100-4x-4, 过点1作10文0的度长发十.则-- ÷4h=0传s--2-+s-利0m=6-=1, m2400盘+5-445. OH x2+1 2 (6-4)4-x)=4 .4-=4 -4. 4 六tan∠40D=4-4-为=-42 =tan∠PMT, OH 22 x-4 ∴.∠AQD=∠PMT, ,过点P,M,T的圆弧在第四象限内交该抛物线于点G, ∴.由圆周角定理可得∠TGP=∠PMT, .∠TGP=∠AQD 【详解】(4)解，：抛物线=+饭+c经过点B(40,C0-2》。 2 ×4+4b+c=0 2 ∴c=-2 /b、3 解得c=-2, 5抛物线的表达式为女--2。 10112 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12-2x-2=0, 2解0m--2中，令y=0:则r号 解得x=-1或x=4, 4-10) :点P(:,）是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作平行》辅的直线交销于点M, :M6G,0>0) :4M=-(-H)=5+1 :点(5，)是抛物线第四象限上的一个动点， y27-多x3=2<0,0<<4 ”[- - =-4(+1-42+1) =+4-53+. t=4-x2 令 (-44-)=40<x<4 11/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0<1<4,5-4 t 6=4-1,5=4+4 :seu+04-s03+0 4+4-+ =5+}x6-0 -5+4x5-) -425-502+20-4) =-5+2+20) 80, 5 40, 21 841 ·当I=10时，△AQM的面积最大，为80： ②略 12112 第1章 二次函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．二次函数的标准形式为（a、b、c是常数，），据此判断各选项． 【详解】解：根据二次函数的定义逐项分析判断如下： A、未知数的最高次不是2，该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意； B、，该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不符合题意； C、，该函数符合二次函数的定义，故本选项正确，符合题意； D、，该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数的一般形式为()，根据定义列出关于的方程与不等式，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且． 由，得，解得或． 又∵，即， ∴． 故选：A． 3．对于二次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，有最大值为7 B．图象的对称轴是直线 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【详解】解：∵二次函数，， ∴当时，有最大值为7，故A选项说法错误，不符合题意； 图象的对称轴是直线，故B选项说法正确，符合题意；C选项说法错误，不符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故D选项说法错误，不符合题意． 4．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，再根据开口向下的二次函数，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，即可比较得到结果． 【详解】解：∵ 二次函数解析式为， ∴，二次函数开口向下，对称轴为直线 ． 分别计算各点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为． ∵开口向下的二次函数，点到对称轴的距离越大，函数值越小， 又， ∴ ． 5．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由围栏的全长及垂直于墙面的边长，可得出平行于墙面的边长为米，再利用矩形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式，此题得解，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：围栏的全长为12米，且设垂直于墙面的边长为x米， 平行于墙面的边长为米． 根据题意得：， 故选：C． 6．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 7．如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质求得点A的横坐标是解题的关键．连接交于点D，则由菱形性质知，从而得；由知，点纵坐标为3，由此可求得A点横坐标，即得，从而可得，由菱形面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图，连接交于点D； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； ∵， ∴点纵坐标为3； ∵点A在抛物线上， ∴， 解得：， 即A点横坐标为3， 即， ∴， ∴菱形面积为． 8．如图1，在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿折线向终点C运动；动点N同时从点B出发，以的速度沿边向终点C运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为，的面积为，y与t之间的函数图象如图2所示，则下列结论正确的是(     ) ①；②的最大面积a为；③当时，；④当t为和时，的面积为． A．②③ B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】B 【分析】由题意可知：，当时，点M在边上，则，当时，点M在边上，则，分别求出y关于t的函数解析式，即可判断各个选项． 【详解】解：由题意可知：， 当时，点M在边上，则， 当时，点M在边上，则， 当时，过点M作于点E， ∵，， ∴， ∴，即， ∴当时，的面积为最大，最大值为； 当时，过点M作于点F， ∵， ∴， ∴， 即 当时，的面积为最大，最大值为； ∴，的最大面积a为，故①正确，②错误； 当时，，， ∴，故③正确． 当时，，即的面积为， 当时，，即的面积为， 故④错误． 综上所述，结论正确的是①③． 9．函数是描述现实世界变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决很多现实问题．如某型号飞机着陆后滑行的距离s（m）关于滑行的时间t（s）的函数关系式是．请结合函数图象，用数学眼光判断下列关于该运动情况的描述，其中错误的是（     ） A．飞机着陆后前滑行的距离为 B．飞机着陆后滑行才能停下来 C．飞机滑行过程中，最后滑行了 D．飞机滑行过程中，最后滑行用时 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的实际应用，先对函数配方得到飞机滑行的总时间和总滑行距离，再逐一计算每个选项判断正误. 【详解】先对函数配方得 ∵二次函数开口向下，顶点坐标为， ∴飞机着陆后滑行停下，总滑行距离为. 对选项A：将代入函数得 ，A描述正确； 对选项B：由顶点可知最大滑行距离为，即飞机滑行才能停下，B描述正确； 对选项C：总滑行时间为，最后对应从到，将代入得，最后滑行距离为，C描述错误； 对选项D：当滑行距离为时，令，整理得，解得（舍去大于总时间的解），因此最后用时，D描述正确. 10．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置以及最值性质，逐项判断各结论的正确性即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； 对称轴为直线， 与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，，即，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查列函数解析式，根据月平均增长率问题，11月份产量为，12月份产量为，从而得到函数关系式． 【详解】解：依题意，月平均增长率为，则11月份化肥产量为，12月份化肥产量为， 故， 故答案为：． 12．已知点，都在抛物线上，则_____．（用“”，“”或“”填空） 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的函数值，通过直接计算点A和点B的纵坐标值进行比较． 【详解】解：对于抛物线， 当时， ； 当时， ． 因为， 所以 故答案为：． 13．抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为，利用抛物线的对称性即可求得． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为， 设另一个交点为， ， 解得：， 故另一个交点为， 关于的方程的解是：， 14．已知抛物线与x轴的交点为，则代数式的值为__________． 【答案】 【分析】根据抛物线上点的坐标满足抛物线解析式，将交点代入解析式，得到的值，利用整体代入法求代数式的值． 【详解】解：把代入抛物线解析式， 得 ， 整理得． ． 15．某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 【答案】/米 【分析】由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点的坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵，故函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：水流喷出的最大高度为． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为________；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 【答案】 或或 【分析】（1）令，代入抛物线求解可得点C的坐标； （2）分情况讨论，当、、分别为平行四边形的对角线时，根据平行四边形对角线互相平分列方程求解即可． 本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用平行四边形对角线互相平分列方程是解题的关键． 【详解】解：（1）令，解得， 故点C的坐标为； （2）令，解得或， 故点B的坐标为； ∵， ∴设点，； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 综上，点P的坐标为或或． 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知二次函数的图象经过，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，代入已知两点坐标求解系数，即可得到二次函数解析式； （2）将解析式配方为顶点式，当时，y取得最小值；再计算当，时，分别对应的函数值，即可得到y的取值范围． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：将二次函数配方得， 函数的对称轴为直线 ∵ ∴二次函数开口向上， ∴当时，y取得最小值； 当时，， 当时，； 即在时，y的取值范围是． 18．如图，已知抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式． (2)利用函数图象，求当时，y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式； （2）利用配方法得到，根据二次函数的性质得到当时，结合函数图象可得到当时，y的取值范围为． 【详解】（1）解：（1）把分别代入得， 解得， 所以抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴当时，y有最小值， ∴时，y的取值范围为． 19．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点的纵坐标相等，建立方程解答即可； （2）由（1）知，把二次函数转化为，结合函数的最大值为，确定a值即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：由（1）知， 故二次函数转化为， 则， ∵函数的最大值为， ∴二次函数图象开口向下，即，且， 整理，得， 解得或（舍去）， 故． 故抛物线的解析式为． 20．某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)当销售单价为34元时.厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元． 【分析】（1）单件利润为元，销售量为万件，总利润单件利润销售量，代入整理即可得到二次函数关系式． （2）是开口向下的二次函数（二次项系数），顶点处取得最大值；用顶点公式求单价，再代入求最大利润． 【详解】（1）解：由题意，单件利润：元，销售量， ， 结合实际意义，销售量， 即，； 单价高于成本，自变量取值范围：． 函数关系式：． （2）解：对于二次函数，，，， 对称轴：， 在取值范围内，将代入利润函数： ， 当销售单价为元时，每月获得最大利润，最大利润为万元． 21．如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，P为线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点M，作轴交y轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过对称轴确定系数a和b的关系，再代入点A的坐标，即可求出解析式； （2）根据解析式求出点B，C的坐标，从而得到直线的解析式，设出点P的坐标，从而用所设字母表示出点M，N的坐标和和，构造函数关系求最值即可． 【详解】（1）解：∵已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ， 解得， ∴； （2）解：∵抛物线对称轴为直线，A点的坐标为， ∴， 当，， ∴， 设直线解析式为， ， 解得， ∴直线表达式为， 设， 则由题意得，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时， ∴． 【点睛】掌握二次函数的图象与性质，通过对称轴确定系数a和b的关系，并通过设坐标表示出的值是解题关键． 22．如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数” (1)判断二次函数是不是“邻交函数” (2)若二次函数是“邻交函数”，求的值． (3)若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值． 【答案】(1)是“邻交函数” (2) (3)的最大值为 【分析】（1）求出二次函数与x轴的两个交点的坐标即可得到答案； （2）设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，由根与系数的关系得到，则可得到，解方程求出m的值，则可求出n的值，进而可得a的值； （3）当时，，解得，根据定义得到，则可推出，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， 解得， ∴二次函数与x轴的两个交点的坐标分别为， ∵， ∴二次函数与x轴的两个交点的距离为1， ∴二次函数是“邻交函数”； （2）解：∵二次函数是“邻交函数”， ∴关于x的一元二次方程有两个不相同的实数根，且两根之差为1， 设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴， ∴， ∴， 解得或， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得， 综上所述，； （3）解：∵二次函数是“邻交函数”， ∴二次函数与x轴有两个交点，且这两个交点的距离为1， 在中，当时，， 解得， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，t有最大值，最大值为9． 23．综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 【答案】(1)（） (2)①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克；②15 【分析】（1）根据点是描述与关系的抛物线的顶点，则设，将点代入即可求解； （2）①根据二次函数的性质得到当时，取得最大值，此时，求出当时，的值，计算即可求解； ②根据二次函数的性质求出，的最大值，即可得到m的值，令，求出y的最大值，即可得到n的值，计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，点是描述与关系的抛物线的顶点， 设， 点在描述与关系的抛物线上， ，解得， 与的函数关系式为； （2）解：①． ∴，开口向下， 又， 当时，取得最大值，此时． 两种麦田每亩施氮量相同， 当时，， 此时． 答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克． ②∵，， ∴的最大值为646，的最大值为309． ． 令 ， 当时，有最大值，为940． ， ． 24．抛物线经过点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线第一象限上的一个动点，过点作平行轴的直线交轴于点．点是抛物线第四象限上的一个动点，分别连接，，若． ①如图，求的面积的最大值； ②如图，过点作轴交于点，过点作轴的平行线交轴于点．在直线上，将点向左平移至点，且，过点，，的圆弧在第四象限内交该抛物线于点，连接，，求证：． 【答案】(1) (2)①； ②证明：由①可得， ∵点是抛物线第一象限上的一个动点，过点作平行轴的直线交轴于点，过点作轴的平行线交轴于点， ∴，，，， ∴， ∵点是抛物线第四象限上的一个动点，过点作轴交于点， ∴，，，， ∵将点向左平移至点，且， ∴， ∴， 连接， ∴， 过点作交的延长线于，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵过点，，的圆弧在第四象限内交该抛物线于点， ∴由圆周角定理可得， ∴． 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）①先求出，由题意可得，则，结合点是抛物线第四象限上的一个动点，得出，，表示出，令，则，，，从而可得，再结合二次函数的性质即可得出结果；②连接，过点作交的延长线于，由正切的定义并结合，得出，则，由圆周角定理可得，即可得证． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①在中，令，则， 解得或， ∴， ∵点是抛物线第一象限上的一个动点，过点作平行轴的直线交轴于点， ∴， ∴， ∵点是抛物线第四象限上的一个动点， ∴，， ∴， ∴ ， 令， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，为； ②略 【点睛】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $