第1章 二次函数 单元培优训练卷 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 浙教版九年级上册二次函数单元培优卷，以较难题为主，覆盖图象性质、实际应用、几何综合等核心知识，适配单元复习，提升综合解题能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择题|8|图象判断、利润函数、新定义“二倍点”|结合图象分析参数符号，融入实际销售情境，体现数学眼光| |填空题|6|根与系数关系、参数范围、抛物线对称性|通过矩形交点、对称轴综合题，考查推理能力| |解答题|8|解析式求解、面积最值、存在性探究|以露营帐篷抛物线为情境，设计动态问题与几何综合，强化模型意识与应用能力|

浙教版2026年九年级上册 第1章 二次函数 单元培优训练卷 难易度：较难—难 一．选择题（共8小题） 1．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则y＝cx2+ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．某商家代销一种产品，销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件产品下降1元时，日销售量增加2件．已知每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品售价为x（元），商家每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（　　） A．w＝（99﹣x）[200+2（x﹣50）] B．w＝（99﹣x）[200+2（50﹣x）] C．w＝（x﹣50）[200+2（x﹣99）] D．w＝（x﹣50）[200+2（99﹣x）] 3．已知二次函数y＝mx2﹣8mx+16m+8（m≠0），当x≤3时，y随x的增大而增大，当0≤x＜t时，函数的最大值是8，最小值是16m+8，则t的值可能是（　　） A．2 B．4 C．6 D．9 4．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为x，且图象经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②c﹣2b＝0；③若是抛物线上的两点，则y1＜y2；④b+c＞m（am+b）+c（其中m）；⑤a﹣b+c＜0．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 5．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（　　） A．﹣2＜c B．﹣4＜c C．﹣4＜c D．﹣10＜c 6．如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝x2+c上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．mn＝1 D． 7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点D是线段BC上一动点，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为E，F两点，则EF的最小值是（　　） A．3 B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，n）是抛物线上一点．以点C（0，1）为圆心，CA长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点B，抛物线和圆C在点A，B之间的部分分别记为G1，G2．M，N分别是G1，G2上的两个动点（M，N均不与A，B重合）．给出下面四个结论，错误的有（　　） ①当MN⊥x轴时，MN长的最大值为；②若点Q在x轴上，则在第一象限内存在点M，使四边形ABMO的面积等于△ABQ的面积；③△AMN可能是等边三角形；④以为中点的线段MN恰有两条． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二．填空题（共6小题） 9．已知a，b是抛物线y＝x2+2024x﹣4与x轴的两个交点的横坐标，则的值为　 　 ． 10．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于（t，0），（t﹣1，0），若0＜t＜2，则b+c的取值范围为　 　 ． 11．如图，抛物线L1，L2与直线y＝7分别交于A，C和B，D四点，且AB＝10，BC＝5，CD＝6．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则PQ的长是　 　 ． 12．如图，在矩形ABCD中，点A（﹣1，1），点D（2，1），则二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1与矩形ABCD有两个交点时，则m的取值范围为　 　 ． 13．抛物线y＝x2﹣4tx+5的对称轴在y轴右侧，点A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在抛物线上，若a＜b＜5，则m的取值范围是　 　 ． 14．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O（0，0），对称轴为直线x＝m，与x轴交于O、C两点，A、B为抛物线上纵坐标相同的两点，D是对称轴与x轴交点，连接AD，结合图象给出下列结论：①OC＝2OD；②AB∥x轴；③AD＝BD；④am2+bm+c＞0；⑤c＞0．其中正确的结论有　 　 （填序号）． 三．解答题（共8小题） 15．已知二次函数y＝x2+px+q的图象经过点（1，﹣6）和（﹣1，2）． （1）这个二次函数有最大值还是有最小值？最大值或最小值是多少？ （2）这个函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积． 16．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，求点P的坐标； 17．综合与实践 问题情境：远离城市喧嚣，走进自然山野，露营已成为当下人们放松身心、享受生活、感受自然之美的热门休闲方式．已知某款露营帐篷的支架撑开后（如图1）可近似看作抛物线． 建立模型：如图2，抛物线与水平地面交于A，B两点，以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，过点O作AB的垂线与抛物线交于点M，且点M是抛物线的顶点，以OM所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（单位长度为1m）．已知AB＝2.4m，OM＝1.8m． 问题解决： （1）求抛物线的函数表达式． （2）为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于1m，求活动区域在水平方向上的最大宽度． （3）如图3，为获得更舒适的空间且方便悬挂露营灯，将抛物线支架沿竖直方向向上平移hm（平移后的抛物线可视为原抛物线向上平移后的一部分）后，在y轴右侧抛物线上距原点水平距离为1m的点E处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于1.3m，直接写出h的最小值． 18．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，m），B（3，m） （1）求的值； （2）已知y＝ax2+bx+3的最大值为5﹣a2． ①求该二次函数的表达式； ②若M（x1，n），N（x2，n）为该二次函数图象上的不同两点，且n≠0，求证：． 19．如图，抛物线y＝ax2+2x﹣3a经过A（1，0），B（b，0），C（0，c）三点，交y轴于点C． （1）求a、b的值； （2）在抛物线对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小时，求三角形OPC的面积； （3）点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P是直线AC下方抛物线上的点． （1）求a+b的值； （2）连接AP，CP，BC，过点P作PF⊥x轴于点F，交AC于点E，若，求点P的坐标； （3）如图2，点M是直线AC上方的抛物线上一动点，当∠MAO＝∠OAC时，求点M的坐标． 21．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是抛物线上第一象限内的动点，连接CD、BD，求△BCD面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．已知抛物线y＝x2﹣2mx+n的顶点A始终在直线y＝2x﹣3上，且与直线y＝2x﹣3 的另一个交点为B，抛物线与y轴的交点为C． （1）用含m的代数式表示n，并求出n的最小值． （2）已知点A在第一象限，过点B作BM⊥x轴于点M，过点A作AE⊥BM于点E，连接AC，CE，BC． （Ⅰ）BE的长是否为定值？请说明理由． （Ⅱ）若△ABC的面积是△ACE的面积的2倍，求m的值． 参考答案 一．选择题（共8小题） 1．解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左边可得a、b同号，故b＜0， 所以y＝cx2+ax+b的图象大致是：抛物线开口向上，图象与y轴的负半轴相交，对称轴在y轴右边，故选项B符合题意． 故选：B． 2．解：由题意，∵每件产品售价为x元， ∴每件盈利（x﹣50）元， 又∵每天的销售量为[200+2（99﹣x）]件， ∴w＝（x﹣50）[200+2（99﹣x）]， 故选：D． 3．解：∵二次函数y＝mx2﹣8mx+16m+8（m≠0）， ∴对称轴为直线， ∵当x≤3时，y随x的增大而增大， ∴m＜0， ∵当0≤x＜t时，函数的最大值是8，最小值是16m+8， 又∵当 x＝4 时，代入得 y＝8，当 x＝0时，代入得 y＝16m+8， ∴当 x＝4 时（即顶点处），函数有最大值， 当 x＝0时，函数有最小值， ∴， 解得4＜t≤8． ∴t的值可能是6． 故选：C． 4．解：由题意得，a＜0， ∵抛物线对称轴为直线x， ∴b＝﹣a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的负半轴 ∴c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵对称轴为直线，且经过点（2，0）， ∴根据对称性可得，与x轴的另一交点为（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0，故⑤不正确； ∵a＝﹣b，a﹣b+c＝0， ∴﹣b﹣b+c＝0，即c﹣2b＝0，故②正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴y1＞y2，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，， 又∵当x＝m时，，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 故选：D． 5．解：由题意可得二倍点所在直线为y＝2x， 将x＝﹣2代入y＝2x得y＝﹣4， 将x＝4代入y＝2x得y＝8， 设A（﹣2，﹣4），B（4，8），如图， 联立方程x2﹣x+c＝2x， 当Δ＞0时，抛物线与直线y＝2x有两个交点， 即9﹣4c＞0， 解得c， 此时，直线x＝﹣2和直线x＝4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点， 把x＝﹣2代入y＝x2﹣x+c得y＝6+c， 把x＝4代入y＝x2﹣x+c得y＝12+c， ∴， 解得c＞﹣4， ∴﹣4＜c满足题意． 故选：B． 6．解：分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为M和N， 由条件可知点A坐标为（m，m2+c），点C坐标为（n，n2+c）， 所以AM＝m，MO＝m2+c，CN＝n，NO＝n2+c． 因为四边形ABCD是正方形， 所以AD＝CD，∠ADC＝90°， 在△CDN和△DAM中， ， 所以△CDN≌△DAM（AAS）， 所以DM＝CN＝n，DN＝AM＝m， 所以MN＝DM+DN＝m+n， 又因为MN＝MO﹣NO＝m2﹣n2， 所以m2﹣n2＝m+n， 即（m+n）（m﹣n）＝m+n， 因为m＞n＞0， 所以m+n≠0， 所以m﹣n＝1． 故选：B． 7．解：由得， x1＝4，x2＝﹣1， ∴OA＝4，OB＝1，AB＝5， 当x＝0时，y＝3， ∴OC＝3， ∴AC5，BC， ∴sin∠BAC， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AFD＝∠AED＝90°， ∴∠AFD+∠AED＝180°， ∴点A、F、D、E共圆， ∴EF＝AD•sin∠BACAD， ∴当AD⊥BC时，AD最小，即EF最小， 由 S△ABC得， AD， ∴EF最小， 故选：D． 8．解：在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，n）是抛物线上一点． ①当MN与y轴重合时，MN的长取最大值， ∵将A（﹣2，n）代入，得，解得：n＝2， ∴A（﹣2，2）， ∴， ∴当MN与y轴重合时，，CM＝CO＝1， ∴当MN与y轴重合时，即为最大值， ∴①正确； ②如图1所示，对于x轴上的任意一点Q， ∵AB∥x轴， ∴S△ABQ＝S△ABO， ∵四边形的名称为ABMO， ∴点M在第一象限的抛物线上， 抛物线在第一象限曲线上的任意一点M，都可以画出△OBM， 显然S四边形ABMO＞S△ABO＝S△ABQ， ∴②错误； ③如图2所示，以A为圆心，以AN为半径画圆与抛物线有交点，改变N点位置使得∠NAM＝60°，即可使得△AMN是等边三角形， ∴③正确； ④点M、N分别是G1，G2上的点，设， ∵A（﹣2，2）、B（2，2），G1、G2在点A、点B之间，M，N均不与A，B重合， ∴﹣2＜a＜2， ∵为MN中点， ∴在G2上， ∴，即a4﹣4a2﹣4＝0， （负值舍去）或， ∵﹣2＜a＜2， ∴a2＜4， ∵，这与﹣2＜a＜2是矛盾的， ∴不存在以为中点的线段MN， ∴④错误； 故选：D． 二．填空题（共6小题） 9．解：∵a，b是抛物线y＝x2+2024x﹣4， 与x轴的两个交点的横坐标， ∴a，b是方程x2+2024x﹣4＝0的两个解， ∴ab＝﹣4， ∴， 故答案为：0． 10．解：由题意可得：t和t﹣1是方程x2+bx+c＝0的两个根， ∴t+（t﹣1）＝2t﹣1＝﹣b，t（t﹣1）＝c， ∴b＝1﹣2t，c＝t（t﹣1）， ∴b+c＝（1﹣2t）+t（t﹣1）＝t2﹣3t+1， ∵0＜t＜2， 设w＝t2﹣3t+1，是二次函数，开口向上，关于直线对称， 当时，， 当t＝0时，w＝1， 当t＝2时，w＝22﹣3×2+1＝﹣1， ∴b+c的取值范围是． 故答案为：． 11．解：如图，作两条抛物线的对称轴PE，QF，E，F在直线y＝7上， 由条件可知PQ＝EF， ∵AB＝10，BC＝5，CD＝6， ∴AC＝AB+BC＝15，BD＝BC+CD＝11， 结合抛物线的对称性可得： AE＝CE＝7.5，BF＝DF＝5.5， ∴BE＝CE﹣BC＝2.5， ∴EF＝BE+BF＝8， ∴PQ＝8， 故答案为：8． 12．解：∵y＝x2﹣2mx+m2+m+1＝（x﹣m）2+m+1， ∴抛物线顶点坐标为（m，m+1）， ∴抛物线顶点在直线y＝x+1上， 如图， 当抛物线顶点在AD上时，m+1＝1， ∴m＝0， 如图，当抛物线经过点A（﹣1，1）时， 1＝1+2m+m2+m+1， 解得m（舍）或m， ∴m＜0， 故答案为：m＜0． 13．解：由条件可知抛物线开口向上，对称轴为， ∵对称轴在y轴右侧， ∴2t＞0， 即t＞0， ∵点A（m﹣2，a）和C（m，a）纵坐标相等， ∴A，C关于抛物线对称轴对称， ∴抛物线对称轴为， ∴2t＝m﹣1， 即， ∵B（4，b），C（m，a）， ∴点C到对称轴x＝m﹣1的距离为|m﹣（m﹣1）|＝1，点B（4，b）到对称轴的距离为|4﹣（m﹣1）|＝|m﹣5|， ∵a＜b，开口向上，函数值越大，点到对称轴的距离越大， ∴|m﹣5|＞1， 即m﹣5＞1或m﹣5＜﹣1， 解得m＞6或m＜4， ∵当x＝0时，y＝02﹣0×4t+5＝5， ∴点（0，5）在抛物线上， ∵b＜5，即y（4）＜y（0）， ∴点B到对称轴的距离小于点（0，5）到对称轴的距离， 即|m﹣5|＜|0﹣（m﹣1）|＝|m﹣1|， 两边平方得：（m﹣5）2＜（m﹣1）2， 展开得：m2﹣10m+25＜m2﹣2m+1， 整理得：﹣8m＜﹣24， 解得m＞3， ∵对称轴在y轴右侧 ∴m﹣1＞0， 即m＞1， 综上，m的取值范围是3＜m＜4或m＞6． 故答案为：3＜m＜4或m＞6． 14．解：抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O（0，0），对称轴为直线x＝m，与x轴交于O、C两点，A、B为抛物线上纵坐标相同的两点，D是对称轴与x轴交点，则： 根据二次函数的对称性可知：点O、C关于对称轴对称， ∴OD＝CD，即OC＝2OD，故①正确； ∵A、B为抛物线上纵坐标相同的两点， ∴AB∥x轴，故②正确； ∴点A、B关于抛物线的对称轴对称， ∴根据轴对称的性质可知：AD＝BD，故③正确； 由图象可知：当x＝m时，则有y＝am2+bm+c＜0，故④错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O（0，0）， ∴当x＝0时，则y＝c＝0，故⑤错误； 故答案为：①②③． 三．解答题（共8小题） 15．解：（1）把点（1，﹣6）和（﹣1，2）分别代入二次函数y＝x2+px+q得， ， 解得， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣3， ∵y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7， ∴抛物线开口向上，有最小值，最小值为﹣7． （2）令x＝0，则y＝﹣3， 令y＝0，则x2﹣4x﹣5＝0， 解得， ∴A（2，0），B（﹣2，0），C（0，﹣3）， ∴AB＝2，OC＝3， ∴S△ABCAB•OC＝3． 16．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4； （2）∵S1﹣S2＝5， ∴S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5 ∴S△ACP﹣S△ABC＝5． 令x＝0，则y＝4， ∴B（0，4）． ∵C（﹣1，0），A（4，0）， ∴AC＝5，OB＝OA＝4， ∴， ∴S△ACP＝15． 设P（t，﹣t2+3t+4）， ∴， ∴t＝1或t＝2， ∴设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，则P（1，6）或P（2，6）． 17．解：（1）∵AB＝2.4m，OM＝1.8m，O为AB的中点， ∴m， ∵以点O为原点，AB所在直线为x轴，以OM所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（单位长度为1m）， ∴A（﹣1.2，0），B（1.2，0），M（0，1.8）， 设抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+c，将点A，点B，点M的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣1.25x2+1.8； （2）由（1）知：抛物线的函数表达式为y＝﹣1.25x2+1.8， 当y＝1时，得：﹣1.25x2+1.8＝1， 解得：x＝0.8或x＝﹣0.8， ∴0.8﹣（﹣0.8）＝1.6（m）， ∴活动区域在水平方向上的最大宽度为1.6m； （3）∵将抛物线支架y＝﹣1.25x2+1.8沿竖直方向向上平移hm， ∴平移后的抛物线的解析式为y＝﹣1.25x2+1.8+h， ∵在y轴右侧抛物线上距原点水平距离为1m的点E处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于1.3m， ∴此时抛物线上的点E的坐标为E（1，1.3）， 将点E的坐标代入为y＝﹣1.25x2+1.8+h得： 1.3＝﹣1.25×12+1.8+h， 解得：h＝0.75， ∴h的最小值0.75m． 18．（1）解：∵抛物线经过点A（﹣1，m），B（3，m）， ∴点A（﹣1，m），B（3，m）关于对称轴对称， ∴对称轴：， ∴； （2）①解：由可得b＝﹣2a． ∴y＝ax2+bx+3＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2+3﹣a， ∵y＝ax2+bx+3的最大值为5﹣a2， ∴a＜0且3﹣a＝5﹣a2 解得a＝﹣1或2（舍去）， ∴该二次函数的表达式y＝﹣x2+2x+3． ②证明：∵M（x1，n），N（x2，n）为该二次函数图象上的不同两点，且n≠0， ∴x1，x2关于对称轴对称， ∴， 整理得x1+1＝3﹣x2， ∵， ∴． 19．解：（1）将A（1，0）代入y＝ax2+2x﹣3a， ∴a+2﹣3a＝0， 解得a＝1， ∴y＝x2+2x﹣3， 将B（b，0）代入y＝x2+2x﹣3， ∴b2+2b﹣3＝0， 解得b＝1（舍）或b＝﹣3， 将C（0，c）代入y＝x2+2x﹣3， ∴c＝﹣3； （2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∵A点与B点关于对称轴对称， ∴PA＝PB， ∴PA+PC＝PB+PC≥BC， ∴当B、C、P三点共线时，PA+PC有最小值， 设BC的直线解析式为y＝kx+m， ∴， 解得， ∴y＝﹣x﹣3， ∴P（﹣1，﹣2）， ∴S△OPC1×3； （3）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形，理由如下： 设M（x，0），N（t，t2+2t﹣3）， ①当AC为平行四边形的对角线时， ， 解得（舍）或， ∴N（﹣2，﹣3）； ②当AM为平行四边形的对角线时， ， 解得或， ∴N（﹣1，3）或（﹣1，3）； ③当AN为平行四边形的对角线时， ， 解得（舍）或， ∴N（﹣2，﹣3）； 综上所述：N点坐标为（﹣2，﹣3）或（﹣1，3）或（﹣1，3）． 20．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣4，0），B（1，0）， ∴， 解得， ∴； （2）由（1）得抛物线的解析式为， 把x＝0代入，得y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴OC＝3， ∵A（﹣4，0），B（1，0）， ∴AB＝1﹣（﹣4）＝5， ∴， ∵， ∴， 设直线AC的解析式为y＝kx+n，把A（﹣4，0）和C（0，﹣3）代入得， ， 解得， ∴直线AC的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 解得m1＝m2＝﹣2， ∴； （3）如图，设直线AM交y轴于D， ∵， ∴△AOD≌△AOC（ASA）， ∴OD＝OC＝3， ∴D（0，3）， 同理可得直线AD的解析式为， 由， 解得或， ∵点M是直线AC上方的抛物线上一动点， ∴． 21．解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）如图1，点D是抛物线上第一象限内的动点，过点D作DH⊥x轴于点H， 抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C， 当x＝0时，得：y＝3， ∴C（0，3）， ∴OC＝3， 设D（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），且B（3，0）， ∴OB＝3，OH＝t，DH＝﹣t2+2t+3，BH＝3﹣t， ∵S△BCD＝S梯形OCDH+S△BHD﹣S△BOC ， ∵， ∴当时，△BCD的面积的最大值为； （3）存在点P，使△ACP为等腰三角形；点P的坐标为P（1，0）或或或P（1，1）．理由如下： 设P（1，m）， ①当AC＝CP时，如图2， ∵A（﹣1，0），C（0，3）， ∴， ∴， 解得：m1＝0，m2＝6， ∴P（1，0）或P（1，6）， 设直线AC的解析式为y＝kx+n，将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝3x+3， 当x＝1时，得：y＝3×1+3＝6， ∴P（1，6）在直线AC上，不能构成三角形，不合题意，舍去， ∴P（1，0）； ②当AC＝AP时，如图3， 由①可知， ∴， 解得， 或； ③当AP＝CP时，如图4， ∵A（﹣1，0），C（0，3），P（1，m）， ∴， 解得：m＝1， ∴P（1，1）； 综上所述，存在点P，使△ACP为等腰三角形；点P的坐标为P（1，0）或或或P（1，1）． 22．解：（1）∵y＝x2﹣2mx+n＝（x﹣m）2﹣m2+n， ∴顶点A的坐标为（m，﹣m2+n）， ∵点A始终在直线y＝2x﹣3上， ∴﹣m2+n＝2m﹣3， ∴n＝m2+2m﹣3＝（m+1）2﹣4， ∵（m+1）2≥0， ∴当m＝﹣1 时，n取得最小值为﹣4； （2）（Ⅰ）BE的长为定值，理由： 如图： 由（1）知y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣3， 令x＝0得y＝m2+2m﹣3， ∴A（m，2m﹣3），C（0，m2+2m﹣3）， 令x2﹣2mx+m2+2m﹣3＝2x﹣3， ∴x2﹣2mx+m2+2m﹣2x＝0， ∴（x﹣m）2﹣2（x﹣m）＝0， ∴（x﹣m）（x﹣m﹣2）＝0， ∴x﹣m＝0或x﹣m﹣2＝0， ∴x＝m 或x＝m+2， 把x＝m+2代入y＝2x﹣3，得y＝2m+1， ∴点B的坐标为（m+2，2m+1）， ∵BM⊥x轴，AE⊥BM， ∴点E的坐标为（m+2，2m﹣3）， ∴BE＝2m+1﹣（2m﹣3）＝4， ∴BE为定值； （Ⅱ）如图，延长EA交y轴于点F，则点F的坐标为（0，2m﹣3）， ∴AF＝m，AE＝m+2﹣m＝2，EF＝m+2，CF＝m2+2m﹣3﹣（2m﹣3）＝m2， ∵S四边形AEBC＝S△ABC+S△ABE＝S△ACE+S△BCE，且S△ABC＝2S△ACE， ∴2S△ACE+S△ABE＝S△ACE+S△BCE， ∴S△ACE＝S△BCE﹣S△ABE， 而S△ACEAE•CF2×m2＝m2，S△BCE﹣S△ABEBE•EFAE•BE4（m+2）2×4＝2m， ∴m2＝2m， 解得 m＝2或 m＝0（不合题意，舍去）， ∴m的值为2． 学科网（北京）股份有限公司 $