23.2 直角三角形性质 题型专练 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

华东师大版（2024）九年级上册 23.2 直角三角形性质 题型专练 【题型1】直角三角形斜边上中线等于斜边一半 【典例】如图，AB⊥BF，EF⊥BF，AE与BF交于点C，点D是AC的中点，∠AEB＝2∠A．若AC＝6，EF＝1，则BF的长是（　　） A． B．3 C． D． 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，平面上有一点P，AP=1，连结AP，BP，取BP的中点G.连结CG，在AP绕点A的旋转过程中，CG的最大值是 A．7 B．7.5 C． D．14 【举一反三2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，连接CD.若BC＝5， CD＝3，则AC＝__________ . 【举一反三3】我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.这个定理的逆命题也是真命题.下面我们来证明这个逆命题： （1）写出逆命题：                      ； （2）画出图形，如图，请补全下面的已知和求证： 已知： 如图， 是的中线，      . 求证：为       三角形. （3）请写出你的证明过程. 【题型2】含30°角的直角三角形的性质 【典例】如图是屋架设计图的一部分，立柱，，，则立柱的长为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，，则（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【举一反三2】如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于点O，延长AC至点P，使CP=CD，连接BP，OP；延长AD交BP于点F．则下列结论：①BP=AD：②BF=CP：③AC+CD=AB：④PO⊥BE；⑤BP=2PF．其中正确的是（ ） A．①③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 【举一反三3】如图，∠BAC＝30°，AP平分∠BAC，GF垂直平分AP，交AC于F，Q为射线AB上一动点，若PQ的最小值为3，则AF的长为__________ ． 【举一反三4】如图，在中，，，垂直平分，垂足为E，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型3】直角三角形的两个锐角互余 【典例】在中，，那么另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在中，，过点作于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，在锐角中，点是边上一点，于点，若，，则和的数量关系是（ ） A． B． C． D． 【举一反三3】如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1＝70°，∠C＝90°，则∠2的度数为　　． 【举一反三4】在直角三角形ABC中，∠A比∠B的3倍还多10°，则∠A的大小为　　． 【举一反三5】如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 华东师大版（2024）九年级上册 23.2 直角三角形性质 题型专练（参考答案） 【题型1】直角三角形斜边上中线等于斜边一半 【典例】如图，AB⊥BF，EF⊥BF，AE与BF交于点C，点D是AC的中点，∠AEB＝2∠A．若AC＝6，EF＝1，则BF的长是（　　） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解析】∵AB⊥BF， ∴∠ABC＝90°， ∵点D是AC的中点，AC＝6， ∴BD＝ADAC＝3， ∴∠A＝∠ABD， ∴∠BDE＝∠A+∠ABD＝2∠A， ∵∠AEB＝2∠A， ∴∠BDE＝∠BED， ∴BE＝BD＝3， ∵EF⊥BF， ∴∠BFE＝90°， ∴BF． 故选：C． 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，平面上有一点P，AP=1，连结AP，BP，取BP的中点G.连结CG，在AP绕点A的旋转过程中，CG的最大值是 A．7 B．7.5 C． D．14 【答案】A 【解析】如图，取AB的中点E，连结EG，CE， ∵∠ACB=90°，AC=5，BC=12， ∴AB===13， CE=AB= ∵G为BP的中点， ∴GE=AP=×1= ∵在△CEG中，CG≤CE+GE， ∴当C，G，E三点共线时，CG最大，最大值为GE+CE， ∵GE+CE=+=7， ∴CG的最大值为7. 【举一反三2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，连接CD.若BC＝5， CD＝3，则AC＝__________ . 【答案】 【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点 ∴CD==3,即AB=6 ∴AC=. 故答案为. 【举一反三3】我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.这个定理的逆命题也是真命题.下面我们来证明这个逆命题： （1）写出逆命题：                      ； （2）画出图形，如图，请补全下面的已知和求证： 已知： 如图， 是的中线，      . 求证：为       三角形. （3）请写出你的证明过程. 【答案】解：（1）∵“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”， ∴它的逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. （2）已知： 如图， 是的中线，； 求证：为直角三角形； （3）∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形. 【题型2】含30°角的直角三角形的性质 【典例】如图是屋架设计图的一部分，立柱，，，则立柱的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， ，，. 故选：B. 【举一反三1】如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，，则（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【解析】连接， ∵，， ∴， ∵是的中垂线， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选D. 【举一反三2】如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于点O，延长AC至点P，使CP=CD，连接BP，OP；延长AD交BP于点F．则下列结论：①BP=AD：②BF=CP：③AC+CD=AB：④PO⊥BE；⑤BP=2PF．其中正确的是（ ） A．①③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【解析】∵AC=BC，∠ACB=∠PCD=90°，CP=CD， ∴，则BP=AD，故①正确； 由得∠PBC=∠DAC，则， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAF=∠PAF， ， 假设， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，， 又， ，与相矛盾， 则假设不成立，②错误； 在与中， ， ∴， ， 即，故③正确； 由得BF=PF， 则，故⑤正确； ，AD平分∠BAC， AF为BP的垂直平分线， OB=OP， 为等腰三角形， ， ， 又AD平分∠BAC，BE平分∠ABC， ， ， ∴， 为等腰直角三角形，且， 即，故④正确； 综上，①③④⑤正确， 故选：C． 【举一反三3】如图，∠BAC＝30°，AP平分∠BAC，GF垂直平分AP，交AC于F，Q为射线AB上一动点，若PQ的最小值为3，则AF的长为__________ ． 【答案】6 【解析】作PH⊥AC于H，连接PF， 当PQ⊥AB时，PQ的最小， ∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，PH⊥AC， ∴PH＝PQ＝3，∠PAB＝∠PAC＝15°， ∵GF垂直平分AP， ∴FA＝FP， ∴∠FPA＝∠PAC＝15°， ∴∠PFH＝30°， ∴PF＝2PH＝6， ∴AF＝6， 故答案为：6． 【举一反三4】如图，在中，，，垂直平分，垂足为E，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． (2)解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【题型3】直角三角形的两个锐角互余 【典例】在中，，那么另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题考查直角 三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余计算即可． ∵在中，， ∴． 故选：A． 【举一反三1】如图，在中，，过点作于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题考查三角形中求角度，涉及直角三角形两锐角互余等知识，在中求出，再由互余定义得到的度数，熟记直角三角形两锐角互余等知识是解决问题的关键． ， ， ， ， 在中，，则， 故选：A． 【举一反三2】如图，在锐角中，点是边上一点，于点，若，，则和的数量关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如下图所示，过点作， 则， ， ，， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， 即， 在中，， ， ， ， 整理可得：. 故选：D. 【举一反三3】如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1＝70°，∠C＝90°，则∠2的度数为　　． 【答案】50° 【解析】∵把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠， ∴∠CDE＝∠C′DE， ∵∠1＝70°， ∴∠CDE＝∠C∠DE＝110°， ∴∠C′DA′＝40°， ∵∠C′＝∠C＝90°， ∴∠2＝90°﹣40°＝50°， 故答案为：50°． 【举一反三4】在直角三角形ABC中，∠A比∠B的3倍还多10°，则∠A的大小为　　． 【答案】90°或70° 【解析】当∠A为直角时，∠A＝90°， 当∠C为直角时，∠A+∠B＝90°， ∵∠A比∠B的3倍还多10°， ∴∠A＝3∠B+10°， ∴3∠B+10°+∠B＝90°， ∴∠B＝20°， ∴∠A＝70°， 故答案为：90°或70°． 【举一反三5】如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)∵， ∴， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴； (2)∵平分， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $