23.2 直角三角形性质 同步练习 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

华东师大版（2024）九年级上册 23.2 直角三角形性质 同步练习 一、选择题 1．如图，有3个村庄可以用点，，来表示，若，且千米，在上有个水源，若水源到，两个村庄的距离相等，则水源到村的距离为（　　） A．3千米 B．4千米 C．5千米 D．6千米 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝（　　） A．18° B．24° C．30° D．36° 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，则∠A的度数是（　　） A．60° B．30° C．50° D．40° 4．小亮为宣传“两会”，设计了形状如图所示的彩旗，图中∠ACB＝90°，∠D＝15°，点A在CD上，AD＝AB，BC＝2 dm，则AD的长为（　　） A．3 dm B．4 dm C．5 dm D．6 dm 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点，BC＝6，AC＝8，则CD长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　） A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断 7．如图，在菱形中，对角线相交于点为中点，.则线段的长为（ ） A． B． C． D． 8．如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（ ） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 9．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.6 D．3 10．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，AG是底边BC上的高，在AG的延长线上有一个动点D，连接CD，作∠CDE＝150°，交AB的延长线于点E，∠CDE的角平分线交AB边于点F，则在点D运动的过程中，线段EF的最小值（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，平面上有一点P，AP=1，连结AP，BP，取BP的中点G.连结CG，在AP绕点A的旋转过程中，CG的最大值是 A．7 B．7.5 C． D．14 12．如图，直角三角板中，，，．已知斜边的端点A，B分别在相互垂直的射线上滑动，连接．给出下列结论：①若C，O两点关于AB对称，则；②C，O两点距离的最大值为4；③若平分，则；④在滑动过程中，始终等于60°．其中所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 二、填空题 13．若直角三角形的一个锐角为26°，则另一个锐角度数为　　． 14．在中，，D为的中点，，则的长是__________. 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝3，则AB＝__________ ． 16．如图，已知，点…，在射线上，点…，在射线上，若，，…，依此规律作图至点，则的长为__________ ． 17．在矩形中，点E在边上，点F在边上，连接若， ，则的长为 __________ . 三、解答题 18．在学习了矩形后，小雨借助尺规找到了直角三角形斜边的中点，通过倍长中线构造了矩形，然后利用矩形对角线的性质探究出了直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系．请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)已知在中，，用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点，垂足为点，连接并延长，在射线上截取，连接、．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：． 证明：∵垂直平分， ∴点是的中点． ∴_____． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵_____， ∴四边形是_____． ∴_____． ∵， ∴_____． 19．(湘教课本P188复习题5T7)如图,已知 是 的平分线上一点, ,交 于点 ,垂足为点 ,若 ,求 的长. 20．如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G. (1) 判断四边形DEFG的形状，并说明理由； (2) 若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段BC的长. 21．如图，是直角三角形，且，点D、O分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接. (1) 求证：四边形是菱形； (2) 若的周长为30，且，求四边形的面积. 22．数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地. (1)发现问题：如图1，在和中， ，连接，延长交于点.则与的数量关系：__________ ，__________ . (2)类比探究：如图2，在和中，，连接，，延长交于点.请猜想与的数量关系及的度数并说明理由； (3)拓展延伸：等腰三角形的腰和底相等时，三角形为等边三角形，等边三角形有一些特殊的性质，在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为1，，则的长为__________ . 华东师大版（2024）九年级上册 23.2 直角三角形性质 同步练习（参考答案） 一、选择题 1．如图，有3个村庄可以用点，，来表示，若，且千米，在上有个水源，若水源到，两个村庄的距离相等，则水源到村的距离为（　　） A．3千米 B．4千米 C．5千米 D．6千米 【答案】C 【解析】， ， 水源到，两个村庄的距离相等， （千米）， 故选：C. 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝（　　） A．18° B．24° C．30° D．36° 【答案】A 【解析】在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝54°， ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠ABE＝∠A＝36°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝18°， 故选：A． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，则∠A的度数是（　　） A．60° B．30° C．50° D．40° 【答案】B 【解析】∵∠C＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝30°． 故选：B． 4．小亮为宣传“两会”，设计了形状如图所示的彩旗，图中∠ACB＝90°，∠D＝15°，点A在CD上，AD＝AB，BC＝2 dm，则AD的长为（　　） A．3 dm B．4 dm C．5 dm D．6 dm 【答案】B 【解析】∵AD＝AB， ∴∠D＝∠ABD． ∵∠D＝15°， ∴∠ABD＝∠D＝15°， ∴∠BAC＝∠ABD+∠D＝30°． ∵∠ACB＝90°，BC＝2 dm， ∴AB＝4 dm， ∴AD＝4 dm． 故选：B． 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点，BC＝6，AC＝8，则CD长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8， ∴AB10， ∵D为边AB的中点， ∴CDAB＝5， 故选：D． 6．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　） A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断 【答案】B 【解析】在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化， 理由是：连接OP， ∵∠AOB＝90°，P为AB中点，AB＝2a， ∴OPAB＝a， 即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a， 故选：B． 7．如图，在菱形中，对角线相交于点为中点，.则线段的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是菱形 ∴，， ∴△BOC是直角三角形 ∴ ∴BC=5 ∵H为BC中点 ∴ 故最后答案为. 8．如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（ ） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 【答案】A 【解析】∵，且点P为的中点， ∴为斜边上的中线， ∴， ∵梯子的长度不变， ∴P点和C点的距离始终不变． 故选：A． 9．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.6 D．3 【答案】B 【解析】连接AP，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10， ∴∠BAC＝90°， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴四边形AFPE是矩形， ∴EF＝AP． ∵M是EF的中点， ∴AMAP， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短， ∴当AP⊥BC时，△ABP∽△CBA， ∴， ∴， ∴AP最短时，AP＝4.8 ∴当AM最短时，AM2.4． 故选：B． 10．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，AG是底边BC上的高，在AG的延长线上有一个动点D，连接CD，作∠CDE＝150°，交AB的延长线于点E，∠CDE的角平分线交AB边于点F，则在点D运动的过程中，线段EF的最小值（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N， ∵AB＝AC，AG⊥BC， ∴AG平分∠BAC，即AD平分∠BAC， ∵DM⊥AB，DN⊥AC， ∴DM＝DN， ∵∠BAC＝30°，∠AMD＝∠AND＝90°， ∴∠MDN＝150°， ∵∠CDE＝150°， ∴∠MDE＝150°﹣∠CDM＝∠NDC， 在△MDE与△NDC中， ， ∴△MDE≌△NDC（ASA）， ∴DE＝DC， ∵DF平分∠CDE， ∴∠EDF＝∠CDF， 连接CF， 在△EDF与△CDF中， ， ∴△EDF≌△CDF（SAS）， ∴EF＝CF， ∴当CF⊥AB时CF有最小值，即EF有最小值， 此时，∵∠BAC＝30°，AC＝4， ∴， 故选：D． 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，平面上有一点P，AP=1，连结AP，BP，取BP的中点G.连结CG，在AP绕点A的旋转过程中，CG的最大值是 A．7 B．7.5 C． D．14 【答案】A 【解析】如图，取AB的中点E，连结EG，CE， ∵∠ACB=90°，AC=5，BC=12， ∴AB===13， CE=AB= ∵G为BP的中点， ∴GE=AP=×1= ∵在△CEG中，CG≤CE+GE， ∴当C，G，E三点共线时，CG最大，最大值为GE+CE， ∵GE+CE=+=7， ∴CG的最大值为7. 12．如图，直角三角板中，，，．已知斜边的端点A，B分别在相互垂直的射线上滑动，连接．给出下列结论：①若C，O两点关于AB对称，则；②C，O两点距离的最大值为4；③若平分，则；④在滑动过程中，始终等于60°．其中所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】C 【解析】在中，，，， ∴，， ∴若、两点关于对称，如图， ∴为的垂直平分线， ∴，故①正确； ②如图，取的中点为，连接、． ∵， ∴． 当经过点时，最大且、两点距离的最大值为，故②不正确； ③如图，当， ∴四边形是矩形， ∴与相互平分，但不成立，故③不正确； ④延长至点F，如图1， ∵， ∴， ∴． 同理：， ∴， ∴，故④正确． 故选C． 二、填空题 13．若直角三角形的一个锐角为26°，则另一个锐角度数为　　． 【答案】64° 【解析】90°﹣26°＝64°． 故答案为：64°． 14．在中，，D为的中点，，则的长是__________. 【答案】 【解析】∵，点D是的中点，∴为斜边的中线， ∵，∴. 故答案为：. 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝3，则AB＝__________ ． 【答案】2 16．如图，已知，点…，在射线上，点…，在射线上，若，，…，依此规律作图至点，则的长为__________ ． 【答案】 【解析】∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． ∴， 在中， ∴， ∴， 同理，，，， 在中，， ∴， ， …… 以此类推，. 故答案为：． 17．在矩形中，点E在边上，点F在边上，连接若， ，则的长为 __________ . 【答案】或 【解析】如图，当为锐角三角形时，过点F作交于点H，则有， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中根据勾股定理有， 即. 如图，当为钝角三角形时，过点F作交于点H，则有. ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中根据勾股定理有， 即. 故答案为：或. 三、解答题 18．在学习了矩形后，小雨借助尺规找到了直角三角形斜边的中点，通过倍长中线构造了矩形，然后利用矩形对角线的性质探究出了直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系．请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)已知在中，，用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点，垂足为点，连接并延长，在射线上截取，连接、．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：． 证明：∵垂直平分， ∴点是的中点． ∴_____． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵_____， ∴四边形是_____． ∴_____． ∵， ∴_____． 【答案】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵垂直平分， ∴点是的中点． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∵， ∴． 故答案为：；；矩形；，． 19．(湘教课本P188复习题5T7)如图,已知 是 的平分线上一点, ,交 于点 ,垂足为点 ,若 ,求 的长. 【答案】解　如图所示,过点 作 ,垂足为 . 因为 是 的平分线上的一点, 且 , 所以 . 因为 , , 所以 . 所以 (在直角三角形中, 如果一个锐角等于 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半).所以 . 20．如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G. (1) 判断四边形DEFG的形状，并说明理由； (2) 若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段BC的长. 【答案】(1) 四边形DEFG是平行四边形， 理由如下：∵E、F分别为线段OB、OC的中点， ∴EF=BC，EF∥BC， 同理DG=BC，DG∥BC， ∴EF=DG，EF∥DG， ∴四边形DEFG是平行四边形； (2) ∵∠OBC和∠OCB互余， ∴∠BOC=90°， ∵M为EF的中点，OM=2， ∴EF=2OM=4， ∴BC=2EF=8. 21．如图，是直角三角形，且，点D、O分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接. (1) 求证：四边形是菱形； (2) 若的周长为30，且，求四边形的面积. 【答案】(1) 证明：∵点O是的中点，∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是直角三角形，点D是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 设. ∵的周长为30，， ∴. 在中，由勾股定理，得，即， 解得. ∴， ∵点D、O分别是的中点， ∴. ∵， ∴， ∴. ∴. 答：四边形的面积为30. 22．数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地. (1)发现问题：如图1，在和中， ，连接，延长交于点.则与的数量关系：__________ ，__________ . (2)类比探究：如图2，在和中，，连接，，延长交于点.请猜想与的数量关系及的度数并说明理由； (3)拓展延伸：等腰三角形的腰和底相等时，三角形为等边三角形，等边三角形有一些特殊的性质，在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为1，，则的长为__________ . 【答案】(1)； (2)答案见解析 (3)1或3 【解析】(1)如图1所示，设与交于点， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即，. (2)解， ， 即， 在和中，， ， ，， ，， ， . 即，. (3)①当点E在BA延长线，点D在BC延长线时，如图所示， 过点E作交CD于点O， ∵，，∴. 在中，，∴ ∴ ∴ ∴. ②当点E在AB延长线，点D在CB延长线时，如图所示， 过点E作交CD于点O， ∵， ∴. 在中，， ∴ ∴ ∴ ∴. 综上所述，或者 学科网（北京）股份有限公司 $