23.2 直角三角形的性质-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

第23章解直角三角形 23.2 直角三角形的性质 【变式训练1】如图所示，在△ABC中， 基础导 学 ∠C=90°，∠B=15°，DE是AB边上的垂直平 1.直角三角形的两锐角互余。 分线，BD=4,你认为AC应等于 2.直角三角形的两直角边的平方和等于斜 边的平方. B 3.直角三角形中，30°角所对的直角边等于 考点②直角三角形性质的综合应用 斜边的一半 【例2】在△ABC中，AB=AC,AE为BC 【拓展】直角三角形中，斜边上的中线等于 上的中线，CD⊥AB,连结DE. 斜边的一半。 (1)求证：△CDE是等腰三角形 典 例 探究 (2)若AC=6,DE=1,求BD的长度. 考点①直角三角形中，30°角所对的直角边 等于斜边的一半 【例1】一个直角三角形房梁如图所示，其 中BC⊥AC,∠BAC=30°，AB=10m,CB1⊥ AB,B1C1⊥AC,垂足分别是B1,C1,那么B1C1 的长是多少？ B 规律与方法：在直角三角形中，结论是30°角 规律与方法：此性质在证明角、线段的相等、 所对的直角边是斜边的一半，而不是任一直角边 和差倍分等关系中有广泛的应用，凡遇到有斜边 是斜边的一半， 上的中点的条件时，应联想到应用此性质， 117· 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 【变式训练2】如图，在 则AB的长为 () Rt△ABC中，∠ACB=90°， A.2a B.22a C.3a D.4 CD是△ABC的中线，延长 3 a CB至点E,使得BE=BC, 5.(攀枝花中考)如图，在△ABC中，∠A=40°， 连接DE.若CD⊥DE,CE=4, ∠C=90°，线段AB的垂直平分线交AB于点 D,交AC于点E,则∠EBC= 则AC的长是 课 演练 D 【基础过关】 第5题图 第6题图 1.如图所示，在△ABC中，∠A:∠B:∠ACB= 6.如图，点C是线段AB上一个动点，∠A=∠B 1：2:3,CDLAB于点D,AB=a,则DB应等 30°，∠ADC=∠BEC=90°，若AB=8cm,则CD 于 () +CE=cm. A.9 B.a c.号 D.3a 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B= 4 60°，DE为△ABC的中位线，延长BC至F,使 CF-BC,连结FE并延长交AB于点M若 BC=a,则△FMB的周长为 E 第1题图 第2题图 2.(赤峰中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AB=10,BC=6.点F是AB中点，连接 8.如图所示，在△ABC中，D,E,F分别是边 CF,把线段CF沿射线BC方向平移到DE, AB,BC,AC的中点，AH是边BC上的高.求 点D在AC上.则线段CF在平移过程中扫过 证：∠DHF=∠DEF. 区域形成的四边形CFDE的周长和面积分别 是 () A.16,6 B.18,18 C.16,12 D.12,16 3.(永州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC 90°，∠C=60°，点D为边AC的中点，BD=2, 则BC的长为 () A.√3 B.23 C.2 D.4 R D D 第3题图 第4题图 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB, 垂足为D,点E是AB的中点，CD=DE=a, ·118· 第23章解直角三角形 【能力提升】 【创新探究】 9.(巴中中考)如图，在△ABC中，D是AC的中 12.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P 点，CE⊥AB,BD与CE交于点O,且BE 是AC边上一动点，由A向C(点P与A,C CD.下列说法错误的是 () A.BD的垂直平分线一定与AB相交于点E 不重合)匀速运动，Q是CB延长线上一动 B.∠BDC=3∠ABD 点，与点P同时以相同的速度由B向CB延 C.当E为AB中点时，△ABC是等边三角形 长线方向运动(Q与B不重合)，过P作PE n当E为AB中点时，二- ⊥AB于点E,连结PQ交AB于点D (1)当∠BQP=30时，求AP的长. (2)在点P,Q的运动过程中，线段ED的长 是否发生变化？如果不发生变化，求出线段 ED的长；如果发生变化，请说明理由. B' 第9题图 第10题图 10.(临夏州中考)如图，等腰△ABC中，AB= AC=2,∠BAC=120°，将△ABC沿其底边 中线AD向下平移，使A的对应点A'满足 A4'-AD,则平移前后两三角形重叠部分 -O 的面积是 11.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的 高，∠B=30°，∠ACB=45°，CE是AB边上 的中线 (I)求证：CD=2AB; (2)若CG=EG,求证：DG⊥CE. ·119·指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 22.5图形与坐标 课后演练 课后演练 第1课时 用坐标确定位置 1.B2.B3.C4.42π5.(9,0)6.(3,4) 1.B2.B3.D4.305.486.16 基础导学 7.(1)图略 (2)图略，A2(一2，一2) 7.能，AB=100米8.树高为4.2m9.2.310.54 11.旗杆AB的高度约为8.4m12.旗杆的高度为16m 1.平面直角坐标系坐标 8.(1)A(-2,0),C(1,2):(2)13. 典例探究 23.2直角三角形的性质 9.(4,4-43、 3) 10.(32,3)(64,0) 【例1】点M的坐标为(-3,0)或（一3,2）. 典例探究 【变式训练1】C 11.(1)点0的坐标为(W2,2一√2)； 【例1】BC1=3.75(m).【变式训练2】2 【例2】学校所在的位置在点O的南偏西（或南偏东）60°的方 (2)AA'=2√2，点A'的坐标为(1+√3,1十√3). 【例2】(1)证明略(2)BD的长度为号 向，距离点O为4. 第22章 《图形的相似》专题复习 【变式训练2】23 【变式训练2】(5,30)(3,300) 【例1】S四边形ABCE=8: 课后演练 课后演练 1.B2.A3.C4.(3,30)5.5 【例2】建筑物的高度为104m 1A2C3.C4B5.10°6,47.号a8证明略 【例3】GH垂直平分EF,理由略 6.(7,0) 【例4】平行四边形OABC关于y轴对称的图形平行四边形 9D1043 11.证明略12.(1)AP的长为2(2)ED=3 7.(1)A(4,6),B(14,4),C(8,12),D(2,14)(2)E,(14,14) OA'B'C的四个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都互为 23.3锐角三角函数 8.(1)码头在操场的正西面，距操场3个单位长度，哨所在码 相反数；这两个平行四边形的对角线的交点坐标也如此 头的东北方向上，距码头4W2个单位长度， 第1课时锐角三角函数的认识 第22章 章未测试 典例探究 (2)操场(0,0)，雷达(3,2)，哨所(1,4)，码头（一3,0），营房 1.D2.B3.C4.C5.A6.C7.D8.C (0,-2),伙房(4，-1). 【例】÷smB=号，cosB=是， ,tanB=4 3-5 9.(5,0)10.(1,3)11.31.5 9.1cm 2 10.袋 11.2712.1213.6 【变式训练】sn∠BCD=snA-青，cos∠BCD=cos 第2课时 图形的变换与坐标 14.(2891,-√3)15.证明略 3 .4 基础导学 16.证明略 5 tanBCD=tanA= 3 1.(x,-y)(-x,-y) 17.图略.(1)横坐标不变，纵坐标减3.(2)纵坐标不变，横坐标 【例2】C【变式训练2】 12 2.(x,y十a)(x,y-a)(x十a,y）(x-a,y） 变为原来的相反数.(3)点A是线段B:A的中点，点C是 课后演练 典例探究 线段B3C3的中点. 【例1】三个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都减小了4 18)证明路2与△OBF相似的三角形有△BCR,1D2B3D4C556号1号 5 个单位长度 △BAF,理由略(3)DE=3十√19 【变式训练1】(1，一3) &.sin∠CBD=25 5 sim∠ABD=5 5 第23章 解直角三角形 【例2】梯形OABC关于y轴的轴对称图形各对应顶点的纵 9anB-是10.里 11.32 坐标都未改变，而横坐标都分别互为相反数， 23.1测量 基础导学 12.(1)BD·cos∠HBD=4.(2)AB的长是6. 【变式训练2】(-1,3) 1.成正比 第2课时特殊角的三角函数值 【例3】(1)△ABC各顶点的坐标为：A(0,2),B(一3,1)， 基础导学 C(-2,一1)，△DEF各顶点的坐标为：D(0,-2),E(6,0),F 典例探究 【例1】B'C'=16(m) 【变式训练1】4.8 (4,4).(2)图略，M(3,-1),N(2,1).(3)△ABC△DEF,且 199 2 12.-半3.sin(90°-a)se coSa 【例2】正确，理由略 相似比为7，所以SAc=4SAEr, 典例探究 【变式训练2】旗杆的高度为11.5米. 【变式训练3】（一2.一2） 【例3】C【变式训练1】33 【例】1285(3)号5(2 41 【变式训练1】1)6-3反(23(3)-号 【p】5.【变式训维2】贵【】AC=14 【变式训练3】△ABC的面积为23或号3. 课后演练 1.D2.B3.A4.C5.16.2或37.(1)90°(2)75 8.a2 (2原式=。当a=2n60+m45=5+1 时，原式= 3 9.∠A=30°10.2+√311.30°或150°或90°. 12.(1)BC=16-2√5(2)tanl5°=0.3 13.∠CAC+∠CAA'=30°. 第3课时用计算器求锐角三角函数值 典例探究 【例1】sin16°≈0.2756，cos42°≈0.7431，tan85°≈11.4301， sin72°3825"≈0.9545， 【变式训练1】A 【例2】.(1)∠A≈79.0°.(2)∠A≈30.6°.(3)∠A≈10.7°. 【变式训练2】B【例3】乙先到达B处 【变式训练3】工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m 的圆形门. 课后演练 1.C2.C3.A4.C5.56.90°2.25 8.(1)∠A≈66.42°(2)∠A≈86.82 (3)∠A≈17.99°(4)∠A≈67.99° 9.(1)开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米 (2)开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走27.2 千米 10.(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随 角度的增大而减小 (2)sin88>sin62>sin50°>sin34°>sinl8°； cos88°<cos62°<cos50°<c0s34°<cos18°. (3)= <> 11.(1)13650(平方米).(2)垂钩栈道AD的长约为106米. 42