6.3.3余角和补角（教学课件）数学新教材人教版七年级上册

角 第 3 节 第6章 3. 余角和补角 几何图形初步 人教版 七年级上册 教学目标 学 习 目 标 1 2 3 了解余角和补角的概念,会求一个角的余角和补角. 通过简单的推理，归纳出余角和补角的性质，并能用规范的语言描述性质,并能用它解决相关问题. 经历余角、补角性质的推导和应用过程,初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化,进一步提高识图能力,发展空间观念. 了解余角、补角的概念及性质 重点 运用余角、补角和方位角的相关知识解决实际问题 . 难点 重 难 点 1．（2024秋•宽城区校级月考）如图，，，若平分，则　　 知识回顾 练一练 A． B． C． D． 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， A 知识点链接 角的和与差： 1.两角之和，记作： ∠AOC＝∠AOB＋∠BOC. 2.两角之差，记作： ∠AOB＝∠AOC－∠BOC. 3.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角平分线. 知识回顾 练一练 2. （24-25七年级上·湖北孝感·期末）计算： (1) (2) （1） （2） 解： 知识点链接 1、在进行度、分、秒运算时，由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化要逐步进行. 2、在计算两个角的和或差时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加减，分、秒相加时，逢60要进位，相减时要借1作60. 创设情境 请同学们拿出一张长方形纸片,沿一个角折叠后,观察折痕与长方形的边形成了几个角? 折痕与长方形的边形成了4个角： ∠1与∠2，∠3与∠4。 请大家思考： ∠1与∠2有什么数量关系? ∠3与∠4又有什么数量关系? 1 2 3 4 6 新知讲授 探究点1 余角和补角的概念 观察一股三角尺，在三角尺中∠A与∠B有怎样的数量关系？ 45° 45° 30° 60° 90° 90° ∠A+∠B=90° A B C A B C 活动1 思考 新知讲授 探究点1 余角和补角的概念 将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角. 1.∠1与∠2有什么数量关系？ ∠1+∠2=90° 2.∠3与∠4有什么数量关系？ ∠3+∠4=180° 1 2 3 4 思考 新知讲授 探究点1 余角和补角的概念 画出下列各组角 (1)∠A=15°,∠B=75°. (2)∠A=45°,∠B=135°. 在(1)中两个角拼接在一起，组成的角度是　　　, 在(2)中两个角拼接在一起，组成的角度是　　　, 90° 180° 75° 15° 135° 45° 活 动 互为余角 互为补角 新知讲授 探究点1 余角和补角的概念 如果两个角的和等于一个直角(90°)， 那么就说这两个角互为余角(简称互余)， 也说其中一个角是另一个角的余角. 余角的概念 归纳 如图，∠1＋∠2＝ 90°， ∠1和∠2互为余角 则 ∠1+∠2=90° 或 ∠1=90°－∠2 或 ∠2=90°－∠1 几何语言 则 ∠1 是∠2 的余角， ∠2 也是∠1的余角. 或 ∠1和∠2互余. ∟ 归纳 新知讲授 探究点1 余角和补角的概念 补角的定义 如果两个角的和等于一个平角(180°)， 那么就说这两个角互为补角(简称互补)， 也说其中一个角是另一个角的补角. 如图，∠3＋∠4 ＝ 180°， 则∠3 与∠4 互为补角， 其中∠3 是∠4 的补角， ∠4 也是∠3 的补角. ∠3和∠4互为补角 ∠3+∠4=180° 或∠3=180°－∠4 或∠4=180°－∠3 几何语言 新知讲授 探究点1 余角和补角的概念 (1)余(补)角指的是两个角之间的数量关系，与位置无关,且它们是成对出现的,单独的一个角或两个以上的角不能称为余(补)角. (2)若两个角互余,则这两个角一定都是锐角;若两个角互补，则这两个角可能都是直角,也可能是一个锐角、一个钝角. 典例评析 例1　(1)一个角是31°42',则它的余角是　　　　 ;  补角是　　　　;它的补角比它的余角大　　　　°.   (2)∠α的余角可表示为　 　　　;补角可表示为　　　　 .   58°18' 148°18' 90 90°-∠α　 180°-∠α 探究点1 余角和补角的概念 解： (1)一个角是31°42′,则它的余角： 90°－31°42′=58°18′ 它的补角：180°－31°42′=148°18′ 148°18′－ 58°18′=90° 求一个角的余角,就用90°减去这个角 求一个角的余角,就用90°减去这个角 （2）由余角和补角定义得： ∠α的余角= 90°-∠α ∠α的补角= 90°-∠α 典例评析 例2　一个角的补角比它的还少20°,求这个角. 方法总结: 余补角问题中,若角之间有比较明显的倍分关系,可尝试将较小的角设为未知数,列方程解答. 解:设这个角是x°,则它的补角为(180-x)°, 列方程得x-20=180-x, 解得:x=120 答:这个角是120°. 探究点1 余角和补角的概念 2 3 1 1 如图，∠1与∠2，∠3都互余，∠2与∠3的大小有什么关系？ 思考 典例评析 解：因为∠1与∠2互为余角， 所以∠2＝ 90°－∠1， 又∠1与∠3互为余角， 所以∠3＝ 90°－∠1， 根据等式的性质，∠2=∠3. 等角的余角相等 探究点3 余角和补角的性质 新知讲授 探究点3 余角和补角的性质 ∠1与∠2互为余角，∠3与∠4互为余角，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？ 解：因为∠1与∠2互为余角， 所以∠2＝ 90°-∠1， 又∠3与∠4互为余角， 所以∠4＝ 90°-∠3， 因为∠1=∠3 根据等式的性质，∠2=∠4. 等角的余角相等 思考 新知讲授 探究点3 余角和补角的性质 同角(或等角)的余角相等. 几何语言： ∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90° ∴∠2=∠3(同角的余角相等) 归纳 几何语言： ∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°且∠1=∠3 ∴∠2=∠4(等角的余角相等) 解：因为∠1与∠2互为补角， 所以∠2＝ 180°-∠1， 又∠1与∠3互为补角， 所以∠3＝ 180°-∠1， 根据等式的性质，∠2=∠3. 新知讲授 探究点3 余角和补角的性质 如果∠1与∠2，∠3都互补，那么∠2与∠3的大小有什么关系？ 同角的补角相等 思考 类比互余性质 解：因为∠1与∠2互为补角， 所以∠2＝ 180°-∠1， 又∠3与∠4互为补角， 所以∠4＝ 180°-∠3， 因为∠1=∠3 根据等式的性质，∠2=∠4.（等量代换 ） 新知讲授 探究点3 余角和补角的性质 ∠1与∠2互为补角，∠3与∠4互为补角，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？ 等量代换是指“如果a=b且c=b，那么a=c” 等角的补角相等 思考 1 4 2 3 知识点链接 新知讲授 探究点3 余角和补角的性质 同角(或等角)的补角相等. 几何语言： ∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180° ∴∠2=∠3(同角的余角相等) 归纳 几何语言： ∵∠1+∠2=180°，∠4+∠3=180°且∠1=∠3 ∴∠2=∠4(等角的余角相等) 典例评析 探究点3 余角和补角的性质 例3 如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？ 分析： 找两角的和等于90° 点A，O，B在同一直线上 ∠AOB是平角180° 有角平分线 两个角互为余角 课本P177 新知讲授 探究点2 余角和补角的性质 解：因为点A，O，B在同一条直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角. 又因为射线OD和射线OC分别平分∠AOC和∠BOC，所以 所以，∠COD和∠COE互为余角. 同理，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角. ∠COD ＋ ∠COE= ∠AOC＋ ∠BOC = (∠AOC＋ ∠BOC)=90 º 例3 如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？ 新知讲授 探究点3 余角和补角的性质 例3.填表并思考问题: ∠1 ∠1的余角 ∠1的补角 24°     130°     n°     问题: ①任何角都有余角吗?任何角都有补角吗? ②一个锐角的补角与其余角之间有什么关系? 66° 166° 90°－n° 180°－n° 50° 结论: ①锐角有余角,直角、钝角没有余角;锐角、直角、钝角都有补角. ②一个锐角的补角比它的余角大90°. 例4.(2026•杭州期末)“苍南1号”是我国第一个平价海上风电项目，服务于国家“双碳”战略，具有显著的环境效益和经济效益.如图①所示，风电机的塔架OP垂直于海平面，叶片OA，OB，OC可绕着轴心O旋转，且∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 解：(1)因为∠AOB＝∠BOC＝∠AOC， ∠AOB＋∠BOC＋∠AOC＝360°， 所以∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°. 因为OA⊥OP，所以∠AOP＝90°. 所以∠COP＝∠AOC－∠AOP＝120°－90°＝30° 所以∠BOP＝∠BOC＋∠COP＝120°＋30°＝150° (1)如图②，当OA⊥OP时，求∠BOP的度数； 典例评析 (2)叶片从图③位置(OA与OP重合)开始绕点O顺时针旋转，若旋转后∠AOP与∠BOP互补，则旋转的最小角度是多少度？ 例4 .(2026•杭州期末)“苍南1号”是我国第一个平价海上风电项目，服务于国家“双碳”战略，具有显著的环境效益和经济效益.如图①所示，风电机的塔架OP垂直于海平面，叶片OA，OB，OC可绕着轴心O旋转，且∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. (1)如图②，当OA⊥OP时，求∠BOP的度数； 典例评析 (2)叶片从图③位置(OA与OP重合)开始绕点O顺时针旋转，若旋转后∠AOP与∠BOP互补，则旋转的最小角度是多少度？ 解：(2)设旋转的最小角度是x°， 则∠AOP＝x°，∠BOP＝(x＋120)°. 因为∠AOP与∠BOP互补， 所以∠AOP＋∠BOP＝180°， 即x°＋x°＋120°＝180°，解得x＝30. 所以旋转的最小角度是30°. 典例评析 例5. 已知∠α与∠β互为补角，且∠β的 比∠α大25°，求∠α的余角的度数. 解：设∠α＝x°，则∠β的度数是(180－x)°， 根据题意得 (180－x)＝x＋25， 解得x＝57，则∠α＝57°. 所以∠α的余角为： 90°－57°＝33°. 新知巩固 1.图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？ 【教材P177 】 解：互为余角的角是： 10°和 80°、30°和 60°， 互为补角的角是：10°和 170°、30°和 150°、 60°和 120°、80°和 100°. 新知巩固 【教材P177 】 2. 一个角是70°39'，求它的余角和补角. 解：它的余角是：90°－ 70°39' =19°21′， 补角是：180°－ 70°39' =109°21′. 3. ∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？ 解：设∠α= x.则 3x=180°-x， 解得 x=45°. 所以 ∠α是 45° 新知巩固 4.如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？ 解：先将其一边 OA 反向延长为 OC， 便可测出∠BOC 的度数， 而 ∠AOB与∠BOC互为补角， 故 ∠AOB=180°-∠BOC C 【教材P177 】 检测反馈 1.下列说法中:①一个角的补角一定大于这个角的余角;②一个角的补角必定大于这个角;③若两个角互为补角,那么这两个角必定是一个锐角和一个钝角;④互余的两个非零的角必定都是锐角. 不正确的个数有 (　　) A. 1个　　 B .2个　　 C .3个　　 D .4个 2.如图,已知∠AOB是直角,点C,O,D在一条直线上,∠AOC=25°,则∠BOC和∠AOD的度数分别是 (　　) A. 75°，155° B.65°，155° C.25°，65° D.90°，180° B B 3．（2024秋•合肥期末）如果与互余，与互余，且，，那么 度． 检测反馈 解：设这个角为，由题意得 ， 解得 ， 答：这个角为． 5．知一个角的余角比它的补角的多，则这个角是 度． 解：根据定义的余角度数是 ． 4．（2024秋•秦淮区校级月考）已知，则的余角大小是 ． 解：与互余，与互余，且， ． 55 ． 33 6．（2024秋•长春月考）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，的是　　 解： A、由图可知，所以与互余，故本选项错误； B、同角的余角相等，所以，故本选项正确； C、由图可知，但推不出，故本选项错误； D、由图可知，所以和互补，故本选项错误． 检测反馈 B． D． A． C． B 7. 如图，O为直线AB上一点，∠COD＝90°，观察图形，回答下列问题： (1)∠AOC的余角是 ，∠AOC的补角是 ，用一句话描述∠AOC的余角和补角之间的数量关系； ∠BOD　 ∠BOC　 解：(1)∠AOC的补角比∠AOC的余角大90°. (2)若∠AOC的补角为109.32°，求∠AOC的余角的度数. 解：(2)由(1)可知， ∠AOC的余角为109.32°－90°＝19.32°. 检测反馈 1．如图，点是直线上一点，平分，在内，且，，则下列四个结论①；②射线平分；③图中与互余的角有2个；④图中互补的角有6对，正确的个数有（ ） 解：因为平分，所以， 因为， 所以设，则， 因为， 所以， 所以， 解得：， 所以，故①正确； 拓展提升 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 因为，，， 所以，， 所以图中与互余的角有2个，故③正确； 因为， 所以， 因为 ，， ，， 所以， ，，，， 所以图中互补的角有6对，故④正确， 正确的有4个， 因为，， 所以， 则， 所以射线平分，故②正确； A 真题感知 1.(2026•武汉期末)将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是(　　) C 2. (2025•广安中考)已知∠α＝25°，则它的余角为(　　) A. 25° B. 55° C. 65° D. 115° C 3. (2026•芜湖期末)如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角是 °. 60　 课堂小结 互余 互补 定义 对应的图形 两角间的 数量关系 ∠1+∠2=90° (90°-∠1=∠2) ∠3+∠4=180° (180°-∠3=∠4) 如果两个角的和是90°，那么这两个角互余 如果两个角的和是去180°，那么这两个角互余 类型 性质 数学语言 余角 补角 同角（等角）的余角相等 同角（等角）的补角相等 ①如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°， 那么∠2＝∠3； ②如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°， 且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4 ①如果∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°， 那么∠2＝∠3； ②如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°， 且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4 课堂小结 课后练习 2.判断题. （1）两条射线组成的图形叫作角； （2）平角是一条直线； （3）互补且相等的两个角都是直角； （4）一个锐角的补角比这个角的余角大90°； （5）在同一平面内，∠AOB=60°，∠COB=30°，则∠AOC=90°. × × × √ √ 习题 6.3 课本p178页 课后练习 4.一个角的补角是 150°，这个角的余角是多度？ 解:设这个角为α，由题意得： 180°－α=150° 解得：α=30° 所以这个角的余角是： 90°－30°= 60°. 7.如图，∠AOC=∠BOD=90°.比较∠AOB 与∠COD的大小，并说明理由. 解：∠AOB=∠COD.理由如下: 因为∠AOC=∠BOD， 所以∠AOC-∠BOC=∠BOD-∠BOC， 即∠AOB=∠COD. 习题 6.3 课本p178页 课后练习 11.如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α与∠β互余？在哪种摆放方式中∠α与∠β互补？在哪种摆放方式中∠α与∠β相等？ 解： 在第（1）种摆放方式中∠α与∠β互余， 在第（4）种摆放方式中∠α与∠β 互补， 在第（2）（3）种摆放方式中∠α与∠β相等. 习题 6.3 课本p178页 课后练习 P179T14 14.画几个不同的四边形，使每个四边形中都有30°，90°，105°的角.量一量这些四边形中另一个角的度数，你能发现什么规律？ 解：这些四边形中另一角的度数均为135°， 可以的规律：四边形的内角和为360°. 习题 6.3 课本p178页 数学使世界更清晰！ 人教版 七年级上册 $