6.3.3余角和补角 课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦余角、补角的概念、性质及方位角应用，通过坝底测角的实际问题导入，以“定义理解-几何语言转化-性质推导-实例应用”为支架，衔接从具体到抽象的学习脉络。 其亮点在于以问题驱动培养核心素养，如“钝角是否有余角”的讨论发展数学思维，角平分线例题强化推理意识，方位角实例提升应用意识。采用归纳总结性质、分层练习巩固的方法，帮助学生形成抽象能力和应用能力，也为教师提供清晰的教学流程和实用案例。

第六章 几何图形初步 6.3.3 余角与补角 1. 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补 角的知识解决相关问题. 2. 了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些简单的实际问题. 学 习 目 标 如图，坝底是由石块堆积而成，要测出∠1的度数，你有什么简单的方法吗？ 要解决这问题，我们先来学习余角和补角. 新 课 导 入 一、余角 余角： 如果两个角的和等于 90° (直角)，就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角. ∠3 与∠4 互余； ∠3 是∠4 的余角； ∠4 是∠3 的余角. 3 4 ∠3 与∠4 依然互余. 讨论1：此时∠3 与∠4 还互余吗？ 讨论2：钝角有余角吗？ 没有. 总结 角的数量关系与位置无关. 总结 只有锐角有余角. 3 4 几何语言： 因为∠3 与∠4 互余， 所以∠3 +∠4 = 90° 或∠3 = 90° -∠4 或∠3 = 90° -∠4. 因为∠3 +∠4 = 90°， 所以∠3 与∠4 互余. 互余定义 3 4 例 如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC 和 ∠BOC，图中哪些角互为余角？ 分析：互为余角的两个角的和是90°，而已知条件中隐含互为补角的条件，再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角. 例 如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC 和 ∠BOC，图中哪些角互为余角？ 解：因为点A，O，B在同一直线上， 所以∠AOC和∠BOC互为补角. 又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC， 所以∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=90°. 所以∠COD和∠COE互为余角， 同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠AOD和∠BOE也互为余角. 补角： 如果两个角的和等于 180° (平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 探究1：你能猜猜∠1 与∠2 的数量关系吗？ 1 2 补角 几何语言： 1 2 因为∠1 与∠2 互补， 所以∠1 +∠2 = 180° 或∠1 = 180° -∠2 或∠2 = 180° -∠1. 因为∠1 + ∠2 = 180°， 所以∠1 与∠2 互补. 互补定义 例1 如图，点 A，O，B 在同一条直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？ 解：因为点 A，O，B 在同一条直线上， 所以∠AOC 和∠BOC 互为补角． A O B C D E 补角的定义 典例精讲 A O B C D E 又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC， 所以∠COD +∠COE = ∠AOC + ∠BOC = (∠AOC +∠BOC ) = 90° 所以∠COD 和∠COE 互为余角， 同理，∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和∠COE，∠COD 和∠BOE 互为余角． 等式的性质 余角的定义 甲地 乙地 乙地在甲地北偏东60°. 60° 如图所示，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线. O ● 东 南 西 北 ● A 60° ● B ● D 解：射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向； 射线OC的方向就是南偏西10°，即货轮C所在的方向； 射线OD的方向就是北偏西45°，即海岛D所在的方向. C ● 40° 10° 45° 例题 2、已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补.若∠1＝∠3，那么∠2和∠4 相等吗？为什么？ 由∠1与∠2互补，得∠1＋∠2＝180º， 所以 ∠2＝180º－∠1. 由∠3与∠4互补，得∠3＋∠4＝180º, 所以∠4=180º－∠3. 又因为∠1＝∠3，180º－∠1＝180º－∠3， 所以∠2＝∠4. 1 2 3 4 归纳总结： 讲授新课 补角性质：同角或等角的补角相等 类似地，可以得到： 余角性质：同角或等角的余角相等 例2 如图，点A，O，B在同一直线上， 射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？ O A B C D E 精讲例题 分析:互为余角的两个角的和是90°，而已知条件中隐含互为补角的条件，再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角! 1、如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°． （1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________; （2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由． ∠COE、∠BOE O A B C D E ∠COE、∠BOE 巩固练习 2、如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与∠AOC互余的角有__________________. ∠BOC 和 ∠AOD O A B C D 巩固练习 已知∠AOB=70°，以 OA 为边画∠AOC=32°.求∠BOC 的度数. 解：当 OC 在∠AOB 内部时， 如图①，∠BOC=∠AOB-∠AOC= 70°-32°=38°； 当OC在∠AOB 外部时， 如图②，∠BOC= ∠AOB+ ∠AOC=70°+32°=102° 综上所述， ∠BOC 的度数为 38°或 102°. 如图，在∠AOB内部任意画一条射线OC，OD平分∠AOC， OE平分∠BOC，根据图形填空： （1）∠AOB= ∠AOC+_______； （2）∠COD=_______= _______； （3）∠DOE=_______+______= ______； （4）若∠DOE=60°，则∠AOB=_____°； 若∠AOB=n°，则∠DOE =______°. ∠BOC ∠AOD ∠COE ∠COD ∠AOC ∠AOB 120 $