30.3(第1课时)正多边形与圆（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

人教版(新教材) 九年级上册 30.3(第1课时) 正多边形与圆 第三十章 直线与圆的位置关系 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 观看下面的图片，试着想一想，日常生活中，还有哪些正多边形形状的物体， 或利用正多边形组成的美丽图案? 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 回顾：什么叫做正多边形？ 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 正多边形 各边相等 各角相等 缺一不可 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形都是轴对称图形吗？ 都是中心对称图形吗？ 30.3-1 正多边形与圆 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 正八边形 图形 轴对称图形 中心对称图形 结论 正 n 边形都是轴对称图形，都有 n 条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形. √ × √ √ √ × √ √ √ √ 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 正多边形和圆的关系非常密切.只要把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的内切圆. 例如，图(1)中的多边形是☉O的内接正九边形，图(2)中的多边形是☉O的外切正六边形. 图(1) 图(2) 30.3-1 正多边形与圆 圆的内接正多边形 O 把圆分成n（n≥3）等份：依次连接各分点所得的多边形一定是 ，这个正n边形是这个圆的 ，这个圆是这个正n边形的 . 正n边形 内接正n边形 外接圆 30.3-1 正多边形与圆 相关概念 O A B C D E R r 正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 内切圆的半径叫做正多边形的边心距. 正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.每个中心角都等于 . O 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 正n边形的一个内角的度数是多少？外角呢？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？ E F C D 可以先从最简单的正六边形开始. 30.3-1 正多边形与圆 圆的内接正多边形 E F C D O 中心角 半径R 边心距r . A B 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 30.3-1 正多边形与圆 圆的内接正多边形 正多边形的边数 内角 外角 中心角 3 4 6 n 60° 120° 120° 90° 90° 90° 120° 60° 60° 正多边形的外角=中心角 弦相等 圆周角相等 弧相等 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 证明： ∵ ∴AB=BC=CD=DE=EA， ∴∠A=∠B， 同理，∠B=∠C=∠D=∠E， 又 五边形ABCDE的顶点都在☉O上， ∴五边形ABCDE是☉O的内接正五边形， ☉O是正五边形ABCDE的外接圆. 如图，把☉O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE. 求证：五边形ABCDE为正五边形. 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 H 30.3-1 正多边形与圆 圆内接正多边形常用辅助线 O B C r R P . 圆内接正多边形常用辅助线 连半径，得中心角 1 2 作边心距，得直角三角形 F A D E R r 由勾股定理得 30.3-1 正多边形与圆 圆的内接正多边形 正多边形的边数 边长 半径 边心距 周长 面积 3 2 4 2 6 2 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 一个上、下底面为全等正六边形的礼盒，高为10 cm，上、下底面正六边形的边长为12 cm，如果用彩色胶带按如图所示的方式包扎礼盒，求所需胶带的长度. 解：胶带包括上、下底面各3段，侧面6段，上、下底面中的每段胶带的长度至少都等于图中OC长度的2倍. 由该六边形是正六边形，易得OB=AB=12cm，BC= AB= 6cm. 在Rt∆OBC中，由勾股定理得OC= =6cm， ∴上、下底面每段胶带的长至少为12 cm， ∴所需胶带的长度至少为6×12 +6×10=(72+60)(cm). C F B O 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，将两个全等的边长为4的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为O1,O2，连接O1O2，求O1O2的长． C 解：如下图所示，连接O1A、O1B、O2A、O2B， 根据正六边形的性质可知， 和 是等边三角形， ，∴ 是AB的垂直平分线， ， ， ， 同理可得： ， ． 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，已知点 O 是正六边形 ABCDEF 的对称中心，G，H 分别是 AF，BC 上的点，且 AG = BH． (1) 求∠FAB 的度数； (1) 解：∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形， ∴∠FAB = . E F C D A B G H O 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2) 证明：连接 OA、OB. ∵ OA = OB， ∴∠OAB =∠OBA. ∵∠FAB =∠CBA， ∴∠OAG =∠OBH. ∴△AOG≌△BOH (SAS). ∴ OG = OH． 又∵ AG = BH， 如图，已知点 O 是正六边形 ABCDEF 的对称中心，G，H 分别是 AF，BC 上的点，且 AG = BH．(2) 求证：OG = OH． E F C D A B G H O 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法 (1)求圆内接正六边形面积． (2)圆内接正八边形的面积为_____． (3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计圆O的面积，可得圆内接正十二边形面积是_____，可得π的估计值为_____． 来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416,如图，若圆O的半径为1.（在求圆内接正多边形面积时，通过分割成三角形，利用特殊角解决） 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1)求圆内接正六边形面积． 由勾股定理得， . 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)圆内接正八边形的面积为_____． 由勾股定理得， . 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计圆O的面积，可得圆内接正十二边形面积是_____，可得π的估计值为_____． 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：如图，连接OA，OB，作AP⊥OB，垂足为P. ∵八边形ABCDEFGH是半径为6m的正八边形， ∴OA=OB=6，∠AOB=45°， 又 △APO为直角三角形，∴∠OAP=∠AOB，∴AP=OP. 在Rt△APO中，由勾股定理，得AP²+OP²=OA², ∴AP=OA=3. 因此，宝塔地基的面积 S=8××OB×AP=8×6×3=72101.8（m²）. 延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其地基的形状是半径为6m的正八边形，求宝塔地基的面积（结果保留小数点后一位）. 如何将实际问题抽象成数学模型？ 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：连接OD,OC．∵ ， ∴ 是等边三角形，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ， ∴点A在该过程中所经过的路径长 ． 如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B， ，用扳手拧动螺帽旋转120°，求点A在该过程中所经过的路径长． 30.3-1 正多边形与圆 图说数学史 在古代，由于对数的认识有限，计算精度要求也不高，人们粗略地认为圆周率是3.《九章算术》中记载者“周三径一”.图为汉代记里鼓车复原模型，车直行一里路，敲鼓一下，这说明当时人们就已经能计算圆周长并设计车轮大小. 《九章算术》 刘徽创割圆术计算圆周率，他利用圆内接正192边形计算圆面积时，得到圆周率约为该值被称为徽率. 徽率 祖冲之是第一位将圆周率精确到小数点后7位的数学家，早于西方900多年，他还给出了圆周率的两个估计值（约率）和，后者被称为祖率. 祖率 清代蒙古族数学家、天文学家明安图在《割圆密率捷法》一书中论证了圆周率的无穷级数表达式等公示,为了纪念他的贡献，1999年发现的一颗小行星被命名为“明安图星”. 明安图星 30.3-1 正多边形与圆 图说数学史 古巴比伦人用3作为圆周率计算圆的面积.公元前900年左右，希伯来人的《两个编年史》中记载的圆周率也为3. 用实验方法计算 阿基米德利用单位圆的内接和外切正多边形，求出圆周率的上界和下界分别为，并取其平均值3.141851作为圆周率的近似值. 用几何方法计算 随着微积分的产生，圆周率的计算进入了分析法时期.欧拉用威廉·琼斯引进的符号“π”表示圆周率，并证明了很多关于π的无穷级数表达式，使π的计算更加准确、快速. 用分析的方法计算 1949年，世界首台通用计算机ENIAC计算出π的小数点后第2037位，标志着π的计算进入了新时期.如今，借助超级计算机，已经可以计算到π的小数点后上万亿位. 现代对π的计算 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 阿基米德利用单位圆的内接和外切正多边形，求出圆周率的上界和下界分别为，你能具体写出计算过程吗？ E’ F’ C’ D’ O . A’ B’ E F C D A B 关键招数：夹住圆！ 正六边形ABCDEF的面积 <☉O的面积< 正六边形A’B’C’D’E’F’的面积 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 E’ F’ C’ D’ O . A’ B’ E F C D A B H G 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 当正多边形的边数逐渐变多，从正六边形变为正十二边形，再到正二十四边形，到正四十八边形，求得π的结果也越来越精确. 利用单位圆的内接正四十八边形和外切正四十八边形，求得 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 正多边形和圆 正多边形的 有关概念 正多边形的 有关计算 添加辅助线的方法： 连半径，作边心距 中心 半径 边心距 中心角 对称性 E F C D O 中心角 半径R 边心距r . A B 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 解：∴正五边形的最小旋转角为 ， ∴当旋转角度是72°的整数倍，即可与原位置重合， 选项中只有72°符合要求． 若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（     ） A．36° B．72° C．90° D．180° 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图，正六边形ABCDEF内接于，点P是 上的任意一点，则 的大小是（     ） A．30° B．45° C．60° D．75° 解：连接AO,OB，如图所示： ∵六边形ABCDEF是正六边形， ， ∵点P是 上的任意一点， 是 所对的圆周角， ． 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点G．将△OBG绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2026次旋转结束时，点B的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 解：∵每次旋转60°， ， ， ∴第2026次旋转结束时点B的对应点与第4次旋转结束时点B的对应点相同，∵正六边形中心角为60°， ∴第4次旋转结束时点B的对应点为点D，∴ ， ∵ ，∴ ， 是等边三角形， ∴ ，∴ ， ，∴ ． 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图，多边形ABCDEFGH是正八边形，点M是DE延长线上一点，连接AE，则 的度数为________． O 解：如图所示，设点O为正八边形的外接圆圆心，连接OD， 则 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 利用勾股定理，可得边心距 亭子地基的面积 4 m O A B C D E F M r 解：连接 OB，过点 O 作 OM⊥BC 于 M. 在 Rt△OMB 中，OB = 4，MB = 亭子地基的周长 l = 6×4 = 24 (m)， 有一个亭子，它的地基是半径为 4 m 的正六边形，求地基的周长和面积 (面积保留小数点后一位 ). 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 A B C D E F P 如图，正六边形ABCDEF的边长为 ，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？ ∴点P到各边距离之和为3BD=3×6=18． 解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G. G H K ∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长. ∵六边形ABCDEF是正六边形, ∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF， ∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°， ∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK. ∵CG⊥BD， ∴BD=2BG=6. 30.3-1 正多边形与圆 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 假期中小华和小伙伴一起走进影院去看国漫电影《哪吒2》，影片中，玉虚宫的镇宫之宝“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八边形”的宫殿，你想知道这座建筑有多大吗？若“正八边形”的边长AB为2a,求正八边形的面积． 30.3-1 正多边形与圆 $