30.3 正多边形与圆（第2课时 等分圆周及作正多边形）（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“等分圆周及作正多边形”，核心知识点为利用等圆心角等分圆周的原理，掌握量角器通用法和尺规特殊法（正六边形、三角形等）作图。课堂通过知识回顾（正多边形与圆的关系、中心角计算）和问题链（同圆中圆心角、弧、弦关系），搭建旧知到新知的学习支架，引导学生理解作图原理。 其亮点在于融合几何直观与推理意识，通过“原理回顾—探究—实操—归纳”过程，对比量角器与尺规作图（如正六边形两种画法）渗透一般与特殊思想。文化实例（古塔纹样修复）和图案设计活动激发创新意识，课堂小结分知识技能、思想方法、易错点，帮助学生系统掌握。学生提升动手与几何思维，教师获得规范教学资源与实操指导。

30.3 正多边形与圆 第二课时 等分圆周及作正多边形 第三十章 直线与圆的位置关系 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解等分圆周作正多边形的几何原理：同圆中相等的圆心角所对的弧相等、弦相等.掌握量角器等分法，能绘制任意圆内接正n边形. 熟练掌握尺规作图法，能规范作出圆内接正六边形、正三角形、正四边形、正八边形.能根据基础正多边形，拓展作出倍边正多边形，规范保留作图痕迹. 经历“原理回顾—方法探究—动手实操—归纳规律”的作图探究过程，掌握几何作图的通用探究方法.通过对比通用画法与尺规特殊画法，体会一般与特殊的数学思想，提升归纳总结与动手实操能力.通过例题实操演练，规范作图步骤，养成严谨的几何操作习惯. 在绘制规整对称的正多边形图案中，感受几何图形的对称美、秩序美，激发几何学习兴趣.在严谨的作图实操、原理推导中，培养精益求精、严谨规范的数学学习品质.通过自主设计几何图案，体会数学的实用性与创造性，提升数学应用自信心. 1、如图所示，以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长为三边作三角形，（ ）。 A. 这个三角形是等腰三角形 B. 这个三角形是直角三角形 C. 这个三角形是锐角三角形 D. 不能构成三角形 B 知识回顾 练一练 解：如图所示， （a）圆内接正三角形：因为OC=1，∠OCD=30°，a3= ； (b)圆内接正方形：因为OB=1，∠OBE=45°，所以a4=； （c）圆内接正六边形： 因为OA=1，∠AOD=30°，所以a6=1, 因为=+（ 所以以a3， a4， a6为边的三角形是直角三角形 正多边形和圆有怎样的关系？ 把圆分成n（n≥3）等分，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆. O . R r a 正多边形的半径R、正多边形的中心角、边长a、正多边的边心距r之间的计算： ①正n边形的中心角=。 ②2。 ③正n边形的面积 =n个等腰三角形面积 =2n个直角三角形面积= 。 知识回顾 同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 导入新课 ►同圆中圆心角、弧、弦有怎样的对应关系？ ►若将圆的圆心角n等分，对应的圆周会被几等分？连接分点会得到什么图形？ O . R a a O 本节课学习如何等分圆周、精准作出各类正多边形. 正六边形 新知探究 探究点1 等分圆周作正多边形的核心原理 议一议 实际生活中，我们经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关，要制造如图中的零件，也需要等分圆周. 如何等分圆周？ 新知探究 探究点1 等分圆周作正多边形的核心原理 议一议 在同圆中，相等的圆心角 ►若将圆的圆心角n等分，对应的圆周会被几等分？依据是什么？ 将圆的圆心角n等分 圆周被n等分 顺次连接等分点 得到圆内接正n边形. 所对的弧相等 所对的弦相等 等分圆周的方法 等分圆周的依据 所有正多边形作图，本质都是等分圆心角、等分圆周. 新知探究 探究点2 通用方法--量角器等分法（任意正n边形） 活 动 第三步：在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，再顺次连接各分点，即可得到正六边形. 利用等分圆心角实现等分圆周，可以画出任意正n边形 画一个边长为1.5cm的正六边形时 画法分析 第一步：以1.5cm为半径作一个⊙O 第二步：用量角器画一个60°的圆心角，它对着一段弧 O 60° 新知探究 探究点2 通用方法--量角器等分法（任意正n边形） 活 动 画一个边长为1.5cm的正六边形时 作法：（1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O ； 规范画图 O 　（2）用量角器画∠AOB＝ ＝60°， 60° A B （3）再用圆规依次截取= = = = = ，得到圆的 6 个等分点； C D E F （4）顺次连接各分点，即可得到正六边形 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形. 还有其他方法吗？ 新知探究 活 动 画一个边长为1.5cm的正六边形时 作法：（1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O ； 规范画图 O 探究点2 通用方法--量角器等分法（任意正n边形） 　（2）用量角器画∠AOB＝ ＝60°， 60° A B F 60° E 60° D 60° C 60° 　　(3)用量角器依次作∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝＝60°， 将360°圆心角六等分，即可得到圆的 6 个等分点； （4）顺次连接各分点，即可得到正六边形，如图所示． 方法归纳： 算角度、 分圆心角、 定点、连线， 适用于画所有正多边形 新知探究 探究点3 特殊方法——尺规精准作图 （1）正六边形的边长a与半径R有什么关系？半径与边长可以组成哪种特殊的三角形？ 议一议 O . R a 60° A B 正六边形的中心角等于60°，所以边长与半径相等, 图中的△AOB是等边三角形 在半径为R的圆上，从某一点开始，依次以R为半径画弧，就可以把圆六等分，顺次连接各分点就得到半径为R的正六边形 （2）利用正六边形的边长与半径的大小关系能实现等分圆周？如何画图？ 可以作出正三角形、正十二边形 (3)如果将圆的六等分点隔一个想连结可得到哪种正多边形？如果作正六边形边的垂直平分线分圆周又可得到哪种正多边形？ 新知探究 探究点3 特殊方法——尺规精准作图 归 纳 对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作． 原理：正六边形中心角60˚，半径与边长相等. 步骤： ①先作一个⊙O 、画半径； ②以半径长为弦长，在⊙O上用圆规依次截取等于半径的弦，在圆上依次截取六等分点，把圆六等分； ③顺次连接各分点即可得到正六边形. O R 提别提示： 在正六边形等分点中，间隔取点，顺次连接即可得正三角形. 新知探究 探究点3 特殊方法——尺规精准作图 议一议 步骤： ①作圆的两条互相垂直的直径，四等分圆周，得正四边形； ②平分正四边形各边对应的弧，八等分圆周，得正八边形（倍边规律）. 方法归纳： 可尺规作图的正多边形可无限倍边拓展. 在上一章的数学活动中，我们已经用直尺和圆规四等分圆周，顺次连接各分点，便可以得到正方形，进而可以作出正八边形、正十六边形. 尺规作正四边形、正八边形 新知探究 探究点2 通用方法--量角器等分法（任意正n边形） 归一归 等 分 圆 周 法 工具 适用范围及优缺点 作图方法 用量 角器 等分 可以画任意正n边形，但边数很多时，容易有较大的误差 先计算正n边形的中心角为,把以圆心O为顶点的圆周角分成n个的角;确定圆周的n等分点，然后依次连接各等分点分 用 尺 规 作 图 等 分 可以画一些特殊的正多边形，不能将圆任意等分。 如:①在半径为R的圆上依次藏取等于R的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得正六边形;隔一个分点取一个，顺次连接其中三个分点可得正三角形;作出六个分点后，再依次平分每条弧可得正十二边形、正二十四边形...... ②作⊙O的两条互相垂直的直径得正方形，再依次平分每条弧可得正八边形、正十六边形...... 正多边形画法总结 典例分析 例1.试用尺规作图，作出圆的内接正十二边形． 解:在上任取一点，连接， 以为圆心，为半径作弧交于， 以为圆心，为半径作弧交于， 以为圆心，为半径作弧交于， 以为圆心，为半径作弧交于， 以为圆心，为半径作弧交于， 再分别作，，，，，的垂直平分线, 交于，，，，，， 连接，，，，，，，，，，，， 十二边形即为所求 A B C D E F G H I J K L 典例分析 例2.【文化阅读】甘肃境内遗存众多古塔（如图1为宁县湘乐砖塔），其塔刹基座或内部藻井常装饰有精美的正六边形几何纹样，这些纹样均绘制在一个完美的圆形基面上．在文物修复现场，工匠往往只能找到带有部分纹样痕迹的圆弧形残片，应用“定圆心，画六方”的技法来复原正六边形几何纹样，展现了古人“以理定形”的营造智慧． 【知识溯源】“定圆心、画六方”技法在我们的教科书中也有呈现： ①定圆心：在圆弧上任取两条弦，作两条弦的垂直平分线，相交于点O，即为该圆的圆心O； ②画六方：因圆内接正六边形的边长等于外接圆的半径R，所以在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，可将圆六等分，进而作出圆内接正六边形． 【知识迁移】某修复工作现场收集到的一块圆弧形残片（示意图如图2，弧线部分为原圆形基面的边缘），请你利用无刻度直尺和圆规，在图2中依据这块圆弧形残片完成其对应正六边形纹样的复原设计图．（保留作图痕迹，不写作法） 典例分析 例2.【文化阅读】甘肃境内遗存众多古塔（如图1为宁县湘乐砖塔），其塔刹基座或内部藻井常装饰有精美的正六边形几何纹样，这些纹样均绘制在一个完美的圆形基面上．在文物修复现场，工匠往往只能找到带有部分纹样痕迹的圆弧形残片，应用“定圆心，画六方”的技法来复原正六边形几何纹样，展现了古人“以理定形”的营造智慧． 【知识迁移】某修复工作现场收集到的一块圆弧形残片（示意图如图2，弧线部分为原圆形基面的边缘），请你利用无刻度直尺和圆规，在图2中依据这块圆弧形残片完成其对应正六边形纹样的复原设计图．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】在圆弧上任意取两条不平行的弦，分别用无刻度直尺和圆规作这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是该圆的圆心O，同时确定圆的半径R；以O为圆心、R为半径，用圆规补出完整的圆；在圆上任取一点A，以R为半径，用圆规在圆上依次截取，得到B、C、D、E、F六个等分点，顺次连接这六个点，就得到圆内接正六边形． 解：如图，正六边形纹样的复原设计图即为所求． 新知巩固 作法：(1)画一个以任意点O为圆心,以2cm长为半径的圆; (2)用量角器画一个等于 =72°的圆心角,得到此角所对的弧; (3)在圆上依次截取这条弧的等弧,得圆的五等分点; (4)顺次连接各等分点,得到此圆的内接正五边形; (5)连接正五边形的各条对角线得到五角星 1. 画一个半径为2 cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星. 【教材P164】 72° 新知巩固 2. 用等分圆周的方法画出下列图案: 【教材P164】 第 3 个图形（五瓣花） ①画出中间的圆； ②把圆周五等分，标记 5 个等分点； ③依次过相邻两点向外画弧，画出 5 片花瓣； ④整理线条，涂色。 第 1 个图形（三瓣花） ①画一个圆； ②把圆周三等分得到 3 个分点； ③分别以 3 个分点为圆心、原圆半径为半径，在圆内画弧，相交得到 3 片花瓣； 第 2 个图形（六瓣花） ①画中心圆； ②将中心圆的圆周六等分； ③以相邻两等分点间线段的中点为圆心，中心圆半径为直径，向外画圆弧，画出 6 片花瓣 通用要点：利用圆的等分与圆弧作图，图形都是旋转、轴对称图形。 拓展提升 1．下面是小晋同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 正多边形的嵌套 我了解到在一些建筑上常有多边形相互嵌套的图案．如图1所示的建筑图案就是一个正方形里面嵌套了一个正八边形．我想利用尺规在正方形中作出正八边形，且使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点． 已知：如图2，正方形． 求作：正八边形，使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点． 【草图分析】结合题意画出草图（如图3），对图形分析如下： ①正八边形的每个内角为 °； ②由正多边形的对称性可得，正方形的中心与正八边形的中心重合，记为点．连接，，，，可得 °， °． 【制定方案】根据上面的分析，我制定了如下作图方案： ①连接，相交于点； ②作的角平分线交于点； 【回顾反思】根据上面的方案我完成了作图，但发现作图过程繁琐．继续深入分析图3，设正八边形的边长为，则正方形的边长为 ， ， ，于是得到了新的作图方案． 拓展提升 任务： (1)补全材料： ①正八边形的每个内角为 °； ②= °，= °； ③设正八边形的边长为，则正方形的边长为 ， ， ； （用含的代数式表示） (2)在图2正方形的边上作出正八边形的边． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 解：（1）①∵正边形单个内角度数公式为： （其中）， ∴代入可得，正八边形每个内角为： ． ②∵正方形和正八边形的中心重合为点， ∴，， ，． 如图，过点作于 ∴， ， ∴． 拓展提升 任务： (1)补全材料： ③设正八边形的边长为，则正方形的边长为 ， ， ； （用含的代数式表示） ③由②知，，，． ∴，， ∴，∴， ∵八边形是正八边形，内角为 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴正方形的边长为， ∵ （勾股定理）， ∴， ∴， ∴． 综上，正方形的边长为， ． ． ． 拓展提升 任务： (1)补全材料： ①正八边形的每个内角为 °； ②= °，= °； ③设正八边形的边长为，则正方形的边长为 ， ， ； （用含的代数式表示） (2)在图2正方形的边上作出正八边形的边． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ． ． （2）利用（）得出的 如图，连接，相交于点．以点为圆心，为半径画弧交于点；再以点为圆心，为半径画弧交于点，则为正八边形的边． 真题感知 1．（2026阜阳单元测试）有一个边长为的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，求这个圆形纸片的最小半径． 解：∵正六边形的外接圆半径与正六边形的边长相等，该正六边形的边长为， ∴这个圆形纸片的最小半径是． 答：这个圆形纸片的最小半径是． (1)解：如图，正六边形即为所求； (2)解：四边形是矩形，理由如下， 如图，连接， 六边形是正六边形， ，． ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 真题感知 2．（2026霍山校考）作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． ，， 是等边三角形， ， ． ， ， ， 平行四边形是矩形． 真题感知 3．（2026·甘肃武威·模拟预测）用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 解：如图所示， 七边形即为所求． （1）作图核心原理： 等圆心角→等弧→等弦，等分圆周得正多边形； （2）通用方法： 量角器等分法，适用于任意正n边形； （3）尺规特殊作图： 熟练作正六边形、正三角形、正四边形、正八边形； （4）拓展规律： 正多边形可通过平分弧得到倍边正多边形. 课堂小结 知识与技能 O . R r a 课堂小结 （1）数形结合思想： 用角度运算指导图形作图，实现数与形统一； （2）一般与特殊思想： 通用量角器法适配所有图形，尺规法聚焦特殊图形； （3）转化思想： 将正多边形作图问题转化为等分圆周、等分圆心角问题. 思想与方法 课堂小结 ＊（1）作图无痕迹： 尺规作图必须保留画弧、截取痕迹，无痕迹不得分； ＊（2）顺序错误： 必须顺次连接等分点，不可乱序连线； ＊（3）原理混淆： 误认为所有正多边形都可以尺规精准作图； ＊（4）拓展失误： 倍边作图是平分弧，不是平分边长. 易错点提醒 课后练习 3.正多边形都是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴在哪里？正多边形都是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心在哪里？ 解：正多边形都是轴对称图形. 若正多边形的边数是偶数，则对称轴是各对角顶点连线所在的直线和各对边中点连线所在的直线； 若正多边形的边数是奇数,则对称轴是各边中点和对角顶点连线所在的直线。 边数是偶数的正多边形是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心。 习题 30.3 课本p165页 课后练习 4.如图，F,G,H,I,J 分别是正五边形ABCDE各边的中点，求证:五边形FGHIJ是正五边形. 证明：如图，连接AC，AD.∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB=BC=CD=DE=EA,∠BAE=∠B=∠E=108°. 在△ABC和△AED中， AB=AE, ∠B=∠E,BC=ED, ∴△ABC△AED(SAS). ∴ AC=AD. ∴F,G,J,I分别是AB,BC,AE,DE的中点， ∴ FG=AC，JI=AD， ∴ FG=JI. 同理可证FJ=IH，GH=FJ，JI=GH. ∴ FG=FJ=JI=IH=HG. ∵ AB=AE，F,J分别为AB,AE的中点， ∴ AF=AJ， ∴ ∠AFJ=∠AJF=(180°-∠A)=36°. 同理可得∠BFG=∠BGF= (180°-∠B)=36°. ∴ ∠GFJ=180°-∠AFJ-∠BFG=108°. A B C D E F G H I J 习题 30.3 课本p165页 同理可得∠FGH=∠GHI=∠HIJ =∠IJF=∠GFJ=108°. ∴五边形FGHIJ是正五边形。 课后练习 8.用 48 m 长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有四种方案：正三角形、正方形、正六边形、圆. 哪种方案所围场地的面积最大？ 正三角形‌： 边长 16 m， S ≈110.9m2 正方形‌： 边长 12 m，S 正六边形‌： 边长 8 m， S ≈166.3m2 圆的面积最大 圆‌： 半径， S ≈183.3m2 习题 30.3 课本p165页 课后练习 9. 如图， ⊙O的半径是 R ，分别求它的外切正三角形、外切正方形、外切正六边形的边长. O O O R R R 30° 60° 45° 30° 解：分别设外切正三角形、外切正方形、外切正六边形的边长为a、b、c, 外切正三角形：a =2 =‌2 R‌。 ‌外切正方形：此时圆的直径正好是正方形的边长,b = ‌2R‌。。 ‌外切正六边形‌：c = ‌R‌。‌‌ 习题 30.3 课本p165页 课后练习 O 10.如图，⊙𝑂的半径是𝑅，若只使用圆规，你能将 ⊙𝑂的圆周四等分吗？（提示：先将圆周二等分，再过构造直角三角形得到 𝑅 的长度.） R 习题 30.3 课本p165页 A B 解：在⊙𝑂上任取一点A,以A点圆心，R为半径画弧交⊙𝑂于，再依次在圆周上截取弧等于= , 分别以A、D为圆心，以AC长为半径作弧交于圆外点P P 以A为圆心，以OP长为半径作弧交于圆与M,N M N A、M、D、N为⊙𝑂的四等分点 说明：由作图得： A、D是⊙𝑂的直径，AC= R， OP== R ∴A、M、D、N为⊙𝑂的四等分点 谢谢聆听 $