导数同构与构造 专项训练（20题·拔高）-2027届高三数学一轮复习

导数·同构与构造专项训练（20 题·拔高）· 参考答案与解析 每题给出答案与完整解析。答案速查：1—9 均见解析（证明题）；10.；11.；12.；13.；14.；15.；16.；17.；18.；19.；20.。 第 1—10 题 1. 令 ，则 。当 时 ，当 时 ，故 在 处取最小值 。所以 ，即 。 2. 令 （），。当 时 ，当 时 ，故 在 处取最大值 。所以 。 3. 令 （），。当 时 ，当 时 ，故 在 处取最小值 。所以 。 4.（同构） 注意恒等式 由第 1 题结论 （对一切 ），取 ，得 评注： 与 本无直接联系，正是”指对同构”把它们纳入同一函数 的框架。 5. 令 （），则 ，（）。 故 单调递增，，从而 单调递增，。所以 。 6. 令 （），则 。当 时 ，当 时 ，故 在 处取最小值 。所以 。 （等价形式：两边取对数得 ，即 ，这正是第 14 题的结论。） 7. 令 （），。当 时 ，当 时 ，故 在 处取最大值 所以 。 8. 令 （），则 由 得 ，即 ，显然 是其解（且由 在 上单调递增知解唯一）。 当 时 ，；当 时 。故 在 处取最小值 。所以 ，等号当且仅当 时取得。 9. 令 （），。当 时 ，当 时 ，故 在 处取最大值 。所以 。 10. 答案： 原不等式等价于 对一切 恒成立，故 。 令 ，则 记 ，，且 ，故 （），（）。于是 在 上递增、在 上递减，最大值 所以 。 ## 第 11—20 题 11. 答案： 等价于 对一切 恒成立，故 。 令 （），则 故 在 处取最小值 。所以 。 12. 答案： 等价于 对一切 恒成立，故 。 令 ，。当 时 ，当 时 ，故 在 处取最小值 。所以 。 13. 答案： 由 ，两边取自然对数（同构取对数）得 ，即 对一切 恒成立，故 （见第 7 题）。所以 。 14. 答案： 等价于 。令 （），。当 时 ，当 时 ，故 在 处取最小值 。所以 。 15. 答案： 对一切 ，。 · 当 时两边都等于 ，恒成立； · 当 时，两边取对数得 ，即 （）。而 在 上的最小值为 （在 处取得，因为 ），故 ； · 当 时，，由 得 。而 且当 时趋于 （当 时趋于 ），其上确界为 ，故 。 综上，。 16. 答案： 等价于 （）。令 ，（），故 在 上单调递增，且 （但取不到）。因此 恒成立，且 可无限接近 ，故需 。 （说明： 对一切 成立，故 可行；而 时，取足够小的 便有 ，不满足。） 17. 答案： 等价于 。令 ， 故 在 上递增、在 上递减，最大值 。所以 。 18. 答案： 等价于 对一切 恒成立，故 。 令 ， 故 在 上递减、在 上递增，最小值 所以 。 19. 答案： 等价于 。令 ， 故 在 上递减、在 上递增，最小值 。所以 。 20. 答案： 即 对一切 恒成立。 确定下界：若 ，则当 时 ，从而 ，且当 时 ，故 ，不满足；而 时 恒成立。故 。 确定上界：设 。当 时，，不等式右端为负，自动成立；当 时，等价于 故 。令 ， 记 ，则 ，且 ，故 （），（）。于是 在 上递减、在 上递增，最小值 所以 。综上，。 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数·同构与构造专项训练（20 题·拔高） 题号即难度序：由中上到压轴严格递进 · 数学符号规范公式排版 · 聚焦新高考导数”同构与构造函数”考点 使用说明：本卷聚焦同构与构造两大技法。构造：通过构造辅助函数 ，把不等式问题转化为求最值；同构：把不等式两端化为同一函数在两点处的取值，核心恒等式为 从而借函数 、、 的单调性完成转化。第 1—9 题为构造证明，第 10—19 题为含参恒成立，第 20 题为压轴。答案与解析见另册。 第 1—10 题 1.（构造·指数下界）★ 证明：对一切 ，。 2.（构造·对数上界）★ 证明：对一切 ，。 3.（构造·乘积型）★★ 证明：对一切 ，。 4.（同构·指对同构）★★★ 证明：对一切 ，。 5.（构造·二次加强）★★ 证明：对一切 ，。 6.（构造·指数与一次）★★ 证明：对一切 ，。 7.（构造·对数商的最大值）★★ 证明：对一切 ，。 8.（同构·等号可及）★★★ 证明：对一切 ，。 9.（构造·指数商的极值）★★ 证明：对一切 ，。 10.（含参恒成立·同构分离）★★★ 若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围。 ## 第 11—20 题 11.（含参恒成立·商的最值）★★★ 若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围。 12.（含参恒成立·指数商）★★★ 若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围。 13.（含参恒成立·同构取对数）★★★★ 若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围。 14.（含参恒成立·对数差）★★★ 若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围。 15.（含参恒成立·指数与幂）★★★★ 若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围。 16.（含参恒成立·乘积型）★★★★ 若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围。 17.（含参恒成立·对数商）★★★★ 若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围。 18.（含参恒成立·指数与三次幂）★★★★★ 若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围。 19.（含参恒成立·指数与二次幂）★★★★ 若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围。 20.（含参恒成立·构造压轴）★★★★★ 已知函数 。若 对一切 恒成立，求 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $