第50天 导数的同构函数、指对跨阶构造函数 每日专项练习 - 2027届新高考高三数学第一轮复习

**基本信息** 聚焦同构函数与指对跨阶构造，通过选择填空及解答题系统覆盖比较大小、零点求值等核心题型，强化导数工具与函数性质的综合应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|12题（含5道2025模拟题）|比较大小、零点求值、恒成立与存在性问题|以同构函数为核心，串联指对函数性质与导数应用，构建“构造辅助函数—分析单调性—转化不等式”的推理链条| |解答题|2道综合题|函数单调性讨论、方程根的个数探究|深化跨阶构造方法，体现从具体问题到抽象模型的数学语言表达，培养逻辑推理与创新意识|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 答案与解析 第50天 同构函数、指对跨阶构造函数 1.答案　C 解析　∵2x-4y=ln , ∴2x+ln x=22y+ln 2y-ln 2<22y+ln 2y, 又∵函数f(x)=2x+ln x单调递增, ∴x<2y, ∴ln(2y-x+1)>0,故选C. 2.答案　B 解析　令f(x)=0,得x2ex+e2ln x=2e2, +ln x=2, x2ex-2+ln x=2, 由于x2ex-2=·ex-2=e2ln x+x-2, 所以e2ln x+x-2+(2ln x+x-2)=ln x+x-2+2=ln x+x, 又ln x+x=eln x+ln x, 令g(t)=et+t,则g(2ln x+x-2)=g(ln x), g'(t)=et+1>0,g(t)单调递增, 故2ln x+x-2=ln x, 即ln x+x=2, 又因x0为f(x)的零点,所以ln x0+x0=2. 3.答案　D 解析　因为函数f(x)=ex-e-x的定义域为R, 则f(-x)=e-x-ex=-f(x), 若∀x1≥0,x2≤0,x1+x2>0,均有>λ, 则f(x1)+f(x2)>λx1+λx2, 可得f(x1)-λx1>-f(x2)+λx2=f(-x2)-λ(-x2), 令g(x)=f(x)-λx=ex-e-x-λx, 则g(x1)>g(-x2), 由题意可知x1≥0,-x2≥0,x1>-x2, 所以函数g(x)=ex-e-x-λx在区间[0,+∞)上为增函数, 所以g'(x)=ex+e-x-λ≥0在[0,+∞)上恒成立,则λ≤ex+e-x在[0,+∞)上恒成立, 由基本不等式可得 ex+e-x≥2=2, 当且仅当ex=e-x时,即当x=0时,等号成立,故λ≤2, 所以λ的最大值为2.故选D. 4.答案　A 解析　因为m>0,不等式2e2mx-≥0成立,即2e2mx≥成立,即2me2mx≥ln x,进而转化为2mxe2mx≥xln x=eln x·ln x恒成立,构造函数g(x)=xex,可得g'(x)=ex+xex=(x+1)ex,当x>0,g'(x)>0,g(x)单调递增,则不等式2e2mx-≥0恒成立等价于g(2mx)≥g(ln x)恒成立,即2mx≥ln x恒成立,进而转化为2m≥恒成立,设h(x)=,可得h'(x)=,当0<x<e时,h'(x)>0,h(x)单调递增; 当x>e时,h'(x)<0,h(x)单调递减,所以当x=e,函数h(x)取得最大值,最大值为h(e)=,所以2m≥,即实数m的取值范围是.故选A. 5.答案　D 解析　由x2a+1ex+2aln x≥0⇒x2a·x·ex+2aln x≥0⇒e2aln x·ex+ln x+2aln x≥0⇒e2aln x+x+ln x+2aln x+x+ln x≥x+ln x, 令f(x)=ex+x,f'(x)=ex+1>0,f(x)单调递增, 即f(2aln x+x+ln x)≥f(ln x), 所以2aln x+x+ln x≥ln x, 即2aln x≥-x,又x≥2,ln x≥ln 2>0, 所以2a≥-, 令g(x)=-,g'(x)=, 当0<x<e时,g'(x)>0,g(x)单调递增, 当x>e时,g'(x)<0,g(x)单调递减, 故g(x)max=g(e)=-e, 即2a≥-e,a≥-.故选D. 6.答案　D 解析　由eax+ln a-eax-ln x-ln x>-1得aeax->ln x-1,x≥1, 即axeax-eax>xln x-x=eln xln x-eln x, 令f(x)=xex-ex(x≥1), 则f'(x)=xex>0, 所以f(x)在[1,+∞)上单调递增, 所以f(ax)>f(ln x),ax>ln x, 即a>在x≥1时恒成立, 令g(x)=(x≥1), 则g'(x)=, 令g'(x)=0得x=e, 当1≤x<e时g'(x)>0,g(x)单调递增, 当x>e时g'(x)<0,g(x)单调递减, 所以g(x)≤g(e)==, 所以a>.故选D. 7.答案　D 解析　由题意知a≠0. 当a<0时,x<0,存在a,使f(a)=a2ea<a2<a2-a=g(a),符合题意. 当a>0时,x>0,f(x)≤g(x)即axex+ln ≤x2-x⇔axex+x+ln ≤x2⇔axex+x+ln +ln x2≤x2+ln x2⇔ex+ln(ax)+[x+ln(ax)]≤x2+ln x2, ∵y=x+ln x在(0,+∞)上为增函数, ∴ex+ln(ax)≤x2,即axex≤x2⇔a≤, 由题意,只需a≤, 记h(x)=,h'(x)=, 当x>1,h'(x)<0,h(x)在(1,+∞)上单调递减,当0<x<1,h'(x)>0,h(x)在(0,1)上单调递增, 故h(x)max=h(1)=,所以0<a≤, 综上,a的取值范围为(-∞,0)∪.故选D. 8.答案　BC 解析　由ea-2a=aeb+1-bea, 得(b+1)ea=a(eb+1+2), 所以=, 令f(x)=(x>1), 则f'(x)=>0, 所以f(x)在(1,+∞)上单调递增. 因为-=>0, 所以f(a)>f(b+1),所以a>b+1,所以a-b>1,所以ln(a-b)>ln 1=0,A错误; 因为a+b>b+1+b>3>e, 所以ln(a+b)>ln e=1,B正确; 易知3a+3-b>3b+1+3-b>2=2,C正确; 因为a-1>b,所以3a-1>3b,D错误. 9.答案　BC 解析　原式可变形为mem-m>nln n-ln n,即mem-m>ln n·eln n-ln n, 因而可构造函数f(x)=xex-x, 则f(m)>f(ln n). f'(x)=ex(x+1)-1,当x>0时,ex>1,x+1>1,则ex(x+1)>1,f'(x)>0, 当x<0时,0<ex<1,x+1<1,则ex(x+1)<1,f'(x)<0, 故f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 对于A,取m=n=e,则ln n=1<m, ∵f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴f(m)>f(ln n),满足题意,但m-n=0,A错误; 对于B,若m>0,则当ln n≤0, 即0<n≤1时,em>1≥n,即em-n>0; 当ln n>0,即n>1时,由f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(m)>f(ln n),得m>ln n,则em-n>0.B正确; 对于C,若m<0,则当ln n≤0,即0<n≤1时,m+ln n<0显然成立. 当ln n>0时,即n>1时,令h(x)=f(x)-f(-x)=x(ex+e-x-2). ∵ex+e-x-2≥2-2=0, 当且仅当ex=e-x,即x=0时等号成立, ∴当x<0时,h(x)<0,即f(x)<f(-x). 由m<0可得f(m)<f(-m), 则f(ln n)<f(-m), 又f(x)在(0,+∞)上单调递增,且ln n>0,-m>0,∴ln n<-m,即ln n+m<0,C正确; 对于D,取m=-2,n=,则ln n=-1>m, ∵f(x)在(-∞,0)上单调递减, ∴f(m)>f(ln n),满足题意, 但em+n=+<2,D错误.故选BC. 10.答案　0 解析　由ex≥x+1,得xex=eln x+x≥ln x+x+1, 当且仅当ln x+x=0时,等号成立. 令g(x)=ln x+x,g'(x)=+1>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增, g=-1+<0, g(1)=1>0,∃x0∈,使g(x0)=0, 故f(x)=e-x-x = ≤=0, 故f(x)的最大值为0. 11.答案　 解析　∀x>0,aeax-2xln x≥0,变形为axeax-2x2ln x≥0, 即axeax≥x2ln x2, 显然若a≤0,当x>1时,axeax<0,x2ln x2>0,不等式不成立,故a>0, 从而ax>0,此时,若x∈(0,1], 则axeax>0,x2ln x2≤0,故不等式恒成立, 故只需考虑x∈(1,+∞)的情况. 令f(x)=xex,x>0,则f'(x)=(x+1)ex, 因x>0,所以f'(x)>0, 则f(x)=xex在(0,+∞)上单调递增, 又x>1时,ax>0,ln x2>0, 而axeax≥x2ln x2=ln x2, 即f(ax)≥f(ln x2), 从而x>1时,ax≥ln x2恒成立, 也即x>1时,a≥成立, 令g(x)=,则g'(x)=, 当x∈(1,e)时,g'(x)>0,g(x)=在(1,e)上单调递增, 当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)=在(e,+∞)上单调递减, 则g(x)=有最大值为 g(e)==, 所以a≥,即a∈. 12.答案　 解析　不等式2ae2x-ln x+ln a≥0恒成立等价于2ae2x≥ln , 即2xe2x≥ln (x>0), 即2xe2x≥ln . 令f(x)=xex,易知f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,则f(2x)≥f, 得2x≥ln ,即a≥恒成立, 令g(x)=,则g'(x)=, 当0<x<时,g'(x)>0,g(x)单调递增, 当x>时,g'(x)<0,g(x)单调递减, 易得g(x)max=g=, 所以a≥,所以a的取值范围是. 13.(1)解　因为函数f(x)=的定义域为(0,+∞),且f'(x)=, 由f'(x)>0可得0<x<e1-a, 由f'(x)<0可得x>e1-a, 所以函数f(x)的单调增区间为(0,e1-a),单调减区间为(e1-a,+∞). (2)证明　由(1)知,f(x)max=f(e1-a)==1,解得a=1, 要证f(x)≤g(x),即证≤ebx-b,即证xebx-bx-ln x-1 =ebx+ln x-(bx+ln x)-1≥0. 令h(x)=ex-x-1,其中x∈R,则h'(x)=ex-1, 由h'(x)<0可得x<0,由h'(x)>0可得 x>0, 所以函数h(x)的减区间为(-∞,0),增区间为(0,+∞), 所以h(x)≥h(0)=0,即ex≥x+1, 所以∀b∈R,ebx+ln x≥bx+ln x+1, 即f(x)≤g(x). 14.解　(1)f(x)=2ax+(2-a)ln x+的定义域为(0,+∞), 则f'(x)=, 因为a<0,由f'(x)==0, 解得x1=,x2=-, ①当a=-2时,f'(x)=≤0恒成立, 所以f(x)无递增区间,递减区间为(0,+∞); ②当a<-2时,>->0, 令f'(x)>0,得x∈; 令f'(x)<0, 得x∈∪, 所以f(x)的递增区间为, 递减区间为,; ③当-2<a<0时,<-, 令f'(x)>0,得x∈; 令f'(x)<0, 得x∈∪, 所以f(x)的递增区间为, 递减区间为,; 综上所述, 当a=-2时,f(x)无递增区间,递减区间为(0,+∞); 当a<-2时,f(x)的递增区间为, 递减区间为,; 当-2<a<0时,f(x)的递增区间为, 递减区间为,. (2)由题设f(x)=2ln x+, g(x)=emx-x2+mx+, 故f(x)-g(x)=0⇔emx+mx=2ln x+x2=+ln x2(*). 令h(x)=x+ex,x∈(0,+∞), 则h'(x)=1+ex>0,即h(x)在(0,+∞)上单调递增,故(*)式中满足h(mx)=h(ln x2),则有mx=ln x2, 可得m==, 令F(x)=,则F'(x)=,由F'(x)=0解得x=e. 当0<x<e时,F'(x)>0,当x>e时,F'(x)<0, F(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, 当x→+∞时,F(x)→0且F(x)>0,当x→0时,F(x)→-∞,故F(x)max=F(e)=. 结合图象,可知, 当m>时,方程f(x)-g(x)=0有0个实根; 当m=或m≤0时,方程f(x)-g(x)=0有1个实根; 当0<m<时,方程f(x)-g(x)=0有2个实根. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第50天 同构函数、指对跨阶构造函数 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 一、单选题(每小题5分,共35分) 1.若2x-4y=ln (x,y>0),则下列结论正确的是(　　) A.x>y2 B.x<y2 C.ln(2y-x+1)>0 D.ln(2y-x+1)<0 2.已知x0是函数f(x)=x2ex+e2ln x-2e2的零点,则x0+ln x0=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2025·鄂州一模)已知函数f(x)=ex-e-x,若∀x1≥0,x2≤0,x1+x2>0,均有>λ,则λ的最大值为 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 4.(2025·合肥一中检测)设实数m>0,若对任意的x∈(1,+∞),不等式2e2mx-≥0恒成立,则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 5.(2025·云南三校联考)已知对于∀x≥2,a<0,都有x2a+1ex+2aln x≥0,则a的最小值为(　　) A.- B.- C.-e D.- 6.(2025·湖南雅礼中学测试)当x≥1时,关于x的不等式eax+ln a-eax-ln x-ln x>-1恒成立,则a的取值范围是(　　) A.(,+∞) B.(1,+∞) C.(e,+∞) D. 7.(2025·湖北八市联考)已知函数f(x)=axex+ln ,g(x)=x2-x,若存在实数x0,使得f(x0)≤g(x0),则实数a的取值范围为(　　) A.(0,1] B.(-∞,0)∪(0,1] C. D.(-∞,0)∪ 二、多选题(每小题6分,共12分) 8.已知a>b>1,若ea-2a=aeb+1-bea,则(　　) A.ln(a-b)<0 B.ln(a+b)>1 C.3a+3-b>2 D.3a-1<3b 9.已知mem+ln n>nln n+m(m∈R),则下列结论一定正确的是(　　) A.若m>0,则m-n>0 B.若m>0,则em-n>0 C.若m<0,则m+ln n<0 D.若m<0,则em+n>2 三、填空题(每小题5分,共15分) 10.函数f(x)=(ln x+x+1)e-x-x的最大值为　　　　.  11.(2025·泰州适考)∀x>0,aeax-2xln x≥0,则实数a的取值范围为　　　　.  12.对于任意实数x>0,不等式2ae2x-ln x+ln a≥0恒成立,则a的取值范围是　　　　.  四、解答题(13题13分,14题15分) 13.(2025·辽阳模拟)已知函数f(x)=,g(x)=ebx-b(a,b∈R). (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的最大值为1,证明:∀b∈R,f(x)≤g(x). 14.(2025·湖北七市调研)已知函数f(x)=2ax+(2-a)ln x+. (1)当a<0时,讨论f(x)的单调性; (2)若a=0,g(x)=emx-x2+mx+,讨论方程f(x)-g(x)=0的根的个数. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $