2026-2027学年苏科版八年级上册数学---第五周综合训练《几何作图研究》

2026-2027八上数学第五周《几何作图研究》 【知识梳理】 1.五种常用的基本作图：(1)作一条线段等于已知线段； (2)作一个角等于已知角； (3)平分已知角； (4)作线段的垂直平分线． (5)经过一点作已知直线的垂线 2.掌握以下几何作图语句： (1)过点×、点×作直线××；或作直线××，或作射线××； (2)连结两点×、×；或连结××； (3)在××上截取××=××； (4)以点×为圆心，××为半径作圆（或弧）； (5)以点×为圆心，××为半径作弧，交××于点×； (6)分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点××； (7)延长××到点×，或延长××到点×，使××=××． 3.学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于基本作图的地方，只须用一句话概括叙述就可以了，如： (1)作线段××=××； (2)作∠×××=∠×××； (3)作××（射线）平分∠×××； (4)过点×作××⊥××，垂足为×； (5)作线段××的垂直平分线××． 一．作图—基本作图 1．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠AOB＝∠A′O′B′的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 第1题 第2题 第3题 2．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（　　） A．66° B．56° C．68° D．34° 3．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝10，AC＝7，则△ADE的周长为_______ ． 4．下列选项中能解释BC﹣AC＜AB的是（　　） A．B． C． D． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝________ ． 第5题 第6题 第7题 6．如图，三条直线两两相交，交点分别为A，B，C．分别在直线AB，AC上找点D，E，使得DE＝BC，∠AED＝∠ACB，用直尺和圆规作出所有符合条件的点．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 7．如图，已知∠BAC．用三种不同的方法作∠α等于∠BAC．要求：尺规作图；保留作图痕迹，不写作法． 8．如图，点A，B，C，D在一条直线上，AB＝CD，BE＝CF，AF＝DE． （1）求证：∠A＝∠D； （2）仅用无刻度的直尺画出BC的垂直平分线．（要求：不写画法，保留画图痕迹） 第8题 第10题 第11题 二．作图—复杂作图 9．如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（　　） A．B． C． D． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°．在BC上作两点D，E，使△ADE为等边三角形．（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 11．如图，已知线段AB和射线AC，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图①中，在射线AC上求作一点D，使得DA＝DB； （2）在图②中，在射线AC上求作一点E，使得∠BAC＝2∠EBA． 12．如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，在AB边上寻找一点M，使∠AMC＝∠ACB； （2）如图2，在BC边上寻找一点N，使得NA+NB＝BC． 13．已知点P在∠AOB的内部，经过点P的直线l与OA，OB分别交于点M，N，且PM＝PN．分别在下列情形中，求作直线l．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）如图①，点P在∠AOB的平分线上； （2）如图②，点P不在∠AOB的平分线上． 14．用两种不同的方法作出一个30°的角． 要求：①用直尺和圆规作图； ②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 15．如图，∠AOB＝80°，在OA上取点C，以点C为圆心，CO长为半径画弧交OB于点D，连接CD；以点D为圆心，DC长为半径画弧交OB于点B，连接CE，∠DCE的度数为 ________ ． 16．如图，∠MON＝60°，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心画弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，相同长度为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD分别交OP、ON于点E、F．若EF＝1，则AE＝_____ ． 17．如图，已知∠AOB＝20°，点C是AO上一点．请用两种不同的方法在射线OB上求作一点P，使得∠CPO＝40°． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明） 18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝12cm． （1）尺规作图：在BC边上找一点P，使点P到AB的距离等于点P到点C的距离（请用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若边AB的垂直平分线与BC边交于点Q，求AQ的长． 19．（1）如图①，点P为∠AOB的内部一点，用直尺和圆规在OA，OB上分别作点C，D，得到四边形CODP，使得PC+PD＝OC+OD． （2）如图②，点P为∠AOB的内部一点，用直尺和圆规在OA，OB上分别作点C，D，得到四边形CODP，使得PC+PD＝OC+OD，且四边形有一个角为直角． 20．（1）如图①，已知D、E、F分别是等边三角形ABC的边BC、AC、AB上的点，且AF＝BD＝CE．求证：△DEF是等边三角形； （2）如图②，已知∠AOB＝60°，P是∠AOB内部一点，请在OA、OB上各找一个点Q和R，使得△PQR是等边三角形．（尺规作图，保留作图痕迹，如有必要可文字说明） 21．如图，已知直线a，b和点A． 作线段BC，使点B、C分别在直线a，b上，且A为BC的中点． （要求：用直尺和圆规作图；保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 三．作图—应用与设计作图 22．如图，AO、BO表示两条互相交叉的公路，点Q处是一个大型货物批发站，现在要在∠AOB内部建一个货物中转站P．要求货物中转站P到公路AO、BO的距离相等，且PO＝PQ，请用尺规作图法找到货物中转站P的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 23．已知AB∥CD． （1）点P在直线AB上，在图①中作Rt△PMN，使得PM＝PN，且点M，N分别在AB，CD上； （2）点P在直线AB，CD外，在图②中作Rt△PEF，使得PE＝PF，且点E，F分别在AB，CD上． 要求： （1）用直尺和圆规作图，保留作图痕迹； （2）只需作出满足要求的一个图形即可． 24．如图，在13×9的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知△ABC． （1）画出△ABC中AB边上的高CD，垂足为D． （2）画出△ABC中BC边上的中线AK． （3）直接写出S△ABK＝_____ ． 3．（2025秋•民勤县期中）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝10，AC＝7，则△ADE的周长为　17　 ． 【解答】解：由作图可得AD＝AC＝7，MN垂直平分BD， ∴EB＝ED， ∴△ADE的周长为AE+DE+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝17， 故答案为：17． 4．（2025春•金水区期末）下列选项中能解释BC﹣AC＜AB的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在BC上截取线段等于AC，再在AB上截取线段等于BC﹣AC， 从而可判断BC﹣AC＜AB． 故选：B． 5．（2026•钦北区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝　55°　 ． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝20°， ∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， 由作图得：∠α的顶点是∠CAB的角平分线与AB的垂直平分线的交点， ∴∠α＝90°70°＝55°， 故答案为：55°． 6．（2025秋•建邺区期末）如图，三条直线两两相交，交点分别为A，B，C．分别在直线AB，AC上找点D，E，使得DE＝BC，∠AED＝∠ACB，用直尺和圆规作出所有符合条件的点．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【解答】解：如图，点D1，E2或D2，E2即为所求． 7．（2025秋•鼓楼区校级期末）如图，已知∠BAC．用三种不同的方法作∠α等于∠BAC．要求：尺规作图；保留作图痕迹，不写作法． 【解答】解：如图，∠α即为所求． 8．（2024秋•南京期末）如图，点A，B，C，D在一条直线上，AB＝CD，BE＝CF，AF＝DE． （1）求证：∠A＝∠D； （2）仅用无刻度的直尺画出BC的垂直平分线．（要求：不写画法，保留画图痕迹） 【解答】（1）证明：∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， ∴AC＝BD， 在△ACF与△DBE中， ， ∴△ACF≌△DBE（SSS）， ∴∠A＝∠D； （2）如图所示，直线MN即为所求． 二．作图—复杂作图（共13小题） 9．（2025秋•新华区校级期中）如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵PA+PB＝BC，PC+PB＝BC， ∴PA＝PC， ∴点P在AC的垂直平分线上， 即点P为AC的垂直平分线与BC的交点． 故选：D． 10．（2025秋•秦淮区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°．在BC上作两点D，E，使△ADE为等边三角形．（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【解答】解：如图，△ADE即为所求． 方法：作线段AB的垂直平分线交BC于点E，作线段AC的垂直平分线交BC于点D，连接AE，AD，△ADE即为所求． 11．（2024秋•海州区期末）如图，已知线段AB和射线AC，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图①中，在射线AC上求作一点D，使得DA＝DB； （2）在图②中，在射线AC上求作一点E，使得∠BAC＝2∠EBA． 【解答】解：（1）如图①，点D为所作； （2）如图②，点E为所作． 12．（2024秋•宜春校级期末）如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，在AB边上寻找一点M，使∠AMC＝∠ACB； （2）如图2，在BC边上寻找一点N，使得NA+NB＝BC． 【解答】解：（1）如图1，点M为所作； （2）如图2，点N为所作． 13．（2025秋•玄武区期末）已知点P在∠AOB的内部，经过点P的直线l与OA，OB分别交于点M，N，且PM＝PN．分别在下列情形中，求作直线l．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）如图①，点P在∠AOB的平分线上； （2）如图②，点P不在∠AOB的平分线上． 【解答】解：（1）过P点作OP的垂线分别交OA于M，交OB于N点，则点M、N为所作，如图①； （2）先作射线OP，再作∠QPO＝∠BOP交OA于C点，接着在OA上截取CM＝OC，然后延长MP交OB于N点，则点M、N为所作，如图②． 14．（2025秋•南京校级月考）用两种不同的方法作出一个30°的角． 要求：①用直尺和圆规作图； ②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【解答】解：如图1中，∠EAB即为所求． 如图2中，∠ADC即为所求． 15．（2025秋•黄梅县期中）如图，∠AOB＝80°，在OA上取点C，以点C为圆心，CO长为半径画弧交OB于点D，连接CD；以点D为圆心，DC长为半径画弧交OB于点B，连接CE，∠DCE的度数为 　40°　 ． 【解答】解：由作图可知，CO＝CD，DC＝DE． ∵CO＝CD， ∴∠ODC＝∠COD＝80°， ∴∠DCE+∠CED＝∠ODC＝80°， ∵DC＝DE， ∴∠DCE＝∠CED＝40°． 故答案为：40°． 16．（2025秋•鼓楼区校级月考）如图，∠MON＝60°，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心画弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，相同长度为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD分别交OP、ON于点E、F．若EF＝1，则AE＝　2　 ． 【解答】解：∵OP平分∠AON，∠MON＝60°， ∴∠MOP＝∠PON＝30°， 以点A为圆心画弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，相同长度为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD分别交OP、ON于点E、F， ∴直线AD是ON的垂线， ∴∠AFO＝90°， ∴∠OEF＝60°， ∵∠AOP+∠OAE＝∠OEF， ∴∠OAE＝60°﹣30°＝30°， 则∠OAE＝∠MOP＝30°， ∴△AOE是等腰三角形， ∴OE＝AE， ∵EF＝1，∠PON＝30°，∠AFO＝90°， ∴OE＝2， ∴AE＝2． 故答案为：2． 17．（2025秋•鼓楼区校级期末）如图，已知∠AOB＝20°，点C是AO上一点．请用两种不同的方法在射线OB上求作一点P，使得∠CPO＝40°． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明） 【解答】解：如图，点P即为所求． 方法一：作线段OC的垂直平分线交OB于点P′，连接P′C，以C为圆心CP′为半径作弧交OB于点P，点P即为所求； 方法二：在CO的下方作∠FCO＝∠O，射线CF交OB于点P′，以C为圆心CP′为半径作弧交OB于点P，点P即为所求． 18．（2025秋•秦淮区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝12cm． （1）尺规作图：在BC边上找一点P，使点P到AB的距离等于点P到点C的距离（请用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若边AB的垂直平分线与BC边交于点Q，求AQ的长． 【解答】解：（1）如图，点P即为所求； （2）由AB＝13，BC＝12， 得， 设BQ＝x， ∵AB的垂直平分线与BC边交于点Q，BC＝12cm． 则AQ＝QB＝x，QC＝12﹣x， 根据勾股定理，得（12﹣x）2+25＝x2， 解得， ∴． 19．（2025秋•栖霞区校级月考）（1）如图①，点P为∠AOB的内部一点，用直尺和圆规在OA，OB上分别作点C，D，得到四边形CODP，使得PC+PD＝OC+OD． （2）如图②，点P为∠AOB的内部一点，用直尺和圆规在OA，OB上分别作点C，D，得到四边形CODP，使得PC+PD＝OC+OD，且四边形有一个角为直角． 【解答】解：（1）如图1： ①过P任意作一条直线交OB于R． ②以R为圆心，任意长为半径画圆，交RO、RP于E、F． ③以P为圆心，以RE为半径画圆，交RP延长线于M． ④以M为圆心，以EF长为半径画圆，交③中的圆于N． ⑤连PN并延长交OA于C． ∵∠MPN＝∠ERF， ∴PC∥OB． ⑥同上面方法，作出PD∥OA． 由两组等边分别平行得四边形CODP▱， ∴CP＝OD，CO＝PD， ∴PC+PD＝OC+OD． （2）在图1中，①以P为圆心作圆，交OA于M、N两点． ②分别以M、N为圆心，以MN的长为半径画圆，交于E、P两点． ③连EP，交OA于C． ∵PN＝PM，EM＝EN， ∴E、P都在线段MN的垂直平分线上， ∴PC⊥OA． 在图2中，保留图1中的垂线段PC． ①以C为圆心，CP为半径作圆，交OC于H． ②以O为圆心，OH为半径作图，交BO延长线于Q． ③连PQ，按图1方法作PQ的垂直平分线RG，交OB于D． ∵RG垂直平分PQ， ∴DQ＝DP． ∴PC+PD ＝HC+DQ ＝HC+OD+OQ ＝HC+OD+OH ＝OC+OD． 20．（2025秋•魏都区校级期中）（1）如图①，已知D、E、F分别是等边三角形ABC的边BC、AC、AB上的点，且AF＝BD＝CE．求证：△DEF是等边三角形； （2）如图②，已知∠AOB＝60°，P是∠AOB内部一点，请在OA、OB上各找一个点Q和R，使得△PQR是等边三角形．（尺规作图，保留作图痕迹，如有必要可文字说明） 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC， ∵AF＝BD＝CE， ∴AE＝BF＝CD， 在△AEF和△BFD中， ， ∴△AEF≌△BFD（SAS）， ∴EF＝FD， 同理：△BFD≌△CDE（SAS）， ∴FD＝DE， ∴EF＝FD＝DE， ∴△DEF是等边三角形； （2）解：如图所示，△PQR即为所求． 21．（2025秋•建邺区校级期中）如图，已知直线a，b和点A． 作线段BC，使点B、C分别在直线a，b上，且A为BC的中点． （要求：用直尺和圆规作图；保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （1）用直尺和圆规作图，保留作图痕迹； （2）只需作出满足要求的一个图形即可． 【解答】解：（1）如图①中，△PMN即为所求； （2）如图②中，△PEF即为所求． 24．（2025秋•溧阳市校级月考）如图，在13×9的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知△ABC． （1）画出△ABC中AB边上的高CD，垂足为D． （2）画出△ABC中BC边上的中线AK． （3）直接写出S△ABK＝　9　 ． 【解答】解：（1）CD即为所求． （2）AK即为所求． （3）∵BK＝CK， ∴， ∵AB＝6，CD＝6， ∴， ∴． 故答案为：9． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/22 18:14:59；用户：纪老师；邮箱：19962060260；学号：40085985 第1页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $