第3章勾股定理单元质量检测卷2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学勾股定理单元复习卷，通过真实情境（如喜鹊觅食、卡车噪音）与分层设计，融合几何直观、运算能力与模型意识，适配单元学情自测与知识巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|勾股定理应用（第5题飞行距离）、证明（第4题面积法）、数轴表示（第3题）|结合网格图（第2题）、文化素材（第4题中国古代证明）| |填空题|6/18|直角三角形面积（第12题）、门框问题（第13题）、数轴作图（第14题）|关联正方形面积（第11题）与实际测量（第16题噪音影响）| |解答题|8/72|实际距离计算（第17题喷泉管道）、空间最短路径（第9题长方体木棒）、几何推理（第24题线段关系）|融入生活场景（第23题卡车限速）、动手操作（第19题尺规作图），体现模型意识与应用能力|

第3章勾股定理学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.如图，在△ABC中，∠A为直角，以AC为边向外作面积为100的正方形，以BC为边向外作面积为125 的正方形，则AB2=() 125 100 B A.5 B.10 C.15 D.25 2.如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则△ABC的形状是() B A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 3.如图，在数轴上点A所对应的实数是2，过点A作AB⊥OA且AB=1,以O为圆心，OB的长为半径 画弧，交数轴的正半轴于点C,则点C对应的实数为() B -10 2C3 A.2.1 B v5 C.2.5 D.V分 4.中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一.下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是( ) b b b B b b 试卷第1页（共3页） a a b b a 5.如图，有一只喜鹊在一棵2m高的小树AB上觅食，它的巢筑在与该树水平距离(BC)为12m的一棵 大树CM上，大树高CM=8m,喜鹊的巢位于树顶下方lm的D处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过 去，如果它飞行的速度为2m/s,那么它要飞回巢中所需的时间至少是() M B A.6.5s B.6s C.5.5s D.5s 6.如图，公园里有一块草坪，己知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC,这块 草坪的面积是() B D A.24平方米 B.36平方米 C.48平方米 D.72平方米 7.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A,B,C,E均在小正方形的顶点上.以点A为圆心， AB长为半径画弧，圆弧交CE于点D,则DE的长为() 4.V3 B.2.1 c v5 D.5 8.如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架AC=24cm,CB=18cm,两轮中心的距离 AB=30cm,则点C到AB的距离为()cm. 试卷第2页（共3页） ⑧ 72 36 144 18 A.5 B.5 C.5 D.5 9.将一根30厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中（不 计厚度)， 则细木棒露在盒外的部分最短为() A.13厘米 B.17厘米 C.18厘米 D.26厘米 10.如图，在△ABC中，AB=13,AC=20,AD⊥BC于点D,E为AD上任意一点，则CD2-BD的 结果为() B D A.7 B.33 C.231 D.569 二、填空题（每题3分，共18分） 11.如图，D,E,F均为正方形，△ACB为直角三角形，D的面积为25，E的面积为16，则F的面积为 D E 12.如图，在△ABC中，AC=6,BC=8,AB=10,则△ABC的面积为 试卷第3页（共3页） B 13.一个门框尺寸如图，一个长3m宽2.3m的薄木板 穿过此门.（填“能”或填“不能”） D C 2m A B 1m 14.如图，数轴上点A表示的数是1，点O表示的数是0，在RtAAOB中，BO=1,以点A为圆心，AB 长为半径作弧，与数轴负半轴交于点C,则点C表示的数为 B A -1C0 15.如图，△ABC的顶点A,B,C在边长为l的正方形网格的格点上，CD L AB于点D,则CD的长为 D B 16.如图，铁路MN和公路P吧在点O处交会，点A到MN的直线距离为120m,公路P上点A处距离点 O处240m.如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向以 20m/s的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为_s, A 试卷第4页（共3页） 三、解答题（每题9分，共72分) 17.某小区的两个喷泉A,B的位置如图所示，两个喷泉间的距离AB的长为25m.现要为喷泉铺设供水 管道AM,BM,供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为l2m,BM的长为l5m. 求供水点M到喷泉A的距离； 18.如图，在△ABD中，AB=13,BC=5,AC=CD=12,试求线段AD的长. :AD=√AC2+CD2=V122+122=12√2 19.如图所示，数轴上有正方形ABCD,点A、B表示的数分别为-1和0，在数轴上找到点P,使得 PA=√2 DC -5-4-3-2-1012345> (1)尺规作图，不写作法，保留作图痕迹： (2)写出P点表示的数为 20.如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断，其树顶端恰好落在树乙的根部C处.己知树 甲的部分主干AB⊥水平线CD,树乙垂直水平线CD,经测量，树甲的根部B与点A的距离AB=4米， 两棵树的根部距离BC=13米，两棵树的水平距离CD为12米，请根据以上数据，求树甲折断前的高度. 试卷第5页（共3页） 甲 B D 21.如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），A、B两点分别位于池塘两端，利用现有 工具无法直接测得A、B间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点C,使点C能直接到达点 A和点B,在AB的延长线上取一点D,使得BD=12米.经测量AC=34米，CD=16米，CB=20米， 请你计算点A、B之间的距离， B 22.如图，长方形纸片ABCD中，沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F,AB=4,BC=6。 E B (I)证明：AF=CF: (2)求AF的长. 23.如图，有一辆卡车沿限速60km/h的路段由A点向B点行驶，AB=500m,在该路段附近有一栋居民 楼C,与A、B两点的距离分别为AC=400m、BC=300m,卡车行驶过程中周围260m以内为受噪声影 响区域. B (I)求居民楼C到AB的距离. 试卷第6页（共3页） (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为14.4s，请问卡车是否超速行驶？并说明理由. 24.如图，在△ABC中，∠C=90°，O为AB的中点，点E,F分别在边AC,BC上，且∠EOF=90°.请 说明线段AE,BF,EF之间的数量关系并给出证明. F 试卷第7页（共3页） 第3章勾股定理学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ， ． 2．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理即可判断求解． 【详解】解：由网格得，，，， ∵， ∴是直角三角形． 3．如图，在数轴上点A所对应的实数是2，过点A作且，以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C对应的实数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由点的坐标得出的长，再利用勾股定理求出的长，根据圆的半径相等得出，最后由实数与数轴上点的对应关系求解即可． 【详解】解：点所对应的实数是2， ， ， ， 在 中，，， 由勾股定理可得， 以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点， 点对应的实数为． 4．中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】通过计算同一图形的面积，建立等量关系，推导勾股定理． 【详解】解：选项：图形为直角梯形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，无法证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可以证明勾股定理． 5．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 6．如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得到，最后根据草坪的面积，即可求解． 【详解】解：，米，米， 米， 米，米， ， ， 这块草坪的面积为平方米， 故选：B． 7．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，E均在小正方形的顶点上．以点A为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点D，则的长为（     ） A． B．2.1 C． D．5 【答案】C 【分析】根据网格得出和的长度，利用半径相等得到的长，再在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由网格图可知，，，， 弧是以点为圆心，长为半径画的，点在弧上， ， 在中，由勾股定理得：． 8．如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形，再设点C到的距离是h，根据可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且． 设点C到的距离是h， 根据题意，得， 即， 解得， 所以点C到的距离是． 9．将一根30厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中（不计厚度），则细木棒露在盒外的部分最短为（   ） A．13厘米 B．17厘米 C．18厘米 D．26厘米 【答案】B 【分析】由勾股定理求出盒子的对角线长，从而即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：盒子底面对角线长为（厘米）， 盒子的对角线长：（厘米）， ∴细木棒露在盒外的部分最短为（厘米）． 10．如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，D，E，F均为正方形，为直角三角形，D的面积为25，E的面积为16，则F的面积为________． 【答案】41 【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可求解． 【详解】解：∵为直角三角形， ∴， 又∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形的面积为． 12．如图，在中，，，，则的面积为______． 【答案】24 【详解】已知在中，，，， ，， ， 是直角三角形，且， 的面积为． 13．一个门框尺寸如图，一个长宽的薄木板___________穿过此门．（填“能”或填“不能”） 【答案】不能 【分析】连接门框的对角线，利用勾股定理求出的长度为，再通过无理数的估算，比较与的大小，进而判断木板能否通过门框． 【详解】解：连接， 在中，，，， 根据勾股定理：， ， ，，且， ， 长宽的薄木板不能穿过此门． 14．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，与数轴负半轴交于点，则点表示的数为________． 【答案】 【分析】由题意可知，根据勾股定理得到，根据作图可知，即可求出点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∵在中，， ∴， ∵以点为圆心，长为半径作弧，与数轴负半轴交于点， ∴， ∴点表示的数为． 15．如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理，得，边上的高为4，利用三角形面积相同，计算即可； 【详解】解：根据题意，得，边上的高为4， ， 故， 故； 16．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，过点作，上取点，，使， 通过勾股定理求出，，则受噪音影响共有，然后求出时间即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：，， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为， 故答案为：． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．求供水点M到喷泉A的距离； 【答案】 【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可． 【详解】解：的长是点到的距离， ， ， 在中，， ； ， ， 在中，， ， 答：供水点到喷泉的距离为． 18．如图，在中，，，，试求线段的长． 【答案】 【分析】由勾股定理逆定理得出是以的直角三角形，再利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：，，， ，， ， 是以的直角三角形， ， 在中，， ． 19．如图所示，数轴上有正方形，点A、B表示的数分别为和0，在数轴上找到点P，使得． (1)尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； (2)写出P点表示的数为________． 【答案】(1)如图，点即为所求； (2)或. 【分析】（1）连接，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点即可； （2）根据两点间的距离即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：点表示的数为或. 20．如图，由于大风，山坡上的树甲从点处被拦腰折断，其树顶端恰好落在树乙的根部处．已知树甲的部分主干水平线，树乙垂直水平线，经测量，树甲的根部与点的距离米，两棵树的根部距离米，两棵树的水平距离为12米，请根据以上数据，求树甲折断前的高度． 【答案】树甲折断前的高度是19米 【分析】根据勾股定理在中先求出长度，则长度可知，再在中利用勾股定理求出长度，则树甲折断前的高度为即可求解． 【详解】解：∵， ∴和是直角三角形， ∴在中，（米）， ∴（米）， ∵在中，（米）， ∴（米）． 答：树甲折断前的高度是19米． 21．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【答案】18米 【分析】可证明，则，据此利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵米，米，米， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵米， ∴米， ∴米， 答：点、之间的距离为18米． 22．如图，长方形纸片中，沿折叠，使点落在点处，交于点，，． (1)证明：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据长方形的性质得到，进而得到，根据折叠的性质可知，根据等角对等边可证； （2）设，据长方形的性质得到，，，则，由（1）知，根据勾股定理求出x的值即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴； （2）解：设， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 由（1）知， ∴， 在中，根据勾股定理： ， 即， 解得， ∴． 23．如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 【答案】(1) (2)未超速，理由如下， 如图，，过点作于点， 在中，， ∴ ∵卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为， ∴卡车在该路段行驶过程中的速度为， ∴卡车未超速 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，进而根据等面积法，即可求解； （2），过点作于点，勾股定理求得，则，进而根据路程除以时间计算速度，即可求解． 【详解】（1）解：∵、，， ∴是直角三角形，且 设楼到的距离为， ∴ ∴ （2）略 24．如图，在中，，为的中点，点分别在边上，且．请说明线段之间的数量关系并给出证明． 【答案】． 证明：如图，过点作交的延长线于点，连接， ，， ， ， ，， ， 是线段的垂直平分线， ， ，， ， 在中，， ． 【分析】过点作交的延长线于点，连接，通过证明，得到对应边相等，继而证明是线段的垂直平分线，得到，根据勾股定理得到，从而得证结论． 【详解】略. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $