精品解析：山东潍坊市寿光市第一中学2027届高三上学期9月份阶段性检测数学试卷（一）

高三数学9月份阶段性检测试卷（一） 一、单选题（分值40分） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，， 故. 2. 设；．若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求解对数不等式和分数不等式，将必要不充分条件转化为两个解集的包含关系即可求解. 【详解】由，得； 由，得． 因为p是q的必要不充分条件，, 所以，解得． 故选：D 3. 用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造，代入端点值以及中点处的函数值，结合二分法的定义求解. 【详解】记，由于均为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数， 因为， 且，所以函数的零点落在区间内， 又因为， 所以， 所以函数的零点落在区间内， 即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为. 故选：B. 4. 已知，，，则三者大小关系为（ ） A. a > b > c B. b > a > c C. c > a > b D. b > c > a 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的换底公式比较，借助于中间值比较. 【详解】利用换底公式，，， 由于，，所以，即. 显然，所以. 5. 已知，设函数在上是增函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数在上单调递增的三个条件：两段分别单调递增、左段在分段点处的函数值不大于右段在分段点处的函数值，列不等式求解的取值范围. 【详解】分段函数在上为增函数，需同时满足以下三个条件： 当时，二次函数单调递增： 该二次函数开口向下，对称轴为， 需对称轴位于区间的右侧，即，解得； 当时，单调递增： 对求导得，需对任意恒成立， 即对恒成立，故； 分段点处，左段的极限函数值不大于右段的函数值： 左段在时的函数值为， 右段在处的函数值为， 故，解得； 综上：实数的取值范围是. 6. 事件与互斥，若，，则（ ） A. 0.12 B. 0.48 C. 0.5 D. 0.6 【答案】C 【解析】 【分析】结合互斥事件的概率加法公式、德摩根定律与条件概率公式逐步计算即可得结果. 【详解】已知事件与互斥，根据互斥事件的概率加法公式，可得： ，由德摩根定律可知， 因此， 根据对立事件的概率性质，， 根据条件概率公式可得：. 7. 在一个不透明的口袋中装有大小､形状完全相同的3个小球，并将它们编号为1，2，3，每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则“经过3次摸球未能停止摸球”的条件下，经过5次摸球停止摸球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设A事件为“经过3次摸球未能停止摸球”， B事件为“经过5次摸球停止摸球”，求出，利用条件概率公式求解. 【详解】设A事件为“经过3次摸球没有能停止摸球”， B事件为“经过5次摸球停止摸球”. 则 选择前4次涉及的2个编号：从3个中选2个，共种选法， 前4次摸球的情况数：这2个编号需至少各出现1次（否则前4次仅1个编号，无法满足“恰好2个编号”）， 因此前4次的情况数为（减去“全选第1个”和“全选第2个”的2种无效情况）， 第5次摸球：必须选第3个未被前4次摸到的编号，仅1种选法， 因此，事件B的情况数为，总摸球可能数为， 所以​，由题意， 所以. 8. 已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得 构造函数， 讨论函数性质，可得，可得,构造函数,求导，求值域可得. 【详解】因为函数 的零点为 ，所以 ． 因为函数 的零点为 ，所以 ， 则 ，即 ， 可得 ． 令 ，则 ，可得 在 上单调递增． 所以 ，则 ，即 . 可得 . 由已知得 ，则 (关于自变量的函数,根据简单的复合函数单调性可知该函数单调递增)． 又 . 则 ，解得 ． 令 ，则 . 令 ,则 ;令,则. 可得在上单调递增,在上单调递减， 则的最大值为,,即. 【点睛】本题考查了学生指对同构的思想，利用指对同构找到，的关系，化多元为单变量，构造新函数解决问题. 二、多选题（18分） 9. 以下说法正确的是（ ） A. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为9 B. 已知随机变量~，若随机变量，则 C. 将4名志愿者安排到3个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，则不同排法共有72种 D. 若随机变量~，且，则 【答案】BD 【解析】 【详解】选项A：该组共8个数据，计算第75百分位数时为整数，因此第75百分位数是第6项和第7项的平均值，即，A错误； 选项B：由二项分布期望公式得，根据期望线性性质，，B正确； 选项C：4人分到3个社区且每个社区至少1人，需先按2,1,1分组，分组数为，再分配到3个不同社区，总排法为种，C错误； 选项D：正态分布对称轴为，故，因此，由对称性得，D正确. 10. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 最大值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】已知，故. 对选项A： ∵ ，∴ ，代入得： , 该式为关于的二次函数，开口向上，对称轴为，且, ∴ 当时，取最小值，代入得，故A正确. 对选项B： . ∵ ，∴ ， 当且仅当即，即时等号成立, 故最小值为，B正确. 对选项C： 由基本不等式得, 代入得，整理得，当且仅当，即时等号成立， 即存在最大值，当时，，无最小值，故C错误. 对选项D： 令，，两边平方得： , 由C得 ，代入得, ∴ ，当且仅当时等号成立，代入解得，满足取值范围， 故最大值为，D正确. 11. 已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数．若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个周期为4 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用奇函数推中心对称、偶函数推轴对称，通过变量替换联立等式，推出函数递推关系 和周期T=4；再结合特殊点函数值、周期求和公式，逐一验证所有选项，最终确定正确答案. 【详解】 是奇函数 ，函数关于点 中心对称， 是偶函数 ，令 ，得，函数关于直线 轴对称，得， 对于A，由 ，令 ，得，所以，故A 错误； 对于B， ，把 换成 ，得，因 ， 则有，再把 换成 ，得， 两式相减，可得，即的一个周期为 4，故B正确； 对于C，由上分析已得，故 C正确； 对于D，已知 ，周期为 4，， 由，得，又因， ， 得，由 的周期为4，得， 则函数在一个周期内的和是， 因为，所以，故D 错误. 三、填空题（15分） 12. 已知恒成立， 则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分段去绝对值，求出的最小值，小于或等于该最小值即可满足恒成立. 【详解】令；令. ①当时，，此时最小值为； ②当时，，此时值恒为； ③当时，，此时最小值为. 综上所述，，所以. 13. 若的展开式中的系数为6，则的最小值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由条件得到的关系，再利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】因为展开式的通项为， 令，解得，所以，所以，则， 所以，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为2. 14. 已知函数，若函数恰有10个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【详解】作出函数的图象，如图， 令，则方程可化为， 因为方程恰有10个不相等的实数根， 所以方程有两个不等实根，， 设，则，， 令，则，解得， 故实数的取值范围为. 四、解答题 15. 已知函数（）. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在其定义域上存在极值点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）切线方程问题：先求切点函数值，再求导代入横坐标得到切线斜率，用点斜式写出切线； （2）存在极值点等价于导数在定义域存在变号零点；对导函数分类讨论与两种情况，分析单调性，利用最大值大于0求出参数范围. 【小问1详解】 当时，，， ，，所以切线方程为，即. 【小问2详解】 已知函数（），定义域为，且， 已知在其定义域上存在极值点，即在上有变号零点， 设 ，则， ① 当时，恒成立，在上单调递增； 且时，时，故有唯一零点且为变号零点，有极值点； ② 当时，令，解得. 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. ，而时，, 要使有变号零点，需，即（时仅有一个零点但不变号）. 综上所述，的取值范围为. 16. 某工厂每日生产一种产品吨，每日生产的该产品当日销售完毕，日销售额为y万元，产品价格随着产量的变化而有所变化，经过一段时间的产销，得到了x，y的一组统计数据，如下表： 日产量x（吨） 1 2 3 4 5 日销售额y（万元） 5 12 16 19 21 （1）请判断与中哪个模型更适合刻画x，y之间的关系，并从函数增长趋势方面给出简单的理由； （2）根据你的判断及下面的公式和数据，求出y关于x的回归方程，并估计当日产量为6吨时，日销售额是多少．（结果保留整数） 参数公式：经验回归方程中，． 参考数据：令，，，. 【答案】（1） 更适合刻画，之间的关系． 理由：由题表中的数据可知，的值每增加1，函数值的增加量分别为7，4，3，2， 增加的越来越缓慢，符合对数函数模型的增长规律，与一元线性回归模型的均匀增长存在较大差异， 故更适合刻画，之间的关系． （2），日销售额为23（万元） 【解析】 【分析】（1）由题可知数据呈现增长趋势，但增长速度逐渐减慢，故符合； （2）通过令将关于的非线性经验回归方程转化为关于的线性经验回归方程，根据表中数据求出该经验回归方程后再转化为关于的经验回归方程，代入即可求出预报值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，由题意得， 所以， ， 所以关于的回归方程为． 当时，日销售额为（万元）． 17. 已知函数（，且），且． （1）求的值； （2）的值域是全体实数R，求实数的取值范围； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用结合对数的运算性质，求得的值； （2）通过可以取遍所有正实数，结合判别式即可求解； （3）根据函数的单调性化简，结合函数的单调性、值域，求得的取值范围. 【小问1详解】 由得， 则，因为，且，解得：. 【小问2详解】 由的值域为， 则可以取遍所有正实数，且的图象开口向上， 所以，可得或， 即. 【小问3详解】 在单调递增， 由可得：对任意恒成立， 对任意恒成立等价于对任意恒成立， ， 令，因为， 则， 在时为增函数， ∴，∴， 又∵，∴. 综上所述：实数的取值范围是. 18. 为了调查某疾病的预防及患病情况，从甲、乙两个社区各随机抽取500人，甲社区有50人患该疾病，乙社区有25人患该疾病，用频率估计概率. （1）从甲社区随机抽取1人，求这个人患该疾病的概率. （2）从甲、乙两个社区各随机抽取1人，设为患该疾病的人数，求的分布列及数学期望. （3）若接种了预防该疾病的疫苗，则只有的概率患该疾病；若没有接种预防该疾病的疫苗，则有的概率患该疾病.从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率. 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 0.855 0.14 0.005 的期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）用频率估计概率，结合题意运算求解即可； （2）可知随机变量的可能取值为0，1，2，结合独立事件概率公式求分布列和期望； （3）设相应事件，结合全概率公式可得，代入运算求解即可. 【小问1详解】 用频率估计概率，从甲社区随机抽取1人，这个人患该疾病的概率为. 【小问2详解】 用频率估计概率，从乙社区随机抽取1人，这个人患该疾病的概率为， 可知随机变量的可能取值为0，1，2， 则； ； ； 所以的分布列为 0 1 2 0.855 0.14 0.005 的期望为. 【小问3详解】 设甲社区随机抽取1人，该人患该疾病为事件，则， 设该人接种了预防该疾病的疫苗为事件，则，， 因为， 即，解得， 所以从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率为. 19. 已知函数． （1）若函数在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若，求证：； （3）设是函数的两个极值点，求证：． 【答案】（1） （2）当时，， 要证明， 只需证，只需证， 记，则， 所以单调递增；单调递减， 成立 ； （3）由题意可知， 因为有两个极值点， 所以是方程的两个不等实根，， 所以， ， 所以要证， 即证， 即证，即证，即证， 令，则证明， 令，则， 所以在上单调递增，则， 即， 所以原不等式成立； 【解析】 【分析】（1）由题意得恒成立，参变分离求最值即可； （2）由题意得要证明，只需证，记，利用导数研究单调性求最大值即可得证； （3）化简，将转化成，再构造函数，通过讨论其单调性即可求证. 【小问1详解】 的定义域为在上恒成立， 所以在上恒成立， 又， 当且仅当时，等号成立，所以， 即a的取值范围是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学9月份阶段性检测试卷（一） 一、单选题（分值40分） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设；．若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则三者大小关系为（ ） A. a > b > c B. b > a > c C. c > a > b D. b > c > a 5. 已知，设函数在上是增函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 事件与互斥，若，，则（ ） A. 0.12 B. 0.48 C. 0.5 D. 0.6 7. 在一个不透明的口袋中装有大小､形状完全相同的3个小球，并将它们编号为1，2，3，每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则“经过3次摸球未能停止摸球”的条件下，经过5次摸球停止摸球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（18分） 9. 以下说法正确的是（ ） A. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为9 B. 已知随机变量~，若随机变量，则 C. 将4名志愿者安排到3个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，则不同排法共有72种 D. 若随机变量~，且，则 10. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 最大值为 11. 已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数．若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个周期为4 C. D. 三、填空题（15分） 12. 已知恒成立， 则实数的取值范围是__________. 13. 若的展开式中的系数为6，则的最小值为__________. 14. 已知函数，若函数恰有10个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 四、解答题 15. 已知函数（）. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在其定义域上存在极值点，求的取值范围. 16. 某工厂每日生产一种产品吨，每日生产的该产品当日销售完毕，日销售额为y万元，产品价格随着产量的变化而有所变化，经过一段时间的产销，得到了x，y的一组统计数据，如下表： 日产量x（吨） 1 2 3 4 5 日销售额y（万元） 5 12 16 19 21 （1）请判断与中哪个模型更适合刻画x，y之间的关系，并从函数增长趋势方面给出简单的理由； （2）根据你的判断及下面的公式和数据，求出y关于x的回归方程，并估计当日产量为6吨时，日销售额是多少．（结果保留整数） 参数公式：经验回归方程中，． 参考数据：令，，，. 17. 已知函数（，且），且． （1）求的值； （2）的值域是全体实数R，求实数的取值范围； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 18. 为了调查某疾病的预防及患病情况，从甲、乙两个社区各随机抽取500人，甲社区有50人患该疾病，乙社区有25人患该疾病，用频率估计概率. （1）从甲社区随机抽取1人，求这个人患该疾病的概率. （2）从甲、乙两个社区各随机抽取1人，设为患该疾病的人数，求的分布列及数学期望. （3）若接种了预防该疾病的疫苗，则只有的概率患该疾病；若没有接种预防该疾病的疫苗，则有的概率患该疾病.从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率. 19. 已知函数． （1）若函数在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若，求证：； （3）设是函数的两个极值点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $