山东聊城第二中学2025-2026学年高三上学期第三次月考数学试题

聊城二中2023级高三上学期第三次月考数学试题 答案 1. 【答案】C 【解析】因为， 所以, 所以的实部为2.故选：C. 2. 【答案】A 【解析】由有意义，得，解得或， 则或，，而， 所以.故选：A. 3. 【答案】B 【解析】在四边形中，若，则四边形为平行四边形， 若，则平行四边形为菱形，但不一定为正方形， 四边形是正方形时，必有，即有， 故“”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.故选：B. 4. 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以，，其中, 而，结合可得，此时， 数列是公比为的等比数列， 所以.故选：D. 5. 【答案】D 【解析】在等差数列2，6，10，…，98中，公差； 在等差数列2，8，14，…，98中，公差，而和的最小公倍数为， 得到新数列的公差，首项，所以， 令，解得，故新数列共有项， 所以新数列的各项之和为.故选：D. 6. 【答案】C 【解析】将圆的方程化为标准式， 则圆心，半径. 在中，， 由余弦定理得， 代入，， 得：， 化简得，则，进而， ， .故选：C. 7. 【答案】B 【解析】函数的定义域为， 因为， 所以为偶函数， ，令， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以，故在上单调递增， 又， 所以时，，即，所以在上单调递增； 所以不等式， 所以，或. 解得. 即实数的取值范围是.故选：B. 8. 【答案】A 【解析】， ，即， ，， 即， 令，则在上单调递增， 方程有唯一解，，．故选：A． 9. 【答案】AD 【解析】对于A分析，直线恒过定点， 定点到圆心O的距离为， 即定点在圆内，所以无论a取何值，直线都与圆O相交，即有两个公共点，故A正确； 对于B，若直线是圆O的对称轴，则直线必须过圆心，也即直线方程满足，即直线不过圆心，因此，不存在这样的a，使直线l是圆O的一条对称轴，故B错误； 对于C，设圆心O到直线的距离为d，， 直线被圆截得的弦长公式为，若弦长， 则，解得，所以，推得， 显然无实数解，因此直线被圆O截得的弦长不可能为2，故C错误； 对于D，圆O的半径，若圆上至少存在三个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离对于d需满足： ，也即，当时，圆上恰好存在三个点到直线的距离为1，如图所示， 又，满足，故圆上到直线距离为1的点至少有三个，故D正确． 故选：AD． 10. 【答案】ABD 【解析】对于A选项，由，得：，故A选项正确； 对于B选项，已知函数周期，则，故B选项正确； 对于C选项，由（），得：（），即：（）， 当时，取得最小值，的最小值为，故C选项错误； 对于D选项，已知，则， .故D选项正确. 故选：ABD. 11. 【答案】ABD 【解析】对于A，由已知可得，， 所以， 则圆锥的侧面积，A正确. 对于B，当时，，此时的面积最大，即三棱锥的体积最大，故B正确. 对于C，设点关于圆心的对称点为，则直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即， 在等腰三角形中， 所以，则，C错误. 对于D，可知和都是等腰三角形，取的中点，连接，，可知，， 则是二面角的平面角，，可以求得， 所以， ，， 故的面积为，D正确.故选：ABD. 12. 【答案】 【解析】由题意可得，则有， 解得，则的最小值为. 故答案为：. 13. 【答案】 【解析】：的圆心和半径分别为，， ：圆心和半径分别为，， 由于两圆外切，故，解得， 故直线的距离为， 故弦长为 14.【答案】y＝2ex（或y＝－2ex） 【解析】当时，，， 设切点坐标为，则，解得， 所以此时切点坐标为，切线方程为， 即. 因为为偶函数，所以它的图象关于轴对称， 则它的过原点的切线也关于轴对称，所以它的另一条切线方程为. 15.解：（1）由题意半径为， 所以圆方程； （2）易知直线与圆不相切， 设切线方程为，即， 由，解得或， 所以切线方程为或．即或． 16. 解：（1）由余弦定理得， 所以，因为△ABC为锐角三角形，所以， 所以，设△ABC的外接圆半径为r， 由正弦定理得，所以，， 所以，因为，所以． （2）由（1）知，则， 由正弦定理得，所以， 所以△ABC的面积为 ， 由，得， 从而得， 故当，即时，△ABC的面积取得最大值． 17. 解：（1）因为，所以当时，， 当时， 又也满足上式，所以. （2）∵① ∴② ②－①得：，，故． （3）， ∴， 令，① 则② ①－②得： ， ∴ ∴． ∴数列的前项和. 18. （1）证明：取中点，连接，， 则由题意且，故四边形是平行四边形， 所以且，故且， 所以四边形是平行四边形，则. 又平面平面，所以平面. （2）解：由题意可知两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意. 又， ， ， 即，， 所以，，. 设平面的一个法向量为，则， 所以，则，取，则. 设与平面所成角， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 19. 解：（1）当时，，， ， 故曲线在点处的切线方程为. （2） 令，即， 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当当时，，单调递减， 则极大值，极小值， 且由指数函数与幂函数增长速度可得，当趋于时，趋于， 当趋于时，趋于， 则作出图像如下： 则当时，没有零点； 当时，有1个零点； 当时，有3个零点； 当时，有2个零点； 当时，有1个零点. （3）证明：， 要使由两个极值点，则至少有两个零点. 当时，只有1个零点，不符合题意； 当时，， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则极大值 且由指数函数与幂函数增长速度可得，当趋于时，趋于， 当趋于时，趋于， 则作出图像如下： 由图像可得，当且仅当时，与有两个交点，设其横坐标从左到右分别为，则有两个零点， 且当时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 则极大值点为，极小值点为，符合题意. 由题意，令， 则，则，， ， 设，则， 则单调递增，则，即，所以， 所以，即成立. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 聊城二中2023级高三上学期第三次月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的实部为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. ，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设数列的前n项和为，若，则＝（ ） A. －63 B. －31 C. 31 D. 63 5. 已知两个等差数列2，6，10，…，98和2，8，14，…，98，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ） A. 850 B. 1250 C. 400 D. 450 6. 已知圆的圆心为，直线与圆交于，两点，记，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数满足和．则的值为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，圆O：，则（ ） A. ，直线l均与圆O有两个公共点 B. ，使直线l是圆O的一条对称轴 C. 直线l被圆O截得的弦长可能为2 D. 圆O上至少存在三个点到直线l的距离为1 10. 已知函数的最小正周期为，点是曲线的一个对称中心，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 当时， 11. 已知圆锥的轴截面为等腰直角三角形，顶点为，底面圆心为，为底面圆的直径，，是底面圆周上异于，的一个动点，下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 当时，三棱锥的体积最大 C. 直线与直线夹角的取值范围是 D. 若二面角的大小为，则的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为______________． 13. 已知圆：与圆：外切，此时直线：被圆所截的弦长为_______. 14. 写出过坐标原点且与曲线相切的一条直线方程______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆心为，且圆经过点. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 16. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且． （1）求A； （2）求△ABC面积的最大值． 17. 数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的通项公式； （3）令，求数列的前n项和. 18. 由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面. （1）求证：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 19. 已知函数，，是自然对数的底数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的零点的个数； （3）若函数恰有两个极值点，，证明：且. 1 学科网（北京）股份有限公司 $