精品解析：山东省聊城市某校2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

2023级高三上学期第一次月考数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先解指数不等式与一元二次不等式求出集合、，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，解得，所以， 所以. 故选：A 2. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】代入得到，计算出答案. 【详解】. 故选：A 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排除法取特殊值即可得解. 【详解】当时，，排除B，D； 当时，，排除C. 故选：A. 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解. 【详解】解：因为， ， 所以，，的大小关系为. 故选：D. 【点睛】本题考查三个数的大小比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，属于基础题. 5. “”是“函数的值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】若函数的值域为，则函数与轴有交点，列出不等式求解出的范围，结合充分条件与必要条件的性质即可得解． 【详解】若函数的值域为，则函数与轴有交点， 所以，则或， “”是或的既不充分也不必要条件， 故选：D． 6. 已知是奇函数，且当时，.若，则实数（ ） A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的定义及对数的运算即可求解. 【详解】解：因为是奇函数且，所以， 又当时，， 所以，解得， 故选：A. 7. 已知命题，的否定是真命题，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，命题：，为真命题，分、两种情况讨论，利用参变量分离法求出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，命题：，为真命题. ①当时，则，不合乎题意； ②当时，则，令， 则， 所以，当时，，则. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 8. 定义在上的偶函数的导函数为，且当.则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，设g（x）=x2f（x）， 其导数g′（x）=（x2）′f（x）+x2•f（x）=2xf（x）+x2•f（x）=x[2f（x）+xf'（x）]， 又由当x＞0时，有2f（x）+xf'（x）<0成立，则数g′（x）=x[2f（x）+xf'（x）]<0， 则函数g（x）在（0，+∞）上为减函数， 若g（x）=x2f（x），且f（x）为偶函数，则g（-x）=（-x）2f（-x）=x2f（x）=g（x）， 即g（x）为偶函数，所以 即 因为为偶函数，所以,所以 故选D 点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，关键是构造函数g（x）并分析g（x）的单调性与奇偶性． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 函数的定义域为，且与都为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是周期为的周期函数 B. 是周期为的周期函数 C. 为奇函数 D. 为奇函数 【答案】BD 【解析】 【分析】AB选项，利用周期函数的定义判断；CD选项，利用周期性结合，为奇函数判断. 【详解】因为函数的定义域为，且与都为奇函数， 所以，， 所以，， 所以，即，故B正确A错误； 因为，且为奇函数，所以为奇函数，故D正确； 因为与相差1，不是最小周期的整数倍，且为奇函数，所以不为奇函数，故C错误. 故选：BD. 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式及重要不等式，结合指数的运算、对数的运算和对数函数的性质即可求解. 【详解】对于A：因为，，， 所以，当且仅当，即时，等号成立，故A正确； 对于B：因为，，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故B错误； 对于C：因为，，，所以， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D：因为，，，所以，即， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ACD 11. 设函数，则（ ） A. 的极小值点为3 B. 当时， C. 当时， D. 有3个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数求导可得，从而求出其单调区间及极值，然后逐项分析即可对ABC判断求解，利用零点存在定理可对D判断. 【详解】A、B、C:由， 可得在和上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极小值点，选项A正确； 当时，又， 所以，而在上单调递增，所以，选项B错误； 当时，，而在上单调递减， 所以，所以，选项C正确； D：由的单调性可知，的极大值点是1，极小值点是3， 而，，，，， 所以有2个零点，选项D错误. 故选：AC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域的求法即可求解. 【详解】依题意函数的定义域为， 则要使函数有意义有， 解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 函数是上的减函数，则的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数单调性先分段分析，再在定义域上分析，建立关于的不等式组求解可得. 【详解】是上的减函数， ，解得， 故的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得为奇函数，求出函数的导数分析可得函数在上为增函数，据此分析可得，解可得的取值范围，即可得答案． 【详解】解：根据题意，函数， 则，即函数为奇函数， 又由，则函数在上为增函数， 则， 即， 解可得：，即不等式的解集为； 故答案为：． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析的单调性，属于中档题． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，其中实数是常数. （1）求集合A与集合； （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合指数、对数函数单调性求集合； （2）由题意可知，结合包含关系列式求解即可. 【小问1详解】 因为，且在上单调递增， 可得，解得，所以； 又因为，且在上单调递增， 可得，解得，所以. 【小问2详解】 若对任意的，都有，可知， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 已知函数. （1）若，求实数的值； （2）若，恒成立，求：实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接将代入解析式，解方程即可得到答案； （2）对进行分类讨论，若恒成立；若则可得抛物线开口向下，且与无交点； 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 当时，恒成立， 当， 综上所述：时，恒成立. 17. 已知：，：. （1）若是真命题，求对应的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解绝对值不等式即可得出答案； （2）由是的必要不充分条件，可得，解不等式即可得出答案. 【小问1详解】 ∵：是真命题，∴， ∴，解得， ∴的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知：：，：即 因为是的必要不充分条件，所以，解得：. 综上所述的取值范围是. 18. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若函数，都有，求a的取值范围． 【答案】（1） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论即可； （2），分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可得解. 【小问1详解】 ， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，时，，时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 ，即， 即， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 19. 已知函数 （1）若函数是上的增函数，求的取值范围； （2）证明：当时，不等式对任意恒成立； （3）证明： 【答案】(1)k>−1；(2) 当k=2时，， ∴不等式f(x)<lnx对任意x>0恒成立，等价于对任意x>0恒成立． 令，则，令， ∴g(x)在(0,3)上递减，在(3,+∞)上递增， ∴g(x)⩾g(3)=ln3−1>0， 即对任意x>0恒成立． ∴不等式f(x)<lnx对任意x>0恒成立； (3) 由(2)知，对任意x>0恒成立，即. ， ， >2n−3. 即. 【解析】 【分析】(1)首先求得导函数，然后由导函数恒非负即可确定实数k的取值范围； (2)将原问题进行恒等变形，构造新函数，求解新函数的最小值即可证得题中的不等式； (3)利用(2)中证得的不等式，令然后进行放缩，结合裂项求和法即可证得题中的不等式. 【详解】(1)函数的定义域为， ， ∵f(x)是(0,+∞)上的增函数，对x∈(0,+∞)恒成立． ∴k+1⩾0，得k⩾−1， 而k=−1时f′(x)=0，f(x)=−1为常函数，不满足条件， ∴k>−1； (2)略 (3)略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高三上学期第一次月考数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 12 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“函数的值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知是奇函数，且当时，.若，则实数（ ） A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 7. 已知命题，的否定是真命题，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的偶函数的导函数为，且当.则 A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 函数的定义域为，且与都为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是周期为的周期函数 B. 是周期为的周期函数 C. 为奇函数 D. 为奇函数 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，则（ ） A. 的极小值点为3 B. 当时， C. 当时， D. 有3个零点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______． 13. 函数是上的减函数，则的取值范围是_____________. 14. 已知函数，则不等式的解集为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，其中实数是常数. （1）求集合A与集合； （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）若，求实数的值； （2）若，恒成立，求：实数的取值范围. 17. 已知：，：. （1）若是真命题，求对应的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围. 18. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若函数，都有，求a的取值范围． 19. 已知函数 （1）若函数是上的增函数，求的取值范围； （2）证明：当时，不等式对任意恒成立； （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $