导数恒成立与存在性 专项训练（20题·拔高）-2027届高三数学一轮复习

导数·恒成立与存在性（含参讨论）专项训练（20 题·拔高） 题号即难度序：由中上到压轴严格递进 · 数学符号规范公式排版 · 聚焦新高考导数”恒成立与存在性”考点 使用说明：本卷聚焦恒成立与存在性问题，覆盖：分离参数法、分类讨论法、必要性探路法、主元法，以及”任意—存在”量词的四种组合转化。每题按”设问—转化—求解”的递进结构编排。答案与解析见另册《参考答案与解析》。 第 1—10 题 1.（二次恒成立·分离参数）★★ 若不等式 对一切 恒成立，求实数 的取值范围。 2.（指数函数恒成立）★★ 已知函数 。 （1）讨论 的单调性； （2）若 对一切 恒成立，求 的取值范围。 3.（对数恒成立）★★ 若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围。 4.（乘积型恒成立）★★ 若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围。 5.（存在性问题）★★ 已知 。若存在 ，使 ，求 的取值范围。 6.（对数分式恒成立）★★ 若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围。 7.（三次函数恒成立）★★ 已知 。若 对一切 恒成立，求 的取值范围。 8.（分式恒成立·最值在端点）★★★ 若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围。 9.（乘积型恒成立）★★★ 已知 。若 对一切 恒成立，求 的取值范围。 10.（主元法）★★★ 若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。 ## 第 11—20 题 11.（对数复合恒成立）★★★ 若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围。 12.（任意—存在：四种量词组合）★★★★ 已知 ，，其中 。 （1）若对任意 ，都有 ，求 的取值范围； （2）若存在 ，对任意 ，都有 ，求 的取值范围； （3）若对任意 ，存在 ，使 ，求 的取值范围； （4）若存在 ，使 ，求 的取值范围。 13.（必要性探路：切线为界）★★★★ 若不等式 对一切 恒成立，求 的值。 14.（恒成立与零点个数）★★★★ 已知 。若 在 上无零点，求 的取值范围。 15.（含参单调性与恒成立）★★★★ 已知 。若 在 上单调递增，求 的取值范围。 16.（双变量恒成立：利普希茨型）★★★★ 若对任意 ，都有 恒成立，求 的最小值。 17.（恒成立与三次求导定符号）★★★★ 若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围。 18.（任意—存在·双函数综合）★★★★ 已知 ，。若存在 与 ，使 ，求 的取值范围。 19.（指数与二次比较·恒成立）★★★★★ 若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围。 20.（含参指数函数·恒成立压轴）★★★★★ 已知函数 （）。 （1）讨论 的单调性； （2）若 对一切 恒成立，求 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数·恒成立与存在性（含参讨论）专项训练（20 题·拔高）· 参考答案与解析 每题给出答案与完整解析。答案速查：1.；2.(2)；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10. 或 ；11.；12.(1) (2) (3) (4)；13.；14.；15.；16.；17.；18.；19.；20.(2)。 第 1—10 题 1. 答案： 不等式对一切 恒成立，等价于 对一切 恒成立，故 。 令 ，则 当 时 ，当 时 ，故 在 处取最小值 所以 。 2. 答案：（1）见解析；（2） （1）。 · 当 时， 恒成立， 在 上单调递增； · 当 时，令 得 。当 时 ，当 时 ，故 在 上单调递减，在 上单调递增。 （2）若 ，当 时 、，故 ，不满足恒成立； 时 恒成立。 若 ，由（1）知最小值 ，令 ，得 ，即 。 综上，。 3. 答案： 原不等式等价于 对一切 恒成立，故 。 令 ，，故 在 上递增、在 上递减，最大值 。故 。 4. 答案： 即求 在 上的最小值。，令 得 。当 时 ， 时 ，故最小值 所以 。 5. 答案： 存在 使 ，等价于 。由 ，得 上的最小值 。故 。 6. 答案： 设 。 若 ，当 时 （），，不满足恒成立； 时 也不恒成立。 若 ，，故 在 上递减、在 上递增，最小值 。令 ，得 。 综上，。 7. 答案： 对一切 恒成立，等价于 。 令 ，，令 得 。比较 ，，，，得 。故需 ，即 。 8. 答案： 等价于 （）。令 ， 故 在 上单调递减，最大值 。所以 。 9. 答案： 等价于 （）。令 ，，令 得 。当 时 ， 时 ，故最小值 。所以 。 10. 答案： 或 视 为主元。设 ，它是关于 的一次函数，故 对一切 恒成立，只需端点处成立即可。 · 若 ： 关于 递增，最小值 ，结合 得 ； · 若 ： 关于 递减，最小值 ，结合 得 。 综上， 或 。 ## 第 11—20 题 11. 答案： 当 时不等式为 ，恒成立。当 时，等价于 恒成立，故 。 令 ， 记 ，则 （），又 ，故 ，从而 ， 在 上单调递减。因此 ，即 的上确界为 。所以 。 12. 答案：（1）；（2）；（3）；（4） 先求各函数在 上的最值： （1）对任意 都有 ，等价于 ，即 ，得 。 （2）存在 ，对任意 都有 ，等价于 ，即 ，得 。 （3）对任意 ，存在 使 ，等价于 ，即 ，得 。 （4）存在 使 ，等价于 ，即 ，得 。 规律： 用 ； 用 ； 用 ； 用 。 13. 答案： 当 时不等式为 ，恒成立。 当 时，，等价于 。令 ， 记 ，则 （），又 ，故 ，。于是 在 上递减，，即需 。 当 时，，等价于 。同理 在 上也递减，且 ，，即需 。 综合得 。 14. 答案： 。 若 ：， 在 上单调递增，且 时 、 时 ，故恰有一个零点，不合题意。 若 ：令 得 ， 在 上递增、在 上递减，最大值 无零点等价于最大值小于 ，即 ，得 ，即 。 综上，。 15. 答案： 在 上单调递增，等价于 故 。令 ，，令 得 ，此时 所以 。 16. 答案： 对任意 ，由拉格朗日中值定理（或均值不等式），存在 介于 之间，使 而 ，故 ，于是 ，即 （ 时不等式成立）。 另一方面，当 时割线斜率趋于 ，故 不能小于 。所以 。 17. 答案： 当 时不等式为 ，恒成立。当 时，等价于 恒成立，故 令 （）， 记 ，则 ，（）。由 得 ，再由 得 。故 ， 在 上单调递增，最小值（下确界）为 所以 。 18. 答案： “存在 与 使 ”等价于 。 ，，令 得 ， 在 上递增、在 上递减，故 。 ，，令 得 ， 在 上递减、在 上递增，故 由 ，得 。 19. 答案： 对一切 恒成立，等价于 对一切 恒成立，故 。 令 ， 故 在 上递减、在 上递增，最小值 。 由于等号在 处不能取（否则 要求 ），故 。 20. 答案：（1）见解析；（2） （1）。 · 当 时，，，故 在 上单调递减； · 当 时，令 得 。当 时 ，当 时 ，故 在 上单调递减，在 上单调递增。 （2）若 ，当 时 、，故 ，不满足恒成立。 若 ，由（1）知最小值 令 （），则 ，令 得 ； 在 上递增、在 上递减，故 等号仅当 时成立。于是 仅当 。 所以 。 学科网（北京）股份有限公司 $