精品解析：山东潍坊市寿光市第一中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

高三数学10月份月考数学测试题 一、单选题（40分） 1. 设集合，则的真子集的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 2. 已知复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知条件，则使得条件成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. 或 D. 5. 函数在处取得极大值9，则（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 0 6. 倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.为了使排放的废水中含有的污染物的浓度下降，某造纸企业引进了一种新的废水净化技术，已知净化前所排放的废水中含有的污染物的浓度为，首次净化后所排放的废水中含有的污染物的浓度为，第次净化后所排放的废水中的污染物的浓度（单位：），依据当地环保要求，企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过，为了使该企业所排放的废水中含有的污染物的浓度达标，则废水净化的次数至少为（ ） （参考数据：） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含的项的系数为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 8. 设函数是定义在上的奇函数，为其导函数.当时，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（18分） 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 一组数据88，90，90，91，92，93，95，96，98，99的第50百分位数为92 C. 若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为8 D. 已知回归直线方程为，若样本中心为，则样本点处残差为 10. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 为等比数列 B. C. 的前项和 D. 的前项和 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在单调递增 D. 函数有两个零点 三、填空题 12. 幂函数在上单调递增，则的图象过定点______． 13. 盒子里装有大小相同的1个红球和1个白球，每次从中有放回取1个球，连续取2次，已知有一次取到红球，则两次都是红球的概率是_______． 14. 已知正数满足，则的最小值为__________：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题（77分） 15. 已知函数． （1）求的单调区间和极值； （2）求在区间上的最值． 16. 某高中学校组织乒乓球比赛，经过一段时间的角逐，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取7局4胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立． （1）求比赛结束时恰好打了5局的概率； （2）若前三局比赛甲赢了两局，记还需比赛的局数为X，求X的分布列及数学期望． 17. 若数列的前项和满足：. （1）证明：数列为等比数列并求出通项公式； （2）设，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数满足且. （1）当时，求的表达式； （2）设，，求证：…； （3）设，，为的前项和，当最大时，求的值. 19. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数m的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学10月份月考数学测试题 一、单选题（40分） 1. 设集合，则的真子集的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】写出集合，计算真子集个数. 【详解】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为. 故选：D. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数的运算法则，可得， 所以复数的虚部为. 故选：B. 3. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求导可得，令运算即可. 【详解】因为，则， 令，可得，解得. 故选：B. 4. 已知条件，则使得条件成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式得到或，使得条件成立的一个充分不必要条件应为或的真子集，从而得到答案. 【详解】由题意得，解得或， 故使得条件成立的一个充分不必要条件应为或的真子集， 其中满足要求，其他选项不满足. 故选：A 5. 函数在处取得极大值9，则（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】先由取极值的必要条件求出参数，然后回过头去检验是否满足题意即可. 【详解】由题意，函数，可得， 因为在处取得极大值9，可得， 解得或， 检验知，当时，可得， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以在处取得极小值9，与题意矛盾，故不符题意； 当时，可得， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以在处取得极大值9，故符合题意； 所以. 故选：B. 【点睛】方法点睛：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小； 2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论； 3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 6. 倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.为了使排放的废水中含有的污染物的浓度下降，某造纸企业引进了一种新的废水净化技术，已知净化前所排放的废水中含有的污染物的浓度为，首次净化后所排放的废水中含有的污染物的浓度为，第次净化后所排放的废水中的污染物的浓度（单位：），依据当地环保要求，企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过，为了使该企业所排放的废水中含有的污染物的浓度达标，则废水净化的次数至少为（ ） （参考数据：） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】由，，代入计算得，再根据题意列不等式计算即可求解. 【详解】因为，， 所以，解得， 即， 设第次净化后企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过， 则，即，， 所以， 因为，所以废水净化的次数至少为次. 故选：D 7. 已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含的项的系数为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】根据所有项的系数之和求解，写出的展开式，求与二项式中含的项相乘所得的项，-1与二项式中含的项相乘所得的项，两项相加，即为的展开式中含的项. 【详解】所有项的系数之和为64，∴，∴ ，展开式第项， 时，，， 时，，，， 故选：B． 8. 设函数是定义在上的奇函数，为其导函数.当时，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，得到其定义域，奇偶性，求导得到其单调性，从而分和两种情况，得到不等式解集，求出答案. 【详解】令，的定义域为，故的定义域为， 则， 当时，，故在上恒成立， 故在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，故， 所以， 所以为偶函数，，则，故 在上单调递减， 当时，，即， 由于在上单调递增，故， 当时，，即， 由于在上单调递减，故， 则不等式的解集为. 故选：D 二、多选题（18分） 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 一组数据88，90，90，91，92，93，95，96，98，99的第50百分位数为92 C. 若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为8 D. 已知回归直线方程为，若样本中心为，则样本点处残差为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，；对于B，根据百分位数的计算步骤计算；对于C，利用方差计算公式可得；对于D，由样本中心确定回归方程，利用残差定义求解. 【详解】对于A，若随机变量，且，又， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以第50百分位数（中位数）为：.故选项B错误； 对于C，若样本数据的方差，设数据的平均数为，则数据的平均数为， 方差，故C正确； 对于D，样本中心为代入回归方程，得，解得，则， 当时，，故样本点处的残差为， 故D正确； 故选：ACD. 10. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 为等比数列 B. C. 的前项和 D. 的前项和 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据递推公式，构造等比数列，进而求出数列通项公式，判断数列单调性，根据分组求和法，裂项求和法，求出数列前项和；逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】由得，化简得，即， 所以，因为，所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，A正确； 由是以2为首项，以2为公比的等比数列，可得， 求得，， 可知恒正，且随着的增大而增大，所以随着的增大而减小，所以B错误； 由可得，所以C正确； 由， 得， 所以D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在单调递增 D. 函数有两个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后将函数利用对数的运算变形，再利用复合函数的单调性的判断法则以及二次函数的性质依次判断A,B,C即可；分析函数与函数的单调性结合图象的交点，即可判断函数零点个数，从而判断D. 【详解】函数定义域为，又， 令，，在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增，故选项C正确； 因为， 所以函数的对称中心为对称，故选项B错误，选项A正确； 因为，所以函数，函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，又函数在上为增函数， 则函数与函数在平面直角坐标系中的图象如下图所示： 故函数与函数在区间上有两个交点，即函数有两个零点，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题 12. 幂函数在上单调递增，则的图象过定点______． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数的定义和性质，求得的值，再利用指数函数的图象过定点，得出结论． 【详解】幂函数在上单调递增， ，且，解得， 故， 令，得，且， 可得的图象过定点． 故答案为：. 13. 盒子里装有大小相同的1个红球和1个白球，每次从中有放回取1个球，连续取2次，已知有一次取到红球，则两次都是红球的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】求得两次均为红球的概率， 【详解】由题意可得共有（红，红），（红，白），（白，红），（白，白）共四种情况， 记两次均为红球为事件，有一次为红球为事件， 所以，，所以. 故答案为：. 14. 已知正数满足，则的最小值为__________：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】由已知有，应用基本不等式求最小值，注意取值条件，进而有恒成立，问题化为在上恒成立，应用导数求右侧的最大值，即可得参数范围. 【详解】由题设，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为5，此时不等式化为恒成立， 所以，即 令且，则， 时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 则 因此可得在上，恒成立， 令且， 所以， 令，， 在单调递增，且， 则时，，函数在单调递减， 时，，函数在单调递增， 因此可得，即， 则当，，则在单调递增， 当，，则在单调递减， 所以，故只需. 故答案为：5， 【点睛】关键点点睛：将不等式恒成立化为在上恒成立，再应用导数研究右侧的最大值为关键. 四、解答题（77分） 15. 已知函数． （1）求的单调区间和极值； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）单调递减区间为,函数单调递增区间为．极小值为,无极大值； （2）最小值为,最大值为2． 【解析】 【分析】（1）求导,得到,令得,或（舍去）,将定义域分成几段考虑导数正负,得出单调区间,由单调性,得到函数的极值. （2）与（1）方法相同(只是定义域发生改变),求出极值后再与端点值比较即可得到最值. 【小问1详解】 函数的定义域为, ． 令得,或（舍去）, 当时,,函数单调递减； 当时,,函数单调递增, 所以函数单调递减区间为,函数单调递增区间为． 函数的极小值为,无极大值． 【小问2详解】 由（1）知,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增, 所以,,, 又因为,所以函数在区间的最小值为,最大值为2． 16. 某高中学校组织乒乓球比赛，经过一段时间的角逐，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取7局4胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立． （1）求比赛结束时恰好打了5局的概率； （2）若前三局比赛甲赢了两局，记还需比赛的局数为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1）； （2）X的分布列如下： X 2 3 4 P 期望为．【解析】 【分析】（1）根据题意求出恰好打了5局，甲获胜的概率和乙获胜的概率，再利用互斥事件的概率公式可求得结果； （2）由题意可知，X的取值范围是，然后求出相应的概率，从而可求出X的分布列及数学期望． 【小问1详解】 比赛结束时， 恰好打了5局，甲获胜的概率为， 恰好打了5局，乙获胜的概率为， 所以比赛结束时恰好打了5局的概率为； 【小问2详解】 由题意可知，X的取值范围是． ， ， ， 所以X的分布列如下： X 2 3 4 P 数学期望． 17. 若数列的前项和满足：. （1）证明：数列为等比数列并求出通项公式； （2）设，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）利用求得的递推关系，再由等比数列的定义证明，由等比数列通项公式得结论； （2）由裂项相消法求得和，确定的取值范围，然后解相应不等式可得． 【小问1详解】 ，① 当， 当，② ①－②：，即： 又对都成立，所以是等比数列， ； 【小问2详解】 ， 对都成立 或， 实数的取值范围为． 18. 已知函数满足且. （1）当时，求的表达式； （2）设，，求证：…； （3）设，，为的前项和，当最大时，求的值. 【答案】（1）；（2）见解析；（3）或. 【解析】 【详解】（1）令，得， ∴，即，∴. （2），设，则 =，① =，② ∴得 ，∴，即. （3）由（1）可得，∴数列是一个首项是4，公差为的等差数列， ∴当时，；当时，；当时，. 故当或时，取得最大值，为. 19. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数m的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1） （2）； （3） 由（2）知，当时，在上恒成立， 取，得即，当且仅当时等号成立， 令，， 则， 所以， 所以 ， 所以． 【解析】 【分析】（1）只需分别求出的值即可求解； （2）构造函数，原题条件等价于在上恒成立，求得，从而分是否小于1进行讨论即可求解. （3）由（2）可知得即，进一步有，从而累加即可得证. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以，， 所以函数在处的切线方程为即； 【小问2详解】 若在上恒成立，则在上恒成立， 设，，所以， ， ①当时，， 当时，， 所以在上单调递减， 所以，即在不恒成立． ②当时，， 当时，，在上单调递增， 又，此时， 综上所述，所求m的取值范围是； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是利用第二问的结论得到，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $