4.2认识一次函数（第3课时）教学设计 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦一次函数模型的实际应用，通过打印店计费问题导入，从具体张数费用计算到建立函数关系式，搭建从一次函数概念到分段计费、最优决策的学习支架，衔接前后知识。 特色在于以生活实例（电费分档、租车方案等）驱动教学，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，通过构建分段函数模型、比较函数值大小发展模型意识与推理能力，分层练习与问题设计提升应用意识，助力教师高效教学，学生深化数学建模思想。

4.2 认识一次函数（第3课时） 课时：1 年级：八年级 教师： 日期： 一、教学目的 1. 能根据实际问题建立一次函数模型，解决分段计费等问题。 2. 能通过比较两个一次函数的函数值大小，作出最优决策。 3. 在解决实际问题中体会数学建模思想，增强应用意识。 二、教学重点、难点 建立一次函数模型解决实际问题；分段计费问题的处理。 分档计费问题的函数表达式的构建；比较两个一次函数的函数值。 三、教学过程 【环节一：导入新课】 创设情境，建构新知： 单位需要打印一批资料，咨询 A、B 两家打印店。 A 店：只按张收费，每张 0.6 元； B 店：每张 0.35 元，另收文件排版服务费 80 元。（不足 1 张按 1 张计） (1) 需要打印 25 张资料，选哪家更划算？ 解：设打印张；， ；，；，选 A 店。 (2) 打印 60 张，选哪家？ ，；； ：，选 A； ：；；选 B； (3) 打印多少张两家总花费相等？ 令，解得；打印 200 张两家费用一样。 【环节二：新课讲授】 例1：为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算水电。下表是家庭人口不超过4人时户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量x/kw·h 单价/（元/ kw·h） 第一档 0＜x≤240 0.52 第二档 240＜x≤4200 0.57 第三档 x＞4200 0.82 (1) 当，写出总电费和用电量关系式。 解：，化简： (2) 某家庭一年用电 2800，求全年电费。 ，元。 (3) 该户全年电费 1692 元，求全年用电量。 计算一档上限电费； 二档上限：； ，属于第二档； ；解得 尝试思考 (1) 当，写出电费和用电量关系式； ； 化简得到对应表达式。 (2) 阶梯电价有什么意义？设计收费标准要注意什么？生活还有哪些类似分档收费。 尝试·思考： (1) 在例1中，当x>300时，你能写出水费y（单位：元）与用水量x之间的关系式吗？ 解：y=3.45×220+4.83×80+5.83×(x-300)=5.83x-603.6。 (2) 像例1这样计费有什么意义？设计计费规则时要注意什么？生活中还有哪些情况用到类似的计费方法？ 例2：某单位需要租赁客车，咨询甲、乙两家租车公司。甲公司收费：每千米 15 元；乙公司收费：除每千米 10 元，另收服务费 200 元（不足 1 千米按 1 千米计）。设用车里程为，甲总费用元，乙总费用元。 (1) 分别写出、关于的函数关系式； (2) 如果用车里程 30 km，选哪家公司更划算？ (3) 用车行驶多少千米时，两家租车公司总收费相等？ 解： (1) 根据题意： 甲只按里程收费： 乙：里程费 + 固定服务费： (2) 当 （元） （元） ， 用车 30 km，选甲公司更划算。 (3) 两家收费相等，令 答：当用车里程时，两家租车公司收费相同。 例3：某市为鼓励居民节约用水，按月分段计算水费：月用水量不超过，每立方米收费元；月用水量超过时，其中仍按元 /，超出部分按元 /收费。设月用水量，应交水费元。 (1) 写出与的函数关系式（要标注自变量取值范围）； (2) 某月用水，应交水费多少元？ (3) 若当月交水费元，求本月用水量。 解： (1) 分两段建立函数： ① 当，没有超出，直接单价乘水量： ② 当，前 7 方总价 + 超出部分费用： 综上： (2) ，代入第二段解析式： 答：用水应交水费元。 (3) 先算临界值：时，水费元。 本月水费，说明用水量超过 7 立方米，使用第二个表达式。 答：本月用水量。 【环节三：巩固练习】 1.某手机通讯公司的短视频会员两种扣费方案如下：方案 A：每月基础服务费 10 元，每观看付费短片 1 次收费 0.4 元； 方案 B：无基础服务费，每观看付费短片 1 次收费 0.6 元。 (1) 每月平均看付费短片 120 次，选 更省钱；C (2) 本月总共消费 58 元，哪个方案观看短片次数更多；C (3) 写出 C 方案总花费（元）和观看次数关系式。 解： (3) y=10+0.4x。 2. 某城市公园年卡销售规则（单人） 档位 全年入园次数 单价（元 / 次） 第一档 0＜x≤35 2.6 第二档 35＜x≤70 3.1 第三档 x＞70 3.7 (1)，写出总消费与入园次数关系式； (2) 一年入园 48 次，总消费多少； x：元 (3) 某人全年公园消费 162.5 元，求入园总次数。 次 四、教学小结 (1) 本节课你有哪些收获？还有什么困惑？请从知识、思想方法、研究经验等方面谈谈。 (2) 我们已知函数有三种表达方式，对于一次函数，你认为我们接下来可能会深入研究什么内容？ 五、作业 必做： 完成教科书习题4.2相关题目。 选做： 设计一个生活中分段计费的实际问题，并用一次函数模型解决。 5 学科网（北京）股份有限公司 $