第04讲 认识实数（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第04讲 认识实数 （新教材北师大版） 知识点一、无理数 2 知识点二、实数 2 知识点三、实数的性质 3 知识点四、实数与数轴上的点的关系 3 知识点五、实数的运算 4 【题型1 无理数】 4 【题型2 无理数的大小估算】 6 【题型3 实数的概念理解】 8 【题型4 实数的分类】 10 【题型5 实数与数轴】 11 【题型6 实数的大小比较】 13 【题型7 勾股定理与无理数】 15 【题型8 实数的性质】 18 【探究式学习】 20 【课后检测】 23 【复盘笔记】 35 知识点一、无理数 无限不循环小数叫做无理数 常见的无理数类型： （1）一般的无限不循环小数，如：1.41421356··· （2）看似循环而实际不循环的小数（有规律），如0.1010010001···（相邻两个1之间0的个数逐次加1）；0.12345678···（连续不断地依次写正整数）。 （3）有特定意义的数，如：π=3.14159265··· 知识点二、实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 知识点三、实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 知识点四、实数与数轴上的点的关系 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 我们尝试用数轴上的一个点来表示． 由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． 这样，就在数轴上确定一个点来表示． 要点：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。 知识点五、实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 【题型 1 无理数】 【例 1】下列结论正确的是（     ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个有理数都能用数轴上的点表示； ③实数与数轴上的点一一对应；④开方开不尽的数是无理数 A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】利用实数与数轴的对应关系，无理数的概念等相关知识点逐一判断各结论即可得到答案. 【详解】解：①数轴上可以表示所有实数，既可以表示无理数，也可以表示有理数，原说法错误； ②有理数属于实数，任何一个有理数都能用数轴上的点表示，原说法正确； ③根据实数的基本性质，实数与数轴上的点一一对应，原说法正确； ④开方开不尽的数是无理数，因此原说法正确； 综上，正确的结论是②③④. 【变式 1‑1】关于的叙述，下列不正确的是（     ） A．是无理数 B．在数轴上可以找到表示的点 C． D．周长为8的正方形的边长是 【答案】D 【分析】先化简，再结合无理数定义、实数与数轴的关系、无理数估算、正方形周长公式逐一判断选项，找出错误叙述即可． 【详解】∵是无限不循环小数，属于无理数，∴A叙述正确； ∵所有实数都能在数轴上找到对应点，是实数，∴B叙述正确； ∵，，且 ，∴ ，C叙述正确； ∵周长为8的正方形，边长为 ，∴D叙述不正确． 【变式 1‑2】有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】通过举反例和反证法逐个判断四个推断的正误即可得到结果． 【详解】① 推断“两个无理数的和一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此①错误； ② 推断“两个无理数的积一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此②错误； ③ 推断“一个有理数与一个无理数的和一定是无理数”，设是有理数，是无理数，假设为有理数，可得， ∵ 两个有理数的差仍为有理数， ∴ 为有理数，与是无理数矛盾，因此③正确； ④ 推断“一个有理数与一个无理数的积一定是无理数”，取有理数和无理数，，是有理数，因此④错误； 综上，正确的推断只有个． 【变式 1‑3】在数0、、2025、、、（相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数有（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数，据此逐项判断即可解答． 【详解】解：0是整数，属于有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； 2025是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； ，仍含开方开不尽的部分，属于无理数； （相邻两个2之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数； 所以，无理数共4个． 【题型 2 无理数的大小估算】 【例 2】在实数，，，3中，最小的数是（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据，，，确定绝对值的大小，根据实数的大小比较，求解即可． 【详解】解：3是正数，，，均为负数， ∵正数大于负数， ∴3是最大的数； ，，的绝对值分别为，，，且，，， ∵， ∴， ∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∴， 故是最小的． 【变式 2‑1】大于且小于的整数的个数有（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过平方法比较平方数的大小，确定两个无理数的取值范围，再统计范围内的整数个数． 【详解】解：， 又， ， ， ，， 满足条件的整数有、、、0、1、2、3、4，共8个． 【变式 2‑2】如图，若数轴上的点，，，分别表示数，，，，则表示数的点应在（     ） A．点与点之间 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点与点之间 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， 表示数的点应在点与点之间． 【变式 2‑3】实数在数轴上的对应点位置如图所示，若，且是无理数，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴确定的取值范围，再结合以及是无理数这两个条件来确定的值即可． 【详解】解：由数轴可知， 所以， 因为，即， 选项A：，则，满足题意，且是无理数， 选项B：，不满足； 选项C：，则，不满足； 选项D：是分数，属于有理数，不满足是无理数这一条件． 【题型 3 实数的概念理解】 【例 3】已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质。是解决问题的关键． 根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③项正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴无理数也有无限个，故④项错误． ∴正确的是②③． 故选：B． 【变式 3‑1】下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 【答案】C 【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可． 【详解】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数和，它们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意； B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意； C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意； D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键． 【变式 3‑2】下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可． 【详解】解：①无理数都是实数，正确；②错误，实数包括无理数和有理数；③错误，无限循环小数是有理数；④错误，带根号的数不一定是无理数，如；⑤错误，不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 【变式 3‑3】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以为圆心，为半径画弧，交网格线于点，则的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意得出半径，以及直角边，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图， 由图可知，网格小正方形边长为1， ∴，，， ∵以为圆心，为半径画弧，交网格线于点， ∴ ， 在中，由勾股定理得： ． 【题型 4 实数的分类】 【例 4】若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数的分类即可求解． 【详解】解：若用A表示有理数，B表示无理数，C表示正整数，则能正确表示它们之间关系的是 【变式 4‑1】下列说法错误的是（    ） A．无限小数都是无理数 B．无理数也能用数轴上的点表示 C．无理数与无理数的和可能是有理数 D．无理数都是无限小数 【答案】A 【分析】本题考查无理数、有理数的基本概念，以及实数与数轴的关系，要求辨析各选项，找出错误的说法． 【详解】解：∵ 无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数， ∴ “无限小数都是无理数”的说法错误，A符合题意； ∵ 所有实数都可以用数轴上的点表示，无理数属于实数， ∴ 无理数能用数轴上的点表示，B说法正确，不符合题意； ∵ 例如和都是无理数，，0是有理数， ∴ 无理数与无理数的和可能是有理数，C说法正确，不符合题意； ∵ 无理数的定义是无限不循环小数，因此无理数都属于无限小数， ∴ “无理数都是无限小数”的说法正确，D不符合题意． 【变式 4‑2】下列说法中，正确的是（   ） A．有限小数一定是有理数 B．无限小数一定是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数两类 D．数轴上的所有点都对应有理数 【答案】A 【分析】本题考查的是实数的分类．根据实数的分类对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、有限小数一定是有理数，故本选项说法正确，符合题意； B、无限不循环小数一定是无理数，原说法错误，故本选项不符合题意； C、实数可以分为正实数和负实数和0，原说法错误，故本选项不符合题意； D、数轴上的所有点都对应实数，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式 4‑3】在实数，，，，，（相邻两个中间一次多个）中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数称为无理数是解题的关键．先化简，再根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数． 【详解】解：∵（有理数），是有限小数（有理数），是循环小数（有理数），是无理数，是无理数，是无限不循环小数（无理数）， ∴无理数有个． 故选：B． 【题型 5 实数与数轴】 【例 5】如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再根据中点的定义求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵数轴上表示2，的点分别为点C，点B， ∴， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴点A表示的数为． 【变式 5‑1】如图，，过点A作直线，点B在直线l上，，以点O为圆心，以长为半径作弧，与的延长线交于点C，则点C表示的实数是（     ） A． B． C．7 D．29 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出的长，则可得到的长，据此可得答案． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理得， ∴ ，故点C表示的实数是． 【变式 5‑2】实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数轴得，，再利用实数的加减乘除运算法则逐项判断即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴，，，， 故选项A、B、C正确，不符合题意，选项D错误，符合题意． 【变式 5‑3】如图，在数轴上点A所对应的实数是2，过点A作且，以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C对应的实数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由点的坐标得出的长，再利用勾股定理求出的长，根据圆的半径相等得出，最后由实数与数轴上点的对应关系求解即可． 【详解】解：点所对应的实数是2， ， ， ， 在 中，，， 由勾股定理可得， 以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点， 点对应的实数为． 【题型 6 实数的大小比较】 【例 6】如图，家用小型长方体保温箱，蚂蚁位于保温箱底部处，它想到箱体顶部点寻找掉落的面包碎屑，它沿长方体的侧面爬行的最短距离是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三种情况，展开长方体的侧面，分别利用勾股定理求出的长，比较大小即可． 【详解】解：展开长方体的侧面（如图），连接， 由勾股定理得， 图（1）中， 图（2）中， 图（3）中， ， 它沿长方体的侧面爬行的最短距离是10． 【变式 6‑1】设，，是互不相等的实数，且，下列式子正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题中A，B无法确定，，的大小关系，只需利用等式的基本性质对已知等式变形，即可验证C，D选项得到结论． 【详解】解：∵， 等式两边同乘得， 验证选项C：右边，将代入得左边，因此C正确； 验证选项D：右边，因此D错误； 对于A，B：仅根据无法确定a，b，c的大小， 例如，当时，，满足，当时，，满足，因此A，B都不一定正确． 故选：C． 【变式 6‑2】若，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算及有理数的大小比较；解题的关键是熟练掌握相关运算法则，准确计算出各数的值后再进行大小比较． 【详解】解：先分别计算a，b，c，d的值： ；；；． 比较大小：，即． 【变式 6‑3】下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小，先估算无理数的范围，再比较所有数的大小即可得到结果． 【详解】解：∵，即， 计算各负数的绝对值：，，， 可得绝对值大小关系：， ∴原数大小关系为：， 因此最小的数是． 【题型 7 勾股定理与无理数】 【例 7】如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出（如图），再根据数轴求出答案． 【详解】解：如图， 由勾股定理知， ． 又点在数轴的负半轴上， 的值为． 【变式 7‑1】如图，在正方形中，顶点分别与数轴上表示数1，3的点重合．将正方形绕点顺时针旋转一周，正方形的边与数轴的交点所表示的数中，最大的数为（     ） A．5 B． C． D．9 【答案】C 【详解】解：正方形的顶点中到点距离最远的是点，易得， 点到点的距离为， 顶点与数轴上表示1的点重合， ∴当点在数轴原点的右侧时，点到原点的距离为，正方形的边与数轴的交点所表示的数最大为， 故选C． 【变式 7‑2】如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出的长，再根据数轴上点的位置关系求解． 【详解】解：由图可知，点表示的数为1， 在网格中构造以为斜边的直角三角形，两直角边长分别为1和3， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点， ∴， ∵点在点的右侧， ∴点表示的数为． 【变式 7‑3】如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，于点B，且．连接，在上截取，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出的长，再结合求出的长，最后根据圆的半径相等得出的长，从而确定点表示的数． 【详解】解：由题意可知，点表示，点表示， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点， ∴， ∵点表示的数为，且点在点的右侧， ∴点表示的实数是． 【题型8 实数的性质】 【例8】的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义直接求解即可． 【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数， 的相反数为， 故选C． 【变式8-1】下列事件中，属于随机事件的是（ ） A．若是实数，则 B．任取两个无理数，其差是无理数 C．已知，则 D．若、互为倒数，则 【答案】B 【分析】本题考查事件的分类，实数的性质，根据实数的性质，无理数的含义逐一判断各选项属于必然事件、不可能事件还是随机事件即可． 【详解】解：选项A：实数的绝对值必定非负，故恒成立，属于必然事件． 选项B：任取两个无理数，其差可能是无理数（如与的差为），也可能是有理数（如与的差为）．结果具有不确定性，属于随机事件． 选项C：根据平方根的定义，存在的前提是，故必然成立，属于必然事件． 选项D：若、互为倒数，则，而显然矛盾，属于不可能事件． 综上，只有选项B是随机事件． 故选：B 【变式8-2】已知，且是整数，则所有值的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的性质，无理数的估算，由条件可得或，结合，，是整数，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴或， ∵，，是整数， ∴的值为，，，，，； ∴所有值的个数有个， 故选：B． 【变式8-3】下列说法正确的是（   ） A．含有无限小数的数都是无理数 B．含有根号的数都是无理数 C．任何实数都有倒数，相反数和绝对值 D．任何实数在数轴上都能找到唯一对应的点 【答案】D 【分析】本题考查了无理数“无限不循环小数是无理数”、倒数“乘积为1的两个数互为倒数”、相反数“只有符号不同的两个数互为相反数”、实数与数轴，熟练掌握实数的性质是解题关键．根据无理数、倒数、相反数、绝对值、实数与数轴逐项判断即可得． 【详解】解：A、无限不循环小数是无理数，则此项错误，不符合题意； B、含有根号的数不一定是无理数，如，则此项错误，不符合题意； C、任何实数都有相反数和绝对值，但实数没有倒数，则此项错误，不符合题意； D、任何实数在数轴上都能找到唯一对应的点，则此项正确，符合题意； 故选：D． 【探究式学习】 1．（25-26七年级下·广东肇庆·期末）探究：如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)若图所得到的大正方形面积为，即小正方形的对角线长为________； (2)如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________． (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的边长________；如图，请借鉴（2）中的方法在数轴上找到点，使点所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）求出正方形的边长可得结论； （2）根据正方形的对角线长为，求出点表示的数，可得结论． （3）利用分割法求出阴影部分的面积即可；再画出点即为所求． 【详解】（1）解：面积为2的大正方形的边就是原先边长为1的小正方形的对角线长， 小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即； （2）解：圆心在数轴上表示的点，半径为正方形对角线长， 如图中小正方形对角线长为 ∴原点与之间的距离为， 点在圆心左侧， 因此点表示的数为； （3）解：阴影部分的面积， 正方形的边长为． 作图步骤（对应图）： 以数字所在的点为圆心，沿数轴向右取个单位，过该点作数轴垂线向上截取单位，连接所在的点和垂线端点，由上述得该长方形的对角线长为，以该长度半径画弧，与数轴的其中一个交点即为表示的点，图略 2．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 【答案】(1)5；6 (2)方法一：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计， ∴，， ∴． 方法二：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【分析】（1）根据即可得出； （2）根据题干提供的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即； （2）略 【课后检测】 1．（26-27八年级上·海南省直辖县级单位·开学考试）下列各数中，不是有理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的定义：整数和分数统称为有理数，有限小数、无限循环小数都属于有理数，进行解答，即可． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是无限不循环小数，不是有理数，符合题意； D、是有理数，不符合题意． 2．（2026·江苏淮安·中考真题）下列实数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正数大于0，0大于负数比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个实数中，最大的数是． 3．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）在2，，，10，8.19，六个数中，非负数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：题中的非负数有2，10，8.19，，共4个． 4．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列结论正确的有（    ）个． （1）规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴；（2）没有最小的整数；（3）正有理数，负有理数和零统称为有理数；（4）数轴上的点只表示有理数；（5）数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，该结论正确； （2）整数包含负整数，负整数可无限小，没有最小的整数，该结论正确； （3）正有理数、负有理数和零统称为有理数，该结论正确； （4）数轴上的点可表示全体实数，并非只表示有理数，该结论错误； （5）数轴上原点表示的0既不是正数也不是负数，该结论错误； 综上，正确的结论有3个． 5．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列说法正确的是（     ） A．无理数一定是无限不循环小数 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数一定是无理数 D．实数分为正实数和负实数 【答案】A 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数， ∴A选项说法正确； ∵无限小数包含无限循环小数与无限不循环小数，无限循环小数是有理数， ∴B选项说法错误； ∵举例，是有理数， ∴C选项说法错误； ∵实数分为正实数、0、负实数， ∴D选项说法错误 6．（25-26八年级下·云南红河·期末）以下列长度的三条线段为边长，能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理，验证各选项中两较短边的平方和是否等于最长边的平方，求解即可． 【详解】解：A．最长边为，，，得，符合要求； B．最长边为，，，，故，不符合要求； C． 最长边为6，，，，故，不符合要求； D． 最长边为，，，，故，不符合要求． 7．（七年级下·四川德阳·期中）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据正方形面积公式求出边长，由得出长度，结合点坐标及点位置求解． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数为，且由图可知点在点左侧， ∴点表示的数为． 8．（25-26八年级下·广东珠海·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形，，，的面积分别是9，25，4，16，则最大正方形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】解：如图， 根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为，C、D的面积和为，， 即． 9．（25-26七年级下·江西·期末）如图，若数轴上的点，，，表示数，，，，则表示数的点应在（     ） A．，之间 B．，之间 C．，之间 D．点右侧 【答案】B 【分析】先估算出的范围，进而求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故表示数的点应在，之间． 10．（24-25七年级下·全国·周测）已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了进行实数大小比较的能力，关键是能准确运用作差法进行比较． 通过计算与的差以及与的差，利用平方根的性质比较大小，即可得到这三个数的大小关系． 【详解】解：∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ 综上，，即 . 故选：A． 11．（2026九年级上·全国·专题练习）比较大小：________． 【答案】 【详解】∵，， ∴． 12．（26-27八年级上·湖北襄阳·开学考试）写出一个比10小的无理数__________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】只需找出一个无限不循环小数，且数值小于的数即可． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数，， ∴是符合要求的无理数，本题答案不唯一． 13．（26-27九年级上·北京·开学考试）比较大小：______． 【答案】 【分析】先比较两个数的绝对值，将整数化为二次根式形式，再根据负数比较大小的规则判断，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 14．（26-27九年级上·广东惠州·开学考试）如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点表示的数是，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧），则点E表示的数为_________． 【答案】/ 【分析】由勾股定理可得的长，再根据作图得出的长，即可求解． 【详解】解：由图可得，， 在中，， 在中，， ∵以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点E， ∴， ∴点E表示的数为． 15．（26-27八年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，，在数轴上对应的点分别为，点是的中点，则数轴上点表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴的特征，以及两点间的距离的求法，解题的关键是要熟练掌握这些内容． 设表示的数是，根据，求出的值即可． 【详解】解：设表示的数是， ∵， ∴ ∴． 16．（25-26七年级上·福建福州·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号里：，，0，，1.5，，． 整数集合：{___________…}； 正数集合：{___________…}； 分数集合：{___________…}； 非负有理数集合：{___________…}． 【答案】；；； 【分析】根据实数的概念分类即可． 【详解】解：， 整数集合：； 正数集合：； 分数集合：； 非负有理数集合：． 17．（26-27八年级上·全国·课后作业）完成下列表格： 实数 相反数 绝对值 【答案】补全表格如下： 实数 相反数 绝对值 【分析】根据相反数的定义和绝对值的性质，逐个计算对应结果即可． 【详解】解：由题意得，的相反数是； 的相反数是； 的相反数是； 的相反数是； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 18．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，后来演变为一项民俗娱乐活动．小明买了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度． (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)解：不能成功，说明如下： 如图所示，延长至点，连接，使得， ． 在中，由勾股定理得． ，余线仅剩， ∴风筝线的总长度为， ∵， ∴， ∴不能成功． 【分析】（1）过点作于点，则四边形是矩形，可得，，在中，根据勾股定理求出 的长即可求解； （2）延长至点，连接，使得，利用勾股定理求出的长，再与风筝线的总长度比较即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∴， 由题意得，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ， 答：风筝离地面的垂直高度为． （2）略 19．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，半径为 个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合．（所有结果均保留） (1)若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点，设点表示的数为．求的值： (2)若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：，，，，． ①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，点运动的路程共有多少？此时点所表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)①第四次滚动距离原点最近，第三次滚动距离原点最远； ②点运动的路程共有，此时点所表示的数是 【分析】（1）将的值代入，计算算术平方根即可得； （2）①分别求出第次滚动后，点距离原点的距离，由此即可得； ②先将滚动记录的数字的绝对值相加，再乘以即可得点运动的总路程；先将滚动记录的数字相加，再乘以即可得此时点所表示的数． 【详解】（1）解：该圆片滚动一周的距离为， ∵该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点， ∴点表示的数； （2）解：①第1次滚动后，，点距离原点2周， 第2次滚动后，，点距离原点1周， 第3次滚动后，，点距离原点4周， 第4次滚动后，，点在原点处， 第5次滚动后，，点距离原点3周， 由此可知，第4次滚动后，点距离原点最近；第3次滚动后，点距离原点最远； ②∵， ∴当圆片结束运动时，点运动的路程共有； ∵， ∴当圆片结束运动时，此时点所表示的数是． 20．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）小红：如图是课本第71页的部分内容，你理解这部分内容吗？能用类比的方法说明是无理数吗？ 小明：好的． 求证：是无理数． 证明是无理数我们可以用反证法证明是无理数： 假设不是无理数，那么是有理数．有理数都可以写成分数形式（m，n是整数，），所以可以写成（m，n是正整数，且没有大于1的公约数），即． 根据平方根的意义，，即，． 由于上式左边是偶数，所以右边也是偶数，从而可知m是偶数． 设（p是正整数）， 把代入，得，即． 因此n也是偶数． 于是，m，n都是2的倍数，这与m，n没有大于1的公约数相矛盾． 因此假设不成立，不是有理数，它是无理数． 【答案】 证明：假设不是无理数，那么是有理数． 设（m，n是正整数，且没有大于1的公约数）， 根据平方根的意义：，即． ∴． 由上式右边是3的倍数， ∴是3的倍数，分解质因数时必有质因数3， ∴m一定有质因数3（或m是3的倍数）． 设（p为正整数）， ∴． ∴． ∴． ∴是3的倍数． ∴n是3的倍数． 这样m，n都是3的倍数，与m，n没有大于1的公约数矛盾． ∴不可能写成的形式（m，n是正整数，且最大公约数是1）． ∴是无理数． 【分析】本题考查了用反证法说明是无理数，假设不是无理数，那么是有理数，设（m，n是正整数，且没有大于1的公约数），证明m，n都是3的倍数，与m，n没有大于1的公约数矛盾，故不可能写成的形式（m，n是正整数，且最大公约数是1），即可得证． 【详解】略 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 34 页 ·第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第04讲 认识实数 （新教材北师大版） 知识点一、无理数 2 知识点二、实数 2 知识点三、实数的性质 3 知识点四、实数与数轴上的点的关系 3 知识点五、实数的运算 4 【题型1 无理数】 4 【题型2 无理数的大小估算】 5 【题型3 实数的概念理解】 5 【题型4 实数的分类】 6 【题型5 实数与数轴】 6 【题型6 实数的大小比较】 7 【题型7 勾股定理与无理数】 8 【题型8 实数的性质】 9 【探究式学习】 10 【课后检测】 12 【复盘笔记】 17 知识点一、无理数 无限不循环小数叫做无理数 常见的无理数类型： （1）一般的无限不循环小数，如：1.41421356··· （2）看似循环而实际不循环的小数（有规律），如0.1010010001···（相邻两个1之间0的个数逐次加1）；0.12345678···（连续不断地依次写正整数）。 （3）有特定意义的数，如：π=3.14159265··· 知识点二、实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 知识点三、实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 知识点四、实数与数轴上的点的关系 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 我们尝试用数轴上的一个点来表示． 由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． 这样，就在数轴上确定一个点来表示． 要点：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。 知识点五、实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 【题型 1 无理数】 【例 1】下列结论正确的是（     ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个有理数都能用数轴上的点表示； ③实数与数轴上的点一一对应；④开方开不尽的数是无理数 A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【变式 1‑1】关于的叙述，下列不正确的是（     ） A．是无理数 B．在数轴上可以找到表示的点 C． D．周长为8的正方形的边长是 【变式 1‑2】有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式 1‑3】在数0、、2025、、、（相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数有（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型 2 无理数的大小估算】 【例 2】在实数，，，3中，最小的数是（     ） A． B． C． D．3 【变式 2‑1】大于且小于的整数的个数有（     ） A． B． C． D． 【变式 2‑2】如图，若数轴上的点，，，分别表示数，，，，则表示数的点应在（     ） A．点与点之间 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点与点之间 【变式 2‑3】实数在数轴上的对应点位置如图所示，若，且是无理数，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【题型 3 实数的概念理解】 【例 3】已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【变式 3‑1】下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 【变式 3‑2】下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式 3‑3】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以为圆心，为半径画弧，交网格线于点，则的长为（    ） A． B． C． D．3 【题型 4 实数的分类】 【例 4】若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式 4‑1】下列说法错误的是（    ） A．无限小数都是无理数 B．无理数也能用数轴上的点表示 C．无理数与无理数的和可能是有理数 D．无理数都是无限小数 【变式 4‑2】下列说法中，正确的是（   ） A．有限小数一定是有理数 B．无限小数一定是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数两类 D．数轴上的所有点都对应有理数 【变式 4‑3】在实数，，，，，（相邻两个中间一次多个）中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型 5 实数与数轴】 【例 5】如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（     ） A． B． C． D． 【变式 5‑1】如图，，过点A作直线，点B在直线l上，，以点O为圆心，以长为半径作弧，与的延长线交于点C，则点C表示的实数是（     ） A． B． C．7 D．29 【变式 5‑2】实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式 5‑3】如图，在数轴上点A所对应的实数是2，过点A作且，以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C对应的实数为（     ） A． B． C． D． 【题型 6 实数的大小比较】 【例 6】如图，家用小型长方体保温箱，蚂蚁位于保温箱底部处，它想到箱体顶部点寻找掉落的面包碎屑，它沿长方体的侧面爬行的最短距离是（   ）． A． B． C． D． 【变式 6‑1】设，，是互不相等的实数，且，下列式子正确的是(     ) A． B． C． D． 【变式 6‑2】若，，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式 6‑3】下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C． D．0 【题型 7 勾股定理与无理数】 【例 7】如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【变式 7‑1】如图，在正方形中，顶点分别与数轴上表示数1，3的点重合．将正方形绕点顺时针旋转一周，正方形的边与数轴的交点所表示的数中，最大的数为（     ） A．5 B． C． D．9 【变式 7‑2】如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【变式 7‑3】如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，于点B，且．连接，在上截取，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（     ） A． B．1 C． D． 【题型8 实数的性质】 【例8】的相反数是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】下列事件中，属于随机事件的是（ ） A．若是实数，则 B．任取两个无理数，其差是无理数 C．已知，则 D．若、互为倒数，则 【变式8-2】已知，且是整数，则所有值的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式8-3】下列说法正确的是（   ） A．含有无限小数的数都是无理数 B．含有根号的数都是无理数 C．任何实数都有倒数，相反数和绝对值 D．任何实数在数轴上都能找到唯一对应的点 【探究式学习】 1．（25-26七年级下·广东肇庆·期末）探究：如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)若图所得到的大正方形面积为，即小正方形的对角线长为________； (2)如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________． (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的边长________；如图，请借鉴（2）中的方法在数轴上找到点，使点所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 2．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 【课后检测】 1．（26-27八年级上·海南省直辖县级单位·开学考试）下列各数中，不是有理数的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏淮安·中考真题）下列实数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）在2，，，10，8.19，六个数中，非负数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列结论正确的有（    ）个． （1）规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴；（2）没有最小的整数；（3）正有理数，负有理数和零统称为有理数；（4）数轴上的点只表示有理数；（5）数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列说法正确的是（     ） A．无理数一定是无限不循环小数 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数一定是无理数 D．实数分为正实数和负实数 6．（25-26八年级下·云南红河·期末）以下列长度的三条线段为边长，能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．（七年级下·四川德阳·期中）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·广东珠海·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形，，，的面积分别是9，25，4，16，则最大正方形的面积是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·江西·期末）如图，若数轴上的点，，，表示数，，，，则表示数的点应在（     ） A．，之间 B．，之间 C．，之间 D．点右侧 10．（24-25七年级下·全国·周测）已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 11．（2026九年级上·全国·专题练习）比较大小：________． 12．（26-27八年级上·湖北襄阳·开学考试）写出一个比10小的无理数__________． 13．（26-27九年级上·北京·开学考试）比较大小：______． 14．（26-27九年级上·广东惠州·开学考试）如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点表示的数是，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧），则点E表示的数为_________． 15．（26-27八年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，，在数轴上对应的点分别为，点是的中点，则数轴上点表示的数是______． 16．（25-26七年级上·福建福州·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号里：，，0，，1.5，，． 整数集合：{___________…}； 正数集合：{___________…}； 分数集合：{___________…}； 非负有理数集合：{___________…}． 17．（26-27八年级上·全国·课后作业）完成下列表格： 实数 相反数 绝对值 18．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，后来演变为一项民俗娱乐活动．小明买了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度． (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 19．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，半径为 个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合．（所有结果均保留） (1)若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点，设点表示的数为．求的值： (2)若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：，，，，． ①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，点运动的路程共有多少？此时点所表示的数是多少？ 20．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）小红：如图是课本第71页的部分内容，你理解这部分内容吗？能用类比的方法说明是无理数吗？ 小明：好的． 求证：是无理数． 证明是无理数我们可以用反证法证明是无理数： 假设不是无理数，那么是有理数．有理数都可以写成分数形式（m，n是整数，），所以可以写成（m，n是正整数，且没有大于1的公约数），即． 根据平方根的意义，，即，． 由于上式左边是偶数，所以右边也是偶数，从而可知m是偶数． 设（p是正整数）， 把代入，得，即． 因此n也是偶数． 于是，m，n都是2的倍数，这与m，n没有大于1的公约数相矛盾． 因此假设不成立，不是有理数，它是无理数． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 34 页 ·第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $