重庆市第八中学校2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

数学参芳答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 2 3 5 6 答案 C A A D C B A C 【解析】 1.由题意可知，角0的终边不在坐标轴上.若角0为第二象限角，则tan0<0;若tan0<0, 角0为第二或第四象限角.因此，tanB<0是角0为第二象限角的必要不充分条件，故选C. 2.∠A=1358,∠B=15°，故∠C=180-1350-15°=30°，由正弦定理得4B=BC ，即 sinC sinA BC S030°=125o,·BC=×2=2√2，故选A 12 3.由题意得2(sina-cosa)=sina+cosa,则sina=3cosa,则tana=snc=3,故选A cosa 4.因为数列{an}为等差数列，则S4=2(a+a4)=20,即a,+a4=10,且a=2,则a4=8, 可得公差d=a-4=2,所以a=4+d=4,故选D. 4-1 5.甲丙两人插剩余三人空，考虑甲乙相邻，则排法数为A·A,·A;=36,则满足要求的方法 数为36种.也可以仅考虑甲乙相邻排法数为A?·A4=48,甲与乙相邻且甲与丙相邻排法 数为A?·A=12,则满足要求的方法数为48-12=36，故选C. 6.f'(x)=2f'(0)cos2x+1→f'(0)=2f'"(0)+1→f'(0)=-1,故f(x)=x-sin2x→f'(x)= 1-2o2x±)=0且e（至君时，>0，f0)单调递增： xe(名君时，f<0,)单调递减：e(后时， f(x)单调递增，所以f(x)在 (受引内的极大值点- ,故选B. 6 数学参考答案·第1页（共11页） 口■■口口■口■■■口 7.因为tana+tanB=3,a+B=T,所以sina+sinB_sina cosB+-sin Bcosa_ sin(a+B) 4 cosa cos B cosacos B cosa cos B Sin a √2 4 2 cosacos B cosacos B =3，所以cosc= cos(a+B)=cosacos B-sinasin B 6 =,所以sinasin B2-号=-3，所以cos(a-P月=cos a cosB+sin asin =巨22 故选A. 63 6 8.已知条件等价于 任-小恒成立，设兰，则，故 x2 x∈(0,1)时，f"(x)<0,f(x)单调递减：x∈(1，+o)时，f'(x)>0,f(x)单调递增；故f(x) 有最小值f0=e.同理：设g=nx,则g(x)在(0，e)上单调递增，(e,+0)上单调递减， 故g)有最大值ge)=,故≤a≤e时，g-≥0，n-a≤0， e e ms-a)o 选项中只有。满足，故选C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 BCD BD ACD 【解析】 9.由幂函数的定义可得：22+2k-3=1一k2+k-2=0三k=-2或1，又由于f(x)定义域不 为R,故=-2今)=子→0=1，且)为偶函数，对于D, 1 =(x+x2)2, f(+x) 1 )=X足，、三x,因为正数px,故有(x+=x+发+2x>x+号，故D正 确，故选BCD. 10.当)为奇函数时，k=-1,)=e-e門→)=e+e)>0,f)为单调（递 增)函数，故A错误；且x→-o时，f(x)→-0，x→+o时，f(x)→+o,故f(x)的值 域为R,故B正确；当f(x)为偶函数时，k=1时， 数学参考答案·第2页（共11页） 口■■口口■口■■■口 f)e+e)→f2)=e2+e故f2)=2fa)-l,故C错误：对于D,设 1=e+ee2则r-2=e+e,故0)-2e-2)-1--3≥2 当1=2时，f(2x)-2f(x)取得最小值为-1，故D正确，故选BD. 1A由o-a+角am引片+哥引片a=am号 8=©m+君引-骨则em4=s8-子由于在(mm+引内有级大值，设有最 小值，不取=-+2,8-+2a,则△0=4-日=故- 3 ，解得 63 0=4:B.令4x-于x+2,得x=子经ke,令=0-，得x=骨名所以 3 2 在引有2个点：c)=)手0om胃引=o如r骨引=号 3 3 2 <骨，得旺引低四所以sm4到 m4}专·且24-0（受0）·所以o2-训>0故 到m引m4引4卦ma引 2c0s2(2x-2x2)-1=cos(4x-4x2) 得cos(2x-2x,)=号 3；D 令 8=--}-10，有x引m引m-}得 4-=x-+2或4x-= 3 +2年+2m,解得x=-+2或x=+2,故零点 3 9+3 5 5 .7π9π 版次为玩11斤1或号，行，所以各零点和为 9’9’91 3 故选ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 6 5 a∈(0,1) 3 数学参考答案·第3页（共11页） 口■■口口■口■■■口 【解析】 2.由a>06>0,得如20-2+名+02+22号 .o=2+46,当且仅当白-如 a b a b a b 即b=2a时取等号. 13.法一：f)=asn2x+cos2x=厅+1sn2x+0)，左平移胥个单位得到 x+引m2x++,其关于（侵0 中心对称则有 π+ 3 3 ,tmn==5,故a= 3 法二，半移后g=am2x+)+2x+),由于其定义拔为R,又关于 3 14.h(x)的定义域为(-1，+o),f(0)=0,注意到g(-1)=0,g(x)=(x+1)x2-2x+a),由h(x) 的定义知，h(x)≤f(x),h(x)≤g(x),h(x)的零点首先必为f(x)或g(x)的零点.由于 x∈(-l,0)时，f(x)<0,hx)≤f(x)<0，故f(x)在(0，)内无零点： x=0时，f(0)=0,g(0)=a,若a≥0，则h0)=0:若a<0,则h0)=a<0: x∈(0，+o)时，f(x)>0,故f(x)在(0，+o)内的零点即为g(x)的零点；由于 g(x)=(x+1)(x2-2x+a)在(0，+o)内的零点即为x2-2x+a=0的根（最多2个），所以： 要使得h(x)有三个零点，在这三个零点的构成为：0，x2,x3,其中x2,x为x2-2x+a=0 a≥0 △=4-4a>0 的两个正根故 →ae(0,1). x1+x2=2>0 xx=a>0 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1) 组别 数学成绩优秀 数学成绩非优秀 合计 AI辅助学习时间达到30分钟 70 50 120 AI辅助学习时间不足30分钟 30 50 80 合计 100 100 200 (2分) 数学参考答案·第4页（共11页） 口■■口口■口■■■口 4-把四子44.03 …(6分) P(B)120121 PB)808 (2)零假设H:高三学生每天使用AI辅助学习时间与数学成绩优秀无关（即两个分类变 量相互独立). …(7分) 200×(70×50-50×30)225 ≈8.333>6.635，…(11分) 120×80×100×100 3 根据小概率值=0.01的独立性检验，我们推断H。不成立，即认为每天使用AI辅助学习 时间与数学成绩优秀有关联，此推断犯错误的概率不超过0.01.…(13分) 评分标准附加： (1)只有最后结果无过程-2分，没有体现条件概率公式-2分，若用缩小样本空间的方法 说明样本点个数之比的不扣分。 (2)卡方没有列式-2分，零假设不规范-1分，下结论不完整-1分。 16.(本小题满分15分) (1)证明：如图1，记CD的中点为G,连接AG,GF,GF交CD 0 于点H,连接EH. 因为G,F分别为棱CD,C,D的中点，所以四边形AGFA为平 行四边形， 又因为E,H分别为AA,GF的中点，所以AF∥EH· 图1 因为AFE平面CD,E,EH∈平面CD,E, 所以AF∥平面CDE.… …(4分)》 (2)解：以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如 图2所示的空间直角坐标系D-z· 由已知可得， B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,2),E(2,0,1), CD=(0,-2,2),CE=(2,-2,1),BC=(-2,0,0). m·BC=0 设m=(x,为)是平面BCE的法向量，则 即 图2 m.CE=0 2x-2y+:=0'那么可取m=(0,12). -2x=0 设n=(p,9,r）是平面CD,E的法向量， 则 n.C0=0,即24+2r=0 n.CE=02p-2q+r=0 那么可取n=(1,2,2). 数学参考答案·第5页（共11页） 口■■口口■口■■■口 所以cos(m,)= m.n 0+2+4 625 mlV0+1P+22.√1P+22+223√5 5 …（15分) 评分标准附加： (1)未注明AF平面CDE-1分： (2)未说明建系过程-1分，求法向量未写出代数式，每个-1分. 17.(本小题满分15分) (1)解：法1：由抛物线定义可知：1MF=1+2=2,得P=2, 2 ∴.抛物线方程x2=4y.… (3分) 令点P4 则点P到直线I的距离 4 d 1G-22+4_-2+4互 v3 4√2 45 2 当且仅当x。=2时取等号. 所以动点P到直线ky=x-2的最小距离为 …(6分) 2 法2：由抛物线定义可知：1MF=1+2=2,得p=2, 2 .抛物线方程X2=4y.…(3分) 抛物线y=, 4 ·其切线斜率为y),要与直线：y=x-2平行 所以1，=2=1 切点为P(2,),切线为y=x-1 直线y=x-2与y=x-1的距离d=巨 因此最小距离为巨 ,…………(6分) 2)证明：设叫 则直线OA的斜率为k=,直线OB的斜率为 4 数学参考答案·第6页（共11页） 口■■口口■口■■■口 由于直线OA与OB关于y=-x对称，所以kk=1,即.立=1， 44 所以xX3=16.… …（10分) (提示：kk2=1的证明可用三种方法， 法1.到角公式： k2-(-1)(-)-k +k1+仁派，化简得= 法2.OA与0B的倾斜角a,B满足a+B,即B=江一&， 2 所以k2=tanB=tan 3π 11 ana无，得kk=l: 法3.设A(x,y)关于直线y=-x的对称点为A',则A(--x), 所以kr=k,即二主-上，得kk=1) -y x2 法1.设A(x,y》B(x乃)，由题意得x≠0，且≠五， 5 则直线AB的斜率存在，从而可设B方程为y=x+b,显然y:片4 将y=kc+b与x2=4y联立消去y,得x2-4x-4b=0,△=16k2+16b>0, 由韦达定理知x·X2=-4b=16,…(12分) 可得：b=4,…（14分) 所以AB方程为y=x-4,可知直线AB恒过定点(0，-4).…(15分) 法2.由前面已得：xx2=16, 为22 直线AB的斜率为44=与+生】 x2-x4 所以直线AB的方程为y 王=+3(x-x) 4 4 化简：y=+龙x- x x2 …(12分) 4 4 又x5=16,所以y=+x-4, …(14分) 4 所以直线AB恒过定点(0，-4).…(15分) 法3.由于直线OA与OB关于y=-x对称，所以ko4koB=1.…(10分) 数学参考答案·第7页（共11页） 口■■口口■口■■■口 设直线O1的斜率为k,则直线OB的斜率为云 直线OA:y=,与x2=4y联立：x2=4, 解得x=0或x=4k,所以A(4k,4K2). 4 同理，直线OBy=,与=4y联立：=， k 解得x=0或x= ,所以B 44 K2 …（12分) 4 42 直线AB的斜率为 k2 一=k+ 4 -4k 于是直线B的方程为y-4=（k+》x-4)。 化简得：y= k+x-4 …（14分) 所以直线AB恒过定点(O,-4) (15分) 说明：1.最值取等条件没说扣1分： 2.得出kk=1有三种方法，只写结论不写证明过程扣1分： 3.每问中不作答扣1分. 18.(本小题满分17分) (1)解：因为cos2A-√3sinA+2=0, 所以-2sin2A-√5sinA+3=0,… (2分) 解得nA=5或nA=-万（合去，所以4=吾 .…(4分) 3 3 5 …(6分) (2)证明：∠AD+背∠FDE+∠BDE=∠BDE+骨∠FD=∠BDE … …(9分) (3)解：记∠ADF=∠EFC=a,∠BDE=∠DFA=B, 设BE=m,EC=n,DE=x, m x n sinB sin B'sina sinC 数学参考答案·第8页（共11页） 口■■口口■口■■■口 m+n=a= sinB sina asin B x+ X,x= -(sin B=v3sinC). sin B sinC sin B sina sinB+√3sina sin B sinC …(13分) bsinA r= …(15分) sin 2π 3 -a+sina 4+万 2 54+万 5V4+万 2l25+-)sina+5osa个 (2+1)+3sin(a+o)24+sin(a+o) 2 5 tan= 取等. (17分) 2√5+1 评分标准附加： (1)A角求出来没舍去的-1，只列出余弦定理没解出来具体值-2分： (2)证明出来给满分，没证明出来不给分： (3)没取等-1分，若有其他解法酌情给分. 19.(本小题满分17分) (1)解：若F(x)的图象关于直线x=对称， 则有F行及=位+-sm经+f传小sm段 故/传+及列所以x=也为)的对称销，故a=-1. …(2分，未说明理由扣1分) 故F(x)=x2-x-sin元x,由于f(x)与-g(x)均在0， 上单调递减， 所以F(x)在 0习上单调递减，同理，F)在】 上单调递增 …(4分) (2)解：即对任意的x∈[0,1]，都有x2-x-ksin≤0成立， 由对称性，只需要x2-x-ksin元r≤0在x∈ 0,2 上成立即可， 令x=二，知k≥ …(5分) 2 现证k≥-时命题成立。 数学参考答案·第9页（共11页） 口■■口口■口■■■口 又由位- ，sn0,只需证-x+sn≤0即可。 1 令h(x)=x2-x+-sinr, h)=2x-1+os,M到=2- ……(6分) 由于h'(x)在 上单调递减，(O)=2>0, 故存在0<m<号使得h'(m)=0,且(0，m)上h(x)>0,hx)单调递增， 叫，】上)<0，)单调递减，…(8分》 又h0)=-1+<0， 2 0,则hm)>0,故存在0<m<2 使得h(m,)=0,且(O,m,)上h(x)<0,h(x)单调递减， m2:2 上h(x)>0,h(x)单调 递增，… …(10分) 面0=)-0，放0，所以2产-号 …(11分)》 (3)证明：由(2)知-sin元r≥4(x2-x), …(13分) 不妨设0≤，<7<，记G(x)=b的两根为0Sx<)<1, 4b1 故有x-=2+4 b,1 …（14分) 现证x'≤x和x2≥x [F(x)≥G(x) 由F(x)≥G(x),x∈[0,1]，故 →G(x')≥G(x) b=F(x)=G(x) 又0长<兮05气<分均位于G的单调递减区间， 数学参考答案·第10页（共11页） 口■■口口■口■■■口 由G(x')≥G(x)知x'≤x,同理可得x'≥x2 故x≤x,x2≥x2,x2-x≤x-x= 46 +1,命题得证.…(17分) 补充(3)法二： 由于函数F)的图象关于x=对称，不妨设方程Fx)=b的两根X，x,满足 0s5. 且x+x2=1,故x32-x=1-2x·… …(13分) 由F(x)=b→b=x2-x,-sinx,要证|x1-x2 +1 即证0-2x≤x-sm)+.- …(15分) -X≤4sin…（ 由第(2)问，上式已成立，故原命题成立.…(17分) 评分标准附加： (1)问只给a=-1,未出说明理由，或者赋具体值得到a=-1,未证明对任意x∈[0，] 成立扣1分： (3)问中法一直接由由F(x)≥G(x)得到x≤x,x≥x2,或者借助图象，无代数证明， 均需扣3分 数学参考答案·第11页（共11页） 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．是角为第二象限角的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 2．已知的内角，，的对边分别为，，，，，，则 A． B． C． D． 3．已知，则 A．3 B． C． D． 4．记为等差数列的前项和，，，则 A．7 B．6 C．5 D．4 5．甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，若甲和乙相邻，且甲和丙不相邻，则不同的排列方式共有 A．24种 B．30种 C．36种 D．42种 6．已知函数，则在内的极大值点为 A． B． C． D． 7．已知，，则的值是 A． B． C． D． 8．若对任意，，则实数的值可以是 A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知幂函数的定义域不为，则 A． B． C．为偶函数 D．对任意正数，，都有 10．设，则 A．当为奇函数时，不是单调函数 B．当为奇函数时，的值域为 C．当为偶函数时， D．当为偶函数时，的最小值为 11．已知函数（），且，在内有最大值，没有最小值，则下列结论正确的有 A． B．在上有且仅有1个零点 C．若，则 D．函数，的所有零点之和为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．设，，则的最小值为__________． 13．已知将函数的图象向左平移个单位后，所得的函数图象关于点中心对称，则实数__________． 14．已知函数，，设，若有三个零点，则的取值范围是__________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 为探究高三学生每天使用AI辅助学习时间与数学成绩之间的关系，某市重点中学随机抽取了200名高三学生开展问卷调查，将数学成绩分为优秀、合格、不合格3个等级，统计数据如下： 组别 数学成绩优秀 数学成绩合格 数学成绩不合格 合计 AI辅助学习时间达到30分钟 70 42 8 120 AI辅助学习时间不足30分钟 30 48 2 80 合计 100 90 10 200 （1）填写如下列联表： 组别 数学成绩优秀 数学成绩非优秀 合计 AI辅助学习时间达到30分钟 AI辅助学习时间不足30分钟 合计 现从被调查的200名学生中任选一人，A表示事件“选到的人数学成绩优秀”，B表示事件“选到的人每天使用AI辅助学习时间达到30分钟”，求，的值； （2）依据小概率值的独立性检验，分析高三学生每天使用AI辅助学习时间与数学成绩优秀是否有关． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（本小题满分15分） 如图1，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 17．（本小题满分15分） 已知抛物线（）的焦点为，抛物线上一点到点的距离为2． （1）求抛物线上的动点到直线：的最小距离； （2）设，是抛物线上异于原点的两个不同点，直线和关于对称，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 18．（本小题满分17分） 已知锐角的内角，，的对应边分别为，，，，，如图2，，，分别在边，，上，且为等边三角形． （1）求的值及； （2）证明：； （3）求边的最小值． 19．（本小题满分17分） 已知定义在上的三个函数，，，其中的图象关于直线对称． （1）求的单调区间； （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围； （3）若方程有两个不等实根，，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $