重庆市彭水第一中学校2026-2027学年高三9月月考考前数学模拟试卷

**基本信息** 高三数学月考模拟卷以基础巩固为核心，通过射击统计、昆虫产卵回归分析等真实情境及双纽线创新题型，分层考查数学抽象、逻辑推理和数据观念，适配一轮复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|集合运算、复数运算、三角函数等|基础知识点全面，注重概念辨析| |多选题|3|统计量、三角形判断、双纽线性质|引入数学文化（双纽线），考查批判性思维| |填空题|3|抛物线焦点、独立事件概率、三角函数单调性|强调知识应用，渗透数学建模| |解答题|5|回归分析、立体几何证明、函数与数列综合、椭圆综合|结合科学情境（回归分析），突出逻辑推理与运算能力，贴近高考命题趋势|

彭水一中高2027届高三数学9月月考考前模拟试卷 一、单选题 1．已知集合，则等于（    ） A． B． C． D． 2．的展开式中的系数为 A．-40 B．-10 C．40 D．30 3．若复数，则的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 4．已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 5．若，则有（    ） A． B． C． D． 6．已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 7．已知，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 8．设是同一个半径为2的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．为了弘扬奥运会中我国射击队员顽强拼搏的奋斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射击比赛，得到8名同学的射击环数如下：（单位：环），则这组样本数据的（    ） A．极差为4 B．平均数是8 C．上四分位数是9 D．方差为4 10．对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A．若，则△ABC为等腰三角形 B．若，，，则符合条件的△ABC有两个 C．若，则△ABC为等腰直角三角形 D．若，则△ABC是钝角三角形 11．数学中有许多形状优美的曲线，如图形状类似数字“8”的曲线叫双纽线．我们把在平面中，到定点的距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.曲线是当时的双纽线，是曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（   ）    A．曲线关于轴，轴，原点均对称 B．点的横坐标的取值范围是 C．的最大值是 D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 三、填空题 12．抛物线的焦点坐标为__________． 13．小王和小陈两名实习生每人各加工一个零件，若小王加工的零件为一等品的概率为，小陈加工的零件为一等品的概率为，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为___________. 14．已知函数在上单调，且，则正数的值为__________． 四、解答题 15．某研究所为了研究某种昆虫的产卵数与温度之间的关系，现将收集到的温度和一组昆虫的产卵数的6组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计数据． 经计算得到以下数据：，． (1)若用线性回归模型来拟合数据的变化关系，求y关于x的回归方程（结果精确到0.1）； (2)若用非线性回归模型来拟合数据的变化关系，求得关于的回归方程，且相关指数为． ①试与（1）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好； ②用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该组昆虫的产卵数（结果四舍五入取整数）． 附参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：，相关系数：．参考数据：． 16．如图三棱柱中，底面是边长2为等边三角形，，分别为，的中点，，. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 17．已知函数． (1)若，求的最小值； (2)设数列前项和，若，求证：． 18．已知椭圆的长轴长为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)椭圆的左右顶点分别为，是直线上一点，直线分别交椭圆于点两点，连接交轴于点. （i）当最大时，求点的坐标； （ii）若，求的取值范围. 19．如图，已知直线，分别在直线，上，是，之间的定点，点到，的距离分别为，，.设. (1)用表示边，的长度； (2)若为等腰三角形，求的面积； (3)设，问：是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《彭水一中高2027届高三数学9月月考考前模拟试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C B B D B ABC ABD 题号 11 答案 ABC 1．D 【分析】由一元二次不等式解法可得，再由交集运算法则即可求出. 【详解】由中不等式变形得，解得，即， 又，所以可得． 故选：D． 2．D 【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】根据题意知，的展开式的通项公式为， ∴展开式中含项的系数为. 故选：D. 【点睛】本题考查了二项式定理的展开式、求二项式展开式的系数，属于基础题. 3．A 【分析】应用复数的除法和乘法运算化简，再应用共轭复数的概念即可求解. 【详解】因为，所以． 故选：A. 4．C 【分析】根据角的范围和同角三角函数之间的基本关系求出，结合诱导公式计算化简即可. 【详解】， ∵为锐角，∴， ∴ 故选：C． 5．B 【分析】由题意首先得，进一步，从而我们只需要比较的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较. 【详解】，所以， ， 又因为， 所以，即. 故选：B. 6．B 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质列式计算即得. 【详解】在等比数列中，，由，得， 又，则，于是，而，所以. 故选：B 7．D 【分析】由数量积运算律求出，再运用向量夹角公式，即可求解. 【详解】由， 得， 又，所以， 因为，所以与的夹角为， 故选：D 8．B 【分析】由正弦定理可求得外接圆半径r，进而可得球心O到平面的距离，结合球的性质可知三棱锥的高的最大值，即可得结果． 【详解】设的边长为a，则，所以， 设的外接圆的圆心为M，半径为r，则，得， 则球心O到平面的距离， 当共线且O位于之间时，三棱锥的高最大为， 此时三棱锥的体积也最大，最大值为 故选：B． 9．ABC 【分析】由平均数、上四分位数、极差、方差的概念计算后逐一判断即可. 【详解】将这组数据从小到大排序得， 对于A，这组数据的极差为，故A正确； 对于B，平均数为，故B正确； 对于C，因为，所以上四分位数为，故C正确； 对于D，方差为， 故D错误． 故选：ABC． 10．ABD 【分析】对于A，由余弦函数的性质判断，对于B，由正弦定理分析判断，对于C，由正弦定理统一成角的形式，再化简判断，对于D，利用正弦定理和余弦定理分析判断. 【详解】对于A，因为，，所以，所以为等腰三角形，故正确 对于B，由正弦定理得：， 因为，所以，即，所以或，则三角形有两解，故B正确； 对于C，在中，，由正弦定理得，即， 因为，所以或，即或， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，若，由正弦定理得，由余弦定理得，所以为钝角，所以是钝角三角形，故D正确； 故选：ABD． 11．ABC 【分析】由题定义可得双纽线方程.对于A，可分别用替换原方程的验证方程是否不变即可；对于B，可根据求出的范围；对于C，将双纽线方程分离出一个,再求另一侧的最大值；对于D，联立直线与双纽线方程，使其仅有唯一解即可. 【详解】根据双纽线的定义可得，,整理化简得： . 对于A：分别用替换原方程的,方程不变，故A正确； 对于B：对化成关于的一元二次方程得， ，舍去负根，得：. ,两边平方后化简， 得,解得, 即,故B正确. 对于C：易知当最大时，必不在坐标原点，因此可写为： ,当时取到等号， 因此,即双纽线上任意一点到原点的距离都不超过，故C正确. 对于D：直线与曲线一定有公共点,若直线与曲线只有一个交点， 联立与双纽线方程,整理得： ,解得或. 要使方程只有唯一解，则,解得或,故D错误. 故选：ABC. 12． 【分析】化成标准形式，结合焦点定义即可求解. 【详解】由，得，故抛物线的焦点坐标为． 故答案为： 13．/ 【分析】两个零件中恰好有一个一等品，即小王加工的零件为一等品且小陈加工的零件不是一等品，或小陈加工的零件为一等品且小王加工的零件不是一等品，计算概率即可. 【详解】小王加工的零件为一等品且小陈加工的零件不是一等品的概率为， 小陈加工的零件为一等品且小王加工的零件不是一等品的概率为， 所以两个零件中恰好有一个一等品的概率为. 故答案为：. 14．或. 【分析】根据题意知函数的一个零点，且，且一条对称轴方程为，结合图象分类讨论，从而求得ω的值． 【详解】设的最小正周期为，则由题意可得，，即，由在上单调，且，知的一个零点，又，且，所以有以下两种情况： ①，则； ②与零点相邻的对称轴方程为，则，故，. 综上，或. 故答案为或. 【点睛】本题考查函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的图像及性质，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题． 15．(1)； (2)①用比拟合效果更好；②190个． 【分析】（1）利用最小二乘法即得； （2）根据线性回归方程结合的值，即可比较拟合效果，然后将代入回归方程计算即得. 【详解】（1）由题意可知， ； ∴y关于x的线性回归方程是； （2）①用指数回归模型拟合y与x的关系，相关指数， 线性回归模型拟合y与x的关系，相关指数， 且， ∴用比拟合效果更好． ②中，令， 则， 故预测温度为时该昆虫产卵数约为190个． 16．（1）详见解析；（2）. 【解析】设，根据，得到相应边的长度，利用勾股定理分别求得，的长度，论证，再由平面，得到，然后利用线面垂直的判定定理证明. （2）由（1）知：平面， ，进而求得，然后求解. 【详解】设，因为， 所以， 因为为的中点， 所以， 所以，即， 所以四边形是平行四边形， 所以四边形是矩形， 因为为的中点， 所以， 所以，， 所以，即， 因为三棱柱底面是等边三角形，为的中点， 所以，又，AB与相交， 所以平面，又平面， 所以，又， 所以平面； （2）由（1）知：平面，所以CE为三棱锥的高，且 , ，， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题关键是反复应用勾股定理论证，特别是设简化了运算，再利用线面垂直与线线垂直的转化得解. 17．(1)0 (2)证明：因为， 若，则，满足； 若，由（1）可知：， 即，当且仅当时，等号成立， 令，可得， 且， 可得， 所以； 综上所述：. 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性，进而可得的最小值； （2）当时显然成立，当，结合（1）可得，进而可得，利用裂项相消法分析证明. 【详解】（1）因为，则， 因为，则，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. （2）略 18．(1) (2)（i）或；（ii） 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）（i）设点，直线的倾斜角分别为，分三种情况，当时，，当时，可得，即可求解； （ii）法一，求出直线的方程，进而得直线过定点，从而可得，即可求解；法二，设直线为，同法一得出直线过定点，再结合条件得，即可求解. 【详解】（1）由题意可得，，即， 又，得，又，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）由（1）知，设点，直线的倾斜角分别为， 得， 当时，，此时， 当时，， 则， 当且仅当时，等号成立， 当时，， 则有， 当且仅当时，等号成立， 综上所述，当且仅当时，有最大值，即有最大值， 所以当点的坐标是或有最大值. （ii）法一：设点，当时，两个三角形不存在，所以， 直线的方程分别为， 联立方程得，消去得， 解得或，即点， 联立方程得，消去得， 解得或，即点，则， 直线的方程为， 化简得，所以直线过定点， 又， ，若，得， 化简得， 由，则，则. 法二：当直线与轴重合时，显然不满足题意. 设直线为，点是直线与轴的交点， 联立方程组，消去得， 所以有， 直线的方程为，直线的方程为， 联立方程得，解得， 又， 所以点的横坐标为， 代入得 ，解得，即点， 由于， 若，即，由图可知异号，即， 所以有， 化简得. 该方程有解，即，则. 19．(1)，； (2) (3)不存在使得 【分析】（1）根据三角函数得到，的长度； （2）在（1）的基础上，得到方程，得到，结合同角三角函数关系求出，求出三角形面积； （3）得到，由基本不等式和三角函数有界性得到，故不存在使得. 【详解】（1）由题意得， 因为，， 所以， 故，； （2）由（1）得，，， 故，即， 又，所以，即， 所以； （3）由（1）得，，， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 又，当且仅当时，等号成立， 显然与不会同时成立， 故，不存在使得. 【点睛】三角函数的思想方法常常用来解决一些与角度有关的实际问题，原因是三角函数的有界性，且三角函数的公式众多，比如和差公式，倍角公式，半角公式等，可以很好的表达相关量的关系，利用相关工具，解决问题 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $