15.3.2 等边三角形（第2课时 含30°角的直角三角形的性质）（培优教学课件）数学新教材人教版八年级上册

【新教材】人教版·八年级上册 第十五章 轴对称 15.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 1 2 3 能结合直角三角形图形，准确说出含30°角的直角三角形的性质，分清定理的条件与结论； 掌握“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，能运用该性质进行线段计算与简单证明，解决实际应用问题； 经历动手测量、猜想、证明含30°角直角三角形性质的探究过程，体会转化思想，提升逻辑推理的核心素养. 学 习 目 标 这节课，我们就借助等边三角形的相关知识，来探究直角三角形中一个特殊的性质 ——含30°角的直角三角形的性质． 同学们，上节课我们学习了等边三角形的性质与判定，知道等边三角形三边相等，三个内角都是 60°. 那如果把两个全等的含30°角的三角板拼在一起，你会发现什么新结论呢？ 导入新课 3 通过测量发现：在Rt△ABC中，如果∠A＝30°，那么直角边BC等于斜边AB的一半． 即：BC＝AB 再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？ 证明你的结论． 探究：如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论？ 要证明BC＝AB，只要证明2BC＝AB. 为此可以构造长为2BC的线段，证明它和AB相等即可． 成立． 新知探究 已知：如图所示，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°． 求证：BC =AB ． 证明：如图所示，延长BC到D，使CD＝BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线， ∴AB＝AD． 又∵∠B＝90°－∠BAC＝90°－30°＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB． 又∵BD＝2BC， ∴BC＝ AB． 你还有其他证明方法吗？ 新知探究 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 含30°角的直角三角形的性质 几何语言： ∵在 Rt△ABC 中， ∠C =90°，∠A=30°， ∴BC＝AB． 新知探究 6 例1：如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4ｍ，∠A＝30°．求立柱BC，DE的长． 解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°， ∴BC＝AB，DE＝AD． ∴BC＝×7.4＝3.7（ｍ）． 又∵AD＝AB， ∴DE＝AD＝×3.7＝1.85（ｍ）． 答：立柱BC的长是3.7ｍ，DE的长是1.85ｍ． 典例分析 1．在中，是边上的中线，，，，则的面积为（     ） A． B． C．1 D．2 A 【解析】过点作于点，求出，的长即可． 解：如图，过点作于点， ∵在中，是边上的中线，， ∴， ∵，，， ∴在中，， ∴的面积为． 基础训练 2．如图，三角形纸片中，，，，折叠纸片，使点C和点A重合，折痕与，交于点D和点E，则折痕的长为______． 【解析】先根据等腰三角形的性质，三角形内角和，得到；根据折叠的性质，可以得到，继而得到，利用直角三角形的性质，解答即可． 解：，，； 由折叠纸片，使点C和点A重合，折痕与，交于点D和点E， ，，； ，， ，，，， ，，，． 基础训练 含30°角的直角三角形的性质 ①性质定理 ∵在 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A=30°， ∴BC＝AB． 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． ③注意要点 该定理只在直角三角形中成立；是证明线段倍、半数量关系常用结论；分清 30° 角所对的直角边，不要找错对应边. ②几何语言 新知总结 10 1．一架梯子的长为，梯子与地面的夹角为，则梯脚之间的距离为（     ） A． B． C． D． A 【解析】先根据直角三角形两锐角互余得出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 解：在中，，， ， ， ． 巩固练习 2．如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 B 【解析】证明，结合，，可得． 解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴． 巩固练习 3．如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图．已知交于点与水平线相交于点，．若分米，，则点到水平线的距离为___________分米． 【解析】作于点，求得，利用直角三角形的性质求解即可． 解：作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴，即点到水平线的距离为分米． 巩固练习 4．如图，在中，为的高，为的角平分线，交于点，，． (1)求的大小；(2)若，求的长． 【解析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，含30度角的直角三角形的性质，求出的度数是解题的关键． （1）由垂线的定义得到，由三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此可得答案； 解：（1），， ，， ，平分， ， ； 巩固练习 4．如图，在中，为的高，为的角平分线，交于点，，． (1)求的大小；(2)若，求的长． 【解析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，含30度角的直角三角形的性质，求出的度数是解题的关键． （2）由含30度角的直角三角形的性质可得，求出的长即可得到答案． （2），， ． ， ， ∴． 巩固练习 5．已知是等边三角形，点在边上，作于点，为直线上一点． (1)如图1，点在边上，连接、，若，，，求的长； 【解析】本题主要考查等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质,含角的直角三角形的性质;（1）先根据等边三角形的性质求出相关角度，再利用含角的直角三角形的性质可求出的长； 解：（1）是等边三角形，， 于点，，， ,,是等边三角形,， ， ，，， ，的长为4． 拓展提升 5．已知是等边三角形，点在边上，作于点，为直线上一点． (2)如图2，点为延长线上一点，若，连接交于点，求证：． 【解析】本题主要考查等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质；（2）通过作辅助线构造等边三角形和全等三角形，进而证明． （2）证明：作平行于交于点， ∴，， ，是等边三角形，， ，，，， 又， ，． 拓展提升 课堂总结 必做题： 教材第85页习题15.3第7题 选做题： 教材第86页习题15.3第12题、第13题 布置作业 【新教材】人教版·八年级上册 感谢聆听! $