15.3.2 等边三角形（第1课时 等边三角形的性质与判定）（培优教学课件）数学新教材人教版八年级上册

【新教材】人教版·八年级上册 第十五章 轴对称 15.3.2 等边三角形 第1课时 等边三角形的性质与判定 1 2 3 能结合图形，准确说出等边三角形的定义，明确等边三角形与等腰三角形的关系； 掌握等边三角形的性质与判定定理，能运用性质和判定进行几何证明与角度计算； 经历探究等边三角形性质、判定的推导过程，体会类比转化思想，提升逻辑推理的核心素养. 学 习 目 标 这节课，我们就在等腰三角形的基础上，继续探究、系统学习这种特殊的等腰三角形，研究它独有的边角关系与判定方法 ——等边三角形． 同学们，上节课我们学习了等腰三角形的性质与判定，知道等腰三角形是两边相等的特殊三角形．如果把等腰三角形的三条边都变得相等，会得到什么样的图形呢？ 导入新课 3 我们知道，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． 把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 等腰三角形的两个底角相等，那等边三角形的三个内角有什么数量关系？ 等边三角形三个内角都相等. 结合三角形内角和为 180°，等边三角形每个内角等于多少度？ 每一个角都等于 60° 你能证明这个结论吗？ 新知探究 4 已知：△ABC 是等边三角形． 求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°． 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴BC＝AC，BC＝AB． ∴∠A＝∠B，∠A＝∠C（等边对等角）． ∴∠A＝∠B＝∠C． ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°． A B C 求证：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°. 新知探究 等腰三角形是轴对称图形，有 1 条对称轴，等边三角形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 是轴对称图形，有 3 条对称轴，分别是三条边上的中线（高、顶角平分线）所在直线. 等边三角形每条边上的中线、高、角平分线有什么关系？ 三线合一，等边三角形每一条边上的中线、高和这条边所对角的平分线互相重合. A B C 新知探究 6 等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°；等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，具有“三线合一” 的特点. 新知探究 思考：一个三角形满足什么条件才是等边三角形？ 三边都相等的三角形是等边三角形（定义） 从边的角度，什么样的三角形是等边三角形？ 是等边三角形 如果一个三角形三个角都相等，这个三角形是等边三角形吗？ 一般三角形 等边三角形 你能证明这个结论吗？ 新知探究 已知：在△ABC 中，∠A＝∠B＝∠C． 求证：△ABC 是等边三角形． 证明：∵∠A＝∠B，∠B＝∠C， ∴BC＝AC，AC＝AB（等角对等边）． ∴AB＝BC＝AC． ∴△ABC 是等边三角形． A B C 求证：三个角都相等的三角形是等边三角形． 新知探究 思考：一个三角形满足什么条件才是等边三角形？ 是等边三角形. 有两个角是 60°的三角形是不是等边三角形？ 三角形内角和 180°，可算出第三个角也是60°，三个角都相等，所以是等边三角形. 新知探究 思考：一个三角形满足什么条件才是等边三角形？ 是等边三角形. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这个结论吗？ ①若 60° 角是顶角，则两个底角都是60° 三个角都为 60°，所以是等边三角形. ②若 60°角是底角，则另一个底角和顶角也是60° 一个等腰三角形，只要有一个角是 60°，一定是等边三角形吗？分情况说一说. 新知探究 已知：在等腰三角形△ABC 中，∠A＝60°． 求证：△ABC 是等边三角形． A B C 证明：（1）当顶角∠A＝60°时， ∴∠B＝∠C＝×(180°－60°)＝60°， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°． ∴△ABC 是等边三角形． （2）当底角∠A＝60°时，则∠C＝60°， ∴∠B＝180°－(60°＋60°)＝60°． ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°． ∴△ABC 是等边三角形． B A C 求证：有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形. 新知探究 等边三角形的判定 三个角都相等的三角形是等边三角形． 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 新知探究 三个角都相等的三角形是等边三角形． 例：如图，△ABC 是等边三角形，DE//BC，分别交 AB，AC 于点 D，E．求证：△ADE 是等边三角形． 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C． ∵DE//BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C． ∴∠A＝∠ADE＝∠AED． ∴△ADE 是等边三角形． 还有其他 证法吗？ 典例分析 14 例：如图，△ABC 是等边三角形，DE//BC，分别交 AB，AC 于点 D，E．求证：△ADE 是等边三角形． 证明（方法二）：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°． ∵DE//BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED． ∴∠ADE＝∠AED． ∴AD＝AE． ∴△ADE 是等腰三角形． ∵∠A＝60°， ∴△ADE 是等边三角形． 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形． 典例分析 例：如图，△ABC 是等边三角形，DE//BC，分别交 AB，AC 于点 D，E．求证：△ADE 是等边三角形． 证明（方法三）： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C． ∵DE//BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED． ∴∠A＝∠ADE，∠ADE＝∠AED． ∴DE＝AE，AD＝AE． 即AD＝AE＝DE． ∴△ADE 是等边三角形． 条边都相等的三角形是等边三角形． 典例分析 1．燃气进村入户是助推乡村振兴的惠民工程．为落实管道 燃气“村村通”工程，管道从村沿北偏西方向铺设到 村，如图，若，，三个村庄之间的直线距离两两相等， 则管道从村铺设到村时，铺设方向应为（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 【解析】连接，由等边三角形的判定与性质、平行线的性质即可求解． A 解：如图，连接，∵，，三个村庄之间的直线距离两两相等， ∴是等边三角形，∴， ∵，∴， ∴， ∴管道从村铺设到村时，铺设方向应为北偏东． 基础训练 2．如图，是等边三角形，D是边上任意一点（与点B、C不重合），绕点A顺时针旋转后与重合．连接，则____度；设，则的度数为__________度（用含有m的代数式表示） 【解析】根据等边三角形的性质及旋转的性质可得，判定是等边三角形,即可求出的度数;在中利用三角形内角和定理表示出,结合即可求解． 解：∵是等边三角形，∴，∵绕点A顺时针旋转后与重合，∴，∴，∴是等边三角形，∴； 在中，，∴，∵，∴． 基础训练 等边三角形的性质与判定 ①等边三角形的性质 三个角都相等的三角形是等边三角形． 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°. 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴（“三线合一” ） ③性质与判定的应用 利用等边三角形性质、判定进行几何推理与证明； 平行线结合等边三角形可判定新的等边三角形 ②等边三角形的判定 新知总结 19 1．将等边三角形按如图所示的方式放置，已知，，则（     ） A． B． C． D． B 【解析】在等边三角形平行线间的顶点处作m和n的平行线，利用平行线的性质，通过等量代换得到，再计算即可． 解：如图，设等边三角形为，过点作， ∵， ∴， ∴，， 在等边三角形中，， ∴， ∴． 巩固练习 2．若的三边长，，满足，则这个三角形一定是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 A 【解析】此题考查平方的性质，等边三角形的判定，熟记平方的性质是解题的关键．由平方和为零可得，即可判断该三角形的形状． 解：∵ ，， ∴，∴，， 即且，∴， ∴是等边三角形．故选：A 巩固练习 3．已知：如图，P、Q是边上两点，且，则________度． 60 【解析】本题考查了等边三角形的判定及性质．由已知可得为等边三角形，进而得出结果． 解：∵， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：60． 巩固练习 4．如图，在中，，，D为中点，E为延长线上一点，．求证：． 【解析】此题考查等边三角形的判定与性质，关键是根据等边三角形的判定得出是等边三角形解答．根据等边三角形的判定得出是等边三角形，进而利用等边三角形的性质和三角形外角性质解答即可． 证明：∵，，∴是等边三角形， ∴， ∵D为中点，∴， ∵，∴， ∴，∴． 巩固练习 5．如图，两个全等的等边三角形和等边三角形的一边重叠地放在直线上，，交于点． (1)判断的形状，并说明理由． (2)连接，，求证：． 【解析】（1）由和都是等边三角形，可得，即可得结论； 解：(1)是等边三角形． 理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形． 拓展提升 5．如图，两个全等的等边三角形和等边三角形的一边重叠地放在直线上，，交于点． (1)判断的形状，并说明理由． (2)连接，，求证：． 【解析】（2）由和都是等边三角形，可得，，可证明，即可证明结论． 证明：(2)∵，是两个全等的等边三角形， ∴，， 在和中， ∴，∴． 拓展提升 课堂总结 必做题： 教材第84页习题15.3第5题、第6题 选做题： 教材第85页习题15.3第10题、第11题 布置作业 【新教材】人教版·八年级上册 感谢聆听! $