《圆的面积》课件-2026-2027学年六年级上册数学人教版

圆的面积（1） 数 人 教 版 级 学 六 年 上 册 四 圆 什么是圆的面积？ 圆所占平面的大小。 如果圆的半径为 10 cm， 怎样求这个圆的面积？ O r 今天我们来探究如何求圆的面积。 （1）用边长为 1 cm 的小方格数一数。 请同学们拿出准备好的圆形纸片， 把透明方格纸放在 的纸上， 折出它 ， 先数 圆内的小方格的个数， 从而得出它的面积，乘 4 就是圆的面积。 ①只数整数格的 69×4 = 276 整个圆的面积 大于 276 cm2 ②整数格和不满一格 的都算成整格 86×4 = 344 整个圆的面积小于 344 cm2 ③不满一格算成半格 69 + 17 = 86 77.5×4 = 310 69 + 17÷2 = 77.5 整个圆的面积大约是 310 cm2 r = 10 cm ③不满一格算成半格 S = 310 cm2 圆的面积大约是半径平方的 3.1 倍。 半径： 面积： 想一想：如果用边长为1 mm 的小方格来数，得到的结果会更精确吗？如果小方格分得越来越小呢？ 小方格分得越小，得到的结果会越接近准确值。 前面我们学习过平行四边形、三角形、梯形等图形 的面积，还记得我们是怎样推导它们的面积公式的吗？ S = ah 平行四边形 矩形 转化 h a S = ah 三角形 平行四边形 转化 a h 能不能把圆也转化成学过的图形来计算面积？ 找一个圆，通过剪、拼的方法试一试。 a h b S = 梯形 平行四边形 转化 8 等分： 16 等分： 32 等分： 近似平行四边形 近似平行四边形 近似平行四边形 想一想：圆等分的份数越来越多，拼出的图形会越来越接近什么形状？ 圆周长的一半 r 长方形的长 半 径 宽 观察这个图形，你发现了什么？ 发现：当圆的半径是 r 时，长方形的长近似于 πr，宽近似于 r。 长方形的面积 = 长 × 宽 圆的面积 = πr × r = πr2 S = πr2 面积公式 如果用 S 表示圆的面积，那么圆的面积计算公式就是： 根据圆的面积公式，知道了半径就能求出圆的面积。 如果知道圆的直径，怎么求圆的面积？ S = π 2 你知道我国古代怎样求圆的面积吗？ 刘徽是我国魏晋时期的数学家，他在为 《九章算术》作注时，提出了求圆面积 的方法——割圆术。 从圆内接正六边形开始，将边数逐次 加倍，得到的圆内接正多边形就逐步逼近圆。 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于 不可割，则与圆周合体而无所失矣。” 割圆术动态演示 2026 年 1 月，全球首台 20 兆瓦海上风电机组在我国福建 海域完成吊装。如图所示，风电机组的叶轮半径为 150 m， 风起时叶轮转动形成一个圆，这个圆的面积就是叶轮的扫 风面积。这个叶轮的扫风面积大约是多少？ 1 S = πr2 3.14 ×1502 = 70650(m2) 一个标准足球场长 105 m，宽 68 m，这个叶轮的扫风面积大约相当于几个足球场？（得数保留整数，可借助计算器。） 105 ×68 = 7140(m2) 70650÷7140 ≈ 10(个) 答：这个叶轮的扫风面积大约是 70650 m2，大约相当于 10 个足球场。 拓 展 求圆的面积的方法： （1）已知 r 求面积： （2）已知 d 求面积： （3）已知 C 求面积： S = πr2 S = π 2 S = π 2 1. 一个圆形茶几桌面的直径是 1 m，它的面积是多少平方米？ 【选自教材第62页 做一做 第1题】 方法提示：先求出圆的半径，再根据 S = πr2 计算。 1÷2 = 0.5 (m) 3.14×0.52 = 0.785 (m2) 2. 一个圆形蓄水池的周长约是 31.4 m，它的占地面积约是 多少？ 【选自教材第62页 做一做 第2题】 方法提示：先逆用圆的周长公式 C = 2πr，求出圆的半径， 再根据 S = πr2计算。 31.4÷3.14÷2 = 5 (m) 31.4×52 = 78.5 (m2) 回顾一下，我们是怎样推导出圆的面积计算公式的？ r S = πr2 圆的面积（2） 数 人 教 版 级 学 六 年 上 册 四 圆 计算下面圆的面积。 r = 2 cm d = 6 dm S = πr2 3.14×22 = 12.56 (cm2) 3.14× 2 = 28.26 (dm2) 今天我们继续学习圆的面积。 一个大圆，中间挖去一个小圆，能得到什么图形？ ① 圆环是两个大小不同的同心圆。 ② 圆环中，较大的圆叫外圆； 较小的圆叫内圆。 ③ 两个圆之间的宽度叫环宽。 圆环 r1 r2 馆藏于故宫博物院的“青玉御题蚕纹璧”（如右图）， 其形状是一个圆环。外圆直径为 26.3 cm，内圆直径 为 5.4 cm。这个圆环的面积约是多少？（可借助计算器，得数保留一位小数。） 2 小丽这样算： 外圆直径 D 内圆直径 d 环宽 环宽 2 = 542.97665－22.8906 ≈ 520.1（cm2） 外圆直径 D 内圆直径 d 环宽 环宽 小明这样算： = 3.14×165.6325 ≈ 520.1（cm2） 比较一下，小丽和小明的方法有什么不同？ 圆环面积 1. 已知圆环的外圆半径 R，内圆半径 r，求圆环的面积： S圆环 = πR2－πr2 或 S圆环 = π(R2－r2) 2. 已知圆环的外圆直径 D，内圆直径 d，求圆环的面积： 或 ] 求下面图形的面积。 3 5 cm 5 cm 可以将右边的小半圆绕大半圆的圆心顺时针旋转 180°到左边小半圆的位置，涂色部分刚好是一个大半圆。 这个图形是由一个大半圆挖去一个小半圆，再加一个小半圆拼接而成的。 3.14 ×52 ÷2 = 39.25(cm2) A D B C E F r = 3 cm G 这个图形是由一个长方形挖去一个半圆，再加一个相同的半圆拼接而成的。 可以把上面的半圆平移到下面半圆的位置，涂色部分刚好是一个长方形。 (3×2) ×3 = 18(cm2) 归纳：求不规则图形的面积，可以先通过旋转或平移 将不规则图形转化为规则图形，再计算面积。 求下面各图形中涂色部分的面积。（单位：cm） 【选自教材第63页 做一做】 方法提示：S圆环 = S外圆－S内圆。 3.14×42 －3.14×22 = 37.68 (cm2) 通过平移将涂色部分转化成一个长方形。 2 1 2 (1 + 2)×2 = 6 (cm2) 1 1 1 通过旋转将涂色部分转化成一个 圆。 3.14×(1 + 1 + 1)2× = 7.065 (cm2) 通过这节课的学习，你们有哪些收获？ R r 圆环面积 ＝ 外圆面积－内圆面积 S环 ＝ πR2 － πr2 S环 ＝ π(R2－r2) 不规则图形 规则图形 旋转或平移 解决问题 数 人 教 版 级 学 六 年 上 册 四 圆 我国是文明古国，文化博大精深，在建筑设计上也追求文化底蕴和内涵。 外方内圆 外圆内方 今天这一节课就来研究这两种设计中正方形和圆之间的关系。 许多建筑和物品上都可以见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。你能研究一下这两种设计中正方形和圆面积之间的关系吗？ 4 外方内圆 外圆内方 你获得了哪些数学信息? “外方内圆”就是研究正方形内最大的圆。 “外圆内方”就是研究圆内最大的正方形。 外方内圆 圆的半径和正方形的边长都不知道，怎么办？ 可以假设圆的半径分别是 1 cm， 2 cm，3 cm……分别计算圆的面积和正方形的面积来研究。 r a a = 2r S圆 = πr2 S正方形 = a2 = (2r)2 = 4r2 圆的半径/cm 1 2 3 …… a 圆的面积/cm2 …… 正方形的面积/cm2 …… 圆面积是正方形面积的几分之几(用π表示) …… 4 π 16 4π 36 9π 4a2 πa2 “外方内圆”的图形中，圆是正方形面积的 。 外圆内方 “外圆内方”中正方形的边长不知道，怎样计算它的面积呢？ 将正方形看作两个三角形，它们的底是圆的直径，高是圆的半径。 正方形的面积 = 三角形的面积×2 = 直径×半径÷2×2 = 直径×半径 圆的半径/cm 1 2 3 …… a 圆的面积/cm2 …… 正方形的面积/cm2 …… 圆面积是正方形面积的几分之几(用π表示) …… 2 π 8 4π 18 9π 2a2 πa2 “外圆内方”的图形中，圆是正方形面积的 。 如果把“外方内圆”和“外圆内方”的两个图形重叠 在一起，你能发现什么？ 从表中可以知道，大正方形的面积是小正方形的 2 倍。 将小正方形进行旋转，你能发现什么？ 大正方形的面积是小正方形的 2 倍。 已知图中正方形的面积是 20 cm2，圆的面积是多少平方厘米？ 涂色部分的面积是多少？ 【选自教材第65页 做一做】 方法提示：“外方内圆”的图形中，圆的面积是正方形面积的 ，据此可求出圆的面积. 20× = 15.7 (cm2) 20－15.7 = 4.3 (cm2) 通过这节课的学习，你们有哪些收获？ “外方内圆”的图形中，圆是正方形面积的 。 “外圆内方”的图形中，圆是正方形面积的 。 大正方形的面积是小正方形的 2 倍。 Lavf57.83.100 $