专题02 圆中求弧长与面积的有关计算问题五种模型（高效培优专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 聚焦圆中弧长与面积计算，通过五种题型构建从公式直接应用到不规则图形及动态最值的递进训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用弧长公式求弧长|5题|基础公式应用，结合半径、圆心角及实际场景|从弧长公式直接计算到与圆的性质（直径、切线）结合| |利用扇形面积公式求面积|5题|扇形、扇环面积计算，涉及圆锥侧面展开|扇形面积公式应用，延伸至组合图形（如正方形中扇形）| |不规则阴影部分周长计算|5题|多圆弧组合，结合折叠、网格等变换|周长分解为弧长与线段和，强化图形分解能力| |不规则阴影部分面积计算|5题|涉及翻折、切线、菱形等复杂图形|面积转化（割补法），综合扇形、三角形等面积公式| |不规则阴影部分面积中的最值相关计算|4题|动态点问题，结合对称求最值|从静态计算到动态分析，培养空间观念与推理意识|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02圆中求弧长与面积的有关计算问题五种模型 题型归纳 题型一利用弧长公式求弧长 题型二利用扇形面积公式求面积 题型三不规则阴影部分周长计算 题型四不规则阴影部分面积计算 题型五不规则阴影部分面积中的最值相关的计算 题型专练 题型一：利用弧长公式求弧长 33π 1.2π12 5π25π 2.3或3 32 4.3m 5.10π 题型二：利用扇形面积公式求面积 π 6.2 3 1. 8.75π 9.1600元 10.π-1 1/4 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三：不规则阴影部分周长计算 11.2W2+号x+2r 12.3π+9 5 13.4π+10 14. 【详解】(1)证明：连接OC, D :⊙O和底边AB相切于点C, .OC⊥AB. OA=OB,∠AOB=120°， ·∠A0C=∠BOC= ∠AOB=60°， 2 .OD=OC,OC=OE, ∴△ODC和△OCE都是等边三角形， ..OD=OC=DC,OC=OE=CE, ..OD=CD=CE=OE, ∴四边形ODCE是菱形： (2)解：四边形ODCE是菱形， ∴.DC=CE=OD=4. 又，∠AOB=120°， 120元×4 :.图中阴影部分的周长为180 +2×4=8 π+8 3 15. 【详解】(1)解：，AB为⊙0的直径， ∴.∠ACB=90°， ,F为AC中点，O为AB中点， 214 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六oF∥BC且OF=)BC, 1 .OF=1, .BC=2OF=2, :弦CD⊥AB于点E, .BC=BD, BD=BC=2: (2)解：①：弦CD⊥AB于点E, .BE⊥CD,CD=2DE ∠D=30°，BD=2, BE=1,DE=√BD2-BE2=√5， .CD=25」 故答案为：2√5 ②连接0C, A B E D .∠CAB=∠D=30°，OA=OC, .∠OAC=∠OCA=30°. .∠A0C=120° 在Rt△ABC, :∠ACB=90°，BC=2,∠CAB=30°， .AB=2BC=4,AC=3BC=23, AC的长=120-2_4红 1803’ 4 阴影部分的周长= +23 服分的积=202-a25-智-6 3 314 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四：不规则阴影部分面积计算 16.3-5 4 3V52元 23 18. 4π 19.4V3-2元 0；9 题型五：不规则阴影部分面积中的最值相关的计算 21.5m+3 3 2 22.6+二π 3 23.20√2 300π-200W2 24.4π-3V3/-3V3+4元 414可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02圆中求弧长与面积的有关计算问题五种模型 题型归纳 题型一利用弧长公式求弧长 题型二利用扇形面积公式求面积 题型三不规则阴影部分周长计算 题型四不规则阴影部分面积计算 题型五不规则阴影部分面积中的最值相关的计算 题型专练 题型一：利用弧长公式求弧长 1.(2026福建三明模拟预测)圆心角为90°，半径为3的扇形弧长为， 2.(2026江苏泰州三模)在半径为5的⊙0中，弦AB所对的圆心角为60°，则弦AB所对的弧长为 3.(2026:安徽合肥模拟预测)如图，⊙0的直径AB=10cm,C是⊙0上一点，且∠ABC=30°，则AC 的长为 Cm.(结果保留π) A ○ 4.(2026:宁夏银川二模)某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，AB、 CD所在圆的圆心为O,点C,D分别在OA,OB上.己知消防车道半径OC=12m,消防车道宽 AC=4m,∠AOB=120°，则弯道外边缘AB的长为—。 117 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(2026:甘肃平凉·三模)如图1，坡屋顶是一种倾斜的屋顶形式，通常由斜面较大的屋面覆盖材料和支 撑屋面的结构组成，其中圆形宝顶的作用主要是收尾密封，装饰象征.我国古代建筑屋顶大部分属于坡屋 顶的范畴，与平屋顶相比，其优点是排水迅速、不易积水，所以一般不会形成渗漏并影响下部结构.各种 坡屋顶类型早在秦汉时期就已基本形成，到宋代更为完备.如图2，是坡屋顶的屋脊，可以抽象成数学问 题，PA,PB分别与⊙O相切于点C,D,若∠CPD=90°，CP=20cm,则CD的长为. cm. 蒙头瓦 脊帽子 石板瓦 合且瓦 锁链瓦) 宝顶 图1 图2 题型二：利用扇形面积公式求面积 6.(2026河南周口三模)如图，点A,B,C是⊙0上的三个点，OB=OC=3,∠A=70°，则扇形BOC 的面积为 A B 7.(25-26九年级下山东济南自主招生)已知扇形弧长为3，半径为1，则扇形面积为 8.(2026广东广州·二模)校园科技文化节举办手工作品创意展，小华用一张半径为15cm的扇形纸板， 制作一个无底面的圆锥形小丑帽（接缝重叠部分忽略不计），如果圆锥帽的底面半径为5cm,那么该扇形 纸板的面积为 cm2. 217 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15cm 9.(2026浙江台州·二模)如图1，公园围墙上有一扇窗，其形状是一个扇环，示意图如图2所示.己知 扇形的圆心角为120°，半径0A,OC分别为80cm,40cm,则这扇窗的面积为 cm2. B 图1 图2 10.(25-26九年级下·河南信阳阶段检测)如图，在正方形ABCD中，AB=2,以D为圆心，DC长为半 径作AC,以AD中点E为圆心，以AE为半径作弧AF与半圆CD交于点F,则图中阴影部分的面积为 B 题型三：不规则阴影部分周长计算 11.(2026河南洛阳·二模)如图所示，边长为1的正方形网格中，O、A、B、C、D是网格线交点，若 AB与CD所在圆的圆心都为点O,那么阴影部分的周长为一· 12.如图，在扇形AOB中，半径OA=9,将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D处， 折痕交OA于点C,则图中阴影部分的周长是 317 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,AC=4,点D是AC的中点，以点A、C为圆心，以 AD、CD的长为半径画圆弧，交AB于点E,交BC于点F,则图中阴影部分的周长为一 (结果保留π D C 14.如图，等腰三角形OAB的顶角∠AOB=120°，⊙O和底边AB相切于点C,并与两腰OA,OB分别相交 于D,E两点，连接CD,CE, D (1)求证：四边形ODCE是菱形： (2)若⊙0的半径为4，求图中阴影部分的周长. 15.如图，AB为⊙0的直径，弦CD⊥AB于点E,连接AC,BC,BD,F为AC中点，且OF=1, B D (1)求BD的长： 2)当∠D=30°时， ①CD-_ ②求阴影部分的周长和面积. 417 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四：不规则阴影部分面积计算 16.(2026河南漯河·二模)如图，△ABC内接于⊙O,CD为⊙0的切线，且CD∥AB,若⊙O的半径为 2,∠CAB=60°，则图中阴影部分的面积为一 B 17.(2026河南平顶山三模)如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，将半圆O沿BC翻折，点 O的对应点O恰好落在BC上，点A的对应点为D,过点C的切线与BD交于点E.若AB=4,则图中阴 影部分的面积为 D C 0 B 18.(2026河南平顶山三模)如图，在△ABC中，∠B=90°，以点B为圆心，BA长为半径画弧，分别 交AC,BC于点D,E.若CD=AB=4,则阴影部分的面积为 A D Bh E 19. (2026河南南阳三模)如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠A=60°，点E是AB上一点，以B为圆 心，BE为半径作弧，该弧与AD,CD相切，切点分别为G和H,且与边BC相交于点F,则阴影部分的 面积为 D G H 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(2026河南驻马店模拟预测）)如图，在扇形0AB中，∠AOB=60,P,分别为OA,OB的中点，连接 P吧，以点为圆心，QB为半径作弧，若OA的长为2，则阴影部分的面积为 题型五：不规则阴影部分面积中的最值相关的计算 21.如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，C为AB上一点且AC=2BC,点D为半径OB上一动点.若 OB=V3,则阴影部分周长的最小值为一 D 22.(2026河南平顶山二模)如图，在半径为6的扇形MON中，∠MON=40°，OA平分∠MON,交 MW于点A,点B为半径OM上一动点，连接AB,BN,则阴影部分周长的最小值为 (结果保 留π). B 23.如图，一张直径为40的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，连接AC,则AC=一；图中阴影部分 面积的最小值为 B 24.如图，⊙O的半径为2c,弦AB=2V3cm,C是弦AB所对的优弧ADB上一个动点，则图中阴影部分的 617 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 面积之和的最小值是c. D C …0 B 717 专题02 圆中求弧长与面积的有关计算问题五种模型 题型一 利用弧长公式求弧长 题型二 利用扇形面积公式求面积 题型三 不规则阴影部分周长计算 题型四 不规则阴影部分面积计算 题型五 不规则阴影部分面积中的最值相关的计算 题型一：利用弧长公式求弧长 1．（2026·福建三明·模拟预测）圆心角为，半径为3的扇形弧长为_______． 【答案】/ 【分析】利用弧长公式计算即可． 【详解】解：该扇形的弧长． 2．（2026·江苏泰州·三模）在半径为5的中，弦所对的圆心角为，则弦所对的弧长为___________． 【答案】 或 【分析】弦在圆中对应两条不同的弧，分别为劣弧和优弧，根据弧长公式分别计算两条弧的长度即可. 【详解】解：已知的半径，弦所对的圆心角为，弧长公式为，其中为弧所对的圆心角度数，为圆的半径.当所求弧为劣弧时， 当圆心角，代入公式得； 当所求弧为优弧时，圆心角， 代入公式得. 综上：弧长为或 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，的直径，C是上一点，且，则的长为________．（结果保留） 【答案】 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，由直径求出半径，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， 直径， 半径， ． 4．（2026·宁夏银川·二模）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，、所在圆的圆心为O，点C，D分别在上．已知消防车道半径，消防车道宽，则弯道外边缘的长为______． 【答案】 【详解】解：， 则弯道外边缘的长为． 5．（2026·甘肃平凉·三模）如图1，坡屋顶是一种倾斜的屋顶形式，通常由斜面较大的屋面覆盖材料和支撑屋面的结构组成，其中圆形宝顶的作用主要是收尾密封，装饰象征．我国古代建筑屋顶大部分属于坡屋顶的范畴，与平屋顶相比，其优点是排水迅速、不易积水，所以一般不会形成渗漏并影响下部结构．各种坡屋顶类型早在秦汉时期就已基本形成，到宋代更为完备．如图2，是坡屋顶的屋脊，可以抽象成数学问题，分别与相切于点C，D，若，，则的长为________cm． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质可得，结合已知，利用四边形内角和定理求出圆心角的度数，并判定四边形为正方形从而得到半径长，最后代入弧长公式计算即可． 【详解】解： 分别与相切于点， ， ． ， 四边形是矩形． ， 四边形是正方形， ，， 的长为． 题型二：利用扇形面积公式求面积 6．（2026·河南周口·三模）如图，点A，B，C是上的三个点，，，则扇形的面积为________． 【答案】 【分析】利用圆周角定理求出，再结合扇形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：， ， ， 扇形的面积为． 7．（25-26九年级下·山东济南·自主招生）已知扇形弧长为，半径为，则扇形面积为________． 【答案】 【详解】解：扇形弧长为，半径为， 扇形面积． 8．（2026·广东广州·二模）校园科技文化节举办手工作品创意展，小华用一张半径为的扇形纸板，制作一个无底面的圆锥形小丑帽（接缝重叠部分忽略不计），如果圆锥帽的底面半径为，那么该扇形纸板的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的展开图和扇形的面积求解，圆锥展开后为扇形图形，圆锥底面圆的周长即为展开后扇形的弧长，然后根据扇形面积公式即可得出答案． 【详解】圆锥帽的底面半径为， ， 即展开后的扇形弧长是， 扇形的圆心角为：， 扇形纸板面积为：． 9．（2026·浙江台州·二模）如图1，公园围墙上有一扇窗，其形状是一个扇环，示意图如图2所示．已知扇形的圆心角为，半径，分别为80 ，40 ，则这扇窗的面积为_________． 【答案】 【详解】解： 10．（25-26九年级下·河南信阳·阶段检测）如图，在正方形中，，以为圆心，长为半径作，以中点为圆心，以为半径作弧与半圆交于点，则图中阴影部分的面积为_____. 【答案】 【分析】先根据正方形和圆的性质，连接、，证明四边形是正方形，得出扇形与扇形的面积相等，再通过割补法，用扇形的面积减去正方形的面积，求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接、． ∵四边形是正方形，， ∴，． ∵是的中点， ∴． ∵为圆心，为半径作弧， ∴． ∵为圆心，为半径作弧， ∴． ∵以为半径作弧与半圆交于点， ∴ ∴四边形是菱形． 又∵， ∴四边形是正方形． ∴ ∴， ∴扇形的面积扇形的面积． 阴影部分面积． 题型三：不规则阴影部分周长计算 11．（2026·河南洛阳·二模）如图所示，边长为1的正方形网格中，O、A、B、C、D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的周长为______． 【答案】 【分析】由网格可得出，，，，根据弧长公式求出和，最后根据阴影部分的周长为求解即可． 【详解】解：由网格可知，， ∴的长：， 由网格可知，， ∴的长：，， 由网格可知， ∴阴影部分的周长为． 12.如图，在扇形中，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，则图中阴影部分的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠性质、等边三角形的判定与性质及弧长公式，连接，由折叠可知，即可证明是等边三角形，可得，根据弧长公式即可求出的长，进而求出即可得答案，根据折叠性质得到是等边三角形并熟记弧长公式是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，由折叠可知， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵的长为， ∴阴影部分的周长为：． 13.如图，在中，，点D是的中点，以点A、C为圆心，以的长为半径画圆弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的周长为 （结果保留）．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，求弧长，先根据勾股定理得到，再由线段中点的定义得到，再由扇形与扇形的半径相等且圆心角度数之和为90度求出的长与的长的和即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴的长与的长的和为， ∴阴影部分的周长为， 故答案为：． 14.如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，，    (1)求证：四边形是菱形： (2)若的半径为，求图中阴影部分的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得和都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答； （2）根据菱形的性质可得，进而根据进行计算的长，即可解答． 【详解】（1）证明：连接，    和底边相切于点， ， ，， ， ，， 和都是等边三角形， ，， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ∴， 又∵， 图中阴影部分的周长为 15.如图，为的直径，弦于点，连接，，，为中点，且.    (1)求的长； (2)当时， ①__________； ②求阴影部分的周长和面积. 【答案】(1)2 (2)①；②周长，面积 【分析】本题以圆为几何背景，考查了中位线定理、垂径定理、勾股定理等知识点．熟记定理内容是解题关键． （1）由题意可得且，结合“垂径定理”可得，，据此即可求解； （2）①由“垂径定理”可得，，解直角三角形即可求解；②连接，在求出线段的长度即可． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵为中点，为中点， ∴且， ∵， ∴， ∵弦于点， ∴， ∴； （2）解：①∵弦于点， ∴， ∵，， ∴，， ∴. 故答案为： ②连接，    ∵，， ∴， ∴. 在， ∵，，， ∴，， ∴的长， 阴影部分的周长， 阴影部分的面积. 题型四：不规则阴影部分面积计算 16．（2026·河南漯河·二模）如图，内接于，为的切线，且，若的半径为2，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】连接，过点O作于点E，由切线性质得，结合推出．利用扇形面积公式得，利用垂径定理和含的直角三角形的性质算出面积为，二者作差即得阴影面积． 【详解】解：连接，过点O作于点E，如下图， ∴， 是的切线， ，即， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵半径， ∴， ∵，且，， ∴，， ∴， ∴． 17．（2026·河南平顶山·三模）如图，是半圆O的直径，C是半圆O上一点，将半圆O沿翻折，点O的对应点恰好落在上，点A的对应点为D，过点C的切线与交于点E．若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】连接，，，由翻折的性质进一步证明四边形为菱形．由切线的性质得，证明为等边三角形．由等边三角形的性质得出，由菱形的性质进一步得出，由直角三角形两个锐角互余得出，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，根据，可得出阴影部分为，据此求解即可. 【详解】解：连接，，，如下图所示． 由翻折，可知，． 又∵， ∴． ∴四边形为菱形． ∴． ∵是半圆O的切线， ∴． ∴． ∵，， ∴为等边三角形． ∴． ∵四边形为菱形， ∴． ∴ ∴, ∴在中，， ∴，. ∵， ∴． 18．（2026·河南平顶山·三模）如图，在中， ，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点D，E．若，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】由题意，通过导角计算可证明，则为等边三角形，则可求相关的边长和角度，根据进行计算即可． 【详解】解：连接，作交于， 由题意， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴，‘ 则 ． 19．（2026·河南南阳·三模）如图，在菱形中，，，点是上一点，以为圆心，为半径作弧，该弧与，相切，切点分别为和，且与边相交于点，则阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】连接，，先求出，，进而得到两个三角形的面积，再计算扇形的面积，再根据求解即可． 【详解】连接，， 四边形是菱形，， ，， ， 弧与相切， ，即， ，， ， ，， 同理，，， 菱形的面积为：，， ，， ， 阴影部分的面积为：． 20．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，在扇形中，分别为的中点，连接，以点为圆心，为半径作弧，若的长为2，则阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】根据题意，证明是等边三角形，进而得出，根据阴影部分的面积，进行计算即可求解． 【详解】解：，点分别为的中点， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 如图，过点作于点 ∴， ∴ 阴影部分的面积为． 题型五：不规则阴影部分面积中的最值相关的计算 21.如图，在扇形中，C为上一点且，点D为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题和弧长公式以及勾股定理，解题关键是把周长最小问题转化为两点之间，线段最短问题，熟练的运用圆的有关性质和勾股定理是解题的关键． 作点关于的对称点F，连接，与交点为D，此时最小，最小值就是长，再加上弧的长即可． 【详解】解: 作点关于的对称点, 连接,与交点为D,交于点,过点作 交延长线于点，由对称可知 ，    ∵四边形是矩形, ， ∴， ∴， ∴阴影部分周长的最小值为， 故答案为：． 22．（2026·河南平顶山·二模）如图，在半径为6的扇形中，，平分，交于点，点为半径上一动点，连接，，则阴影部分周长的最小值为__________（结果保留）． 【答案】 【分析】观察图形可知的长度为定值，只要确定的最小值即可，作点关于直线的对称点，连接交于点，的最小值即为，进而求得阴影部分周长的最小值． 【详解】如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，则由轴对称的性质可知 ． 当点与点重合时阴影部分的周长最小，为的长与的长的和． 平分，， ， ． 连接，由轴对称的性质可得，， ， 是等边三角形， ， 阴影部分周长的最小值为． 23.如图，一张直径为的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，连接 ，则 ；图中阴影部分面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图1，设圆心为，连接，则，由圆周角定理可得，由勾股定理得，，计算求解即可；设到的距离为，由题意知，，则当最大时，最小，当时，最大，如图1，作于，由垂径定理可得，由勾股定理得，，则，然后求阴影部分面积即可． 【详解】解：如图1，设圆心为，连接，则， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 设到的距离为， 由题意知， ， 当最大时，最小， ∴当时，最大，如图1，作于， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 故答案为：，． 24.如图，⊙O的半径为2cm，弦，C是弦AB所对的优弧上一个动点，则图中阴影部分的面积之和的最小值是 cm2． 【答案】/ 【分析】过点C作于E，由，得当最大时，最小，此时，经过圆心O，即垂直平分，点C为优弧的中点，连接，由垂径与勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：过点C作于E， ∵， ∴当最大时，最小，此时，经过圆心O，即垂直平分，点C为优弧的中点，连接， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴最小值， 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $