专题05 一元二次不等式九类综合题型（压轴题专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以二次函数图像性质为核心，构建“通法+题型+挑战”三阶训练体系，通过分类讨论、参变分离等9类方法提炼，实现从基础解法到综合应用的逻辑迁移，培养数学思维与解题能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|围绕二次函数图像、判别式等核心，明确二次项系数非零、判别式验证底线原则|以二次函数概念为起点，奠定解法理论基础| |题型归纳|9题型（每题型含典例+3变式）|分类讨论分层步骤、参变分离转化最值、主元法变量转换等9类具体方法|从含参解法到整数解、恒成立、根分布，再到与基本不等式、绝对值、高斯函数综合，形成递进逻辑| |压轴挑战|4类题（选择/填空/解答）|综合应用前述方法解决复杂问题|整合多知识点，提升知识迁移与逻辑推理能力|

专题05 一元二次不等式 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分类讨论解含参一元二次不等式 题型六、一元二次不等式综合基本不等式问题 题型二、一元二次不等式的整数解问题 题型七、两个代数式相乘恒成立问题 题型三、参变分离解一元二次不等式在区间上恒成立问题 题型八、含绝对值的一元二次不等式问题 题型四、主元法解一元二次不等式恒成立问题 题型九、一元二次不等式与高斯函数（取整函数） 题型五、一元二次方程根的分布问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次不等式含参问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕二次函数图像性质、判别式取值、解集区间特征、恒成立限定四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是一元二次形式下二次项系数不能为0，二是结合实数根问题时必须验证判别式的取值范围，所有参数求解结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分类讨论解含参一元二次不等式 典例1 解下列关于的不等式： (1)； (2)． 题型模版 1.特征：不等式二次项含有参数，无法直接判定开口方向与根的大小，需要分层讨论求解解集 2.方法：先讨论二次项系数是否为0区分一次、二次不等式；再根据系数正负区分抛物线开口；最后依据判别式三种情况结合“大于取两边，小于取中间”书写解集 变式1-1（25-26高一上·河北唐山·期中）解关于的不等式． 变式1-2（25-26高一下·上海·阶段检测）解关于x的不等式：． 变式1-3（25-26高一上·广东梅州·期末）（多选）设为实数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 类型二、一元二次不等式的整数解问题 典例2 （25-26高一上·福建厦门·阶段检测）关于不等式组的整数解的集合为，则实数的取值范围是______. 题型模版 1.特征：已知不等式解集内整数的个数或者具体整数值，反向求解参数的取值范围 2.方法：先求解不等式得到连续解集区间，借助数轴标注区间范围，利用整数的临界边界列出不等式，严格区分区间开闭与参数等号取舍 变式2-1（25-26高一上·北京·阶段检测）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为______． 变式2-2（25-26高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有8个整数解，则实数的取值范围是__________． 变式2-3（25-26高一上·福建宁德·期中）若关于的不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围是__________. 题型三、参变分离解一元二次不等式在区间上恒成立问题 典例3 若对于，恒成立，求实数的取值范围. 题型模版 1.特征：给定自变量固定区间，不等式在区间内全部实数均成立，式子同时包含自变量与参数两个量 2.方法：将参数与自变量拆分至不等号两侧，构造只含自变量的函数，求出函数在区间上的最值，把恒成立条件转化为参数与函数最值的大小关系 变式3-1（25-26高一上·山东泰安·期末）已知函数 . (1)当时，解不等式； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围. 变式3-2（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数． (1)求关于的不等式的解集； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 变式3-3（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知定义在上的函数（其中）． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 题型四、主元法解一元二次不等式恒成立问题 典例4 （25-26高三·全国·一轮复习）不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 题型模版 1.特征：式子存在两个变量，其中一个变量取值范围固定，另一变量为待求参数 2.方法：选取范围已知的变量作为主元整理不等式，转化为主元的一次或二次恒成立模型，一次型利用区间端点值约束，二次型结合开口方向与判别式求解 变式4-1已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 变式4-2（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的表达式； (2)若，解关于的不等式； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 变式4-3（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知是实数，函数. (1)函数在上单调递减，求的取值范围； (2)若不等式的解集为或，求的值； (3)若，对于成立，求的最大值. 题型五、一元二次方程根的分布问题 典例5 （25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 题型模版 1.特征：给出一元二次方程根所在的区间范围，求解参数取值，依托二次函数图像分析限制条件 2.方法：数形结合列出约束不等式组，包含判别式、对称轴位置、区间端点函数值符号三类条件；两根跨区间只需满足两端函数值乘积小于0 变式5-1（25-26高一上·辽宁丹东·期末）方程有两个正实根，则实数的取值范围为_____． 变式5-2（25-26高一上·重庆江北·阶段检测）已知，，则的最小值为m，方程在上有两个不相等的实根，则t的范围是________. 变式5-3（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型六、一元二次不等式综合基本不等式问题 典例6 （25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知，且，若恒成立，则实数的范围是______． 题型模版 1.特征：先由一元二次不等式限定变量取值范围，再在该定义域内求解分式、整式代数式的最值 2.方法：解不等式得到变量可行域，核验基本不等式一正二定三相等全部条件，确认取等数值落在可行区间内方可使用对应最值 变式6-1（25-26高二下·河北承德·期末）已知，且． (1)求的最小值； (2)若对于任意的，均有恒成立，求实数的取值范围． 变式6-2（24-25高一下·福建福州·阶段检测）已知函数 (1)若的解集为，求实数a，c的值； (2)若，求不等式的解集； (3)若且，求的最小值． 变式6-3（25-26高二下·天津·阶段检测）已知关于的二次函数 (1)若关于的不等式 的解集为，求实数、的值； (2)若实数，满足 ，求关于的不等式的解集．（答案用含有字母a的形式表示） (3)已知 有两个正实数根，，，且满足 ，求的最大值 题型七、两个代数式相乘恒成立问题 典例7 （25-26高一上·广东中山·期末）当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 题型模版 1.特征：两个因式相乘的不等式在定义域内恒成立，需要保证两个因式符号全程统一或者全程相反 2.方法：分别分析两个因式的正负变化区间，结合恒成立要求锁定参数范围，存在零点时单独核验零点处满足不等关系 变式7-1（25-26高一上·山东菏泽·期中）若对任意，不等式恒成立，则实数___________. 变式7-2（25-26高三上·上海·期中）设，若对任意，都有，则_____． 变式7-3（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值集合为___________． 题型八、含绝对值的一元二次不等式问题 典例8 （25-26高一上·山东济南·开学考试）若对任意，不等式恒成立，则________. 题型模版 1.特征：不等式内部带有绝对值符号，绝对值包裹一元二次多项式，无法直接套用一元二次解法 2.方法：按照绝对值等价法则拆分不等式，转化为普通一元二次不等式（组），分别求解后取交集或并集，也可依据绝对值内正负分段讨论求解 变式8-1（24-25高一上·上海杨浦·阶段检测）若不等式对所有恒成立，则的取值范围为__________. 变式8-2若对恒成立，则实数的取值范围为______. 变式8-3（浙江省绿色联盟2020届高三下学期高考适应性考试数学试题）设，不等式对所有的成立，则的最大值是______. 题型九、一元二次不等式与高斯函数（取整函数） 典例9 （25-26高一上·江西上饶·期末）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．若恒成立，则实数 C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 题型模版 1.特征：不等式结合取整运算，利用取整函数的区间特性限制参数 2.方法：联立一元二次不等式解集与取整对应的半开区间求取交集，根据整数匹配关系反向锁定参数精确范围，牢记取整区间左闭右开的格式要求 变式9-1（25-26高一上·浙江杭州·期末）对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，，则不等式成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 变式9-2（25-26高一上·四川眉山·期末）高斯（1777-1855）被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如，.下列命题不正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．若，恒成立，则实数a的取值范围为 D．若不等式的解集为，则 变式9-3（25-26高一上·北京·期中）函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，请你写出一个使不等式成立的充分不必要条件___________ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（24-25高一上·广东惠州·期末）函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，.那么使不等式成立的的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东·阶段检测）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏·阶段检测）若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一上·湖南邵阳·专题练习）关于的不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围（  ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·湖南湘潭·阶段检测）已知，若关于x的不等式的解集中的整数恰有4个，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（25-26高二下·浙江温州·期中）已知关于的不等式组，其中，则下列结论正确的是（   ） A．当时，不等式组的解集为 B．当时，不等式组的解集可以为的形式 C．不等式组的解集恰好为，那么 D．不等式组解集恰好为，那么 三、填空题 7．（25-26高一上·重庆铜梁·阶段检测）已知，若对任意，恒成立，则的最大值为____. 8．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为__________；的最小值为__________. 9．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知．当时，的两根为，则的最小值为___________；当时，恒成立，则的最小值为___________． 10．（24-25高一上·山西·期中）已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是___________. 11．（2026高三·全国·专题练习）若存在实数使得对于任意的恒成立，则最小值为____________． 12．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）若命题“”是真命题，则实数a的取值集合为_______． 四、解答题 13．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知函数在区间上有最大值4和最小值1． (1)求a，b的值； (2)若存在，对任意的都成立；求m的取值范围； (3)设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围． 14．（25-26高一上·广西玉林·阶段检测）已知不等式的解集为． (1)若，求的值； (2)若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； (3)若解关于的不等式：． 15．（2025·海南儋州·模拟预测）已知关于的不等式的解集为. (1)求a，b的值并求解不等式的解集； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 16．已知函数，解关于的不等式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次不等式 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分类讨论解含参一元二次不等式 题型六、一元二次不等式综合基本不等式问题 题型二、一元二次不等式的整数解问题 题型七、两个代数式相乘恒成立问题 题型三、参变分离解一元二次不等式在区间上恒成立问题 题型八、含绝对值的一元二次不等式问题 题型四、主元法解一元二次不等式恒成立问题 题型九、一元二次不等式与高斯函数（取整函数） 题型五、一元二次方程根的分布问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次不等式含参问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕二次函数图像性质、判别式取值、解集区间特征、恒成立限定四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是一元二次形式下二次项系数不能为0，二是结合实数根问题时必须验证判别式的取值范围，所有参数求解结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分类讨论解含参一元二次不等式 典例1 解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． (2)当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为． 【分析】（1）研究时不等式的解集即可． （2）研究时不等式的解集即可． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 题型模版 1.特征：不等式二次项含有参数，无法直接判定开口方向与根的大小，需要分层讨论求解解集 2.方法：先讨论二次项系数是否为0区分一次、二次不等式；再根据系数正负区分抛物线开口；最后依据判别式三种情况结合“大于取两边，小于取中间”书写解集 变式1-1（25-26高一上·河北唐山·期中）解关于的不等式． 【答案】当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 变式1-2（25-26高一下·上海·阶段检测）解关于x的不等式：． 【答案】当时，；当时，；当时，． 【分析】结合不等式的性质，讨论的取值，即可求得答案. 【详解】对不等式进行因式分解得， 当时，原不等式变为，解得，即； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为；． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 变式1-3（25-26高一上·广东梅州·期末）（多选）设为实数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据含参数的一元二次不等式求解方法求解即可. 【详解】当时，原不等式可化为，即，所以， 所以此时不等式的解集为，A正确. 当时，的两根为，. 当时，，此时不等式的解集为，B正确； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为，D正确. 故选：ABD. 类型二、一元二次不等式的整数解问题 典例2 （25-26高一上·福建厦门·阶段检测）关于不等式组的整数解的集合为，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】结合已知条件，对参数进行分类讨论，并结合不等式组的整数解的集合即可求解. 【详解】由或， 由可知， 当时，， 因为不等式组整数解的集合为，所以； 当时，的解为， 则此时不等式组的整数解的集合为 ，不满足题意； 当时，的解为， 则此时不等式组的整数解的集合为空集，不满足题意， 综上所述，实数k的取值范围为. 故答案为：. 题型模版 1.特征：已知不等式解集内整数的个数或者具体整数值，反向求解参数的取值范围 2.方法：先求解不等式得到连续解集区间，借助数轴标注区间范围，利用整数的临界边界列出不等式，严格区分区间开闭与参数等号取舍 变式2-1（25-26高一上·北京·阶段检测）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】分、和三种情况分析解不等式即可求解. 【详解】不等式， 解方程得或， 所以当时，原不等式解集为， 解集中恰有3个整数，则该3个整数为，所以； 当时，原不等式解集为，不符合； 当时，原不等式解集为，解集中恰有3个整数，则该3个整数为， 所以. 综上，满足题意的实数的取值范围为. 故答案为：. 变式2-2（25-26高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有8个整数解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用三个二次关系计算参数，再解含参不等式，结合条件计算即可. 【详解】由不等式的解集为， 得，且方程的两实根分别为和， 则，得：， 所以不等式等价于， 结合，整理可得， 又，则，因此解得：. 因为关于的不等式有且仅有个整数解， 因此，即，解得：. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 变式2-3（25-26高一上·福建宁德·期中）若关于的不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合题意求解即可. 【详解】，即， 当时，解得，解集中恰有1个整数，则， 当时，解得，解集中恰有1个整数，则， 所以的取值范围是. 故答案为：. 题型三、参变分离解一元二次不等式在区间上恒成立问题 典例3 若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】含参恒成立问题，通过，，可直接分离参数，转化为在上恒成立问题，即，计算即可. 【详解】要使 在上恒成立， 即 ，， 因为当时，，则有在上恒成立， 当，令，即， 所以在上恒成立，则， 即，故实数的取值范围为. 题型模版 1.特征：给定自变量固定区间，不等式在区间内全部实数均成立，式子同时包含自变量与参数两个量 2.方法：将参数与自变量拆分至不等号两侧，构造只含自变量的函数，求出函数在区间上的最值，把恒成立条件转化为参数与函数最值的大小关系 变式3-1（25-26高一上·山东泰安·期末）已知函数 . (1)当时，解不等式； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）将代入函数的表达式，通过解具体的一元二次不等式求其解集 （2）先将不等式进行化简，然后通过分离参数法，将问题转化为求函数的最值问题，进而求出实数的取值范围。 【详解】（1）（1）当时，， 则， 解得：或，即不等式的解集为：； （2）由不等式可得： (*)， 因为，所以， 则(*)等价于，， 再令，则， 令函数， 因为在单调递减，在单调递增， 且， 所以， 由对任意的都恒成立， 则， 所以实数的取值范围是. 变式3-2（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数． (1)求关于的不等式的解集； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的形式可直接得到不等式解集，注意分情况讨论. （2）方法1：分离参数，问题转化为，，再利用基本不等式，求代数式，的最小值即可； 方法2：问题可转化为二次不等式在区间上恒成立的问题，再结合函数的思想求的取值范围. 【详解】（1）由，得， 令，可得或， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （2）方法一：因为，可得． 因为，得，所以，即． 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以． 因为，所以，即实数a的取值范围是． 方法二：对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立． 令， 当时，即时，，符合题意． 当时，即时，，解得，又，则． 综上所述，实数a的取值范围是． 变式3-3（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知定义在上的函数（其中）． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先因式分解得到，再根据关于的不等式的解集为，由求解. （2）将不等式对任意恒成立，根据，转化为求解. 【详解】（1）， 因为关于的不等式的解集为， 所以， 解得 （2）因为不等式对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 因为， 所以 所以，对任意恒成立， 而，当且仅当 ，即 时，取等号， 所以 ， 所以的取值范围. 题型四、主元法解一元二次不等式恒成立问题 典例4 （25-26高三·全国·一轮复习）不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意，构造关于的函数，，通过函数两端点的函数值都小于即可求解. 【详解】根据不等式，构造关于的函数，令，， 根据题意，对任意，恒成立，由于是一次函数，只要两端点的函数值都小于即可， 即，所以，化简得，解得， 所以实数的取值范围是. 题型模版 1.特征：式子存在两个变量，其中一个变量取值范围固定，另一变量为待求参数 2.方法：选取范围已知的变量作为主元整理不等式，转化为主元的一次或二次恒成立模型，一次型利用区间端点值约束，二次型结合开口方向与判别式求解 变式4-1已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在实数 (2) 【分析】（1）原不等式等价于，对二次项系数进行讨论，结合一元二次不等式恒成立求解即可. （2）设，则是关于的一次函数，得到联立求解即可. 【详解】（1）原不等式等价于． 当时，，解得，不满足题意， 当时，则，即，无实数解. 所以，不存在实数，使得不等式对恒成立． （2）设，当时，恒成立． 又是关于的一次函数， 所以恒成立，，解得， 所以. 所以实数的取值范围是． 变式4-2（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的表达式； (2)若，解关于的不等式； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为空集； 当时，不等式的解集为. (3) 【分析】（1）由三个二次的关系以及韦达定理求解即可； （2）通过，，讨论求解即可； （3）令，由求解即可. 【详解】（1）不等式的解集为 即的解集为， 可知方程的两个根为，且， 由根与系数的关系可得，解得， 则； （2）由，即， 得， 当时，解得，不等式的解集为； 当时，解得； 当时，解得，不等式的解集为. 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为空集； 当时，不等式的解集为. （3）不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令， 若时，即或， 当时，满足， 当时，不成立，不满足， 若，需满足，解得，且， 综上可知：实数的取值范围为. 变式4-3（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知是实数，函数. (1)函数在上单调递减，求的取值范围； (2)若不等式的解集为或，求的值； (3)若，对于成立，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，利用二次函数的图象与性质，列出不等式，即可求解； （2）根据题意，得到和是方程的解，结合一元二次方程根与系数的关系，列出方程组，即可求解； （3）根据题意，转化为对成立，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：函数，可得函数的图象开口向上，对称轴为， 因为函数在上单调递减，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. （2）解：由不等式的解集为或， 即不等式的解集为或， 即和是方程的解，可得，解得. （3）解：因为，对于成立， 即，不等式对成立， 即对成立，所以，即， 两式相加，可得，即， 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值为. 题型五、一元二次方程根的分布问题 典例5 （25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】1）根据三个二次的关系并结合二次函数图象可得不等式组，解不等式组可得； （2）先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得. 【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则 ， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 题型模版 1.特征：给出一元二次方程根所在的区间范围，求解参数取值，依托二次函数图像分析限制条件 2.方法：数形结合列出约束不等式组，包含判别式、对称轴位置、区间端点函数值符号三类条件；两根跨区间只需满足两端函数值乘积小于0 变式5-1（25-26高一上·辽宁丹东·期末）方程有两个正实根，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【分析】若一元二次方程有两个正实根，则需满足，直接列不等式求解即可. 【详解】因为方程有两个正实根 ， 所以 ，解得 ； 实数的取值范围为. 故答案为：. 变式5-2（25-26高一上·重庆江北·阶段检测）已知，，则的最小值为m，方程在上有两个不相等的实根，则t的范围是________. 【答案】 【分析】利用基本不等式求出，再利用一元二次方程实根分布列式求出取值范围. 【详解】由，得， 当且仅当，即时取等号，则， 方程，由，得， 依题意，关于的一元二次方程在上有两个不相等的实根， 因此，解得， 所以t的值范围是. 故答案为： 变式5-3（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组求解即得. 【详解】令，设的两根为， 由都在区间内，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：D 题型六、一元二次不等式综合基本不等式问题 典例6 （25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知，且，若恒成立，则实数的范围是______． 【答案】 【分析】先由基本不等式“1”的妙用求出，进而得到不等式，求出答案 【详解】，且， 故， 当且仅当，即，时成立， 要使原式恒成立只需， ，解得 题型模版 1.特征：先由一元二次不等式限定变量取值范围，再在该定义域内求解分式、整式代数式的最值 2.方法：解不等式得到变量可行域，核验基本不等式一正二定三相等全部条件，确认取等数值落在可行区间内方可使用对应最值 变式6-1（25-26高二下·河北承德·期末）已知，且． (1)求的最小值； (2)若对于任意的，均有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式直接求解即可； （2）结合“”的妙用，将恒成立，转化为，进而求出结果即可. 【详解】（1）因为，，所以， 所以，则，， 当且仅当，即，时等号成立. （2）由得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. 由恒成立，则得， 解得，所以实数的取值范围为. 变式6-2（24-25高一下·福建福州·阶段检测）已知函数 (1)若的解集为，求实数a，c的值； (2)若，求不等式的解集； (3)若且，求的最小值． 【答案】(1)， (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 (3) 【分析】（1）借助韦达定理计算即可得； （2）借助根的判别式，分、、与进行讨论即可得； （3）借助基本不等式计算即可得. 【详解】（1）由已知的解集为， 所以，3是方程的解，且， 所以，， 所以，； （2）若，不等式可化为， 方程的判别式， 当，即且时， 方程的两根为，， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （3）因为，所以， 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，时等号成立， 即当且仅当，时等号成立； 所以的最小值为. 变式6-3（25-26高二下·天津·阶段检测）已知关于的二次函数 (1)若关于的不等式 的解集为，求实数、的值； (2)若实数，满足 ，求关于的不等式的解集．（答案用含有字母a的形式表示） (3)已知 有两个正实数根，，，且满足 ，求的最大值 【答案】(1)， (2)当时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为；当 时，原不等式的解集为；当 时，原不等式的解集为 (3) 【分析】（1）由二次不等式解集为两根之外，可知二次项系数为正且对应方程的两根为区间端点，利用韦达定理建立方程组求得； （2）代入 后因式分解为 ，对分情况讨论，分别写出对应解集； （3）由两个正根得 及韦达定理，结合平方和条件导出与的关系，再代入目标式并利用基本不等式求最大值． 【详解】（1）由 的解集为或 ，得与1是方程 的两个实根，且， 因此，解得， ， 所以， ． （2）由 ，，则不等式化为： ， 当时，不等式化为 ，无解； 当时， ，解得 ； 当 时， ，解得； 当 时， ，解得或， 所以当时，原不等式的解集为 ； 当 时，原不等式的解集为； 当 时，原不等式的解集为； 当 时，原不等式的解集为． （3）由方程 有两个不等的正实数根，， 得， 由 ，得 ，则 ，即 ， 由 ，，得 ，，解得 ， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为 ． 题型七、两个代数式相乘恒成立问题 典例7 （25-26高一上·广东中山·期末）当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】先分和进行讨论，当时根据不等式讨论分析可知：为的零点，可得，结合基本不等式求解. 【详解】由可得. 当时，由可得，因为关于的不等式恒成立，所以， 因为是开口向上的抛物线，所以不恒成立，故舍去； 当时，则有当时，；当时，. 因为在时恒成立， 所以当时，；当时，. 即是 的零点. 所以，化简可得， 所以，当且仅当， 即等号成立. 故答案为： 题型模版 1.特征：两个因式相乘的不等式在定义域内恒成立，需要保证两个因式符号全程统一或者全程相反 2.方法：分别分析两个因式的正负变化区间，结合恒成立要求锁定参数范围，存在零点时单独核验零点处满足不等关系 变式7-1（25-26高一上·山东菏泽·期中）若对任意，不等式恒成立，则实数___________. 【答案】 【分析】对参数的取值范围分类讨论，再由不等式恒成立得出相应方程即可求得实数的值. 【详解】当时，对任意可知， 若不等式恒成立，则对任意恒成立； 易知函数的图象以为对称轴，所以在上单调递增， 又因为，即与轴有两个交点，易知， 所以对任意不恒成立，不合题意； 当时， 易知时，,当时，； 令可得，又， 结合已有分析可知当时，，当时，； 若对任意，不等式恒成立，可知才能满足题意； 解得或(舍). 所以. 故答案为： 变式7-2（25-26高三上·上海·期中）设，若对任意，都有，则_____． 【答案】 【分析】先根据已知不等式构造函数，，分析得出，再利用二次函数性质得出在和上的符号，结合已知条件得出在相应区间上的符号，最后利用一次函数的性质列不等式组得出的关系，结合求出，从而求解． 【详解】设，， 当时，，但不可能在时恒成立（如）， 不满足对任意，都有，， 时，；时，； 若对任意，都有，则 在时，；在时，， 为一次函数，则， 解得， ，则， ． 故答案为：． 变式7-3（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值集合为___________． 【答案】 【分析】先根据函数与轴交点得的正负性，再分的范围讨论正负，进而找不等式恒成立的条件即可. 【详解】的图象开口向上，又因为，图象恒过， 所以函数的图象与轴有一正一负的2个交点， 设方程的两个根分别为， 所以在上，，在，上， 当时，在上，， 于是上，， 不等式不恒成立； 当时，由可解得， 则在上，，在上，， 要使不等式恒成立，则，如图所示： 把代入方程中，即， 整理得，解得， 又因为，则． 综上所述，实数的取值集合为． 故答案为：. 题型八、含绝对值的一元二次不等式问题 典例8 （25-26高一上·山东济南·开学考试）若对任意，不等式恒成立，则________. 【答案】3 【分析】根据绝对值不等式转化为二次不等式组，构造，通过特殊赋值得到关于的不等式组，先令待定系数，再通过整体的范围，利用不等式的性质可求的范围，进而可结合所得范围求解可得. 【详解】因为对任意，不等式恒成立， 所以对任意，恒成立. 设， 由可得，即①， 由可得，即②， 由可得，即③， 令， 则由解得， 所以， 由①可得④， 由③可得⑤， 由④+⑤可得⑥， 由②⑥可得. 故答案为：. 题型模版 1.特征：不等式内部带有绝对值符号，绝对值包裹一元二次多项式，无法直接套用一元二次解法 2.方法：按照绝对值等价法则拆分不等式，转化为普通一元二次不等式（组），分别求解后取交集或并集，也可依据绝对值内正负分段讨论求解 变式8-1（24-25高一上·上海杨浦·阶段检测）若不等式对所有恒成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据条件列出不等式，根据不等式的运算，即可求解. 【详解】由条件可知，， ，， ， 则， 则, 由条件可知，，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是不等式的运算，从而构造出. 变式8-2若对恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】根据绝对值定义，将不等式转化为两个不等式恒成立问题，最后求交集得结果. 【详解】因为对恒成立， 当时，或恒成立， 因此； 当时，恒成立， 因此； 综上： 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立、绝对值定义，考查综合分析求解能力，属较难题. 变式8-3（浙江省绿色联盟2020届高三下学期高考适应性考试数学试题）设，不等式对所有的成立，则的最大值是______. 【答案】 【分析】令，题意有，，再写出，三式消去后即得的不等关系后可得结论． 【详解】令，，则，于是 ①     ② ③ 由①+②-③，得，故. 此时. 故答案为：． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查二次函数的性质．解题关键是由不等式恒成立，写出几个式子消去参数．本题考查了转化与化归思想． 题型九、一元二次不等式与高斯函数（取整函数） 典例9 （25-26高一上·江西上饶·期末）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．若恒成立，则实数 C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 【答案】ACD 【分析】根据“高斯函数”的定义和性质，解不等式判断选项A；求出的取值，结合不等式恒成立求的取值范围，判断选项B；解不等式判断选项C；解不等式，利用解集求的取值范围，判断选项D． 【详解】满足不等式的整数为， 对应，对应，对应， 满足不等式的区间为，故A正确； 当时，的取值为，令，不等式对恒成立， 时：； 时：； 时：； 时：； 综上可得，，故B错误； ，解得， 是整数，故无满足条件的整数解， 解集为，故C正确； 不等式的解集为，则， 令，不等式化为， 当时，，，则， ， 当时，需满足，解得， 综上可得，故D正确 故选：ACD． 题型模版 1.特征：不等式结合取整运算，利用取整函数的区间特性限制参数 2.方法：联立一元二次不等式解集与取整对应的半开区间求取交集，根据整数匹配关系反向锁定参数精确范围，牢记取整区间左闭右开的格式要求 变式9-1（25-26高一上·浙江杭州·期末）对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，，则不等式成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式，即可得出使不等式成立的一个必要不充分条件. 【详解】由不等式，得，解得， 又表示不小于的最小整数，所以或，即， 观察选项，D选项的包含，满足要求， 故选：D 变式9-2（25-26高一上·四川眉山·期末）高斯（1777-1855）被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如，.下列命题不正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．若，恒成立，则实数a的取值范围为 D．若不等式的解集为，则 【答案】C 【分析】首先要明确取整函数的含义，对A转化为一元二次不等式有整数解的问题可得；对B则由条件得，然后再分别求x值，最后再求并集可得；对C先由条件得，再分别求不等式恒成立的a的值，最后再取交集可得；对D由条件得，再分别求m的范围，最后取交集可得. 【详解】令， 对于A：不等式变为，解得，但，所以n不存在，故原不等式解集为，所以A正确 对于B：由，即，所以满足的整数或或. 若，则；若，则；若，则. 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C：因为，所以或或或. 而恒成立，即对恒成立，不等式变形为， 当时，；当时，；当时，；当时，； 所以要对恒成立，得，故C不正确； 对于D：因为不等式的解集为，即时满足，时不满足. 当时，，即；当时，，即； 当时，，即；当时，，即. 综上所述，得，故D正确. 故选：C 变式9-3（25-26高一上·北京·期中）函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，请你写出一个使不等式成立的充分不必要条件___________ 【答案】（答案不唯一，只要是集合的真子集对应的范围即可）． 【分析】先解不等式可得，从而可得，再利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，所以， 解得，所以， 记集合， 则使不等式成立的充分不必要条件应是集合的真子集对应的范围， 如， 故答案为：（答案不唯一，只要是集合的真子集对应的范围即可）． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（24-25高一上·广东惠州·期末）函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，.那么使不等式成立的的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式，可得出的可能取值，结合题中定义可得出的取值范围. 【详解】由可得， 由题中定义可知的可能取值有、， 当时，；当时，. 综上所述，使不等式成立的的范围是. 故选：C. 2．（25-26高一上·广东·阶段检测）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用已知条件将等式变形为1的表达式，再通过“1的代换”将展开，最后应用基本不等式求出最小值，再根据不等式恒成立的条件，将问题转化为关于的不等式，从而确定的取值范围. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 若不等式恒成立，则， 所以，解得. 故选：C 3．（25-26高一上·江苏·阶段检测）若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有3个整数解求出实数的取值范围. 【详解】不等式可化为， 当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为， 其解集中恰有3个整数解，所以，解得； 当时，原不等式等价于， 其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为， 其解集中恰有3个整数解，所以，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：B. 4．（2025高一上·湖南邵阳·专题练习）关于的不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对参数分类讨论求解不等式，再根据解得情况分析可得实数的取值范围. 【详解】由可得 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍去， 当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍去， 当时，不等式的解集为，因为有且仅有3个正整数解，故正整数解为1，2，3，所以， 综上，实数的取值范围是. 故选：. 5．（25-26高一上·湖南湘潭·阶段检测）已知，若关于x的不等式的解集中的整数恰有4个，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式变形为，进而可得，解该不等式可得，继而可得整数解为，根据即可求解. 【详解】由，得，由于该不等式的解集中的整数恰有个，有， 由不等式可得， 又由于，故，解得， 由于，且时，满足不等式， 故该不等式的4个整数解为， 因此，得且， 结合，因此且，解得， 故选：A. 二、多选题 6．（25-26高二下·浙江温州·期中）已知关于的不等式组，其中，则下列结论正确的是（   ） A．当时，不等式组的解集为 B．当时，不等式组的解集可以为的形式 C．不等式组的解集恰好为，那么 D．不等式组解集恰好为，那么 【答案】ABD 【分析】根据已知得，结合各项的描述及一元二次不等式的解法依次分析各项的正误即可. 【详解】由，可得， A：当，显然，而，即不等式无实数解，对， B：当，则，而，故， 所以不等式组的解集可以为的形式，对， C、D：当不等式组解集恰好为，则， 所以，不等式的解集，即的解集为， 所以，可得，其中（此时不满足，舍）， 所以或（舍），故，C错，D对. 三、填空题 7．（25-26高一上·重庆铜梁·阶段检测）已知，若对任意，恒成立，则的最大值为____. 【答案】/ 【分析】先令，可得，再根据恒成立，可得，，由此可得，再验证符合恒成立即可． 【详解】令，则，故， 对任意，，则恒成立， ∴ ∴，此时， ∴，当时取等号， 此时成立， ∴的最大值为． 故答案为：． 8．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为__________；的最小值为__________. 【答案】 【分析】①根据不等式的解集和韦达定理确定的关系式，进而可求得不等式的解集；②利用的关系式化简原式，根据基本不等式的性质求得最小值. 【详解】因为关于的不等式的解集为，所以且和2是方程的两个根， 则有，所以. 所以不等式化简得， 解得或，所以不等式的解集为. . 因为，所以，根据基本不等式的性质可得， 当且仅当，即时等号成立，此时取得最小值为. 故答案为：；. 9．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知．当时，的两根为，则的最小值为___________；当时，恒成立，则的最小值为___________． 【答案】 6 【分析】第一空：由韦达定理结合配方法即可求解；第二空，通过，讨论的符号，得到时，，再结合基本不等式即可求解. 【详解】当时，， 则， 当时等号成立， 故的最小值为． 由，可知函数在上单调递增， 易知当时， 当时，． 由在时恒成立， 则当时，； 当时，， 所以当时，，即， 所以有，即， 故， 从而，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为6． 故答案为：． 10．（24-25高一上·山西·期中）已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】由根与系数的关系得到不等式，即可解出实数的取值范围. 【详解】设方程的一正一负两个根为， 则，解得， 故答案为：. 11．（2026高三·全国·专题练习）若存在实数使得对于任意的恒成立，则最小值为____________． 【答案】 【分析】解法一：多点控制，先利用区间端点 代入不等式，得到关于 的约束条件，再通过三角不等式进行放缩，直接求出 的下界； 解法二：数形结合，利用将不等式 转化为两个函数图像的位置关系，即 的图像始终在 的图像下方解答即可； 解法三：平口单峰，利用将原不等式变形为 ，问题转化为求函数 在区间 上的最大值的最小值即可. 【详解】解法一：多点控制：由题意知当，代入得： 则， 所以，即， 结合，所以， 所以，即， 当且仅当时取等号，故 的最小值为 . 解法二：数形结合：当 时，函数 关于 轴对称， 原不等式等价于 的图像始终在 的图像下方， 画出及的图象， 可得右端点值，顶点值（函数图象在处交点），即． 解法三：平口单峰：由题意得对任意的恒成立， 根据平口单峰函数可得，令，易得，所以， 所以函数 在区间 上的最大值为 ，这就是满足条件的最小 ， 所以 . 12．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）若命题“”是真命题，则实数a的取值集合为_______． 【答案】 【分析】先将全称命题“恒成立”转化为函数恒成立问题，对函数化简，再根据参数与的取值范围分析不等式的成立条件， 最后将符合题意的参数取值范围合并，得解即可. 【详解】因为命题“”为真， 则意味着对所有，恒成立； 当时，则表达式变为， 当时，，不满足恒成立，故； 当时，当时，，需对所有恒成立， 但是开口向上的二次函数，当时，， 无法满足恒小于等于0，故不成立； 当时，令，得（）， 将代入，得， 要使对所有恒成立， 需是的根（即两个因式在时同号或同时为0）， 因此，即，所以（负根舍去）， 验证：当时，，， 解方程，解得或（舍去） 而，故两因式的正零点重合于； 当时，，，故 ； 当时，，且，故 ； 当时，，且，故 ； 满足对所有，， 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 四、解答题 13．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知函数在区间上有最大值4和最小值1． (1)求a，b的值； (2)若存在，对任意的都成立；求m的取值范围； (3)设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二次函数的单调性结合题意建立方程，求解参数即可. （2）结合题意转化为一次函数的恒成立问题，进而建立不等式组，求解参数即可. （3）先求出，再利用分离参数法求解参数范围即可. 【详解】（1）由题意得； ∵，∴在上单调递增， ，可得，解得， 则为所求值. （2）由上问得，当时，， 又∵存在，对任意的都成立， ∴对任意的都成立， 即对任意的都成立，其中看作自变量，看作参数， 即，解得. （3）由题意得， 由， 令， ，而不等式在上有解， ，又， 而， ，故实数的取值范围是. 14．（25-26高一上·广西玉林·阶段检测）已知不等式的解集为． (1)若，求的值； (2)若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； (3)若解关于的不等式：． 【答案】(1)； (2)； (3)且. 【分析】（1）由题意可得不等式的解集为，且不等式的解集为，然后利用根与系数的关系可得，，从而可求得的值； （2）结合（1）可得恒成立，可得，再由不等式有且仅有9个整数解，得，从而可求得的取值范围； （3）当时，由（1）的方法可得，再由恒成立，可得，从而可求得不等式的解集. 【详解】（1）因为，不等式的解集为，结合二次函数图象的对称性， 不等式的解集为，且不等式的解集为， 所以方程的两个根分别为2和3，则，得，， 经验证满足不等式的解集为，所以. （2）由（1）知，，不等式可化为， 由（1）知不等式的解集为，所以恒成立， 所以，解得， 不等式等价于， 所以，得， 因为不等式有且仅有9个整数解， 所以，解得， 综上，的取值范围为. （3）若，同（1）分析，不等式的解集为，的解集为， 所以方程的两个根分别为2和3，则，得， 所以不等式的解集为，则恒成立， 所以，解得， 所以所求不等式为，解得或， 即不等式的解集为且. 15．（2025·海南儋州·模拟预测）已知关于的不等式的解集为. (1)求a，b的值并求解不等式的解集； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，；解集为. (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理即可求出，的值，进而求解不等式. （2）根据基本不等式求出的最值，结合不等式恒成立即可求出范围. 【详解】（1）由题意知，1和2是的两个根，且， 所以，，解得，. 将，代入可得，，即， 解得或. 所以解集为. （2）由（1）知，（，）， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为8. 又恒成立，故恒成立，即，解得. 的取值范围为. 16．已知函数，解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】先对不等式进行化简变形，再分与讨论，进而对两根的大小进行讨论，最后合并求解． 【详解】不等式等价于， 即， 当时，不等式可化为，解得，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，： 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或． 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $