专题1.2 全等三角形 重难点题型专训 -2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦全等三角形核心知识点，从全等图形概念切入，系统梳理全等三角形的定义、对应元素及表示方法，延伸至性质（对应边与角相等、周长面积等关系）和全等变换（平移、翻折、旋转），构建从基础概念到性质应用的学习支架。 资料亮点在于分层设计题型，基础题型（图形识别、分割）与提高题型（综合应用）结合，通过七巧板、网格图等实例培养几何直观（数学眼光），综合题训练推理能力（数学思维），自我检测助力课后查漏补缺，课中辅助教师分层教学，提升学生应用意识。

专题1.2 全等三角形重难点题型专训 （3个知识点+4大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 图形的全等】 3 【基础题型二 将已知图形分割成几个全等图形】 4 【基础题型三 全等三角形的概念】 5 【基础题型四 全等三角形的性质】 7 第二部分·练提高题型 【提高题型一 全等三角形的概念与性质综合应用】 10 第三部分・自我检测 知识点01 全等三角形 1. 全等三角形的有关概念 一个三角形经过平移、轴对称或旋转变换后得到另一个三角形. 这两个三角形可以重合. 我们把两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“”表示，读作“全等于”． 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图中的与全等，记作“”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广西崇左·开学考试）如图，七巧板中有个等腰直角三角形（），其中与三角形全等的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：______ ． 知识点02 全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2. 全等三角形的其他性质 （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 2．（25-26八年级上·福建泉州·课后练习）如图，，顶点、分别与顶点、对应，点在边上，边与边相交于点．若，，线段的长__________． 知识点03 全等变换 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 如图（1），把沿BC所在直线向右平移一段距离，得到，则． 如图（2），把沿BC所在直线翻折，得到，则． 如图（3），把绕点A旋转，得到，则． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏苏州·课后练习）如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·随堂练习）与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是_____． 【基础题型一 图形的全等】 【例1】（25-26八年级上·新疆省直辖县级单位·阶段检测）下列各组图形中，属于全等图形的是（   ） A．形状相同但大小不同的两个三角形 B．能够完全重合的两个正方形 C．一个圆和一个椭圆 D．长为3、宽为2的长方形和长为2、宽为1的长方形 【例2】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）如图是某厂房的平面图，请你指出，其中全等的有_____组．    1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 2．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②三角形的三条高相交于三角形内一点；③面积和周长分别相等的两个图形一定是全等图形；④一个三角形的三个内角中至少有两个锐角；⑤平行于同一条直线的两条直线互相垂直：⑥和是同旁内角，且，那么．这些说法中正确有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，正六边形中包含__________个全等的等腰梯形． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的是两个全等的五边形，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出两图中其他的对应顶点、对应边和对应角，并说出图中a、b、c、d、e、各字母所表示的值． 【基础题型二 将已知图形分割成几个全等图形】 【例1】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）下列图标中，不是由全等形组合成的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·福建宁德·课后练习）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______． 1．（23-24八年级上·广西钦州·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 2．（26-27八年级上 全国）如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025八年级上 湖北黄石·课后作业）如图所示的三角形是由左边的梯形经过连续的旋转形成的图案，则它们的旋转角度是________．    4．（23-24八年级上·广东·期中）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【基础题型三 全等三角形的概念】 【例1】（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（    ） A．等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形 B．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 C．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形 D．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 【例2】（24-25八年级上·全国·暑假作业）如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 1．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）下列各命题的逆命题是真命题的是（  ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．若，则 2．（23-24八年级上·山西临汾·期中）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级上·北京海淀·期中）已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上，请按要求完成作图：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． (1)如图1，在网格内找一点，使得，作出（与不重合）． (2)如图2，作边上的中线，并求出的面积． 【基础题型四 全等三角形的性质】 【例1】（25-26八年级上·贵州毕节·课后练习）如图，已知，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（25-26八年级上·宁夏银川·课后练习）如图，已知，顶点分别与顶点对应，则______． 1．（23-24八年级上 安徽马鞍山·课后作业）如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·吉林长春·课后练习）如图，在中，，将沿射线方向平移得到，与交于点G，若平移距离为2，，，则阴影部分的面积是（     ）． A．12 B．14 C．15 D．17 3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·课后练习）已知的三边长为3，，6，的周长为16，若，则的值为________________． 4．（25-26八年级上·江西南昌·课后练习）解不等式及证明 (1)解不等式：． (2)如图，，且点在同一直线上，点在同一直线上．若，求证：． 【提高题型一 全等三角形的概念与性质综合应用】 【例1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的是纸飞机的示意图，在折叠的过程中，使得和能够重合，和重合，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的有______（填序号）． 1．（25-26八年级上·河南郑州·课后练习）如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 2．（25-26八年级上·山东青岛·课后练习）下列是假命题的是（    ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．全等三角形的面积相等 D．同角的余角相等 3．（25-26八年级上·吉林长春·课后练习）如图，在直角三角形中，，，将绕点逆时针旋转得到，点落在上，延长交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④若，，连接，则的面积是4．上述结论中，正确结论的序号有_______． 4．（2026八年级上 福建福州·课后作业）已知：如图，将，沿边翻折得，沿边的垂直平分线翻折得． 求证：． 1．（25-26八年级上·广西北海·课后练习）下列命题是假命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．若，则， C．对顶角相等 D．完全重合的两个图形全等 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·甘肃兰州·课后练习）如图，两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形．已知，，则有下列说法：其中一定错误的是（     ） A． B． C． D．图中阴影部分的面积为 5．（23-24八年级上 江西赣州·课后作业）如图，将这四个全等的直角三角形无缝隙、无重叠地拼接在一起，能拼接成四边形且是轴对称图形的个数（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 7．（2024八年级上 山西·课后作业）如图，边长为的正方形纸片被分成全等的四部分（图），阴影四边形的最短边为，将其重新拼接得到新的正方形（图），则如图小正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 11．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则_____． 12．（25-26八年级上·上海青浦·期中）如图，下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形，又能拼出三角形的是图形（请填图形下面的代号）______． 13．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是小方格的顶点）．若格点△ACP与△ABC全等（不与△ABC重合），则所有满足条件的点P有_____个． 14．（25-26八年级上·吉林长春·课后练习）如图，将绕点A逆时针旋转得到．连结和．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 15．（25-26八年级上·河南南阳·课后练习）如图，中，点在边上，点在线段上，点在的延长线上，且．若的面积为，的面积为，则的面积为________． 16．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 17．（25-26八年级上·北京·期中）方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线． 18．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，，和是对应角． 在中，是最长边．在中，是最长边，且． (1)写出其他对应边及对应角； (2)求线段及线段的长度． 19．（25-26八年级上·湖南衡阳·课后练习）如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 20．（25-26八年级上·浙江宁波·课后练习）如图所示，，且点在同一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)线段与线段相等吗？说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 全等三角形重难点题型专训 （3个知识点+4大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 图形的全等】 4 【基础题型二 将已知图形分割成几个全等图形】 5 【基础题型三 全等三角形的概念】 9 【基础题型四 全等三角形的性质】 13 第二部分·练提高题型 【提高题型一 全等三角形的概念与性质综合应用】 19 第三部分・自我检测 知识点01 全等三角形 1. 全等三角形的有关概念 一个三角形经过平移、轴对称或旋转变换后得到另一个三角形. 这两个三角形可以重合. 我们把两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“”表示，读作“全等于”． 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图中的与全等，记作“”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广西崇左·开学考试）如图，七巧板中有个等腰直角三角形（），其中与三角形全等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：与三角形全等的是． 2．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：______ ． 【答案】 【详解】解：在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：． 知识点02 全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2. 全等三角形的其他性质 （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】先得出，进而可得，再求出，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·福建泉州·课后练习）如图，，顶点、分别与顶点、对应，点在边上，边与边相交于点．若，，线段的长__________． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的性质得到、，再利用进行求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ，， ． 知识点03 全等变换 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 如图（1），把沿BC所在直线向右平移一段距离，得到，则． 如图（2），把沿BC所在直线翻折，得到，则． 如图（3），把绕点A旋转，得到，则． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏苏州·课后练习）如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同，对各选项进行判断即可． 【详解】A项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意； B项：两图形形状、大小相同，能够完全重合，符合题意； C项：两图形大小不同，不能重合，不符合题意； D项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意． 2．（24-25八年级上·全国·随堂练习）与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是_____． 【答案】5269 【分析】本题考查全等图形的概念，根据全等的性质把这四位数旋转所得图形与原来的图形全等，翻转过来所得四位数是5269． 【详解】解：四位数6925旋转得到5269， 与电子显示的四位数6925不相等，但为全等图形的四位数是5269， 故答案为：5269． 【基础题型一 图形的全等】 【例1】（25-26八年级上·新疆省直辖县级单位·阶段检测）下列各组图形中，属于全等图形的是（   ） A．形状相同但大小不同的两个三角形 B．能够完全重合的两个正方形 C．一个圆和一个椭圆 D．长为3、宽为2的长方形和长为2、宽为1的长方形 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等图形的判定，根据定义能够完全重合的两个图形叫做全等形得出是解题关键． 【详解】解：根据定义可知，能够完全重合的两个正方形即为全等图形， 故选：B． 【例2】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）如图是某厂房的平面图，请你指出，其中全等的有_____组．    【答案】3/三 【分析】本题考查了全等图形的知识．根据全等的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可． 【详解】解：根据全等的定义可知， 全等图形有：  和  ，  和  ，  和  ， ∴图中有3组全等的图形． 故答案为：3． 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 【答案】A 【分析】此题考查了全等图形，根据图示可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形，进而利用全等图形的性质解答即可，解题的关键是根据三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形， ∴，， ∴图中阴影部分小于余下白色部分的面积， 故选：． 2．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②三角形的三条高相交于三角形内一点；③面积和周长分别相等的两个图形一定是全等图形；④一个三角形的三个内角中至少有两个锐角；⑤平行于同一条直线的两条直线互相垂直：⑥和是同旁内角，且，那么．这些说法中正确有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据平行公理，三角形高的概念，全等图形的概念，三角形内角和定理，平行线的性质，同旁内角的定义，依次判断，即可求解， 本题考查了，平行公理，三角形高的概念，全等图形的概念，三角形内角和定理，平行线的性质，同旁内角的定义，解题的关键是：熟练掌握相关概念，定理． 【详解】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误， 钝角三角形的三条高所在直线交于三角形外于一点，故②错误， 面积和周长分别相等的两个图形不一定是全等图形，故③错误， 三角形的三个内角中至少有两个锐角，故④正确， 平行于同一条直线的两条直线互相平行，故⑤错误， 两直线平行，同旁内角互补，故⑥错误， 综上所述，只有④正确， 故选：A． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，正六边形中包含__________个全等的等腰梯形． 【答案】 6 【分析】根据全等的性质来举例即可求解． 【详解】解：根据题意得图， 可知正六边形中每条边都相等，每个内角都相等 包含有6个等边三角形， 则三个相邻的等边三角形组成的四边形是等腰梯形， 则四边形,四边形,四边形,四边形,四边形,四边形都是等腰梯形， 则有6个全等的等腰梯形． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的是两个全等的五边形，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出两图中其他的对应顶点、对应边和对应角，并说出图中a、b、c、d、e、各字母所表示的值． 【答案】点A与点G、点C与点I、点E与点F分别是对应顶点， 边和边、边和边、边和边、边和边、边和边分别为对应边，和、和、和、和、和分别为对应角， 【分析】根据全等图形的性质解答即可． 【详解】解：∵五边形和五边形为两个全等的五边形，点B与点H、点D与点J， ∴点B与点H、点D与点J、点A与点G、点C与点I、点E与点F分别是对应顶点， 边和边、边和边、边和边、边和边、边和边分别为对应边，和、和、和、和、和分别为对应角， ∵，， ∴． 【基础题型二 将已知图形分割成几个全等图形】 【例1】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）下列图标中，不是由全等形组合成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等图形的概念分析即可． 本题考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形是全等图形是解题的关键． 【详解】解：A、该图像是由四个全等的图形构成，故该选项不符合题意； B、该图像是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意； C、该图像不是由全等图形构成，故该选项符合题意； D、该图像是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（23-24八年级上·福建宁德·课后练习）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______． 【答案】7 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 【详解】解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质. 1．（23-24八年级上·广西钦州·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成， ∴． 故选：B． 2．（26-27八年级上 全国）如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d三个图形中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案． 【详解】由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等． 故选：． 【点睛】本题既考查了全等图形的知识，还考查了整体与部分的关系． 3．（2025八年级上 湖北黄石·课后作业）如图所示的三角形是由左边的梯形经过连续的旋转形成的图案，则它们的旋转角度是________．    【答案】或（为整数） 【分析】本题考查了旋转的性质、全等图形的性质，根据全等图形的性质求出旋转角度是解题的关键．对图形的部分顶点命名，再由旋转的性质得，梯形、梯形、梯形为全等的图形，得出，分2种情况：①梯形绕着点旋转至梯形，再旋转至梯形；②梯形绕着点旋转至梯形，再旋转至梯形；分别求出旋转角度即可解答． 【详解】解：如图，    由旋转的性质得，梯形、梯形、梯形为全等的图形， ，， 又， ， 当梯形绕着点旋转至梯形，再旋转至梯形，则它们的旋转角度是（为整数）； 当梯形绕着点旋转至梯形，再旋转至梯形，则它们的旋转角度是（为整数）； 如图所示的三角形是由左边的梯形经过连续的旋转形成的图案，则它们的旋转角度是或（为整数）． 故答案为：或（为整数）． 4．（23-24八年级上·广东·期中）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等图形的概念，根据能够完全重合的图形为全等图形，在图中画出即可，熟知全等图形的概念是解题的关键． 【详解】解：如图所示： （答案不唯一）． 【基础题型三 全等三角形的概念】 【例1】（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（    ） A．等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形 B．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 C．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形 D．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 【答案】D 【分析】根据图形成轴对称和轴对称图形的定义逐一判断即可，全等三角形不一定是成轴对称，而成轴对称的两个三角形一定是全等的． 【详解】解：A、等腰三角形是以底边中线所在的直线为对称轴的轴对称图形或者说等腰三角形被中线所在的直线分成的两个三角形成轴对称，故该选项错误，不合题意； B、成轴对称的图形必须是两个，一个图形只能是轴对称图形，故该选项错误，不合题意； C、全等三角形不一定是成轴对称，而成轴对称的两个三角形一定是全等的，故该选项错误，不合题意； D、成轴对称的两个三角形一定是全等的，故该选项正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了成轴对称和轴对称图形的定义与性质．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形。对这两个概念要掌握其区别与联系．还考查了全等三角形的定义． 【例2】（24-25八年级上·全国·暑假作业）如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ∵与全等， ∴与是对应角， 又与是对应边， ∴与是对应边， 故答案为：，． 1．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）下列各命题的逆命题是真命题的是（  ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．若，则 【答案】D 【分析】先根据逆命题的定义，交换原命题的题设与结论，得到各选项的逆命题，再用初中数学知识判断逆命题的真假即可． 【详解】解：A、原命题为同位角相等，逆命题为如果有两个角相等，那么这两个角是同位角．相等的角不一定是同位角，因此逆命题是假命题； B、原命题为对顶角相等，逆命题为如果两个角相等，那么它们是对顶角．相等的角不一定是对顶角，因此逆命题是假命题； C、原命题为全等三角形的对应角相等，逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形．仅对应角相等不能判定两个三角形全等，因此逆命题是假命题； D、原命题为若，则，逆命题为若，则． ∵相等的两个数的绝对值一定相等， ∴逆命题是真命题． 2．（23-24八年级上·山西临汾·期中）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及全等变换，以为公共边时有3个三角形，以为公共边时有1个三角形与全等，关键是考虑全面，不要漏解． 【详解】解：如图所示：    以为公共边的三角形有3个，以为公共边的三角形有0个，以为公共边的三角形有1个，共个， 故选：D． 3．（25-26八年级上·北京海淀·期中）已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． 【答案】 4 13 【分析】本题主要考查了新定义的理解，全等三角形的定义， 对于（1），根据新定义解答即可； 对于（2），先确定符合条件的n的值，再确定最大整数即可. 【详解】解：如图所示，中两边长为2和3，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，伴生数不是4，所以n的最大整数是13. 故答案为：4；13. 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上，请按要求完成作图：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． (1)如图1，在网格内找一点，使得，作出（与不重合）． (2)如图2，作边上的中线，并求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，7 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理找到符合要求的点P即可； （2）与中间格线的交点即为中点D，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求．（点P在点A右侧一个单位格点处）； （2）解：如图所示，线段即为所求． 的面积． 【基础题型四 全等三角形的性质】 【例1】（25-26八年级上·贵州毕节·课后练习）如图，已知，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴． 【例2】（25-26八年级上·宁夏银川·课后练习）如图，已知，顶点分别与顶点对应，则______． 【答案】 【分析】由全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ． 1．（23-24八年级上 安徽马鞍山·课后作业）如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据线段间数量关系，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·吉林长春·课后练习）如图，在中，，将沿射线方向平移得到，与交于点G，若平移距离为2，，，则阴影部分的面积是（     ）． A．12 B．14 C．15 D．17 【答案】C 【分析】根据平移前后的两个图形是全等图形，进而得到，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，根据平移的距离求出，然后利用梯形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：∵将沿射线方向平移得到， ∴， ∴, ，， ∴， ∵将沿射线方向平移得到，平移距离为2， ∴，， ， ， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·课后练习）已知的三边长为3，，6，的周长为16，若，则的值为________________． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的性质可得和的周长相等，再根据三角形的周长公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵，且的周长为16， ∴的周长为16， ∵的三边长为3，，6， ∴， 解得：， 当时，三角形三边长为3，7，6， ∵，满足任意两边之和大于第三边， ∴符合题意． 4．（25-26八年级上·江西南昌·课后练习）解不等式及证明 (1)解不等式：． (2)如图，，且点在同一直线上，点在同一直线上．若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 【分析】（1）先去括号，再移项合并同类项，即可求解； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得：； （2）略 【提高题型一 全等三角形的概念与性质综合应用】 【例1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据，得到两组三角形中的边角的关系，得到、为等腰直角三角形，逐个判断各结论的正确性即可． 【详解】解：， ，，，， ， ， ，， ，， ， ，即①正确； 根据现有条件，无法判断②，故②不正确； ，， ， 设延长线交于点H，延长线交交于点M，则， ，即③正确； ，， ， ，即④正确； 综上所述，结论中正确的是①③④． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的是纸飞机的示意图，在折叠的过程中，使得和能够重合，和重合，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的有______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】由折叠得，根据全等三角形性质判断①②③，进而推出，由此判断④，即可求得答案． 本题考查的是翻折变换、全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 【详解】解：由折叠得， ∴，，， ∴，，， 故结论①正确，②正确，结论③错误； 又∵，即， 故结论④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故答案为①②④． 1．（25-26八年级上·河南郑州·课后练习）如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 【答案】C 【分析】根据题意可分两种情况：和，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴当与全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，t的值为2或3． 2．（25-26八年级上·山东青岛·课后练习）下列是假命题的是（    ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．全等三角形的面积相等 D．同角的余角相等 【答案】A 【分析】本题主要考查命题与定理知识．根据平行公理、平行线的性质、全等三角形的性质、余角的性质，逐一判断各选项命题的真假即可． 【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题为假命题，该选项符合题意； B、两直线平行，同位角相等，为真命题，该选项不符合题意； C、全等三角形的面积相等，为真命题，该选项不符合题意； D、同角的余角相等，为真命题，该选项不符合题意； 故选：A． 3．（25-26八年级上·吉林长春·课后练习）如图，在直角三角形中，，，将绕点逆时针旋转得到，点落在上，延长交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④若，，连接，则的面积是4．上述结论中，正确结论的序号有_______． 【答案】①③④ 【分析】根据旋转的性质可得，可判断①；再由全等三角形的性质可得，，从而得到可判断②；再由余角的性质可得可判断③；根据三角形的面积公式可判断④． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，故①正确； ∴，， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴的面积是，故④正确． 综上，所有正确结论的序号是①③④． 4．（2026八年级上 福建福州·课后作业）已知：如图，将，沿边翻折得，沿边的垂直平分线翻折得． 求证：． 【答案】证明：∵将，沿边翻折得，沿边的垂直平分线翻折得， 依题意得，， ， ∴． 【分析】根据翻折的性质得出，确定，即可证明． 【详解】略 1．（25-26八年级上·广西北海·课后练习）下列命题是假命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．若，则， C．对顶角相等 D．完全重合的两个图形全等 【答案】B 【分析】本题考查了命题的真假判断． 选项B的命题不成立，因为存在反例，选项A、C、D均为真命题． 【详解】解：A．两直线平行，同位角相等，是真命题； B．当时，，但，是假命题； C．对顶角相等，是真命题； D．完全重合的两个图形全等，是真命题； 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则的对应角为． 故选：A． 3．（25-26八年级上·甘肃兰州·课后练习）如图，两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质，求解即可； 【详解】解：根据题意，得对的角是，对的角是，对的角是， 根据两个三角形全等，得对的角是， 故的度数是； 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形．已知，，则有下列说法：其中一定错误的是（     ） A． B． C． D．图中阴影部分的面积为 【答案】B 【分析】根据平移的性质，全等三角形的性质，梯形的面积解答即可； 【详解】解：将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形． ， ，，，，，， ，， ， 故A，C，D都是正确的； ， ， ， 不一定相等，， 不一定相等， 不一定相等； 5．（23-24八年级上 江西赣州·课后作业）如图，将这四个全等的直角三角形无缝隙、无重叠地拼接在一起，能拼接成四边形且是轴对称图形的个数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义画出图形，即可求解． 【详解】解：如下图，能拼接成四边形且是轴对称图形的个数为． 6．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形以及图形规律探索，结合题意得出规律，确定第个图中可有对全等三角形，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，图1中有3对全等三角形， 图2中有6对全等三角形， 图3中有10对全等三角形， … 第个图中，有对全等三角形， ∴第5个图中有对全等三角形． 故选：D． 7．（2024八年级上 山西·课后作业）如图，边长为的正方形纸片被分成全等的四部分（图），阴影四边形的最短边为，将其重新拼接得到新的正方形（图），则如图小正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的性质，一元一次方程，设中间小正方形的边长为，由题意可得，然后解方程即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设中间小正方形的边长为， 由题意可得：， ∴， ∴中间小正方形的面积为， 故选：． 8．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的性质，理解题意，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据，结合“伪全等三角形”的定义：两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此对图中的三角形分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 综上所述，共有4对“伪全等三角形”． 故选：D． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形两底角相等的性质；根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据等腰三角形两底角相等得，然后根据两直线平行，同旁内角互补，建立等式即可求出与之间的数量关系. 【详解】解：∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴. 故选：B. 10．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，证明，，即可得结论；②延长至，使，连接证明，取的中点，连接并延长至，使得，可得，证明，，则可得，即，；③由①可知，故不一定等于；④，由②可知，，则，由可得即可得 【详解】解：①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点， AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC 同理可得 又 故①正确 ②如图，延长至，使，连接 ， 如图，取的中点，连接并延长至，使得， 是的中点， ， ， 又 ③如图，由①可知，故不一定等于 故③不正确 ④如图，由②可知， 故④正确 综上所述，故正确的有①②④ 故选B 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 11．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等图形的性质、正方形面积公式等知识，理解全等图形的性质是解题关键．设，则，易得，故有，结合全等图形的性质可得，易得，然后可求得，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵， 可设，， ∴， ∴， 由全等三角形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·上海青浦·期中）如图，下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形，又能拼出三角形的是图形（请填图形下面的代号）______． 【答案】 ②③/③② 【分析】根据图形剪开后的形状，结合平行四边形和三角形的拼接条件逐一判断．图①剪开后是两个梯形，无法拼成三角形；图②剪开后是一个三角形和一个梯形，且剪痕过中点，既能拼成平行四边形又能拼成三角形；图③剪开后是两个三角形，既能拼成平行四边形又能拼成三角形；图④剪开后是两个矩形，无法拼成三角形；图⑤剪痕不过中点，无法拼成三角形． 【详解】解：①剪开后是两个直角梯形，能拼出平行四边形，但无法拼出三角形，不符合题意； ②剪开后是一个直角三角形和一个直角梯形，且右侧边被平分，将剪下的三角形绕中点旋转可拼成一个大三角形，将剪下的三角形平移可拼成平行四边形，符合题意； ③剪开后是两个全等的直角三角形，能拼成平行四边形和三角形，符合题意； ④剪开后是两个矩形，只能拼出平行四边形，无法拼出三角形，不符合题意； ⑤剪开后是一个直角三角形和一个直角梯形，但剪痕未经过中点，无法拼出三角形，不符合题意， ∴符合条件的图形为②③． 13．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是小方格的顶点）．若格点△ACP与△ABC全等（不与△ABC重合），则所有满足条件的点P有_____个． 【答案】3 【分析】如图，把沿直线对折可得： 把沿直线对折，从而可得答案. 【详解】解：如图，把沿直线对折可得： 把沿直线对折可得： 所以符合条件的点有3个， 故答案为：3 【点睛】本题考查的轴对称的性质，全等三角形的概念，掌握“利用轴对称的性质确定全等三角形”是解本题的关键. 14．（25-26八年级上·吉林长春·课后练习）如图，将绕点A逆时针旋转得到．连结和．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【详解】解：逐一分析四个结论： ①由旋转可知，，①正确； ②由旋转角等于可知，②正确； ③根据题意只可得到，无法得到，③错误； ④如图，记与的交点为，与的交点为， ， ， ， ， ， ，④正确， 故正确结论的序号有①②④． 15．（25-26八年级上·河南南阳·课后练习）如图，中，点在边上，点在线段上，点在的延长线上，且．若的面积为，的面积为，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质可得，，则，由，可得，最后根据，即可求解． 【详解】解：，， ，，即为的中点， ， ， ， ． 16．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 【答案】(1) 解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰个直角三角形， ； (2) 解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形， ． 【分析】本题考查了复杂作图，根据面积确定出分成的每一个图形的面积是解题的关键． （）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰个直角三角形即可； （）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形即可． 【详解】（1）略 （2）略 17．（25-26八年级上·北京·期中）方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线． 【答案】 【分析】观察第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可． 【详解】解：如图所示，第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可． 将分割出的两个图形，逆时针旋转90度，再通过平移，两部分能够完全重合，所以分割出的两部分完全相同． 【点睛】本题考查图形全等，掌握全等图形的定义是解题的关键． 18．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，，和是对应角． 在中，是最长边．在中，是最长边，且． (1)写出其他对应边及对应角； (2)求线段及线段的长度． 【答案】(1)其他对应边：和，和；其他对应角：和，和 (2)线段和线段的长度分别为和 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边是解此题的关键． （1）根据，和是对应角可得到两个三角形中对应相等的三边和三角； （2）根据全等三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：其他对应边：和，和；其他对应角：和，和． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴线段和线段的长度分别为和． 19．（25-26八年级上·湖南衡阳·课后练习）如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ，， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等可得，，再由等量代换即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等可得，，得出结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ，即：， ， 又， ． 20．（25-26八年级上·浙江宁波·课后练习）如图所示，，且点在同一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)线段与线段相等吗？说明理由． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； (2) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】（）由全等三角形的性质得，再根据平行线的判定即可求证； （）利用全等三角形的性质解答即可求证； 本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $