1.1三角形中的线段和角（知识梳理+同步练习）2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形线段与角核心知识，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到复杂问题解决的递进，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|三角形定义、分类、三边关系等单一知识点|单选题1（三边关系取值）、填空11（边长范围）直接考查概念应用| |能力提升|高、中线、角平分线性质及面积计算|填空14（面积与高综合）、解答22（高与角度推理）体现跨知识点关联| |综合应用|新定义、动态几何与代数结合|解答25（对角旋转新定义）、23（方程组与等腰三角形综合）培养创新意识与模型观念|

1.1三角形中的线段和角（知识梳理+同步练习） 知识梳理 一、三角形的定义 由三条不在同一直线上的线段首尾依次相接组成的封闭图形叫做三角形。 表示方法：三角形ABC记作。 组成：3个顶点、3条边、3个内角。 二、三角形的分类 1. 按边分类 不等边三角形、等腰三角形（包含等边三角形）。 等边三角形是特殊的等腰三角形。 2. 按角分类 锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个直角）、钝角三角形（有一个钝角）。 三、三角形三边关系 1. 三角形任意两边之和大于第三边。 2. 三角形任意两边之差小于第三边。 快速判定：较短两边之和 > 最长边，即可构成三角形。 取值范围：第三边取值在「两边之差」与「两边之和」之间。 四、三角形的三条重要线段 1. 三角形的高 从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。 锐角三角形：三条高都在三角形内部； 直角三角形：两条高与直角边重合； 钝角三角形：两条高在三角形外部。 2. 三角形的中线 连接顶点与对边中点的线段叫做中线。 性质：一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。 三条中线交于一点，叫做三角形的重心。 3. 三角形的角平分线 平分三角形内角且与对边相交的线段叫做角平分线。 注意：是线段，不是射线。 五、三角形内角和定理 三角形的三个内角和为。 推论1：直角三角形两锐角互余。 推论2：三角形中最多1个直角或1个钝角，至少两个锐角。 六、三角形外角性质 1. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。 2. 三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。 3. 三角形外角和为。 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知三角形的三边长分别为2，7，x，则可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（26-27八年级上·四川眉山·开学考试）下列说法正确的有（     ） ①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点； ③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的是的高的是（    ） A． B．C． D． 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，连接．若的面积为，的面积为，则是的（     ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．任意一条线 5．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 6．（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（25-26七年级下·江西抚州·期末）已知是三角形的高，，，三角形的面积是，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 8．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）三角形三边长分别为：2，x，6，化简（     ） A．4 B． C． D． 9．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 10．（25-26八年级下·内蒙古包头·期末）如图，向右平移后得到，点B，E，C，F在同一直线上，分别交，于点E，M，若，，阴影部分面积为，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 11．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）一个三角形的三边长分别是3，，8，则m的取值范围是________． 12．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，是的中线，是的中线．若，则的长度为___________________． 13．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，点，，分别是，，的中点，已知，则阴影部分的面积之和为________． 14．（25-26七年级上·四川成都·开学考试）如图，已知，，连接，F为上的点，且，连接．若，四边形的面积为20，求的边上的高是多少？ 15．（2026·河北沧州·三模）已知三角形三边长分别为，若为正整数，则这样的三角形有________个． 16．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，是的中线，是的中线，则________（填“，或”）． 17．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点、在直线上，且，．若动点在直线上，连接，则线段的最小长度为________． 18．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图1，同学们将三角形纸片按如下方式折叠，使点的对应点与点重合，折痕与边交于点，展开后连接；如图2，再沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，且，折痕交边于点．若，，则的长为_______． 19．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点．当四边形的面积为7时，则中边上的高为___________． 20．（25-26七年级下·四川达州·期末）某种花卉供不应求，王伯伯打算将原有的一块种植地△ABC进行改造，改造方案如下:分别延长的至点，使得分别为的中点，依次连接点得，已知的面积为，改造甲区域成本为元，扩建乙区域成本为元，则改造总费用为____元． 三、解答题 21．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)的面积是多少？ 22．（25-26七年级下·云南昆明·期末）如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)，，，求的长． 23．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于、的方程组． (1)求方程组的解（用含的代数式表示）； (2)若方程组的解满足条件，求的取值范围； (3)若、是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9，求的值． 24．（25-26七年级下·山西长治·期末）阅读材料： 如图1，已知的面积为，、边上的中线、相交于点，求四边形的面积． 小明的解答方法如下： 连接，设，则， 由题意，得， 可列方程组 ．．．．．． 解答问题： (1)根据小明的方法，四边形的面积为____________； (2)如图2，已知的面积为相交于点，求的面积． 25．（25-26七年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的问题． 新定义：把长方形绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形中，，是对角线． (1)如图2，把长方形绕点逆时针做“对角旋转”，使边落在对角线上，此时点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，如果度数为，则“对角旋转角”的度数______（用含有的代数式表示）． (2)在（1）的条件下，如果，①______；②若再把长方形绕点顺时针做“对角旋转”，使边落在对角线上，点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，则_______． (3)在长方形中，若，在第（1）（2）的条件下，经两次“对角旋转”后，点C的对应点分别为点和点，连接，且，请求出此时长方形的面积． 试卷第8页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A C C D A B B 1．D 【详解】解：∵三角形三边长为，，， ∴，即， 选项中只有符合该范围． 2．B 【详解】解：①∵三角形的角平分线是线段，不是射线，∴该说法错误.； ②∵三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，∴该说法正确.； ③∵钝角三角形有两条高在三角形外部，∴该说法错误； ④∵三角形中线分得的两个三角形等底同高，∴面积相等，该说法正确.． 综上，正确的说法共2个． 3．B 【详解】解：A、作的是的角平分线，是的角平分线，不符合题意； B、作的是，是的高，符合题意； C、是的垂直平分线，是的中线，不符合题意； D、作的是，不是的高，不符合题意． 4．A 【详解】解：设的边上的高为， ∵的面积为，的面积为， ∴的面积为， ∴， ∴， ∴是的中线． 5．C 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴ ， ∴， 解得． 6．C 【详解】解：根据点、、分别是、、的中点，得到，，， ∴， ∴． 7．D 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，解得， 分两种情况： 当点在线段上时，如图所示： 则； 当点在线段的延长线上时，如图所示： ； 综上所述，的长为或． 8．A 【详解】解：∵三角形的三边长为，，， 根据三角形三边关系可得， ∴， ∴，， ∴． 9．B 【详解】解：由图1得，， 是的角平分线； 由图2得，， ， 即， ， 是的高线； 由图3得，， 是的中线； 综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 10．B 【详解】解：，阴影部分面积为， ， ， ． 11． 【详解】解：∵三角形任意一边的长度大于另外两边之差，小于另外两边之和，已知三角形三边长为，，， ∴， 解得. 12．8 【详解】解：是的中线 ， ， 是的中线 ， ， ． 13．6 【详解】解：∵点，，分别是，，的中点， ∴ ∵ ∴阴影部分的面积之和． 14． 【详解】解：如图，连接，设，的边上的高为， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴四边形的面积为，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的边上的高为． 15． 【详解】解：三角形三边长分别为，，， ，即， 为正整数， 可以为、、、、，共个． 16． 【详解】解：是的中线， ． 是的中线， ，点为的中点， 是的中线， ． 又， ． 17． 【详解】解：如图，过点作于点， 根据“垂线段最短”可知，当点与点重合时，线段的长度最小，最小值为的长， ，， ， ，解得 线段的最小长度为． 18． 【详解】解：由第一次折叠可知，点与点重合，折痕与交于点， ， ． 由第二次折叠可知，点的对应点落在边上，折痕为， ，． 点在边上，点在边上， ， ，即． ， ， 解得． ， ， 解得． 19．10 【详解】解：连接， 、， ， 解得：， ， ， ， 设、， 四边形的面积为7， ，即， 、和等高， ， ， 和同高、， ， ， ， 和同高、， ， 和同高、， ， ， ， ， ， 整理得：， 联立， 解得：， ， 中边上的高为：． 20． 【详解】解：连接，，， ∵分别为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴乙部分的面积为， ∴改造总费用（元）． 21．(1) (2)3 【详解】（1）解：点A在对称轴直线上，因此它的对称点是自身； 分别作出点B、点C关于直线的对称点、：过点B作直线的垂线，延长至与点B到距离相等的位置得到，同理得到； 顺次连接、、，即可得到所求的． （2）解：把放在一个能完全包围它的矩形内： 该矩形的长为4、宽为2，面积为； 再减去三角形周围3个直角三角形的面积： 右上方直角三角形面积： ， 右下方直角三角形面积： ， 左侧直角三角形面积： ， ∴的面积． 22．(1) (2) 【详解】（1）解：是的高线， ． ， ． 同理， ． （2）解：，是的两条高， ，， ， ． 23．(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 得：，解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴该方程组的解为； （2）解：∵， ∴，化简为：， 解得：， 解得：， 解得：； （3）解：∵x、y是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9， 若腰长为x，底边长为y，则，解得：， ∴， 此时三角形三边长为2，2，5，不能组成三角形，舍去； 若腰长为y，底边长为x，则，解得：， ∴， 此时三角形三边长为1，4，4，能组成三角形； ∴； 24．(1) (2) 【详解】（1）解：连接， 设，则， 由题意，得， 可列方程组 解得， ∴． （2）解：如图，连接 设， 解得 25．(1) (2)①；②； (3) 【详解】（1）解：由题意可知：“对角旋转角”为，， ∴， ∴对角旋转角为：， （2）解：如图， ∵， 由旋转可知，， ∵， ∴， ∴， ∴① 由旋转可知，， ∴， ∵， ∴②， （3）解：如图 ， ， 由旋转可得：， ， ， ∴， ， . $