青海西宁市大通回族土族自治县2027届高三上学期摸底考试数学试卷

青海省大通县2027届高三摸底考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.A由M={-1,0,1,2},N={x|-2<x-1<1}={x-1<<2}得，M∩N={0,1}.故选A 2B复数：六2D=一吉+号，在复平面内其对应的点为（古·号）位于第二象限放 选B. 3.D由a⊥b,得x+2-2x=0,所以x=2,a-b=(2,-1)-(1,2)=(1,-3),a-b=/10.故选D. 4.C依题意，9层塔从上层到下层挂灯盏数依次排成一列可得等差数列{a》,k∈N,k≤9，所以9a1十9X8 2 ×3=126,解得a1=2,所以ag=2十(9一1)×3=26，即塔的底层共有灯26盏.故选C. 5.D由函数性质可得f(罗)=f(-号)=-f(号)=.故选D, 6.A圆2十(y一2)2=1的圆心C(0,2),半径r=1,圆心C到直线x+ky十1=0的距离为d=126±，因为 √1+2 直线与圆有公共点，所以2≤1，解得一专<≤0，结合选项可知的值不可能是1故选A /1+k2 7.A设该圆锥的高为A,所以V=子X·A=,解得方=B,设球0的半径为R,由题意知代=1P十 (5-R),解得R后所以球0的表面积为4R=红×专-号.放选A 3 3 8.C由y=log(x十1)是减函数，得0a<1,又0<a<1时，y=x2-2a.x+1一2a在x≤0上单调递减，所以 log(x+1),x>0, 要函数f(x)= zx2-2ax+1-2a,2≤0 在R上单调递减，有0<a<1且1-2a≥0，所以0<a≤号.故选C. 9.ABD将身高从小到大排序为162,167,170,175,178,180，极差为180-162=18，故A正确；因为6×40%= 2.4,所以身高的40%分位数为170，故B正确：身高的平均数为6(170+167+162+175+178+180)= 172,故C错误：身高的方差为6[(170-172)2+(167-172)2+(162-172)2+(175-172)2+ 178-172)+(180-172)门=2g,放D正确.故选AD, 10D3=号sn2x一号s2x=血(2x-音)=血(2x+2x-吾)，)的最小正周期为x所以-不 是f()的周期，-受不是f()的周期：由f(牙)=0得2s=x-等，k∈乙，又>0，所以k=1时，s取得最 小值号，当=2时，s=,由f(-)=sim(-+2s-音)=sin(kx一)得fx)的图象关于直线x =一登对称故选BD 1.ACD由点p（(号，p)在园M:d+y-7x+y=0上，得+分-碧+b=0,又p>0,所以p=2,C的焦点 为（号，0），即(1,0)，A正确：圆M的方程化为(x-名)°+(+名)°-空，圆的半径，-5要，圆心M到C 2 的准线x=-1的距离d=号>r,圆M与C的准线不相交，B错误：圆心M(子，一号)到x轴的距离为d= 号，则r+d>3,一d>3,所以圆M上到x轴距离为3的点有4个，C正确：假设存在直线1：y=kx十b是圆 M与C的公切线，由y2=4x,y=kx+b消去x得ky2一4y十4b=0,由直线与C相切得△=16一16kb=0,所 【高三摸底考试·数学参考答案第1页（共4页）】 27-L-029C 以kb=1,由圆M与直线相切得 ++ √R2+1 -9,所以（跨+号+片》了-要状+1D.当=161满 足上式，直线y=x十1与圆M和C都相切，D正确.故选ACD. 12.1由题知f'(x)=3x2-2ax+8,f'(2)=12-4a十8=0，解得a=5,此时f'(x)=3zx2-10x+8 3(x-专)x-2),当x(告2)时，f()<0,当x∈(-0，青)，2，+∞)时，f(x)>0,所以f)在x =2时取极小值，符合题意，所以a=5,f(x)=x3-5.x2+8.x+b.又f(2)=4+b=0,解得b=-4,所以a+b =1. 13.10设等比数列{an}的公比为q,因为a5a?=a=25,解得a6=土5；当a6=-5,又a6十a8=15,则as=20 =a6g2=-5g2,解得d=-4<0,不符合题意；当a6=5时，又a6十ag=15,则a8=10=a6d=5d,解得q= 土√2，符合题意.综上，a8=10. 14.180先从1,3,5中任意取2个，并排列有A种排法，取偶数含0时，在2,4,6中取1个有C种取法，将2 个奇数看成一个整体，并与取出的这个非零偶数进行排列，有A多种排法，再将0插人有2种方法，所以含0 的满足条件的四位数有2ACA=72个：不含0时，同样可求满足条件的四位数有AC爱A=108个，所以 共有180个数. 15.解：1)由元=1+2+3+4+5)=3，y=号(3.7+47+4.9+5.4+6.3)=5，…1分 2-0-=1-a87-+2-84.7-D+g-34.9-+4-34-)十 (5-3)(6.35)=5.9,……2分 2x-=0-8》+2-8》+8-8》+4-8》+6-82=10,…3分 所以6= =8=0.50d=-67=5-059X3=828,…5分 习✉-列 所以y关于x的经验回归方程为y=0.59x+3.23. 6分 12月份对应代码为7，当x=7时，y=0.59×7+3.23=7.36, 由此预测该产品12月份的月利润为7.36万元. 7分 (2)由题知X的取值可能为0,1,2，… 8分 则P(X=-品，PX=1DPX=2)-0 11分 X的分布列为 X 0 1 2 P 3 3 1 放EX0=0×号+1X号+2×- 4 13分 16.解：(1)由正弦定理- sin A-sin B-sin asin C-esin 2A0,/sin Asin C-2sin Csin Acos A=0, b …3分 因为A,C∈0，)，所以mA0,mC≠0所以casA=号 …5分 又A∈(0，π)，所以A=元 4 …7分 (2)因为△ABC的面积为4，b=2,所以2×2csin平=4，解得c=42. …9分 【高三摸底考试·数学参考答案第2页（共4页）】 27-L-029C 由余弦定理d2=+2-26cosA,得d=4十32-2X2X42×号=20，所以a=25. …12分 设边BC上的高为A,则2×25A=4,解得h-45,即边BC上的高为45 5 51 15分 17.(1)证明：因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD. …1分 因为底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD,又PA∩AD=A,PAC平面PAD,ADC平面PAD, 所以CD⊥平面PAD.……3分 因为AE汇平面PAD,所以AECD.…4分 又AE⊥EC,CD∩EC=C,CDC平面PCD,ECC平面PCD,所以AEL平面PCD.…5分 又PDC平面PCD,所以AE⊥PD.……6分 又因为PA=AD,所以E为PD的中点，所以PE=ED.…7分 (2)解：不妨设PA=2,则AB=1,AD=2,以A为坐标原点，AB,AD,AP所 在的直线分别为x轴，y轴，之轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则 A(0,0,0),C(1,2,0),B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),所以 E(0,1,1),AC=(1,2,0),AE=(0,1,1),BC=(0,2,0),BP= (一1,0,2).设平面PBC的一个法向量n=(x,y,之)，所以 n·BC=2y=0, n.Bp=-x+2x=0, 令之=1，解得x=2,y=0,所以n=(2,0,1). B ……………9分 m·AC=a+2b=0, 设平面AEC的一个法向量m=(a,b,c),所以 m·A2=b+c=0, 令b -1,解得a=2,c=1,所以m=(2,-1,1). 11分 设平面PBC与平面AEC的夹角为0， n·m 5 所以cos0=|cos(n,m>|= 30 n·n √/22+12×w22+(-1)+1 6 即平面PBC与平面AEC夹角的余弦值是@ 6 15分 18.解：(1)记C的焦距为2c,由题意可得2c=2√/5，即c=√5，… 1分 设直线BD的倾斜角为a,则tana=kD= 2b,… 3 3 2分 2 直线12x-5=0的斜率为号。 所以tan2a= 2tan a 2女号6 1]2,解得b=1,…同 5分 1-tan a 1- (号6) 所以d2=2-8=4,则C的方程为子 -y2=1. 6分 (2)假设存在过点D的直线l与C交于M,N两点，使得△BMN构成以B为顶点的等腰三角形，则直线( 的斜率显然存在，设1的方程为y=(x+号)，M(my),N(), y=k(+)， 由 消去y整理得(1一4k2)x2-12k2x一9k2-4=0, 8分 11一4k2≠0， △=14十4(1-4)(9k+4)>0.解得<号且发≠， 由 …9分 【高三摸底考试·数学参考答案第3页（共4页）】 27-L-029C 12k m十x2=1-4k 则 所以为+=k(十+3)-（+3） 3k ，…11分 9k2+4 x2= 1-4k2? 记MN的中点为P,则P(户4依) 6k2 12分 当k=0时，y=0,符合题意. …13分 当k≠0时，为使△BMN构成以B为顶点的等腰三角形，只需BP⊥MN,所以kp·kN=km·k=一1， 昌6 即4-1 6k2 ·k=一1，整理得8k2十15k-2=0,解得k=一2（舍）或k= 8 …15分 1-4k 所以直线1的方程为y=日(x+号)，即2x一16y+3=0, 综上所述，直线l的方程为y=0或2x一16y十3=0.… 17分 19.(1)解：f(x)=2e-ax的定义域为R,f'(x)=2e-a. 当a≤0时，f(x)>0,f(x)在R上单调递增：…2分 当a>0时，由f(x)=0得x=lh号，由f(a)>0得x>lh号，由f(x)<0得x<n号，f()在 （-0∞，lh号)上单调递减，在(l血号，十o∞）上单调递增.…4分 2》解：因为)在R上有两个零点，所以a0,由)=0得兰=名 a 令m)=号，则m)=号， 所以m'(1)=0,x>1时，m(x)<0;x<1时，m'(x)>0,所以m(x)在（一∞，1）上单调递增，在(1，十∞)上 单调递减，… …6分 m)有极大值，也就是最大值为m1)=合， 又m(0)=0,x→十∞时，m(x）->0,… …7分 所以在R上有两个零点时.0<名<，所以。>2.即a的取值范图是(2e,十eo.…8分 (3)证明：因为g)=号）-=g-2-号c有两个极值点x, 所以g()=e一2红-号=0，有两个实数根m,…9分 所以e1-2-号=e3-2m-受，e的-e=2(-，…10分 设1=22一>0， e9 e-1 将x2=x1十t代人，得 e2=21…e 所以em+e=马+背= e-1 …13分 e-1 所以要证e吗十e3>4,只需证2十2：已>4，即(1-2)E十(1十2)>0.…14分 e1 设h(t)=(t-2)e+(t+2)(t>0),则h'(t)=(t-1)e+1. 令o(t)=(t-1)e+1,则o'(t)=te>0,可知h'(t)=(t-1)e+1在(0，十∞)上为增函数. …15分 又h'(0)=0,所以t>0时，h'(t)>0,h(t)=(t-2)e+(t+2)在(0，十∞)上为增函数. 所以h(t)>h(0)=0,即(t-2)e十(t十2)>0成立，…16分 所以e1+e2>4成立. …… 17分 【高三摸底考试·数学参考答案第4页（共4页）】 27-L-029C青海省大通县2027届高三摸底考试 数学答题卡 条形码粘贴处 1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、准考 考 证 夕 注 证号填写清楚。 2.选择题使用2B铅笔填涂：如需改动，用橡皮擦干 意 净后，再选择其他答案标号：非选择题使用黑色 事 碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚，按照题号顺序 [0] [0 [0][0][0] [0][0][0] [0 在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 项 [1] [1][1 [1][1][1[1J 的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效 [2 [2][2][2][2 1[ [2 3.保持卡面清洁，不折叠、不破损 [3 [3][3][3][3] 3 123 「4 [4][4 [4][4] 填 正确填涂：■ [5 [5] [5 [5 [5 [5 错误填涂：中这的C口p口 [6 [6] [6 6 ] [6 范 [7 缺考 ◇ [7 [7 8 [8][8][8] [8][8 例 ■ 标记 9 [91[9][9][9][9][9] [9 [9 选择题（请用2B铅笔填涂） 1[A][B][C][D] 6CA][B][C][D] 11[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7 CA][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A]LB][C][D] 9[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 非选择题（请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写）】 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高三摸底考试·数学第1页（共2页）27-L-029C 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高三摸底考试·数学第2页（共2页）27-L-029C 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！青海省大通县2027届高三摸底考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合M={-1,0,1,2},N={x|-2<x-1<1},则M∩N= A.{0,1》 B.{-1,0y C.{-1,0,1} D.{0,1,2} 1 2.在复平面内，复数x一2二对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知平面向量a=(x,1一x),b=(1,2),若a⊥b,则a一b= A.2 B.2√2 C.3 D.0 4.据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一 层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯 A.38盏 B.32盏 C.26盏 D.18盏 2x+ 5.已知f(x)是定义在R上且周期为4的奇函数，当2<x<3时，且f(.x)=一 2, 则()= A. R子 c n号 6.若直线x十ky十1=0与圆x2+(y一2)2=1有公共点，则实数k的值不可能是 A.1 B.0 c-司 D.-1 【高三摸底考试·数学第1页（共4页）】 27-L-029C 7.已知底面半径为1，体积为严的圆锥的顶点和底面圆周都在球0的球面上·则球0的表面 积为 B.16π c D.64π (loga (x+1),x>0, 8.已知a>0,且a≠1，若函数f(x) 在R上单调递减，则实数a的取 x2-2ax+1-2a,x0 值范围是 A.(0,1) B.(2,十o∞) c(o,2] n[3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.高考体检是考生参加高考的重要环节，某组考生的身高（单位：c)分别是170,167,162,175， 178,180,则这组数据的 A.极差为18 B.40%分位数为170C.平均数为170 D.方差为号 10,将函数y=司n2x一 cos2x的图象向左平移s(>0)个单位长度得到函数f(x)的图象 若f()的图象关于点(，0)对称，则 As的值可以为需，一号是x)的一个周期 B.s的最小值为于，一元是f(x)的一个周期 C6的最小值为吾，x)的图象关于直线x=一受对称 D:的值可以为爱，x)的图象关于直线x=一受对称 11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(,p)在圆M:x2+Y-7x十y=0上，则 A.C的焦点为F(1,0) B.圆M与C的准线相交 C.圆M上到x轴距离为3的点有4个 D.存在与圆M和抛物线C都相切的直线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)=x3一a.x2十8x+b,当x=2时，f(x)取得极小值0，则a十b= 13.在等比数列{am}中，a5a=25,a6十a8=15,则a8= 14.从0,1,2,3,4,5,6这7个数字中选出2个奇数数字和2个偶数数字，组成奇数数字相邻且 没有重复数字的四位数，则这样的四位数的个数为 【高三摸底考试·数学第2页（共4页）】 27-L-029C 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 某种产品今年6月份到10月份的月份代码x与月利润y(万元)的数据统计如下， 月份 6月 7月 8月 9月 10月 1 2 3 x 5 y 3.7 4.7 4.9 5.4 6.3 (1)求y关于x的经验回归方程，并预测今年12月份该产品的月利润： (2)现从这5个月中随机抽取2个月，记这2个月中共有X个月的月利润不低于5万元，求 X的分布列与数学期望， 附：经验回归方程y=x十a中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：= 2(x,-)0- -,a=-b元. 2(x,-) 16.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且√2 asin C-csin2A=0. (1)求角A; (2)若△ABC的面积为4，b=2,求边BC上的高. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AD,点E是棱 PD上的一点（不同于端点），且AE⊥EC. (1)求证：PE=ED: (2)若PA=2AB,求平面PBC与平面AEC夹角的余弦值. 【高三摸底考试·数学第3页（共4页）】 27-L-029C 18.(本小题满分17分) 已知双曲线C:专一芳-1（®>0,6>0）的焦距为2后，直线12x-5y=0的倾斜角是直线 BD倾斜角的2倍，其中B(0,b),D(-号，0）片 (1)求C的方程； (2)是否存在过点D的直线l与C交于M,N两点，使得△BMN构成以B为顶点的等腰三 角形？若存在，求出所有直线的方程；若不存在，请说明理由 19.(本小题满分17分》 已知函数f(x)=2e一ax,a∈R. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)在R上有两个零点，求实数a的取值范围； (3)若函数gx)=f(x)一2有两个极值点x,证明：e西十>4. 【高三摸底考试·数学第4页（共4页）】 27-L-029C