精品解析：青海省西宁市第二中学教育集团2025-2026学年高三上学期12月考试数学试卷

西宁二中教育集团2025——2026学年第一学期 高三年级数学学科十二月考试卷 一、单选题（每题5分） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算得，再计算模长即可． 【详解】，． 故选：C． 2. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设，，C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ） A. 54种 B. 240种 C. 150种 D. 60种 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理即可求解． 【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选，，C三门德育校本课程， 每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，有两类情况， ①三组人数为1、1、3，此时有种情况， ②三组人数为2、2、1，此时有种情况， 所以共有种． 故选：C． 3. 随机变量，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的方差公式，结合方差的性质即可求解. 【详解】由于，故， 则. 故选：C 4. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得，又得，进而得，计算即可求解. 【详解】由， 又，所以， 所以， 所以， 又，所以， 所以， 故选：D. 5. 已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（    ） A. 2 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件及椭圆与双曲线的基本量的关系，得，然后利用基本不等式中“1”的妙用求出最小值． 【详解】椭圆中，则， 所以椭圆的焦点分别为与， 则与也是双曲线的两个焦点，因此， 于是有， 当且仅当且，即时取等号， 因此的最小值为9. 故选：C. 6. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数及幂函数的性质判断即可. 【详解】因为，，， 又， 因为在上单调递增，且， 所以，即， 综上可得. 故选：A 7. 命题，为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】转化问题为在上有解，求出的取值范围，进而结合充分不必要条件的定义判断即可求解. 【详解】依题意，：，真命题， 所以在上有解， 当时，原不等式，解得，满足题意； 当时，一元二次函数开口向下，此时原不等式在上一定有解，故满足题意； 当时，若在上有解，则，解得， 综上所述，， 所以命题p：，为假命题的一个充分不必要条件可以是. 故选：A. 8. 蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、踢、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面上有四个点A，B，C，P，面ABC，，则该鞠（球）的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出外接圆半径，再利用球的截面小圆性质求出球半径即可. 【详解】在中，，则外接圆半径， 球心在线段的中垂面上，由平面，，得的中垂面平行于平面， 因此球心到平面的距离，球半径， 所以该鞠（球）的表面积为. 故选：C 9. 设等差数列的前n项的和为，若，，则（    ） A. B. C. 当时，取最大值 D. 数列是递减数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列性质可得，.对于A：根据通项公式可得，；对于B：根据等差数列性质可得，即可判断；对于C：分析数列的符号性，进而判断的最值；对于D：整理可得，结合数列单调性的定义分析判断. 【详解】因为，，则， 对于选项A：可得公差，，故A正确； 对于选项B：可得，故B错误； 对于选项C：因为等差数列为递减数列， 当时，；当时，； 所以当时，取最大值，故C正确； 对于选项D：因为， 则， 所以数列是递减数列，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知函数，若函数恰有个零点，则实数可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】AD 【解析】 【分析】根据幂函数、对数函数、二次函数在各自定义域的图像特点，画出函数，数形结合思想平移直线，与有两个交点，即可求解. 【详解】当时，为增函数，值域为. 当时，为增函数，值域为. 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则此时，值域为. 作出函数的图象如下： 由函数恰有个零点，得恰有两个不等实数解， 即与有两个不同交点.由图象可知， 当或或时，满足条件，故AD正确. 故选：AD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 方程表示圆，则 B. 直线在x轴上的截距为 C. 已知两个向量，，且，则 D. 设{，，}是空间中的一组基底，则{，，}也是空间的一组基底 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据即可求得；B选项，令求得；C选项，空间两向量平行，则对应成比例；D选项，空间向量可以作为基底的条件即不共面，由可以判断. 【详解】因为方程表示圆，则，解得，故A选项正确； 由直线方程可知，令，解得，所以直线在x轴上的截距为，故B选项错误； 由两个向量，，且可知，，所以解得，所以，故C选项正确； 因为{，，}是空间中的一组基底，则，，不共面，因为，所以，，共面，所以{，，}不能构成空间的一组基底. 故选：AC 三、填空题（每题5分） 12. 某产品的广告投入x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下： x 2 3 5 6 y 20 35 50 55 若y关于x的线性回归方程为，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据样本求出样本平均数，代入即可. 【详解】根据数据表可得，，解得. 故答案为：6 13. 已知动圆Q与圆外切，与圆内切，则动圆圆心Q的轨迹方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意和双曲线的定义，得到动圆圆心Q的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，求得的值，即可求得轨迹方程. 【详解】设动圆Q的半径为， 因为动圆Q与圆外切，与圆内切， 可得，所以， 由双曲线的定义，可得动圆圆心Q的轨迹是以为焦点的双曲线的上支， 其中，解得， 又由， 所以动圆圆心Q的轨迹方程为. 故答案为：. 【点睛】求曲线的轨迹方程的常用方法： 1、直接法：直接利用条件建立之间的关系式或，直接化简求解； 2、待定系数法：已知所求曲线的类型，先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定稀释； 3、定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方法； 4、代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，将代入已知曲线求解. 14. 高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则_____________. 【答案】1012 【解析】 【分析】首先根据函数解析式得到，再根据等比数列的性质，即可求解. 【详解】由，则，则， ， 因为，由等比数列的性质可知，，，，……， 所以上式. 故答案为： 四、解答题 15. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数； （2）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差. 参考公式：其中为总样本平均数. 【答案】（1），平均数74，中位数为75 （2）总平均数，总方差 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，根据平均数、中位数的计算公式计算即可； （2）先利用频率分布直方图求出和的市民人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【小问1详解】 由频率之和为结合频率分布直方图可得，解得， 样本成绩的平均数约为． 由于区间，，的频率分别为． 因为， 的频率为，故中位数位于内， 设中位数为x，则，解得x＝75. 【小问2详解】 由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 16. 已知中，角的对边分别是，且. （1）证明：成等差数列; （2）若为锐角三角形且，求c 的取值范围. 【答案】（1） 在中，由及正弦定理， 得， 整理得，而，因此，而， 则，，所以成等差数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式推理得证. （2）利用正弦定理，结合差角的正弦公式及锐角三角形条件，借助正切函数求出范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，由锐角，得，则， 由正弦定理得， 而，则，， 所以c 的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. （1）证明：为的中点； （2）若，二面角的余弦值为，求的长. 【答案】（1） 连接交于点，连接． 因为底面为菱形，所以为的中点． 又因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以为的中点. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得证； （2）取中点，连接，即可得到，建立空间直角坐标，设，求出平面、平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接． 在菱形中，，所以，则为正三角形， 所以，又，所以． 又因为平面，如图建立空间直角坐标系． 设， 则，，，， 则，，， 则平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，取， 因为二面角的余弦值为， 所以，解得（负值已舍去）， 所以． 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为，动直线l过点，且点F到l的距离的最大值为1 （1）求抛物线的方程； （2）设l与C交于相异的A，B两点，证明：为钝角三角形. 【答案】（1） （2） 证明：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为， 联立，得， 则， 所以， 则， 易知点O，A，B不共线，故和的夹角为钝角， 故为钝角三角形. 【解析】 【分析】（1）解法一：写出焦点到直线的距离公式，根据距离最小值，即可求解；解法二，利用几何意义，直接列式，即可求解； （2）首先直线与抛物线方程联立，利用韦达定理表示，即可证明. 【小问1详解】 解法一：抛物线C的焦点为， 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即， 点F到l的距离，d取最大值，当且仅当取最小值，即， 此时d取到最大值1，即，解得：或， 又，故，所以抛物线C的方程为； 解法二：因为动直线l过点， 所以点F到直线l的距离的最大值为点F到点的距离， 即，解得：或， 又，故，所以抛物线C的方程为； 【小问2详解】 略 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，在上是单调增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2） 【解析】 【分析】（1）由题意有，分和进行分类讨论得出函数的单调性. （2）不等式恒成立，即，（1）可得，当时，，即在时恒成立，令，，求出单调性，得出的最大值即可得出答案. 【详解】（1）， . 当时，，在上是单调增函数； 当时，. 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上是单调增函数； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）可得，当时，. 由不等式恒成立，得恒成立， 即在时恒成立. 令，，则. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的最大值为.得，所以实数的取值范围是. 【点睛】本题考查含参数的单调性的求解和恒成立求参数的问题，考查构造函数决绝问题的能力，考查等价转化的能力，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁二中教育集团2025——2026学年第一学期 高三年级数学学科十二月考试卷 一、单选题（每题5分） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设，，C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ） A. 54种 B. 240种 C. 150种 D. 60种 3. 随机变量，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 4. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（    ） A. 2 B. 6 C. 9 D. 12 6. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 命题，为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、踢、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面上有四个点A，B，C，P，面ABC，，则该鞠（球）的表面积为（ ） A. B. C. D. 9. 设等差数列的前n项的和为，若，，则（    ） A. B. C. 当时，取最大值 D. 数列是递减数列 10. 已知函数，若函数恰有个零点，则实数可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 11. 下列说法正确的是（ ） A. 方程表示圆，则 B. 直线在x轴上的截距为 C. 已知两个向量，，且，则 D. 设{，，}是空间中的一组基底，则{，，}也是空间的一组基底 三、填空题（每题5分） 12. 某产品的广告投入x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下： x 2 3 5 6 y 20 35 50 55 若y关于x的线性回归方程为，则______． 13. 已知动圆Q与圆外切，与圆内切，则动圆圆心Q的轨迹方程为__________． 14. 高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则_____________. 四、解答题 15. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数； （2）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差. 参考公式：其中为总样本平均数. 16. 已知中，角的对边分别是，且. （1）证明：成等差数列; （2）若为锐角三角形且，求c 的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. （1）证明：为的中点； （2）若，二面角的余弦值为，求的长. 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为，动直线l过点，且点F到l的距离的最大值为1 （1）求抛物线的方程； （2）设l与C交于相异的A，B两点，证明：为钝角三角形. 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $