第3章 分式（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材青岛版八年级上册

2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第3章 分式·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）下列分式的值可以为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、分子为，因此分式的值不可能为，故本选项不合题意； B、分子为，因此分式的值不可能为，故本选项不合题意； C、令分子，得，此时分母，分式无意义，因此分式的值不可能为，故本选项不合题意； D、令分子，得，此时分母，分式有意义且值为，故本选项符合题意． 2．（本题3分）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 3．（本题3分）关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】D 【详解】解：去分母，得， 解得， ∵方程的解是负数， ∴，且， ∴，且． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题关键是要掌握分式方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解． 4．（本题3分）把分式，和通分，下列结论错误的是（   ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、最简公分母为， 正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、正确通分应为，但选项D中分子为，错误，符合题意； 故选：D． 5．（本题3分）已知，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴． 6．（本题3分）传统文化在中国古代建筑中，常利用榫卯结构使得建筑物牢固且难以松动．如图，工人师傅设计了一种特定的榫卯结构件，在使用相同口径的圆木材料制作时，每个榫构件所需的圆木要比每个卯构件所需的圆木短．已知用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同，设制作1个榫构件需圆木，下列说法正确的是（    ） A．制作1个卯构件需圆木 B．依题意 C．依题意 D．的值为20 【答案】D 【详解】解：制作1个卯构件需圆木，故选项A错误； ，， 根据题意列方程得， 故选项B、C错误； 解方程得， 故选项D正确． 7．（本题3分）当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 【答案】C 【详解】解：由题意得，x是不超过6的正整数，因此x的可能取值为， 又， ∵分式有意义时，分母不为0， ∴， 得且，排除， ∵分式结果为整数， ∴为整数， 又x是正整数， 因此x是3的正因数， 或， 又由分式有意义的条件可知， ， 代入化简后的分式得， 因此分式的整数值是． 8．（本题3分）如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ． 设． ， ． ， ， 解得，即． 故选：B． 9．（本题3分）已知a，b为实数，且，，设，，下列说法正确的是（     ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解： 的符号不确定， 当时，的符号无法确定，A，B错误； 若，则， ，C正确，D错误． 10．（本题3分）如图，有两个正方形A、B，边长分别为和．将A、B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．图甲、图乙中阴影的面积分别为与．若，则的值为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∴. 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）有四个数4，8，16，x可以组成一个比例，其中x最大是( )，最小是( )． 【答案】 32 2 【详解】解：∵ 若四个数能组成比例，满足两内项之积等于两外项之积， ∴ 求的最大值，可列等式，解得； 求的最小值，可列等式，解得． 12．（本题3分）下面三个式子：，其中正确的有_____个． 【答案】1 【详解】解：对于第一个等式，，故不正确； 对于第二个等式，左边，等于右边，故正确； 对于第三个等式，（除非，但一般情况不成立），故不正确． 因此正确的有1个． 故答案为：1． 13．（本题3分）若分式中x、y均扩大为原来的n倍，分式的值变为原来的5倍，则n的值是 _____． 【答案】 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 14．（本题3分）计算：_________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 15．（本题3分）对于两个分式M和N，我们定义一种新的运算“※”如下：，其中，．例如：，则_______． 【答案】 【详解】解：根据新运算定义，令，代入运算得： ． 16．（本题3分）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_____． 【答案】且 【详解】解：给原分式方程两边同时乘以最简公分母，得 ， 解该整式方程得， 由分式方程的解为非负数，可得， 解得， 由分式方程分母不能为，得，即， 解得， 故的取值范围是且． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）化简： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．（本题8分）下面是小超同学化简的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：原式      第一步       第二步       第三步 ．      第四步 (1)以上化简步骤中，从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． (2)请直接写出该式子化简后的正确结果，并从，，中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)二；①第一个分式分母因式分解后应是；②通分时第二个分式的分子未乘，不符合分式的基本性质 (2)化简后得正确结果为，当时，原式 【详解】（1）解：观察解题过程，得出从第二步开始出现错误， 这一步错误的原因是：①第一个分式分母因式分解后应是； ②通分时第二个分式的分子未乘，不符合分式的基本性质． （2）解：原式 ．     ，     ， 当时，原式． 19．（本题10分）齿轮是一种有齿的机械构件，它们通常以两个或多个为一组．如果两个齿轮不同轴，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮合，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转，如图所示． (1)顺时针转动大齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮相对大齿轮转动更_________（填“快”或“慢”），小齿轮转动方向是_________．（填“顺时针”或“逆时针”）； (2)现有一个齿数为的小齿轮，要配一个合适齿数的大齿轮，使得这个齿轮组合的输入轴转速（即小齿轮的转速）为圈/分时，输出轴转速（即大齿轮转速）降至圈/分，请计算出所需大齿轮的齿数． 【答案】(1)快，逆时针 (2) 【详解】（1）解：齿轮啮合时，两个齿轮在相同时间内转过的齿数相等， 设大齿轮齿数为，转速为，小齿轮齿数为，转速为，则有， 由于大齿轮齿数大于小齿轮齿数，因此小齿轮转速大于大齿轮转速，即小齿轮转动更快； 转动方向判断：当大齿轮顺时针转动时，其齿会推动小齿轮的齿，使小齿轮沿与大齿轮相反的方向转动，故小齿轮转动方向为逆时针； （2）设大齿轮齿数为，转速为，小齿轮齿数为，转速为， 代入齿轮啮合时齿轮与转速的关系式， 即， 答：所需大齿轮的齿数为． 20．（本题10分）小嘉在黑板上写了一个分式混合运算的正确计算过程，并用黑板擦遮住了其中的一部分，然后让琪琪来解答，该等式为． (1)求被黑板擦遮住部分的代数式． (2)原分式运算的结果能等于吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由如下：假设原分式运算的结果等于，则， 两边同乘，得， 解得， 当时，原分式中的分母，分式无意义， 故原分式运算的结果不能等于． 【详解】（1）解：根据题意，被黑板擦遮住部分的代数式为， ∵ ， ∴被黑板擦遮住部分的代数式为； （2）略 21．（本题10分）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： ．我们定义：在分式中，对于只含有1个字母的分式．当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式．类似的，“假分式”也可以化为“带分式”（即：整式与真分式的和的形式）．如：；再如：． 解决下列问题： (1)分式是___________分式（填“真”或“假”）； (2)请将假分式化为带分式的形式； (3)若分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】(1)真 (2) (3)整数x的值为，，0，2 【详解】（1）解：分式中分子次数为0，分母次数为1，分子次数小于分母次数，故为真分式， 故答案为：真． （2）解：． （3）解：， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴为整数， ∴是3的因数，即或， 解得：，，2，， 即整数x的值为，，0，2． 22．（本题12分）贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差． (1)求两车的速度； (2)甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点，那么“天眼号”从原起点向后退作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由． 【答案】(1)“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是 (2)我不赞同甲队同学的看法，见解析 【详解】（1）解：设“天眼号”的速度是，则“花江号”的速度是． 根据行驶时间相等，得，解得． 经检验，是原分式方程的解． ∴． 答：“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是． （2）解：我不赞同甲队同学的看法． 理由：按甲队同学的操作，“天眼号”需行驶，“花江号”仍行驶，两车速度不变． ∴“天眼号”所用时间为，“花江号”所用时间为． ∵， ∴两车不能同时到达终点． 23．（本题14分）【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 【答案】 （1）若．理由：， ， ， ； （2）； （3）①乙试验田的小麦的单位面积产量高，理由： 甲试验田的面积为：， 乙试验田的面积为：， ， ， ， ， ， 乙试验田的小麦的单位面积产量高； ②乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍 【详解】解：（1）略 （2），， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）①略 ② ， 乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第3章 分式·培优冲刺（参考答案） 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A D D D D C B C C 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11． 32 2 12．1 13．5 14． 15． 16．且 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（8分） 【详解】（1）解：原式 ．（4分） （2）解：原式 ．（8分） 18．（8分） 【详解】（1）解：观察解题过程，得出从第二步开始出现错误， 这一步错误的原因是：①第一个分式分母因式分解后应是； ②通分时第二个分式的分子未乘，不符合分式的基本性质．（3分） （2）解：原式 ．    （6分） ，     ， 当时，原式．（8分） 19．（10分） 【详解】（1）解：齿轮啮合时，两个齿轮在相同时间内转过的齿数相等， 设大齿轮齿数为，转速为，小齿轮齿数为，转速为，则有， 由于大齿轮齿数大于小齿轮齿数，因此小齿轮转速大于大齿轮转速，即小齿轮转动更快； 转动方向判断：当大齿轮顺时针转动时，其齿会推动小齿轮的齿，使小齿轮沿与大齿轮相反的方向转动，故小齿轮转动方向为逆时针；（4分） （2）设大齿轮齿数为，转速为，小齿轮齿数为，转速为， 代入齿轮啮合时齿轮与转速的关系式， 即， 答：所需大齿轮的齿数为．（10分） 20．（10分） 【详解】（1）解：根据题意，被黑板擦遮住部分的代数式为， ∵ ， ∴被黑板擦遮住部分的代数式为；（5分） (2)不能，理由如下：假设原分式运算的结果等于，则， 两边同乘，得， 解得， 当时，原分式中的分母，分式无意义， 故原分式运算的结果不能等于．（10分） 21．（10分） 【详解】（1）解：分式中分子次数为0，分母次数为1，分子次数小于分母次数，故为真分式， 故答案为：真．（1分） （2）解：．（4分） （3）解：，（7分） ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴为整数， ∴是3的因数，即或， 解得：，，2，， 即整数x的值为，，0，2．（10分） 22．（12分） 【详解】（1）解：设“天眼号”的速度是，则“花江号”的速度是． 根据行驶时间相等，得，解得． 经检验，是原分式方程的解． ∴． 答：“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是．（6分） （2）解：我不赞同甲队同学的看法． 理由：按甲队同学的操作，“天眼号”需行驶，“花江号”仍行驶，两车速度不变． ∴“天眼号”所用时间为，“花江号”所用时间为． ∵， ∴两车不能同时到达终点．（12分） 23．（14分） 【详解】解：1）若．理由：， ， ， ；（3分） （2），， ， ，， ， ， ， ， ， ；（7分） （3）①乙试验田的小麦的单位面积产量高，理由： 甲试验田的面积为：， 乙试验田的面积为：， ， ， ， ， ， 乙试验田的小麦的单位面积产量高；（11分） ② ， 乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍．（14分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第3章 分式·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）下列分式的值可以为的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 4．（本题3分）把分式，和通分，下列结论错误的是（   ） A．最简公分母是 B． C． D． 5．（本题3分）已知，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）传统文化在中国古代建筑中，常利用榫卯结构使得建筑物牢固且难以松动．如图，工人师傅设计了一种特定的榫卯结构件，在使用相同口径的圆木材料制作时，每个榫构件所需的圆木要比每个卯构件所需的圆木短．已知用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同，设制作1个榫构件需圆木，下列说法正确的是（    ） A．制作1个卯构件需圆木 B．依题意 C．依题意 D．的值为20 7．（本题3分）当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 8．（本题3分）如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 9．（本题3分）已知a，b为实数，且，，设，，下列说法正确的是（     ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（本题3分）如图，有两个正方形A、B，边长分别为和．将A、B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．图甲、图乙中阴影的面积分别为与．若，则的值为（     ） A． B． C．2 D．3 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）有四个数4，8，16，x可以组成一个比例，其中x最大是( )，最小是( )． 12．（本题3分）下面三个式子：，其中正确的有_____个． 13．（本题3分）若分式中x、y均扩大为原来的n倍，分式的值变为原来的5倍，则n的值是 _____． 14．（本题3分）计算：_________． 15．（本题3分）对于两个分式M和N，我们定义一种新的运算“※”如下：，其中，．例如：，则_______． 16．（本题3分）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_____． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）化简： (1)． (2)． 18．（本题8分）下面是小超同学化简的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：原式      第一步       第二步       第三步 ．      第四步 (1)以上化简步骤中，从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． (2)请直接写出该式子化简后的正确结果，并从，，中选择一个合适的数代入求值． 19．（本题10分）齿轮是一种有齿的机械构件，它们通常以两个或多个为一组．如果两个齿轮不同轴，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮合，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转，如图所示． (1)顺时针转动大齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮相对大齿轮转动更_________（填“快”或“慢”），小齿轮转动方向是_________．（填“顺时针”或“逆时针”）； (2)现有一个齿数为的小齿轮，要配一个合适齿数的大齿轮，使得这个齿轮组合的输入轴转速（即小齿轮的转速）为圈/分时，输出轴转速（即大齿轮转速）降至圈/分，请计算出所需大齿轮的齿数． 20．（本题10分）小嘉在黑板上写了一个分式混合运算的正确计算过程，并用黑板擦遮住了其中的一部分，然后让琪琪来解答，该等式为． (1)求被黑板擦遮住部分的代数式． (2)原分式运算的结果能等于吗？请说明理由． 21．（本题10分）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： ．我们定义：在分式中，对于只含有1个字母的分式．当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式．类似的，“假分式”也可以化为“带分式”（即：整式与真分式的和的形式）．如：；再如：． 解决下列问题： (1)分式是___________分式（填“真”或“假”）； (2)请将假分式化为带分式的形式； (3)若分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 22．（本题12分）贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差． (1)求两车的速度； (2)甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点，那么“天眼号”从原起点向后退作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由． 23．（本题14分）【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $