第3章 分式 单元测试 2026-2027学年青岛版八年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦分式核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，结合AI分拣机器人、美丽乡村建设等时代情境，适配初中分式单元复习，有效培养数学抽象、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|分式定义（1）、性质（6）、运算（3、4）|基础辨识与运算辨析，如第1题考查分式定义，第3题辨析运算错误| |填空题|6题/18分|分式有意义（11）、增根与无解（15、16）、参数法（13）|能力提升与方法渗透，如13题用参数法简化计算，15题考查增根概念| |解答题|8题/72分|运算（17）、解方程（18）、应用题（21、22）、创新题（24）|综合应用与素养培养，如21题以AI分拣机器人为情境，24题结合倒数法与分离常数法，培养创新意识|

第3章 分式（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列式子是分式的是（　　） A. B. C. D. 2．若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B． C．2 D． 3．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．已知A为整式，计算的结果为，则（    ） A． B． C． D． 6．下列各式从左到右变形正确的是（ ） A．+=3（x+1）+2y B．= C．= D．= 7．下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 8．某市生态园计划种植一批梨树，原计划总产量万公斤，现改换梨树品种，改换后平均每亩产量是原来的倍，总产量比原计划增加了万公斤，且种植亩数减少了亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？若设原来平均每亩产量为万公斤，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 9．已知，则代数式的值为（ ） A．1 B．2 C．4 D．前面几个答案都不对 10．已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为（　　） A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若代数式有意义，则实数的值可以是________． 12．计算：_____． 13．对于一些计算量特别大，或用常规方法解不出来的问题，可考虑设参数的方法，例如在计算时，设，则原式可化为，化简结果为，即原式等于2000．请你用这种方法计算： ． 14．某校初三年级进行女子800米测试，甲、乙两名同学同时起跑，两人到达终点的时间和为9分钟，其中乙同学的速度是甲同学的速度的1.25倍，则乙同学的速度是 米/分钟． 15．若关于x的分式方程有增根，则m的值是 ． 16．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、计算 （1）； （2） 18、解分式方程 (1) (2) 19、先化简，再求值：，其中 20、下面是某同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同乘________，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，解得． (1)这位同学解题过程中横线处应填________，解题过程缺少的步骤是________． (2)该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了一步，还存在错误，请写出正确的解答过程． 21、全球人工智能终端展暨第六届深圳国际人工智能展览会月在深圳会展中心启幕，人工智能的迅速发展为物流运输和配送带来了巨大便利．某快递公司的仓库主要使用A，两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人比型机器人每小时多分拣快递件，且A型机器人分拣件快递所用时间与型机器人分拣件所用时间相等． (1)A，型机器人每小时各分拣快递多少件？ (2)“”期间，快递公司的业务量猛增，每天有件快递要分拣，A，型机器人一起工作小时后，型机器人有其他业务要处理，剩下的快递由A机器人分拣，请问A型机器人还要工作多少个小时才能完成任务？ 22、【新考向】 为落实“美丽乡村”的工作部署，市政府计划对乡村道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米．求甲队每天修路的长度． (1)填表（在表格中横线处填写相应的代数式）： 方法一：设甲队每天修路的长度为x米，完成表格： 工作效率（米/天） 工作总量（米） 工作时间（天） 甲队 x 400 █ 乙队 ______ 600 ______ 方法二：设甲队修路400米需要用y天，完成表格： 工作效率（米/天） 工作总量（米） 工作时间（天） 甲队 ______ 400 y 乙队 ______ 600 █ (2)请选择一种方法，写出完整的解答过程． 23、先阅读某同学解下面分式方程的具体过程． 解方程：． 解：① ② ③ ④ ⑤ 经检验，是原方程的解． 请你回答： (1)①到②的具体做法是 ______ ；②得到③的具体做法是 ______ ；得到④的理由是 ______ ． (2)上述解法对吗？若不对，请指出错误的原因，并改正． 24、阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 分式（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列式子是分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：根据分式的定义可知，四个选项中只有B选项中的式子是分式， 2．若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：且， ∴， 3．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，分子中的负号可以提到分式前，等式成立，正确； B、，分子分母同时乘以3（非零数），分式值不变，正确； C、，分子与分母中的约分，结果为，正确（默认）； D、，分子分母同时减2，违背分式基本性质，例如，取，，左边为，右边为，显然不等，错误； 综上，计算错误的是D． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 5．已知A为整式，计算的结果为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ． 6．下列各式从左到右变形正确的是（ ） A．+=3（x+1）+2y B．= C．= D．= 【答案】C 【详解】 A．+=3（x+1）+2y 错误 B．= 错误 C．= 正确 D．= 错误 7．下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是最简分式，则此项符合题意； B、，则此项不是最简分式，不符合题意； C、，则此项不是最简分式，不符合题意； D、，则此项不是最简分式，不符合题意； 8．某市生态园计划种植一批梨树，原计划总产量万公斤，现改换梨树品种，改换后平均每亩产量是原来的倍，总产量比原计划增加了万公斤，且种植亩数减少了亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？若设原来平均每亩产量为万公斤，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵改换梨树品种后平均每亩产量是原来的1.5倍，且原来平均每亩产量为x万公斤， ∴改换梨树品种后平均每亩产量为万公斤. 根据题意得： 即： 9．已知，则代数式的值为（ ） A．1 B．2 C．4 D．前面几个答案都不对 【答案】C 【详解】 10．已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为（　　） A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1 【答案】D 【详解】解：去分母得：x﹣2（x﹣1）＝k， 去括号得：x﹣2x+2＝k， 解得：x＝2﹣k， 由分式方程的解为正数，得到2﹣k＞0，且2﹣k≠1， 解得：k＜2且k≠1， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若代数式有意义，则实数的值可以是________． 【答案】0（答案不唯一） 【详解】解：若代数式有意义，则， 解得：； 故答案为：0． 12．计算：_____． 【答案】0 【详解】解： ， 故答案为：0． 13．对于一些计算量特别大，或用常规方法解不出来的问题，可考虑设参数的方法，例如在计算时，设，则原式可化为，化简结果为，即原式等于2000．请你用这种方法计算： ． 【答案】 【详解】解：设， ∴ ， 故答案为：． 14．某校初三年级进行女子800米测试，甲、乙两名同学同时起跑，两人到达终点的时间和为9分钟，其中乙同学的速度是甲同学的速度的1.25倍，则乙同学的速度是 米/分钟． 【答案】200 【详解】解：设甲同学的速度是，则乙同学的速度为， 则有：， ， ， ， 解得：， 经检验：是方程的解； ∴． 故答案为： ． 15．若关于x的分式方程有增根，则m的值是 ． 【答案】2 【详解】解：， 去分母，得， 分式方程增根是：，即， 把代入，得 ， 解得：， 故答案为：2． 16．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】0或2 【详解】解：， 去分母得， 解得， ①当时，即时，整式方程无解，从而原分式方程也无解； ②当时，， ∵分式方程无解， ∴，即， 解得， 故答案为：0或2． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、计算 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18、解分式方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 19、先化简，再求值：，其中 【答案】 【详解】解： ∵ ∴原式． 20、下面是某同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同乘________，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，解得． (1)这位同学解题过程中横线处应填________，解题过程缺少的步骤是________． (2)该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了一步，还存在错误，请写出正确的解答过程． 【答案】(1)；检验 (2)见解析 【详解】（1）解：这位同学解题过程中横线处应填，解题过程缺少的步骤是检验， 故答案为：；检验； （2）解： 方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，解得． 经检验，是原方程的解， ∴方程的解为 21、全球人工智能终端展暨第六届深圳国际人工智能展览会月在深圳会展中心启幕，人工智能的迅速发展为物流运输和配送带来了巨大便利．某快递公司的仓库主要使用A，两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人比型机器人每小时多分拣快递件，且A型机器人分拣件快递所用时间与型机器人分拣件所用时间相等． (1)A，型机器人每小时各分拣快递多少件？ (2)“”期间，快递公司的业务量猛增，每天有件快递要分拣，A，型机器人一起工作小时后，型机器人有其他业务要处理，剩下的快递由A机器人分拣，请问A型机器人还要工作多少个小时才能完成任务？ 【答案】(1)A型机器人每小时分拣快递件．型机器人每小时分拣快递件 (2)A型机器人还要工作个小时才能完成任务 【详解】（1）解：设型机器人每小时分拣快递件，则A型机器人每小时分拣快递件， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A型机器人每小时分拣快递件，型机器人每小时分拣快递件． （2）解：设A型机器人还要工作个小时才能完成任务， 由题意得：， 解得：， 答：A型机器人还要工作个小时才能完成任务． 22、【新考向】 为落实“美丽乡村”的工作部署，市政府计划对乡村道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米．求甲队每天修路的长度． (1)填表（在表格中横线处填写相应的代数式）： 方法一：设甲队每天修路的长度为x米，完成表格： 工作效率（米/天） 工作总量（米） 工作时间（天） 甲队 x 400 █ 乙队 ______ 600 ______ 方法二：设甲队修路400米需要用y天，完成表格： 工作效率（米/天） 工作总量（米） 工作时间（天） 甲队 ______ 400 y 乙队 ______ 600 █ (2)请选择一种方法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)方法一：，；方法二：， (2)甲队每天修路的长度为40米 【详解】（1）解：由题意可得： 方法一：设甲队每天修路的长度为x米，完成表格： 工作效率（米/天） 工作总量（米） 工作时间（天） 甲队 x 400 █ 乙队 600 方法二：设甲队修路400米需要用y天，完成表格： 工作效率（米/天） 工作总量（米） 工作时间（天） 甲队 400 y 乙队 600 █ （2）解：方法一：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意； ∴， 故甲队每天修路的长度为米； 方法二：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意； ∴， 故甲队每天修路的长度为米． 23、先阅读某同学解下面分式方程的具体过程． 解方程：． 解：① ② ③ ④ ⑤ 经检验，是原方程的解． 请你回答： (1)①到②的具体做法是 ______ ；②得到③的具体做法是 ______ ；得到④的理由是 ______ ． (2)上述解法对吗？若不对，请指出错误的原因，并改正． 【答案】(1)通分；两边除以；分式值相等的条件 (2)上述解法不对，见解析 【详解】（1）解：①到②的具体做法是通分；②得到③的具体做法是两边除以；得到④的理由是分式值相等的条件； 故答案为：通分；；分式值相等的条件； （2）解：上述解法不对，两边除以时，没有考虑是否为0， 正确解法为， 变形得：， 当，即时，是分式方程的解； 当，即时，， 解得：， 经检验和都是分式方程的解． 24、阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $