重难点09 圆的综合压轴题专项（4大知识点+6大题型培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

重难点09 圆的综合压轴题专项 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 圆内知识综合 知识点二 圆与三角形的综合 知识点三 圆与四边形的综合 知识点四 圆与函数的综合 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 圆内知识综合 题型2 圆与三角形的综合 题型3 圆与四边形的综合 题型4 圆与函数的综合 题型5 三角形内切圆与外接圆综合 题型6 圆的其他综合问题 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 · 圆基础核心定理：垂径定理、圆周角定理及其推论、圆心角、弧、弦关系、圆内接四边形性质。 · 切线相关考点：切线判定定理、切线性质定理、切线长定理，弦切角模型。 · 三角形外接圆与内切圆：外心、内心定义与性质，外接圆半径、内切圆半径相关计算。 · 几何计算模型：勾股定理、相似三角形、三角函数结合圆求解线段长度、角度。 · 图形综合：圆与三角形、特殊四边形融合证明与计算；坐标系中圆与一次函数、二次函数数形结合。 · 动态探究问题：动点、动线、动圆背景下线段定值、面积最值、存在性分类讨论。 · 基础层级：选择、填空考查圆周角、垂径定理、圆内接四边形基础计算，条件直观，侧重定理直接应用。 · 中档层级：常规解答大题，以切线证明为核心，搭配线段长度求解、角度推导，是九年级期中期末必考大题模板。 · 拔高层级：试卷几何压轴，多小问梯度设问；融合相似、解直角三角形；动态圆、动点探究，侧重辅助线构造与模型迁移。 · 命题特点：重视切线证明作为第一问固定设问；高频考查圆周角转化、直径构造直角三角形；圆与二次函数综合常出现在中考压轴；注重分类讨论，点在优弧、劣弧两种情况极易设置陷阱。 考情解码： · 模块地位：圆是初中平面几何收官章节，综合性最强；整合全等、相似、直角三角形、三角函数，是中考核心几何压轴载体，分班选拔高频考查。 · 分值与考频：中考固定几何压轴，分值 10～12 分；校内期末统考解答大题 8～10 分，是高分段核心分水岭。 · 高频失分点：不会构造直径所对直角、不会连接半径；切线证明条件书写不完整；忽略动点分优弧、劣弧讨论；圆中相似三角形对应边找错；内心、外心性质混淆。 · 备考核心：牢记圆内通用辅助线套路，建立 “遇直径构造直角、遇切线连接半径、遇弧找圆周角转化” 的固定思维。 知识点一 圆内知识综合 1.圆的基本概念 圆的定义、半径、直径、弦、弧（优弧/劣弧/等弧）、圆心角、圆周角、弦心距的概念辨析。 同圆或等圆中，半径相等，等弧对等弦、等圆心角、等圆周角。 2.三大核心定理 垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，是圆中线段长度计算（勾股定理）的核心依据。 圆心角、弧、弦关系定理：同圆/等圆中，一组量相等则其余对应量均相等。 圆周角定理及推论：同弧所对圆周角 = 圆心角的一半；直径所对圆周角为直角；90° 圆周角所对弦为直径；同弧/等弧所对圆周角相等。 3.点与圆的位置关系 判定依据：点到圆心的距离d与半径r的大小关系（d>r外离、d=r相切、d<r相交） 三角形外接圆：外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等。 4.圆内计算核心方法 弦长计算：垂径定理+勾股定理 角度转化：圆周角、圆心角、弦切角（拓展）的互化 辅助线作法：作半径、作弦心距、连直径构造直角三角形 知识点二 圆与三角形的综合 1.直线与圆的位置关系 判定：圆心到直线距离d与r比较（相交d<r、相切d=r、相离d>r）。 切线的判定与性质：切线垂直于过切点的半径；证切线两大方法（连半径证垂直、作垂直证半径）。 2.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点与圆心连线平分两条切线的夹角。 3.三角形与圆的特殊结合 直角三角形与圆：斜边为直径⇒圆过直角顶点；直角三角形外接圆半径斜边。 等腰 / 等边三角形与圆：结合垂径定理，圆心在三角形的对称轴上，易构造全等三角形。 三角形内切圆：内心是角平分线交点，到三边距离相等，内切圆半径r=2S/C（S面积，C周长）。 4.相似三角形在圆中的应用 圆中相似模型：母子相似、圆周角相等构造 AA 相似、弦切角定理衍生相似。 应用：求线段比例、线段长度、证明等积式（a⋅b=c⋅d） 5. 辅助线规律：遇切线连半径，遇直径作直角，遇弦作弦心距。 知识点三 圆与四边形的综合 1.圆内接四边形性质（核心考点） 对角互补；外角等于内对角；四个顶点均在圆上。 2.特殊四边形与圆的结合 矩形：一定有外接圆（对角线为直径）。 正方形：既有外接圆又有内切圆，圆心为对角线交点。 菱形：只有内切圆（无外接圆，除非是正方形）。 等腰梯形：一定是圆内接四边形。 3.圆外切四边形性质 圆外切四边形对边和相等（AB+CD=AD+BC）。 4.综合考查方向 判定四边形形状；求四边形内角、边长、面积；证明线段相等 / 平行 / 垂直；结合切线、相似进行综合推导。 知识点四 圆与函数的综合 1.坐标系中的圆 圆的标准方程：(x−a)2+(y−b)2=r2（圆心(a,b)，半径r，初中拓展应用） 圆心坐标、半径的求解：利用中点公式、距离公式计算 2.圆与函数图象的位置关系 圆与直线（一次函数）：联立方程⇒判别式判定位置关系；结合切线性质求切点坐标、切线解析式。 圆与抛物线（二次函数）：交点坐标求解、结合动点考查最值与存在性。 3.动点与圆的综合 动点轨迹为圆的判定：定角对定边、到定点距离为定值。 最值问题：线段最值（将军饮马、圆外一点到圆的最值d±r）、面积最值、角度最值。 4.存在性问题 圆上找点构成特殊三角形（等腰、直角）、特殊四边形（平行、菱形）。 切线存在性、相似三角形存在性。 5.核心方法 数形结合、分类讨论、方程思想；辅助线结合坐标系作垂线、连半径、构造直角三角形。 题型1 圆内知识综合 【例1】如图，为直径，为上一点（异于、，平分交于点，交于点； （1）； （2）； （3）； （4）连结、，四边形面积为； 上述结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1-1】如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【变式训练1-2】如图，在矩形中，，，连接，点E为上一个动点，点F为上一个动点，连接，且始终满足，则线段的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 【变式训练1-3】如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 题型2 圆与三角形的综合 【例2】已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式训练2-1】如图，以为直径的半圆O与的两边，相交于点D，E．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】如图，内接于，，，点是劣弧的中点，过点作交的延长线于点，若是锐角三角形，则线段的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 题型3 圆与四边形的综合 【例3】如图，在正方形中，，点是平面内的一动点，且是的中点，是上一动点，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C．9 D． 【变式训练3-1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，为上的一动点，点关于的对称点为，当最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】如图，是平行四边形，是的直径，点在上，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．    (1)请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称______； (2)如图，在等腰中，，经过点A、B的圆交边于点D，交边于点E，连结．若四边形为圆美四边形，求的值； (3)如图，在中，经过A、B的圆交边于点D，交于点E，连结，交于点F．若在四边形的内部存在一点P，使得，连结交于点G，连结，若，．求证：四边形为圆美四边形． 题型4 圆与函数的综合 【例4】如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，点运动的路径长为(    ) A． B． C． D． 【变式训练4-1】如图，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D．2 【变式训练4-2】在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式训练4-3】如图，是的直径，弦于点M，点P是延长线上一点，点E，F是上的两点，连接，，，连接并延长交于点N，交延长线于点G，已知是的切线且，． (1)求证：是的切线； (2)令，，求y关于x的函数解析式；（不考虑自变量x的取值范围） (3)在点P运动的过程中，是否为定值，若是定值，则求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 题型5 三角形内切圆与外接圆综合 【例5】如图，已知的外接圆和内切圆的半径分别为3和1，则两圆圆心的连线的长为（   ） A． B． C． D．2 【变式训练5-1】如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-2】如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】如图，在中，，取的内心记为点O，分别作交于点M，交于点N，且．则下列说法：①；②四边形的面积为面积的2倍；③当时，的周长有最小值；④过点M、N，且以点O为圆心的圆是的外接圆．则下列说法不正确的是（   ） A．①②③ B．②④ C．③④ D．①②④ 题型6 圆的其他综合问题 【例6】如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为，，，以点C为圆心，3为半径画，点P在上运动，连接，交于点Q，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值为（    ） A．7 B．10 C． D． 【变式训练6-1】如图，在中，，，，P是上一动点，于点E，于点D，则线段的最小值为（　　）    A． B．1 C． D． 【变式训练6-2】如图，在边长为1的正方形中，将射线绕点A按顺时针方向旋转度（），得到射线，点M是点D关于射线的对称点，则线段长度的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练6-3】如图1和图2，与直线相切于点，在中裁掉一个圆心角为的扇形，且．点是上一点，连接，从出发以每秒的速度按顺时针方向转动，当与重合时停止转动，设转动时间为秒． (1)如图1，过点且始终与平行的直线也随运动，设直线与的另一个交点为． ①求点到直线的距离； ②当直线与相切时，求的值． (2)如图2，过点且始终与垂直的直线也随运动，直线交直线于点，与的另一个交点为． ①当时，求的值； ②直接写出的最大值． 1．如图，，与相切于点与交于点．若，则的长为（   ） A．0.5 B．1 C． D．2 2．如图，在的内接四边形中，，C为上一动点，且，的半径为2，有如下说法：①平分；②三角形是等边三角形；③；④；⑤四边形最大面积是．其中正确说法的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 4．已知，如图，为的直径，内接于，，，，延长交于点D，连接．的直径是，，则的长等于（   ） A．3 B． C．4 D． 5．如图，点Q是圆O直径上一点，，且，动点P从A出发，逆时针沿运动一周，记面积为y，P点的运动路程为x，则对应的函数图象是（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知，，以为直径的圆交于点，过点的的切线交于点．若，，则的半径是（ ）． A． B． C． D． 7．如图，四边形中，，以为直径的经过点C，连接、交于点．连接交于点，连接，若，，则以下结论：①；②为的切线；③；④；则正确的结论个数为(    )    A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，则点沿半圆由点运动至点的过程中，线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，，与的两边都相切且半径为1，Q为上一动点，以Q为圆心，长为半径的交两边于E、F两点，连接，则线段长度的最大值为（   ） A． B． C． D． 10.如图，为半圆上的一条弦，将沿着对折，折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 11．如图，四边形的顶点在上，是的直径，延长、交于点E，连接、交于点F，作，垂足为点H，已知． (1)求证：是的切线； (2)当时，请在下列三条件中选择一个，求的半径．你选择的是________． ①；②；③． 12．如图，在矩形中，，，点是的中点，连结．动点在边上从点运动到点，连结，以为直径作，分别交，，于点，，，连结交于点，连结． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当时，求的长． (3)连结，，当点与中两个顶点共线时，求的直径． 13．如图，以四边形的边为直径的⊙O正好经过，且与边相交于点，是的切线，连接，，，，． (1)求证：； (2)当时，求的长． (3)当时，求的长． 14．如图，已知点在的边上，，的平分线交于点，且在以为直径的上． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值； (3)在（2）的条件下，过点作，点是上一动点，则的最小值为____________． 15．如图，的直径垂直于弦于点E，点P是延长线上异于点D的一个动点，连结交于点Q，连结交于点F，连结，． (1)求证：； (2)若，， ①若，求的长； ②若，，求y与x之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，求的最大值． 16．如图，在中，是直径，弦，垂足为H，E为上一点，F为弦延长线上一点，连接并延长交直径的延长线于点G，连接交于点P，若． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为8，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点09 圆的综合压轴题专项 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 圆内知识综合 知识点二 圆与三角形的综合 知识点三 圆与四边形的综合 知识点四 圆与函数的综合 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 圆内知识综合 题型2 圆与三角形的综合 题型3 圆与四边形的综合 题型4 圆与函数的综合 题型5 三角形内切圆与外接圆综合 题型6 圆的其他综合问题 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 · 圆基础核心定理：垂径定理、圆周角定理及其推论、圆心角、弧、弦关系、圆内接四边形性质。 · 切线相关考点：切线判定定理、切线性质定理、切线长定理，弦切角模型。 · 三角形外接圆与内切圆：外心、内心定义与性质，外接圆半径、内切圆半径相关计算。 · 几何计算模型：勾股定理、相似三角形、三角函数结合圆求解线段长度、角度。 · 图形综合：圆与三角形、特殊四边形融合证明与计算；坐标系中圆与一次函数、二次函数数形结合。 · 动态探究问题：动点、动线、动圆背景下线段定值、面积最值、存在性分类讨论。 · 基础层级：选择、填空考查圆周角、垂径定理、圆内接四边形基础计算，条件直观，侧重定理直接应用。 · 中档层级：常规解答大题，以切线证明为核心，搭配线段长度求解、角度推导，是九年级期中期末必考大题模板。 · 拔高层级：试卷几何压轴，多小问梯度设问；融合相似、解直角三角形；动态圆、动点探究，侧重辅助线构造与模型迁移。 · 命题特点：重视切线证明作为第一问固定设问；高频考查圆周角转化、直径构造直角三角形；圆与二次函数综合常出现在中考压轴；注重分类讨论，点在优弧、劣弧两种情况极易设置陷阱。 考情解码： · 模块地位：圆是初中平面几何收官章节，综合性最强；整合全等、相似、直角三角形、三角函数，是中考核心几何压轴载体，分班选拔高频考查。 · 分值与考频：中考固定几何压轴，分值 10～12 分；校内期末统考解答大题 8～10 分，是高分段核心分水岭。 · 高频失分点：不会构造直径所对直角、不会连接半径；切线证明条件书写不完整；忽略动点分优弧、劣弧讨论；圆中相似三角形对应边找错；内心、外心性质混淆。 · 备考核心：牢记圆内通用辅助线套路，建立 “遇直径构造直角、遇切线连接半径、遇弧找圆周角转化” 的固定思维。 知识点一 圆内知识综合 1.圆的基本概念 圆的定义、半径、直径、弦、弧（优弧/劣弧/等弧）、圆心角、圆周角、弦心距的概念辨析。 同圆或等圆中，半径相等，等弧对等弦、等圆心角、等圆周角。 2.三大核心定理 垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，是圆中线段长度计算（勾股定理）的核心依据。 圆心角、弧、弦关系定理：同圆/等圆中，一组量相等则其余对应量均相等。 圆周角定理及推论：同弧所对圆周角 = 圆心角的一半；直径所对圆周角为直角；90° 圆周角所对弦为直径；同弧/等弧所对圆周角相等。 3.点与圆的位置关系 判定依据：点到圆心的距离d与半径r的大小关系（d>r外离、d=r相切、d<r相交） 三角形外接圆：外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等。 4.圆内计算核心方法 弦长计算：垂径定理+勾股定理 角度转化：圆周角、圆心角、弦切角（拓展）的互化 辅助线作法：作半径、作弦心距、连直径构造直角三角形 知识点二 圆与三角形的综合 1.直线与圆的位置关系 判定：圆心到直线距离d与r比较（相交d<r、相切d=r、相离d>r）。 切线的判定与性质：切线垂直于过切点的半径；证切线两大方法（连半径证垂直、作垂直证半径）。 2.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点与圆心连线平分两条切线的夹角。 3.三角形与圆的特殊结合 直角三角形与圆：斜边为直径⇒圆过直角顶点；直角三角形外接圆半径斜边。 等腰 / 等边三角形与圆：结合垂径定理，圆心在三角形的对称轴上，易构造全等三角形。 三角形内切圆：内心是角平分线交点，到三边距离相等，内切圆半径r=2S/C（S面积，C周长）。 4.相似三角形在圆中的应用 圆中相似模型：母子相似、圆周角相等构造 AA 相似、弦切角定理衍生相似。 应用：求线段比例、线段长度、证明等积式（a⋅b=c⋅d） 5. 辅助线规律：遇切线连半径，遇直径作直角，遇弦作弦心距。 知识点三 圆与四边形的综合 1.圆内接四边形性质（核心考点） 对角互补；外角等于内对角；四个顶点均在圆上。 2.特殊四边形与圆的结合 矩形：一定有外接圆（对角线为直径）。 正方形：既有外接圆又有内切圆，圆心为对角线交点。 菱形：只有内切圆（无外接圆，除非是正方形）。 等腰梯形：一定是圆内接四边形。 3.圆外切四边形性质 圆外切四边形对边和相等（AB+CD=AD+BC）。 4.综合考查方向 判定四边形形状；求四边形内角、边长、面积；证明线段相等 / 平行 / 垂直；结合切线、相似进行综合推导。 知识点四 圆与函数的综合 1.坐标系中的圆 圆的标准方程：(x−a)2+(y−b)2=r2（圆心(a,b)，半径r，初中拓展应用） 圆心坐标、半径的求解：利用中点公式、距离公式计算 2.圆与函数图象的位置关系 圆与直线（一次函数）：联立方程⇒判别式判定位置关系；结合切线性质求切点坐标、切线解析式。 圆与抛物线（二次函数）：交点坐标求解、结合动点考查最值与存在性。 3.动点与圆的综合 动点轨迹为圆的判定：定角对定边、到定点距离为定值。 最值问题：线段最值（将军饮马、圆外一点到圆的最值d±r）、面积最值、角度最值。 4.存在性问题 圆上找点构成特殊三角形（等腰、直角）、特殊四边形（平行、菱形）。 切线存在性、相似三角形存在性。 5.核心方法 数形结合、分类讨论、方程思想；辅助线结合坐标系作垂线、连半径、构造直角三角形。 题型1 圆内知识综合 【例1】如图，为直径，为上一点（异于、，平分交于点，交于点； （1）； （2）； （3）； （4）连结、，四边形面积为； 上述结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】（1）根据在同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等，进行判断； （2）连接，证明，便可判断正误； （3）连接、，延长到点，使，连接，证明，得是等腰直角三角形，便可判断正误； （4）由全等三角形得，进而由等腰直角三角形的面积公式，便可判断正误． 【详解】解：（1）平分， ， ，故（1）结论正确； （2）连接， ， ， ， ， ，故（2）结论正确； （3）连接、，延长到点，使，连接， 四边形是的内接四边形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，故（3）结论正确； （4）， ， ，故（4）结论错误； 综上所述，正确的有3个． 【变式训练1-1】如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心．利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断． 【详解】解：∵E是的内心， ∴平分， ∴，故①正确； 如图，连接， ∵E是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴G一定在上， ∴，故③正确； 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 若，则，显然不可能，故④错误． 故选：D． 【变式训练1-2】如图，在矩形中，，，连接，点E为上一个动点，点F为上一个动点，连接，且始终满足，则线段的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】先利用矩形的性质及已知条件得出的长，再由勾股定理得出的长，然后利用三角函数得出，从而，再证得，取中点O，E在以为直径的圆上，则当时，最短，设，则，，根据题意得出关于x的一元一次方程，解得x的值，则答案可求． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴取中点O，E在以为直径的圆上， ∴， ∴当取最小值时，也为最小值， ∵E为上的动点， ∴当时，OE最短， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、勾股定理在计算中的应用、圆的定义及一元一次方程在几何问题中的应用，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【变式训练1-3】如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值，故可求解． 此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到取得最小值时P的位置． 【详解】连接，∵，∴，∵，∴， 要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值， 过点M作轴于点Q， 则， ∴， 又， ∴， ∴， 故选D． 题型2 圆与三角形的综合 【例2】已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】连接、、．根据内心的性质可知平分，结合为直径，利用垂径定理可得且．在中利用勾股定理求出，进而得到的长．在中求出的长．利用圆周角定理和三角形外角性质证明，最后根据求解． 【详解】解：连接、、． ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∵为的直径， ∴，． 在中，，， ， ∴． 在中，， ∵，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练2-1】如图，以为直径的半圆O与的两边，相交于点D，E．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据在同圆和等圆中，等弦所对的弧相等，等弧所对的圆周角相等可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，，推得，根据等边对等角可得，结合题意求得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【变式训练2-2】如图，内接于，，，点是劣弧的中点，过点作交的延长线于点，若是锐角三角形，则线段的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先连接辅助线 ，利用垂径定理得到 ，求出 的长度；再分别计算和这两个临界状态下 的值，结合为锐角三角形的条件，确定 的取值范围． 【详解】解：连接 ， 交 于点 ， ∵ 是劣弧 的中点，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 为等腰直角三角形，， 在 中，， ∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴， ∴ ， 当 时，则, ∵， ∴ 四边形 为矩形 ∴ 当 时，则 为 的直径, ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ ， ∵ ，，， ∴ ， 解得 ， ∵ 是锐角三角形， ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质及矩形的判定，熟练掌握垂径定理和临界状态的分析是解题的关键． 【变式训练2-3】如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线 (2)3 【分析】（1）连接，因为，所以对应的圆周角相等，可推出与的平行关系；又因为，所以，结合是半径，根据切线判定定理即可证明； （2）设半径为，则，因为，所以是直角三角形，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：设的半径为r，， ∵在中，， ∴， 解得， 即的半径为3． 题型3 圆与四边形的综合 【例3】如图，在正方形中，，点是平面内的一动点，且是的中点，是上一动点，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C．9 D． 【答案】A 【分析】利用三角形中位线定理，由推导出中点的轨迹是以正方形中心为圆心、半径为1的圆．利用轴对称性质，作点关于的对称点，将转化为．根据圆外一点到圆上点的最短距离，用点到圆心的距离减去半径，即可得到的最小值． 【详解】解： 四边形是正方形，， 连接、交于点， 点为的中点． ， 点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆． 是的中点，是的中点， 连接， 是的中位线． ， ， 点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆． 作点关于的对称点，连接，，， ， ． ∴当点O，F，E，M在同一直线上时，取得最小值，为的长， 过点作于点， 是正方形对角线的交点， ，． 点与点关于对称， ，， ∴点A，B，M三点共线， ． 在中， ． 的最小值为， 的最小值为． 【变式训练3-1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，为上的一动点，点关于的对称点为，当最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质、轴对称的性质以及圆的性质，解题的关键是利用轴对称性质确定点的运动轨迹，再根据几何关系求出最小时点的坐标． 根据轴对称性质确定点的轨迹，再结合几何知识求出最小时点的坐标． 【详解】解：因为四边形是正方形，，所以， 因为点关于的对称点为，所以， 即点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 要求最小，如图，根据点到圆上一点的距离，当在连线上时，最小， ， ， 过作交于，又， ， ， ， 点的坐标， 故选：D． 【变式训练3-2】如图，是平行四边形，是的直径，点在上，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆的性质、等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，角的正弦值等知识，连接，作于点，由图可知，阴影部分的面积的面积，根据题目的条件和图形，可以求得的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：连接，作于点， ∵是的直径，点在上，， ， 是等边三角形， ， 是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴是四个全等的等边三角形，边长均为2， ∵， ∴， ∵ ∴弓形的面积弓形的面积， 图中阴影部分的面积为等边三角形的面积， 即图中阴影部分的面积为， 故选：A． 【变式训练3-3】定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．    (1)请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称______； (2)如图，在等腰中，，经过点A、B的圆交边于点D，交边于点E，连结．若四边形为圆美四边形，求的值； (3)如图，在中，经过A、B的圆交边于点D，交于点E，连结，交于点F．若在四边形的内部存在一点P，使得，连结交于点G，连结，若，．求证：四边形为圆美四边形． 【答案】(1)正方形 (2) (3)证明：，， ， ， ， ， ， 又， 即， ， ， 又，， ， 即， ， 又∵A，B，E，D在同一个圆上， ∴四边形为圆美四边形． 【分析】（1）根据圆美四边形的定义直接得出结论； （2）先判断出，得出，； （3）先判断出∽，得出，进而判断出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据圆美四边形的定义可知，正方形是圆美四边形． （2）解：如图，连接，，   ， 为的直径， ， 四边形为圆美四边形， ， ， ， ， ， ， 在等腰直角中，， ， ， ，， ． （3）略 题型4 圆与函数的综合 【例4】如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，点运动的路径长为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题属于二次函数和圆的综合问题；、、的坐标，然后求出半圆的直径为，由于为定点，是半圆上的动点，为的中点，连接，可证明，所以的运动路径为以为直径的半圆，计算即可． 【详解】解：连接，． ， 点的坐标为， 令，则， 解得，，， ，， ， ∴， ∴轴．， ∴点在上， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是以为直径的半圆， 点运动的路径长是． 故选：D 【变式训练4-1】如图，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】连接，取的中点，连接，过点作于，先证明点的运动轨迹是以点为圆心，1为半径的，设交于点，解得直线与坐标轴的交点，即可解得的长，再由勾股定理解得的长，证明解得的长，最后当点与点重合时， 此时面积的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接,取的中点，连接，过点作于， ， ， 的运动轨迹是以点为圆心、半径为1的圆，设交于点， 直线的解析式为， 令，得， ， 令，得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当点与点重合时， 此时面积的最小值， 故选：D． 【点睛】本题考查圆的综合题，涉及一次函数与坐标轴的交点、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 【变式训练4-2】在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知点P在直线上，再结合题意，画出图形．设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H．根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得B、C两点的坐标，即得出OB、OC、BC的长．再根据面积法即可求出OH的长．根据切线的性质可知，即由勾股定理可推出．由OA为圆O半径，是定值，故可知当OP最小时，PA最小，此时OP最小值即为OH的长，由此即可求出PA的最小值． 【详解】解：根据题意可知点P在直线上，设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H，如图．    令，则， 解得：； 令，则． 故B点坐标为(0，)，C点坐标为(-2，0)． ∴，，． ∵， ∴，即． ∵为圆O的切线， ∴， ∴在中，． ∵OA为圆O半径，是定值， ∴当OP最小时，PA最小． ∵OP最小时即为OH的长， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，切线的性质，勾股定理．根据题意作出图形，并理解当OP最小时，PA最小，且OP最小值为OH的长是解答本题的关键． 【变式训练4-3】如图，是的直径，弦于点M，点P是延长线上一点，点E，F是上的两点，连接，，，连接并延长交于点N，交延长线于点G，已知是的切线且，． (1)求证：是的切线； (2)令，，求y关于x的函数解析式；（不考虑自变量x的取值范围） (3)在点P运动的过程中，是否为定值，若是定值，则求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) 证明：如解图①，连接，， 在与中， 01 ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； (2)； (3)为定值，定值为值 【分析】（1）连接，，利用三角形全等，证明即可； （2）连接，，设的半径为r，得到，设，由勾股定理得，得到，代入求解即可；（3）在点P运动的过程中，为定值；连接，利用三角形相似的判定和性质，求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：如解图②，连接，， ∵， ∴， 设的半径为r，∵， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， 设，由勾股定理得， ∴， 故， ∴ ； （3）解：在点P运动的过程中，为定值，定值为值； 如解图②，连接， ∵， ∴易得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴在点P运动的过程中，为定值． 题型5 三角形内切圆与外接圆综合 【例5】如图，已知的外接圆和内切圆的半径分别为3和1，则两圆圆心的连线的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外接圆与内切圆的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、圆的直径所对圆周角的性质，解题的关键是通过构造相似三角形建立外接圆半径、内切圆半径与圆心距之间的等量关系． 连接相关线段构造相似三角形，推导出；利用直径所对圆周角为直角，结合内心性质证明，得到；通过角的等量代换证明，得出；联立等式得到，代入，计算出圆心距． 【详解】解：如图，设的延长线与相交于E，作直线与分别交于点G、H，连接、．作直径，连接、、．设与的切点为D，连接． 设的半径为R的半径为． ∵， ∴， ∴，即①， ∵D为切点， ∴ ∵为直径， ∴ ∵， ∴， ∴，即，②， ∵I为的内心， ∴， 在中，∵ ， ∴， ∴③， 由②③得，④， 由①④得，． 由题意知，，代入得， 解得（负值舍去）， 故选：B． 【变式训练5-1】如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，于，证明，推出，可证，得到，得到四边形是正方形，是对角线，作的内切圆，圆心为，为切点，连接，．由切线长定理可知，推出，由面积法可知内切圆半径为，在中，由勾股定理即可解决问题． 【详解】解：作于，于， 平分，，， ，， 又， ，即， 四边形为的内接四边形，， ，即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 四边形是正方形，是对角线， ， 正方形的边长为， ， ， ， ， 作的内切圆，圆心为，为切点，连接，． 由切线长定理可知：， ， ， ， ， 即内切圆半径为， 在中，． 的内心与外心之间的距离为， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式训练5-2】如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关性质定理是解题的关键．连接，，过点作，垂足为点，根据正多边形的性质和圆的性质证明是等边三角形， 得到、的长，然后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作，垂足为点， 六边形是正六边形，点是它的中心， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中， ， 即它的内切圆半径为 ， 故选：D． 【变式训练5-3】如图，在中，，取的内心记为点O，分别作交于点M，交于点N，且．则下列说法：①；②四边形的面积为面积的2倍；③当时，的周长有最小值；④过点M、N，且以点O为圆心的圆是的外接圆．则下列说法不正确的是（   ） A．①②③ B．②④ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，连接，过点O作于点D，E，根据点O为的内心，可判断④，证明，得到，求得，当作点N关于的对称点，连接，此时，但是，，可判断①，得到四边形的面积，则四边形的面积是定值，根据的形状不固定，则三角形的面积也不固定，可判断②，过点O作于点F，先求出的周长，则当最小时，即当时，的周长取得最小值，可判断③，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点D，E， 点O为的内心，即为三角形内切圆圆心，故④符合题意； ∴是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 当取点N关于的对称点，连接，此时，但是，，所以①的判断不一定正确，故①符合题意 ， ∴四边形的面积， 点D的位置固定， ∴四边形的面积是定值， ， 的形状不固定，三角形的面积也不固定，故②符合题意； 如图，过点O作于点F， ， ， ， 的周长， 当最小时，即当时，的周长取得最小值， 此时，， ， ， 是等边三角形， ， ∴当时，的周长有最小值，故③不符合题意， 故选：D． 题型6 圆的其他综合问题 【例6】如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为，，，以点C为圆心，3为半径画，点P在上运动，连接，交于点Q，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值为（    ） A．7 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，掌握垂径定理，勾股定理，两点间的距离公式，直角三角形斜边上中线的性质，三点共线等知识是解决问题的关键． 连接，，由垂径定理得出，由直角三角形的性质得出，进而得出点M在以O为圆心，以3为半径的上，得出当O、M、N三点共线时，有最小值，由，求出，进而求出，即线段的最小值为7． 【详解】解：如图1，连接，， ，， ，O是的中点， 是的中点， ， ， ， ∴点M在以O为圆心，以3为半径的上， 如图2，当O、M、N三点共线时，有最小值， ， ， ， ， ∴线段的最小值为7， 故选：A． 【变式训练6-1】如图，在中，，，，P是上一动点，于点E，于点D，则线段的最小值为（　　）    A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】当时，线段的值最小，利用四点共圆的判定可得：A、E、P、D四点共圆，且直径为，得出，有一公共角，根据两角对应相等两三角形相似得，则，设，表示出和的长，求出和的比，代入比例式中，可求出的值． 【详解】解：当时，线段的值最小（因为A、E、P、D四点共圆，是直径，是定值，所以直径最小时，所对的弦最小），如图1，    ∵于点E，于点D， ∴， ∴， ∴A、E、P、D四点共圆，是直径， 在中，， ∴是等腰直角三角形，， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 如图2，取的中点O，连接，      则， ∵， ∴， 过E作于M， 则，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 则线段的最小值为， 故选：A 【点睛】本题考查了四点共圆的问题，四点共圆的判定方法有：①将四点连成一个四边形，若对角互补，那么这四点共圆；②连接对角线，若这个四边形的一边同侧的两个顶角相等，那么这四点共圆；通过四点共圆可以利用同弧所对的圆周角得出角相等，从而证得三角形相似，得比例式，使问题得以解决． 【变式训练6-2】如图，在边长为1的正方形中，将射线绕点A按顺时针方向旋转度（），得到射线，点M是点D关于射线的对称点，则线段长度的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由轴对称的性质可知，故此点M在以A圆心，以AD为半径的圆上，故此当点在一条直线上时，有最小值． 【详解】解：如图所示：连接． ∵四边形为正方形， ∴． ∵点D与点M关于对称， ∴． ∴点M在以A为圆心，以长为半径的圆上． 如图所示，当点在一条直线上时，有最小值． ∴的最小值1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，依据旋转的性质确定出点M运动的轨迹是解题的关键． 【变式训练6-3】如图1和图2，与直线相切于点，在中裁掉一个圆心角为的扇形，且．点是上一点，连接，从出发以每秒的速度按顺时针方向转动，当与重合时停止转动，设转动时间为秒． (1)如图1，过点且始终与平行的直线也随运动，设直线与的另一个交点为． ①求点到直线的距离； ②当直线与相切时，求的值． (2)如图2，过点且始终与垂直的直线也随运动，直线交直线于点，与的另一个交点为． ①当时，求的值； ②直接写出的最大值． 【答案】(1)①；② (2)①或；② 【分析】（1）①过点作于点，作于点，证明四边形是矩形，在中利用三角函数求出，进而得到，根据矩形对边相等得出，即点到直线的距离为；②根据切线性质得，结合推出，得到，除以转动速度即可求出的值； （2）①连接，在中求出，得，分点在点左侧和右侧讨论，在左侧时直线过圆心，再分在和上，得和，在右侧直线过点且与圆相切，不符合题意舍去，综合即得的值；②延长交直线于点，过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，得，，进而求出，得，由得，求出，在中利用三角函数推出，得，根据垂线段最短得，当取最大值时，取得最大值，代入计算即可得的最大值． 【详解】（1）解：①如图，过点作于点，作于点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵与直线相切于点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴即点到直线的距离为； ②如图，当直线与相切时，切点为，设直线与交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵从出发以每秒的速度按顺时针方向转动， ∴秒； （2）解：①如图，连接， ∵， ∴， 在中，， ∴， 点在直线上，分两种情况讨论： 情况一：点在点左侧： ∴， ∴， ∵直线过点且始终与垂直，直线交直线于点， ∴点、、在直线上， 如图，当点在上时， 旋转角度，此时； 如图，当点在上时， 旋转角度，此时； 情况二：点在点右侧： 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴直线过点， 又∵直线， ∴直线与相切，与只有一个公共点，不符合“有另一个交点”的条件，故舍去； 综上，当时，的值为或； ②延长交直线于点，过点作于点，过点作于点， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵，且，， ∴， ∴， ∵， ∴是点到直线的垂线段， ∴， ∴， 当且仅当点与点重合（即）时，取得最大值， 此时的最大值为：． 1．如图，，与相切于点与交于点．若，则的长为（   ） A．0.5 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】解题方法是利用切线长定理得，结合角度证为等边三角形，再通过切线垂直半径、勾股定理求线段长度；解题思路：由切线长定理得，证为等边三角形，结合求，再通过等腰三角形三线合一求，进而得． 【详解】解：∵是的切线， ∴，平分（切线长定理）， 又∵， ∴是等边三角形，， 如图，连接，则， ∵，， ∴垂直平分， ∴，． 在中，． 在中，， 设，则， 由勾股定理： 解得 ∴， ∴的长为． 故选：． 【点睛】本题考查圆的切线性质、等边三角形与直角三角形的应用，涉及知识点：切线长定理、切线与半径垂直、等腰三角形三线合一、勾股定理，解题关键是构造直角三角形并利用特殊角的性质，易错点是忽略切线与半径的垂直关系． 2．如图，在的内接四边形中，，C为上一动点，且，的半径为2，有如下说法：①平分；②三角形是等边三角形；③；④；⑤四边形最大面积是．其中正确说法的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质和圆周角定理可证；根据圆内接四边形对角互补可知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，可知是等边三角形；连接、，过点作，根据等边三角形的性质可知，利用勾股定理即可求出，可得的长；在上截取，连接，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，从而可证；根据等边三角形的性质可以求出的面积为，根据点在上运动，可知当点在的中点时的面积最大，可知的最大面积是，所以可得四边形的最大面积是． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即平分，故①正确； ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴三角形是等边三角形，故②正确； 如图，连接、，过点作， 则， ∵的半径为2， ， ∴， ∴，故正确； 如图，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ，故正确； 如图，连接，并延长交于点M， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，， ， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 当点在的中点时，的面积最大， 的半径为， 点到线段的最大距离是， 的最大面积是， 四边形的最大面积是，故⑤正确； 综上所述，正确的是①②③④⑤，共5个． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据圆内接四边形找角之间的关系，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质找边之间的关系． 3．如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理及相似三角形的性质，解题思路是先求斜边和中位线的长度，再求点到的距离，最后利用勾股定理和垂径定理求；考查的知识点有勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理，用到的思想是转化思想，方法是几何图形中的长度计算方法，技巧是利用垂径定理将的长度转化为，解题关键是求出点到的距离，易错点是忽略垂径定理的应用导致无法将与建立联系． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴的直径为5，半径， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故选D． 4．已知，如图，为的直径，内接于，，，，延长交于点D，连接．的直径是，，则的长等于（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形，勾股定理；由圆周角定理得出，由得出，连接，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理可求的长，即可得出结果． 【详解】解：连接，过点B作于H，如图所示： ∵为直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或（此时不合题意，舍去）． 故选D 5．如图，点Q是圆O直径上一点，，且，动点P从A出发，逆时针沿运动一周，记面积为y，P点的运动路程为x，则对应的函数图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的性质、圆的基本性质、二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握切线的性质、圆的基本性质、二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；通过分析点P在圆上逆时针运动过程中面积的变化情况，结合面积的最值以及面积变化的特点来判断函数图象． 【详解】解：由图可知：， ∴， 随着点P在圆上逆时针运动，则当点P与点C重合时，所以，但此时不是面积的最大值； 向下平移直线，得到直线，当与圆O相切于点H时，停止平移， 所以当点P运动到与H重合时，面积达到最大，如图所示，此时排除A、B选项； ∵的面积变化不是随点P的运动成一定确定速度变化的， ∴选项C符合题意； 故选C． 6．如图，已知，，以为直径的圆交于点，过点的的切线交于点．若，，则的半径是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，由勾股定理可得 ，根据锐角三角函数可求的长，再根据勾股定理可求的长，即可求的半径． 【详解】解：如图，连接，， ∵是切线， ∴， ∵是直径， ∴，且， ∴，且， ∴，且， ∴， 在中， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 7．如图，四边形中，，以为直径的经过点C，连接、交于点．连接交于点，连接，若，，则以下结论：①；②为的切线；③；④；则正确的结论个数为(    )    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①连接，证得，又知，得到，圆周角定理得到，进而得到； ②、则、，证为中位线知、，进一步求得，再在中利用勾股定理逆定理证即可得出结论； ③连接，证明四点共圆，进而根据同弧所对的圆周角相等，即可得证； ④先证得，再证得，联立得，即，结合知，据此可得，结合可得相关线段的长，代入计算可得． 【详解】解：①连接， 在和中， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ，即， ， ②，， ， ，且， ，， 在中，， 在中，， ， ， ， 则与相切； ③连接，   ，是圆的切线， 为等腰直角三角形， 为直径， ，， ， 四点共圆， ，故③正确 ④是的直径， ， ， ， ，即， 又，， ， ，即， 由可得，即， 又， ， ， ，，，，， ，即， 解得：，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点． 8．如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，则点沿半圆由点运动至点的过程中，线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接、、，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，得出，再结合等腰三角形三线合一的性质，得到，从而推出点的运动轨迹是以为直径的圆上，取的中点，以长为半径作，交、于点、，过点作于，即点在运动，利用等腰直角三角形的性质，求出，连接交于点，此时线段有最小值，先利用勾股定理求出，再根据求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接、、， 在等腰直角三角形中，， ，， 点是的中点， ， ， ， 为的中点， ，， ， 点的运动轨迹是以为直径的圆上， 取的中点，以长为半径作，交、于点、，过点作于，即点在运动， ， ， ，， ，， ， ， 连接交于点，此时线段有最小值， 在中，， ， 故选：D． 【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的斜边中线，直径所对圆周角、点到圆的距离等知识，确定点的运动轨迹是解题关键． 9．如图，，与的两边都相切且半径为1，Q为上一动点，以Q为圆心，长为半径的交两边于E、F两点，连接，则线段长度的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，找到线段长度的最大值的条件成为解题的关键． 如图：连接，由圆周角定理可得，如图：过Q作，由垂径定理可得、，则可得；再根据勾股定理可得，则，即当最大时，取最大值；如图：设与的两边都相切于G、H，连接， 再根据切线的性质证明可得，则，进而得到当三点共线时，的最大值为，进而确定线段长度的最大值即可． 【详解】解：如图：连接， ∵在中，， ∴， 如图：过Q作， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴当最大时，取最大值； 如图：设与的两边都相切于G、H，连接， ∵与的两边都相切且半径为1， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的最大值为． ∴取最大值为． 故选D． 10.如图，为半圆上的一条弦，将沿着对折，折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】折叠后的弧所在的圆的圆心为，连接、、，与交于点，由折叠的性质可知，垂直平分，由垂径定理可得，设，，则，，利用勾股定理得出，再根据圆的切线的性质，得出，利用的长得到关于的一元二次方程，利用公式法求出，即可求解． 【详解】解：如图，折叠后的弧所在的圆的圆心为，连接、、，与交于点， 由折叠的性质可知，垂直平分， ， 为半圆上的一条弦，， ， 设，， ，，， ， ， ， ， 折叠后的弧所在的圆与半径相等， ， 折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点， ， ， ， 整理得：， 解得：（负值舍去）， ， ， 故选：C． 【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了轴对称的性质，垂径定理，勾股定理，圆的切线的性质，解一元二次方程等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 11．如图，四边形的顶点在上，是的直径，延长、交于点E，连接、交于点F，作，垂足为点H，已知． (1)求证：是的切线； (2)当时，请在下列三条件中选择一个，求的半径．你选择的是________． ①；②；③． 【答案】(1)证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， 又是半径， 是的切线； (2)4，①（或②或③） 【分析】（1）连接，由直径可得，由同弧所对的圆周角相等，得出，进而证明，则是的中位线，即可得证； （2）根据全等三角形和圆周角的定理，得出，则，．选择①：由同弧可得，则，求出，即可得解；选择②：，由三角形中位线定理可得，证明，则，再利用勾股定理列方程求解即可；选择③：设，利用三角形中位线定理，证明，推出，再证明，得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ，， ， ， ， ， ， ． 选择①： ， ， ， 的半径为4． 选择②：设， 由（1）可知，是的中位线， ， ，， ， ， ， 在中，， ， 整理得：， 解得：，（舍）， 的半径为4． 选择③：设， 由（1）可知，是的中位线， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， 解得：，（舍）， 的半径为4． 12．如图，在矩形中，，，点是的中点，连结．动点在边上从点运动到点，连结，以为直径作，分别交，，于点，，，连结交于点，连结． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当时，求的长． (3)连结，，当点与中两个顶点共线时，求的直径． 【答案】(1)证明：如图1，连结， 矩形， ，， 为直径， ， 四边形为矩形， ， 点是的中点， ， ， 又， 四边形是平行四边形． (2) (3)直径为或 【分析】（1）连结，根据矩形的性质和直径所对的圆周角是直角，可证四边形为矩形，再证，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可求证； （2）连结，，先说明四边形为矩形，从而，根据“等角等弦”，得，进而，再利用“”得，可求，，设，则，根据勾股定理，列方程求解即可； （3）根据题意分类讨论：①当、、共线时，根据角之间的关系和等量代换，可得，从而，再利用弧之间的数量关系，可得，进而可求，，再根据相似三角形的判定和性质，可求，，最后根据勾股定理，即可求解；②当、、共线时，根据圆周角定理，可得，从而可得，进而，可求，，最后根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，连结，， 为直径， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ∴ ， ， 又，， ， ， 矩形，矩形，，，点是的中点， ，， 在中，， ， 设，则， 在中，， 则，解得， ； （3）解：①如图3，当、、共线时， 由（1）知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ，即， ， ， 在中，； ②如图4，当、、共线时， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 在中，； 综上，直径为或． 13．如图，以四边形的边为直径的⊙O正好经过，且与边相交于点，是的切线，连接，，，，． (1)求证：； (2)当时，求的长． (3)当时，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ， ， ， ， ， ∴． (2) (3) 【详解】（1）略 （2） 解：连接， ∵为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的长为． （3） （3）解：是的切线， ， ， ，， ， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ，，， ， ． 14．如图，已知点在的边上，，的平分线交于点，且在以为直径的上． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值； (3)在（2）的条件下，过点作，点是上一动点，则的最小值为____________． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的切线 (2) (3) 【分析】（1）连接，由等腰三角形等边对等角结合角平分线性质得出，证得，再由推出，依据切线判定定理即可证明是的切线； （2）先在中通过边长计算正切值，得出，再结合角平分线性质得出，借助直角三角形的边角关系得到与半径的关系，最后结合总长求出半径，即可求出的长度； （3）在上截取，构造相似三角形，即可将转化为，再根据两点之间线段最短得最小值为线段的长度，用勾股定理计算的长度，即为所求最小值． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解： 如图，在上截取，连接、、， 由（2）可知：半径，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长度， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴的最小值为 15．如图，的直径垂直于弦于点E，点P是延长线上异于点D的一个动点，连结交于点Q，连结交于点F，连结，． (1)求证：； (2)若，， ①若，求的长； ②若，，求y与x之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，求的最大值． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)①；② (3) 【分析】（1）连接，利用圆周角定理，垂直的意义，通过等量代换即可得出结论； （2）①通过证明，可得，即可求解； ②分别求出，，即可求解； （3）根据和分别表示出和，然后求得的关系式，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，连接， ∵，，， 是的直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． ②∵四边形为圆的内接四边形， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∵与是等高的三角形， ∴， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为． （3）解：由（2）可知，，，，则， 在中，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴的最大值为． 16．如图，在中，是直径，弦，垂足为H，E为上一点，F为弦延长线上一点，连接并延长交直径的延长线于点G，连接交于点P，若． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为8，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）如图，连接，可得，由垂径定理得到，根据题意得到，，结合切线的判定即可求解； （2）过点E作，交于点M，设，得出，再由相似三角形的判定和性质得出，，可求出和，再根据勾股定理求即可． 【详解】（1）略 （2）过点E作，交于点M， ∵，， ∴设， ∴， ∵ ， ， ， ∵， ， ， ， ∴， 即， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $