精品解析：内蒙古部分学校百师联考2026-2027学年高三上学期9月一轮检测数学试卷

高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，， 所以 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得. 3. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由复数的乘法及除法运算可得，再根据复数模的几何意义计算可得. 【详解】由复数的乘法及除法运算，得， 所以，因此. 4. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由图象可知函数的最小正周期， 所以，解得. 5. 使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据命题是假命题可得命题是真命题，从而可得，再根据包含关系可得. 【详解】因为命题“”为假命题， 所以命题“”为真命题，所以. 所以的一个必要不充分条件. 故选：A 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式可得，代入结合一元二次不等式解法计算求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时等号成立， 所以， 因为，所以，即， 令，得，解得或（舍去）， 所以的最小值为，当且仅当时等号成立. 7. 若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设两切点，由导数得两切线斜率相等及切点横坐标关系；利用同一直线截距相等建立方程，将斜率表示为参数的函数，求导确定单调性后得最小值. 【详解】设直线与切于，与切于. 求导得，，因此公切线斜率， 整理得①. 的切线方程为； 的切线方程为. 同一直线截距相等，消去同类项得②， 将①代入②，得关于的函数. 对求导得，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此时取最小值，即. 8. 已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（     ） A. 99 B. 78 C. 66 D. 52 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的对称性得到，并得到，，得到答案 【详解】因为关于对称，所以， 用替换可得①， 因为关于对称，所以， 又，用替换可得， 用替换可得， 两式相加可得， 用替换可得②，由①－②可得， 用替换可得， 因为， 在中令，得，故， ， 因此. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 是奇函数 B. 直线是图象的对称轴 C. 是增函数 D. 的值域为 【答案】ABC 【解析】 【详解】， 故是非奇非偶函数， ，故不是的对称轴， 具有周期性，因此不是增函数， . 10. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最小值是8 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据“1”的变形技巧及基本不等式判断A，利用基本不等式判断BC，根据条件转化为关于的二次三项式配方求最值即可判断D. 【详解】对于A，，当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值是16，故A错误； 对于B，由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是，故C正确； 对于D，， 当时，取得最小值，故D错误． 11. 已知函数，其中，则下列说法正确的有（ ） A. 存在实数使得为上的奇函数 B. 若为增函数，则的取值范围为 C. 对于任意实数，的图象上都存在关于原点对称的点 D. 若，则方程有三个不同的实数根 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：分和两种情况，结合恒成立运算求解；对于C：令，，结合零点存在性定理分析判断；对于D：分析可知函数在定义域内单调递减，且值域为，即可判断结果. 【详解】对于选项A：因为， 即，可知不为奇函数，故A错误； 对于选项B：若为增函数，可知函数连续不断， 当时，则，可得恒成立， 则，可得； 当时，则，可得恒成立， 则，可得； 综上所述：的取值范围为，故B正确； 对于选项C：当时，令， 因为，， 可知函数在内存在零点，即方程在内有根， 所以对于任意实数，的图象上都存在关于原点对称的点，故C正确； 对于选项D：若，则有： 当时，则，可得恒成立， 可知函数在内单调递减，则， 且当x趋近于时，趋近于，所以函数在内的值域为； 当时，则，可得恒成立， 可知函数在内单调递减，则， 且当x趋近于时，趋近于，所以函数在内的值域为； 综上所述：函数在定义域内单调递减，且值域为， 所以方程有且仅有1个实数根，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则____________． 【答案】2 【解析】 【详解】，. 13. 已知，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】由，， 则， 故，， ， 由，所以. 14. 已知函数有最大值，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】因为有最大值， 则，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象过点，且在内存在最大值，但不存在最小值． （1）求的值； （2）求的取值范围； （3）若，求函数图象的对称中心． 【答案】（1） （2） （3）对称中心为，． 【解析】 【分析】（1）由结合即可求出； （2）根据在上有最大值，且无最小值，结合正弦函数图象即可求出的取值范围； （3）结合（2）得的值，进而得到的解析式，化简得到的解析式进而求出对称中心． 【小问1详解】 因为，， 所以． 因为，所以． 【小问2详解】 由（1）得． 由，，得． 因为在内存在最大值，但不存在最小值， 所以由正弦函数的图象，得． 解得. 所以的取值范围为． 【小问3详解】 由，及（2）知，，则． 所以 ． 令，，解得，， 所以函数图象的对称中心为，． 16. 已知函数． （1）若，讨论函数的单调性； （2）若，对任意，恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可； （2）根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 因为，则令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 若，则. 令， 则， 则在单调递减. 因为对任意的，恒成立， 所以， 即. 所以的最大值为. 17. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集是空集，求实数的取值范围； （2）当时，解关于的不等式． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可； （2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可. 【小问1详解】 当时，，解，得，解集不是空集，故舍去． 当时，要使的解集为空集，必须满足函数的图象开口向下且与轴最多有一个交点， 即，，即，解得． 综上，实数的取值范围是． 【小问2详解】 由题意，得，即，整理得，即． 因为，所以． 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 18. 已知函数（且，，）． （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）讨论函数的零点个数． 【答案】（1） （2）当或时，函数的零点个数为； 当且时，函数的零点个数为． 【解析】 【分析】（1）由变形为恒成立，再构造函数，再分两种情况讨论：当时，当时，，不符合题意；当时，得函数在处取得极小值也是最小值，且，故进而可得所求值； （2）由（1）知，当时，的零点个数为；当时，再分三种情况：①若时有个零点；②若时有个零点；③若时有个零点，进而可得函数零点个数. 【小问1详解】 因为，所以恒成立，即（）恒成立． 两边取自然对数，得，所以恒成立． 令，则在恒成立． 对求导，得． 因为，所以在上单调递增． 当时，，所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以在上单调递减． 因为， 所以当时，，不符合题意． 当时，令，解得， 则当时，；当时，. 故在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值也是最小值，即． 因为，所以要使得恒成立，必有， 解得，即实数的值为． 【小问2详解】 由（1）知，函数的零点个数等价于函数的零点个数． 由（1）知，当时，在上单调递减， 且，所以的零点个数为. 当时，在上单调递减，在上单调递增． ①若，有且仅有，故的零点个数为. ②若，则，即， 因为在上单调递减，由，得. 又当时，，故存在，使得． 此时有两个零点为和，故的零点个数为. ③若，则，即， 因为在上单调递增，由，得． 又当时，，故存在，使得． 此时有两个零点和，即的零点个数为. 综上，当或时，函数的零点个数为； 当且时，函数的零点个数为． 19. 已知函数，，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：； （3）证明：，． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为． （2）证明：因为，， 所以，即． 当时，． 设，， 则． 令，则在上恒成立， 所以即在上单调递增，所以， 所以在上单调递增， 所以当时，，即， 所以，即原不等式成立． （3）证明：令，， 则． 由（2）知，当时，， 所以． 所以 ． 所以在上单调递增． 因为当时，，所以当时，， 即，． 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数单调性，结合函数单调性求解即可. （2）构建函数，，利用导数分析的单调性，利用单调性证明即可. （3）构造函数，，利用导数分析的单调性即可证明. 【小问1详解】 当时，，则． 令，得． 因为，所以，解得． 当时，，则，即， 所以在上单调递减； 当时，，则，即， 所以在上单调递增． 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 5. 使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（     ） A. 99 B. 78 C. 66 D. 52 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 是奇函数 B. 直线是图象的对称轴 C. 是增函数 D. 的值域为 10. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最小值是8 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 11. 已知函数，其中，则下列说法正确的有（ ） A. 存在实数使得为上的奇函数 B. 若为增函数，则的取值范围为 C. 对于任意实数，的图象上都存在关于原点对称的点 D. 若，则方程有三个不同的实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则____________． 13. 已知，若，，则_____． 14. 已知函数有最大值，则实数的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象过点，且在内存在最大值，但不存在最小值． （1）求的值； （2）求的取值范围； （3）若，求函数图象的对称中心． 16. 已知函数． （1）若，讨论函数的单调性； （2）若，对任意，恒成立，求实数的最大值． 17. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集是空集，求实数的取值范围； （2）当时，解关于的不等式． 18. 已知函数（且，，）． （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）讨论函数的零点个数． 19. 已知函数，，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：； （3）证明：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $