精品解析：内蒙古集宁一中2025-2026学年高三上学期12月诊断性检测数学试题

2025-2026学年第一学期上学期12月诊断性检测 高三数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：吴楠 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用配凑法即可计算求解. 【详解】因为函数， 所以函数. 故选：A 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可直接得到答案. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定是“，”. 故选：C 3. 已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合导数的几何意义和平均变化率的定义，利用直线斜率的关系，即可求解. 【详解】根据导数的几何意义，表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率， 表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率， 又由平均变化率的定义，可得表示过两点的割线的斜率， 如图所示， 结合图象，可得，所以. 故选：D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出的解集，利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的性质分析选项即可. 【详解】易知的长轴长、短轴长分别为，离心率， 焦距长， 而的长轴长、短轴长分别为， 离心率，焦距长， 由，显然只有焦距相同. 故选：D 6. 已知函数，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导得出，利用导数的定义可得出的值，即可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】因为，故， 所以， 可得，解得. 故选：A. 7. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合,再根据交集的定义求解即可. 【详解】因，， 故. 故选：D. 8. 在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】设直线与平面所成角为， 所以， 又，所以， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知幂函数，则m 的值可能为（ ） A. B. 2 C. 7 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据幂函数定义求解即可. 【详解】因为幂函数， 所以，解得或， 当时，，满足题意； 当时，，满足题意. 故选：AC 10. 已知向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，的夹角为钝角，则x的取值范围为 D. 设在方向上的投影向量为，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据平面向量垂直的坐标表示求解判断即可；对于B，根据平面向量共线的坐标表示求解判断即可；对于C，由的夹角为钝角可得，且不共线，进而求解判断即可；对于D，可得，换元，利用判别式法求解判断即可. 【详解】因为向量，， 对于选项A：若，则，解得，故A正确； 对于选项B：若，则，即，故B正确； 对于选项C：由的夹角为钝角，则，且不共线， 可得且，所以x的取值范围为，故C错误； 对于选项D：因为，， 则，可得， 令，则， 当，即时，可得，符合题意； 当，即时，则，解得且， 综上所述：，即的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，平面图形是等腰直角和直角组成，，分别是和边的中点，现将沿着折起，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 若平面平面，则 C. D. 当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球半径为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据勾股定理可判断A；利用面面垂直的性质定理及勾股定理可判断B；根据线面垂直的判定定理及性质定理可判断C；当三棱锥体积最大时，，利用线面垂直的判定定理及外接球半径的求法可判断D. 【详解】对于A：由题可知，在等腰直角三角形中，，故A错误. 对于B：由题可知， 若平面平面，又平面平面，平面，， 所以面，又平面，所以， 所以，得到，故B正确. 对于C：因为为的中点，，所以. 又是的中点，所以， 由，可得.又平面， 所以平面，又平面， 所以，故C正确. 对于D：当三棱锥体积最大时，，即， 又平面，所以.又平面， 所以平面.又是以为斜边直角三角形， 所以三棱锥外接球的球心在过点且与平面垂直的直线上， 设球心到点的距离为，外接球半径为，则， 所以，解得， 则三棱锥外接球的半径为1，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. “，”的否定为______． 【答案】，， 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的定义求解即可. 【详解】根据存在量词命题的否定， “，”的否定为，，. 故答案为：，，. 13. 函数且的图象过定点，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据指数型函数定点问题，当指数求解即可． 【详解】令，则，故的图象过定点， 则，故． 故答案为：3． 14. 在微积分中“以直代曲”是最基本、最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正n边形和内接正n边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想方法进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”．若函数，则曲线在点处的切线方程为______，用此结论“近似计算”的值为______（结果用分数表示）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据新定义，利用导数的几何意义即可得切线方程，继而近似计算，可得答案． 【详解】函数的导数为，所以， 函数在点处的切线为， 所以在附近可以用代替， 即，又非常接近0， ． 故答案为：；． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知函数． （1）若，求不等式的解集 （2）若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，求解一元二次不等式. （2）利用一元二次型不等式恒成立，按分类讨论求解. 小问1详解】 当时，不等式，解得， 所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 不等式对一切恒成立， 当时，恒成立，因此； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 求满足下列条件的圆的方程： （1）经过点，，且圆心在直线上． （2）圆心在轴上，半径为，且经过点． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设出圆心坐标，根据圆心到的距离相等求解出圆心坐标，则圆的方程可求； （2）设出圆心坐标，根据圆过点和半径求解出圆心坐标，则圆的方程可求. 【小问1详解】 因为圆心在上，所以设圆心为， 因为圆过点， 所以，解得， 所以圆心为，半径为， 所以圆方程为. 【小问2详解】 设圆心为，因为圆的半径为且过， 所以，解得或， 所以圆的方程为或. 17. 已知函数的图象经过点. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； （3）求在上的值域. 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将 点代入 即可求得 ，进而确定 的解析式； （2）利用作差法证明函数的单调性； （3）利用函数的单调性判断 在区间上的值域. 【小问1详解】 因为的图象经过点， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 在上单调递减， 证明如下： 任取，不妨设， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 即，又因为，所以在上单调递减； 【小问3详解】 由（2）知，在单调递减， 且，，故在上的值域为. 18. 已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数． （1）若在区间上不是单调函数，求a的取值范围； （2）若方程有两个不等实根，求a的取值范围； （3）当时，，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，令，求得，对实数a的取值进行分类讨论，由题意可知，函数在内存在极值点，可得出关于实数a的不等式，解之即可； （2）分析可知，不满足，由可得，由题意可知，直线与的图象有2个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数a的不等式，解之即可； （3）由已知不等式结合参变量分离法得出恒成立，令，利用导数分析函数的单调性与极值，求出函数的最小值，即可证得结论成立． 【小问1详解】 由，得， 记，所以， 当时，恒成立，为增函数，不符合题意； 当时，令，得，令，得， 即在上单调递增，在上单调递减， 因为在区间上不是单调函数，所以，解得， 即a的取值范围为． 【小问2详解】 方程， 当时，方程不成立，所以，则， 由方程有两个不等实根，即与的图象有2个交点，且， 当或时，，在区间和上单调递减， 当时，，在区间上单调递增． 当时，，当时，， 则当时，且当时，取得极小值， 作出函数的图象，如图所示： 因此与有2个交点时，，即， 故a的取值范围为． 【小问3详解】 证明：由题意知在上恒成立，即恒成立， 令， 则， 当时，，则，在上单调递增， 当时，令， 则，在上单调递增， 又，， 所以在区间上存在唯一零点，且当时，，则， 当时，，则， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增， 又，所以，所以． 19. 已知数列和满足，，，. （1）证明：是等差数列，是等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意计算后结合等差数列定义与等比数列定义即可得证； （2）计算出后，利用等差数列求和公式与等比数列求和公式分组求和即可得. 【小问1详解】 由，， 则， 故，又，故， 有， 故数列是等差数列； ， 则，又， 故数列是以为公比，为首项的等比数列； 【小问2详解】 由数列是以为公比，为首项的等比数列，则， 又，则， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期上学期12月诊断性检测 高三数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：吴楠 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 3. 已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 椭圆与椭圆（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 6. 已知函数，若，则实数（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 8. 在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知幂函数，则m 的值可能为（ ） A. B. 2 C. 7 D. 10. 已知向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，的夹角为钝角，则x的取值范围为 D. 设在方向上的投影向量为，则的取值范围为 11. 如图，平面图形是等腰直角和直角组成，，分别是和边的中点，现将沿着折起，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 若平面平面，则 C. D. 当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. “，”的否定为______． 13. 函数且的图象过定点，则___________． 14. 在微积分中“以直代曲”是最基本、最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正n边形和内接正n边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想方法进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”．若函数，则曲线在点处的切线方程为______，用此结论“近似计算”的值为______（结果用分数表示）． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知函数． （1）若，求不等式解集 （2）若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 16. 求满足下列条件圆的方程： （1）经过点，，且圆心在直线上． （2）圆心在轴上，半径为，且经过点． 17. 已知函数的图象经过点. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； （3）求在上的值域. 18. 已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数． （1）若在区间上不是单调函数，求a的取值范围； （2）若方程有两个不等实根，求a的取值范围； （3）当时，，证明：． 19 已知数列和满足，，，. （1）证明：是等差数列，是等比数列； （2）求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $