精品解析：湖北十堰市丹江口市第二中学2026-2027学年高二上学期9月考试数学试卷

2026-2027学年高二上学期九月月考卷（数学） ★试卷分值：150分；时长：120分钟★ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）． A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可. 【详解】解：掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”， 事件与能同时发生，故事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误； ，，，， 因为，所以与独立，故选项C正确； 事件与不相等，故选项D错误. 故选：C. 2. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率. 【详解】设2名男同学为，3名女同学为， 从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能， 选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能 则选中的2人都是女同学的概率为， 故选D. 3. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】D 【解析】 【分析】利用对立事件概率公式和互斥事件加法公式计算即可. 【详解】由和对立，，可得，解得， 又由随机事件和互斥可知， 由， 将代入计算可得. 故选：D. 4. 在平行四边形中，是对角线的交点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为， 所以 5. 一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件与事件互斥 C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式，分别写出样本空间和事件表示的集合，求出相关事件的概率，利用互斥事件，独立事件的定义与和事件的概率公式计算即可逐一判断可得答案. 【详解】用两位数字表示连续抛掷这个正四面体得到的点数，, ，事件，， 事件，， 对于A，，故A错误； 对于B，因为，所以事件与事件不互斥，故B错误； 对于C，，，， 因为，所以事件与事件相互独立，故C正确； 对于D，， ，，故D错误. 故选：C. 6. 柜子里有三双不同的鞋，设为，其中与，与，与分别为一双鞋，如果从中随机地取出两只，则取出的鞋成双的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设“从中随机地取出两只，取出的鞋成双”为事件，则. 7. 三个元件正常工作的概率分别为，且是相互独立的．如图，将两个元件并联后再与元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】若电路不发生故障，则满足正常工作，至少有一个正常工作 【详解】记正常工作为事件 记正常工作为事件 记正常工作为事件 则，， 电路不发生故障，则满足正常工作，至少有一个正常工作 则至少有一个正常工作，概率为 则电路不发生故障的概率 故选 【点睛】本题主要考查了概率知识及实际应用能力，考查了相互独立事件同时发生的概率的计算，关键是确定不发生故障时满足的条件． 8. 如图，在等腰中，，点是边上的动点，则（ ） A. 为定值16 B. 为定值32 C. 最大值为32 D. 与的位置有关 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点为，结合题意利用向量的数量积的几何意义求解即可. 【详解】如图，取的中点为，连接， 因为为等腰三角形，所以，又， 所以. 所以. 所以为定值32. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 某种福利彩票的中奖概率为，那么买张这种彩票一定能中奖； B. 随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小； C. 连续次掷一枚骰子，结果都是出现点，可以认为这枚骰子质地不均匀； D. 某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是：该市气象台专家中，有认为明天会降水，认为不降水． 【答案】BC 【解析】 【分析】结合频率与概率的关系、概率的实际含义逐一判断各选项的正误. 【详解】选项A：中奖概率为指的是单次购买彩票的中奖可能性为，每次购买是否中奖相互独立， 即使买张也存在不中奖的可能，并非一定中奖，A错误； 选项B：根据频率的稳定性规律，试验次数越多，频率会越稳定在概率附近， 整体上频率偏离概率的幅度会缩小，B正确； 选项C：若骰子质地均匀，单次掷出点的概率为，连续次掷出点是概率极低的小概率事件， 该事件实际发生时，有理由认为骰子质地不均匀，C正确； 选项D：降水概率的含义是明天本市降水的可能性为，并非指支持降水的专家占比，D错误. 10. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字到，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件＝“得到的点数为奇数”，记事件＝“得到的点数不大于”，记事件＝“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） （质数，又称素数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数．） A. 事件与互斥 B. 事件与相互独立 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意写出事件包含的样本点，利用古典概型概率公式及事件独立、互斥的定义逐项判断即可. 【详解】由题意可知，样本空间， 事件“得到的点数为奇数”，则，； 事件“得到的点数不大于4”，则，； 事件“得到的点数为质数”，则，. 选项A：因为，所以事件与不互斥，故A错误； 选项B：因为，所以，而， 因为，所以事件与不相互独立，故B错误； 选项C：，包含6个样本点，所以，故C正确； 选项D：，所以，则，故D正确. 11. 已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B相互独立，则 B. 若，则事件A与相互独立 C. 若A与B互斥，则 D. 若B发生时A一定发生，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断. 【详解】对于A，若A与B相互独立，则， 所以，故A对； 对于B，因为，，则， 因为，所以事件与相互独立，故B对； 对于C，若A与B互斥，则，故C错； 对于D，若B发生时A一定发生，则，则，故D对． 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 从长度为2，4，5，7，9的五条线段中任取三条（抽取不分先后），设事件A=“取出的三条线段能构成一个三角形”，则事件A包含的样本点个数为_______________个. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意将事件A的基本事件一一列出即可得解. 【详解】长度为2，4，5，7，9的五条线段中任取三条， 则取出的三条线段可以构成一个三角形的基本事件空间是： （2，4，5），（4，5，7），（4，7，9），（5，7，9）， 所以事件A包含的样本点个数为4个. 故答案为：4 13. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】采用列举法可得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数所有可能的结果有：，共个基本事件； 其中满足的有：，共个基本事件， 所求概率. 故答案为：. 14. 嵊（shèng）州是历史文化名城，早在秦朝已设郡县，古称剡（shàn）县，赡县、嵊县，古往今来无数文人墨客都醉心于嵊州的山水风景之中，李白曾梦到：湖月照我影，送我至剡溪.杜甫有诗曰：剡溪蕴秀异，欲罢不能忘，其中万年小黄山，千年唐诗路，百年越剧是三张重要历史文化名片，现有甲、乙两人到达高铁嵊州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴万年小黄山、千年唐诗路之谢灵运垂钓处、越剧诞生地打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两人前往三地打卡的概率分别是和，则甲、乙打卡不相同景点的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出甲乙打卡相同景点的概率，根据对立事件的概率计算，即可得答案. 【详解】甲乙打卡相同景点的概率为， 所以甲、乙打卡不相同景点的概率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 校羽毛队有3名男队员、2名女队员，现采用不放回简单随机抽样从中抽取2人． （1）列举出所有等可能的基本事件，并求抽取到的2人全是男队员的概率； （2）若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球比拼，甲发球成功的概率为，乙发球成功的概率为，两人发球互不影响．求： ①甲、乙两人全部发球成功的概率； ②甲、乙至少有一人发球成功的概率． 【答案】（1）， （2）①② 【解析】 【分析】（1）利用枚举法列出全部等可能基本事件，再统计2人均为男队员的事件数，用古典概型公式求概率； （2）①甲乙发球相互独立，直接用独立事件乘法公式，求同时成功的概率； ②利用对立事件，先算出两人全都发球失败的概率，再用1减去该概率得到至少一人成功的概率． 【小问1详解】 设3名男队员为，2名女队员为，采用不放回简单随机抽样抽取2人， 所有可能的基本事件为： ，共个， 其中抽取到的2人全是男队员，包含的基本事件为：，共3个， 故抽取到的2人全是男队员的概率为：． 【小问2详解】 设 “甲发球成功” 为事件M，“乙发球成功” 为事件N， 由题意知M与N相互独立，且． ①甲、乙两人全部发球成功的事件同时发生，由独立事件乘法公式得： ． ②甲、乙至少有一人发球成功的对立事件是“两人发球失败”， 两人都失败的概率：， 故至少一人发球成功的概率为：． 16. 某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在岁至岁之间．按年龄分组：第1组为，第2组为，第3组为，第4组为，第5组为，得到的频率分布直方图如图所示． 下表是年龄的频数分布表． 区间 人数 a b （1）求正整数a，b，N的值． （2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层随机抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？ （3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率． 【答案】（1），，； （2）第1组1人，第2组1人，第3组4人； （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图算出第一组频率，由频数与频率比得到总人数N，再用各组频率乘总人数求； （2）先算出前三组总人数，确定分层抽样的抽样比，各组人数乘抽样比得到每组抽取人数； （3）用组合数计算总的抽取情况与恰 1 人来自第 3 组的情况数，借助古典概型公式计算概率． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，组距为5，第一组频率：， 故； 的频率与组距的比为，与组频率相同，故； 第3组的频率与组距的比为，频率为， ． 【小问2详解】 第1，2，3组总人数：， 抽样比， 故年龄在第1组的人数为，年龄在第2组的人数为， 年龄在第3组的人数为． 【小问3详解】 从6人中人选2人，总基本事件数， 恰1人来自第3组：从第1、2组选1人，第3组选1人，选法为， 则． 17. 如图，在正三棱柱中，，是的中点. （1）证明：平面. （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 证明：连接并与交于点，连接. 在正三棱柱中，四边形为矩形， 则是的中点. 因为是的中点，所以. 又平面平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）将证明线面平行问题转换为证明线线平行问题，即在平面内寻找一条直线与要求直线平行；（2）通过等体积法求距离 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 因为三棱柱为正三棱柱，所以平面. 又平面，所以. 因为是的中点，所以. 因为，所以平面. 由，可得. 连接，则. 设点到平面的距离为， 则. 由，得， 解得，即点到平面的距离为. 18. 一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果? （3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率. 【答案】（1）kg （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，所有矩形的面积乘以其底端中点之和即为平均值. （2）能地满足顾客的需要即求该店苹果日销售量的分位数，通过矩形的面积和确定分位数在，再利用公式计算即可． （3）由分层抽样确定来自日销售量中的有2个，来自日销售量为的苹果有4个，再列出基本事件，由古典概型求解. 【小问1详解】 由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3， 由，解得． 则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3， 所以，该苹果日销售量的平均值为: . 【小问2详解】 为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数． 依题意，日销售量不超过的频率为， 则该店苹果日销售量的分位数在， 所以日销售量的分位数为． 所以，每天应该进苹果． 【小问3详解】 由日销售量为的频率分别为0.2，0.4知， 抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为， 来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为， 任意抽取2个苹果，有，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得. 19. 科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． （1）求事件发生的概率； （2）求事件和事件同时发生的概率； （3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值； （2）若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对，求出的值，分析可知，事件、相互独立，由独立事件的概率公式可求得的值； （3）记小明没有通过面试为事件，小华通过面试的事件记为，求出这两个事件的概率，记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值. 【小问1详解】 若事件发生，则小明前两题都答对或都答错， 所以． 【小问2详解】 若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对， 根据题意则小华3道题都回答且通过面试的概率为， 由题意可知，事件相互独立， 则． 【小问3详解】 记小明没有通过面试为事件， 即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则小明没有通过面试的概率为， 可得小明通过面试的概率为． 记小华通过面试的事件为，由（2）得， 由题意可知，事件相互独立， 记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件为， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期九月月考卷（数学） ★试卷分值：150分；时长：120分钟★ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）． A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 2. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A. B. C. D. 3. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 4. 在平行四边形中，是对角线的交点，，则（ ） A. B. C. D. 5. 一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件与事件互斥 C. 事件与事件相互独立 D. 6. 柜子里有三双不同的鞋，设为，其中与，与，与分别为一双鞋，如果从中随机地取出两只，则取出的鞋成双的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 三个元件正常工作的概率分别为，且是相互独立的．如图，将两个元件并联后再与元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等腰中，，点是边上的动点，则（ ） A. 为定值16 B. 为定值32 C. 最大值为32 D. 与的位置有关 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 某种福利彩票的中奖概率为，那么买张这种彩票一定能中奖； B. 随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小； C. 连续次掷一枚骰子，结果都是出现点，可以认为这枚骰子质地不均匀； D. 某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是：该市气象台专家中，有认为明天会降水，认为不降水． 10. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字到，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件＝“得到的点数为奇数”，记事件＝“得到的点数不大于”，记事件＝“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） （质数，又称素数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数．） A. 事件与互斥 B. 事件与相互独立 C. D. 11. 已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B相互独立，则 B. 若，则事件A与相互独立 C. 若A与B互斥，则 D. 若B发生时A一定发生，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 从长度为2，4，5，7，9的五条线段中任取三条（抽取不分先后），设事件A=“取出的三条线段能构成一个三角形”，则事件A包含的样本点个数为_______________个. 13. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为____________. 14. 嵊（shèng）州是历史文化名城，早在秦朝已设郡县，古称剡（shàn）县，赡县、嵊县，古往今来无数文人墨客都醉心于嵊州的山水风景之中，李白曾梦到：湖月照我影，送我至剡溪.杜甫有诗曰：剡溪蕴秀异，欲罢不能忘，其中万年小黄山，千年唐诗路，百年越剧是三张重要历史文化名片，现有甲、乙两人到达高铁嵊州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴万年小黄山、千年唐诗路之谢灵运垂钓处、越剧诞生地打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两人前往三地打卡的概率分别是和，则甲、乙打卡不相同景点的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 校羽毛队有3名男队员、2名女队员，现采用不放回简单随机抽样从中抽取2人． （1）列举出所有等可能的基本事件，并求抽取到的2人全是男队员的概率； （2）若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球比拼，甲发球成功的概率为，乙发球成功的概率为，两人发球互不影响．求： ①甲、乙两人全部发球成功的概率； ②甲、乙至少有一人发球成功的概率． 16. 某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在岁至岁之间．按年龄分组：第1组为，第2组为，第3组为，第4组为，第5组为，得到的频率分布直方图如图所示． 下表是年龄的频数分布表． 区间 人数 a b （1）求正整数a，b，N的值． （2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层随机抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？ （3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率． 17. 如图，在正三棱柱中，，是的中点. （1）证明：平面. （2）求点到平面的距离. 18. 一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果? （3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率. 19. 科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． （1）求事件发生的概率； （2）求事件和事件同时发生的概率； （3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $