湖北省十堰市部分重点高中2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

■ 高二年级9月阶段性测试 数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 注意事项 1答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚 2客观题答愿，必须使用2B铅笔填涂，修改时用棕皮 贴条形码区 擦干净 3.主观题答题，必须使用黑色签字笔书写 4必须在题号对应的答题区域内作答，超出答避区城书 写无效 5.保持答卷清洁、完整 正碗填涂 围缺考标记☐ 客观题(1-8为单选题，每小题5分：911为多选题，每小题6分，共58分) 1 BaD5✉9Ba 2 B©✉D6 G✉DI0aBD 7 ABcD 8 英空题（每小题5分，共15分） 12 13 14 请勿在此区域作答或 者做任何标记 由在务群目的答瓶区戴内作斧，出图色苑形边枢限定区其的答案无效 72 口口口■ 7在目的若区内作，山色面定区谷案 解答题（共77分） 16.(15分) 15.(13分) 销在各题目的答思区域内作答，辑出越色矩形边愿根定区域的锋案无效 请在各题目的答因区城内作答，胡出题色矩形边提限烂战的壁案无效 2 12 ▣口口■ 口口口■ 在各目的容区绒内作砻，巡出料色矩形边心定区双雨答案无效 17.(15分) 1 喷在各思日的客巴区罐内作答，超白离色园边框型定区坡的答案无效 2/2 口口口 请在名战日价容思区成内排答，超田黑色恋形迈常银定区安的数 销在客菌目的密短赵破内作容，店信色无彩顷根限足区线的各案无登 18.(17分) 19.(17分) 请在各遥目的等思区坡内作等，量出风色矩形达把慰定区域的湾类无效 请在各围目的答仪罐内作著，的出即色领后边团股定区城的首宝无效 口口■口 2/2 口口圆口 2/2 题 高二年级上学期9月考试 数学试卷 本试题卷共四页，全卷满分150分。考试用时120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷和答题卡上的非答题区域均无效。 一、单选题 1.对任意实数，直线一定经过点（ ） A.（0，1） B.（1，2） C.（2，1） D.（3，0） 2.已知平面直角坐标系中的三个点，，过A点与线段BC有公共点的直线为l，则直线l的斜率可以是（ ） A.0 B. C. D.3 3.一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b<c时称为“凹数”（如213，312等），若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为（ ） A. B. C. D. 4.已知△ABC中，AC=2，若满足条件的角A有两个解，则BC长的取值范围是（ ） A. B. C.（1，2） D.（2，4） 5.今年为纪念红军长征胜利90周年，某市计划在广场中央建造一座“长征颂”主题纪念碑.该纪念碑的基座设计为一个稳固的四面坡式石墩（如图所示），已知该几何体是从长方体上底面向下底面顶点截去4个完全一样的三棱锥后得到的几何体，经实地测量，下底面长10米、宽6米，一个侧面为上底IJ长4米，BI腰长5米的等腰梯形，则该纪念碑基座的体积为（ ） A.168 B.192 C.216 D.240 6.设A、B两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于0，若P（A）=2-a，P（B）=4a-6，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.如图，在平行四边形ABCD中，CE与DF交于点O.设若则=（ ） A. B. C. D. 8.在平行六面体中，且∠BAA₁=∠DAA₁=60°，AB⊥AD，若AB=1，A₁C=3，则棱AA₁的最大值为（ ） A. B. C.3 D.4 二、多选题 9.已知i为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（ ） A. B.复数的虚部为-i C.若复数z为纯虚数，则 D.若z₁，z₂为复数，则 10.甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录骰子每次出现的点数，根据这四名同学的统计结果，可以判断该同学掷得的点数一定有6的是（ ） A.甲：极差为4，平均数为4.4 B.乙：中位数为3，平均数为3.4 C.丙：平均数为3，方差不小于4 D.丁：中位数为2，方差大于2.5 11.在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=4，M为棱BB₁的中点，点P为侧面ABB₁A₁内的动点（包含边界），则下列说法正确的有（ ） A.满足的点P有且只有两个 B.若D₁P⊥AM，则点P的轨迹长度为2 C.三棱锥A₁-ACM的体积为 D.若C₁P∥平面ADM，四棱锥P-ABCD的顶点都在球O上，则球O体积的最大值为 三、填空题 12.经过点P（2，3），并且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍的直线方程为______.（用一般式作答） 13.已知，，为非零不共线向量，向量则记向量以为基底时的坐标为（2，3，4），若向量以{，，}为基底时的坐标为（2，-3，2），则以为基底时的坐标为______． 14.正三角形△ABC边长为2，D，E是AB，AC中点，将△ADE沿DE翻折至△A₁DE，当二面角的大小为120°时，四棱锥A₁-BCDE外接球O的表面积为______． 四、解答题 15.已知△ABC的三个顶点是A（0，4），B（-1，1），C（3，-1）． （1）求边BC上的中线所在直线的斜截式方程； （2）求边BC上的高所在直线的斜截式方程； （3）求边BC的垂直平分线的斜截式方程． 16.电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影.一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图． （1）估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）已知落在[20，30]的平均年龄是27岁，方差是7，落在[30，40]的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数z和方差s²． 17.已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，且． （1）求A； （2）已知D是边BC的中点，求AD的最大值． 18.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段AC，CC₁的中点，C₁在平面ABC内的射影为D． （1）求证：A₁C⊥平面BDE； （2）若点F为棱B₁C₁的中点，求点F到平面BDE的距离； （3）若点F为线段B₁C₁上的动点（不包括端点），求锐二面角F-BD-E的余弦值的取值范围． 19.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，M为PB的中点． （1）求证：AC⊥BC； （2）若PA=2，AC=m，BC=n，且AM与平面PBC所成角为30°； ①当m=2时，求三棱锥P-ABC的体积； ②当BC取最大值时，求二面角M-AC-B的正弦值． 《9月月考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D C D C A B D BC AC BCD 5.C 【详解】将原图形补全为长方体，如下图： 因为侧面为等腰梯形，上底长4米，下底长10米，腰长5米， 所以梯形的高（即几何体的高）为：米． 所以长方体下底面长10米、宽6米，高为4米，体积立方米； 由于每个三棱锥的底面为直角三角形，直角边分别为：米，米，所以每个三棱锥的体积为：立方米，4个三棱锥总体积：立方米，所以该纪念碑基座的体积为立方米． 6.A 【详解】因为、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于0，若，， 由题意可得，解得， 由互斥事件的概率公式可得， 由题意可得，解得， 故的取值范围是．故选：A． 7.B 【详解】连接，， 三点共线，∴可设，则， ； 三点共线，可设，则， ； ，解得：，，即． 故选：B． 8.D 【详解】设，则有， 由， 所以， 所以 ， 即，所以， 整理得，所以， 则，解得，则棱的最大值为4．故选：D． 10.AC 【详解】选项A，假设没有6，则必有1，5，平均数为4.4，所以其余三个数之和应为16，所以假设不成立；选项B，当5个数字为2，2，3，5，5时，中位数为3，平均数为3.4，满足条件； 选项C，假设没有6，方差最大时5个数字为1，1，3，5，5时， 平均数是3，方差为，假设不成立； 选项D，当五个数字为1，2，2，5，5时，中位数是2，平均数3， 方差为，满足题意． 11.BCD 【详解】对于A，因为平面，平面，所以．若， 则，即点在以点为圆心，2为半径的圆上，满足的点是弧， 在侧面内存在满足该条件的点无数个，故A不正确； 对于B：因为平面，平面，所以． 因为，所以，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为，即点的轨迹为线段，所以点的轨迹长度为，B选项正确； 对于C，三棱锥的体积，C选项正确： 对于D：取是中点，取是中点，因为，平面，平面，所以平面， ，，所以是平行四边形，所以，平面，平面，所以平面， ，，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 所以当取时，四棱锥的顶点都在球上，球体积的最大， 此时球的半径满足，即，所以球的体积为，故D正确； 12.或 13.（1，－1，2） 14. 【详解】如图所示：连接，因为是边长为的正三角形的三条边的三个中点， 所以，，，， 所以， 所以四点共圆，且为该圆的圆心， 因此四棱锥外接球球心一定在过点且垂直于面的直线上，设为点， 则有，由题意点的投影一定在直线上，不妨设为点，即 ， 过作， 不妨设，则， 又在中，，， 所以， ， 又，所以，解得， 所以四棱锥外接球半径的平方为， 所以四棱锥外接球的表面积为． 综上所述：四棱锥外接球的表面积为． 15.（1） （2） （3）（4分＋4分＋5分） 16.【详解】（1）由频率分布直方图可知，最高矩形对应的区间为［30，40）， 所以众数为该区间的中点值，即． 平均数为： ． 因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，所以中位数位于区间［30，40）内． 设中位数为，则， 解得． 故估计观看此电影的观众的年龄的众数为35，平均数为30，中位数为30.8． （2）由频率分布直方图可知，落在的频率为，落在的频率为． 设落在的样本量为，落在的样本量为，则，即，则． 由题意知，，；，． 则合并后的平均数． 合并后的方差 ． 故两组年龄合并后的平均数为32，方差为． 17.（1）因为， 由正弦定理得：， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，即， 因为，所以，所以，所以． （2）因为，所以， 因为是的中点，所以，所以． 因为，所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为3． 18.（1）连接，因为为等边三角形，为中点，则， 由题意可知平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则平面，可得， 由题设知四边形为菱形，则， 因为分别为中点，则，可得， 且，平面，所以平面． （2）在平面内的射影为，所以平面，由题设知四边形为菱形，是线段的中点，所以为正三角形， 由平面，平面，可得， 又因为为等边三角形，为中点，所以， 则以为坐标原点，所在直线为轴， 可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 可得，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 所以点到平面的距离为． （3）因为，， 设，，则， 可得，即， 可得， 由（2）知：平面的一个法向量， 设平面的法向量，则， 令，则，可得； 则， 令，则， 可得， 因为，则，可得， 所以锐二面角的余弦值的取值范围为． 19.（1）已知平面，且平面，因此； 已知平面平面，且平面平面，在平面内作于， 根据面面垂直的性质定理，可得平面，结合平面， 可得； 由于，且平面，根据线面垂直的判定定理，可得平面； 又因为平面，因此． （2）①取的中点，连接， 因为是的中点，所以， 由（1）平面，可得平面， 平面，所以， 由，，为等腰直角三角形， 因此， 又因为，平面，， 所以平面， 则就是与平面所成的角， 已知与平面所成角为，所以． 在等腰中，，所以； 在中，，代入得，所以， 所以． 所以三棱锥体积为． ②过点作平面，垂足为，以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 故，直线的方向向量． 设平面的法向量，故，即， 令，则，所以． 由直线与平面的夹角为，得， 整理得， 交叉相乘同时平方得， 进而有， 由基本不等式得，，所以， 当且仅当时，即时等号成立，所以，即的最大值为． 此时． 设平面的法向量，则， 即， 令，则，所以． 平面的一个法向量． 设二面角为，则， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $