第一章、第二章综合测试卷【基础卷】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第一章、第二章综合测试卷【基础卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 测试范围：北师大版九上第一章 特殊平行四边形、第二章 一元二次方程 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖北黄冈·期末）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（     ） A．邻边相等 B．两组对边分别相等 C．两条对角线相等 D．两条对角线互相平分 3．（2026·甘肃白银·三模）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在矩形中，对角线、相交于点O，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 5．（2026·河北邯郸·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·天津南开·期末）如图，网格中每个小正方形边长均为1，点，，都在格点上，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）已知三角形两边长分别是和，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C．或 D．或 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（     ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是这个数的2倍？ A．1 B．4 C． D．1或4 10．（2026·云南西双版纳·一模）清晨，在泸沽湖升腾起的轻柔薄雾中，摩梭人摇着船，唱着山歌，带着远方的客人沉浸式体验“人在画中游”的诗情画意．图中画作描绘的正是“雾锁泸沽湖，舟行入画屏”的静谧美景．设计师要给画作四周安装上一个宽度相等的空白画框，制成一个矩形的工艺品．该工艺品的长为，宽为，中间画作的面积为．设空白画框的宽度为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（25-26八年级下·山东东营·阶段检测）将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为____． 12．（26-27九年级上·湖南·阶段检测）如图，在中，点是斜边的中点，，则________． 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）方程的解是__________． 14．（25-26八年级下·上海金山·期末）如图，在菱形中，，则________． 15．（25-26九年级上·全国·课后作业）我们规定一种运算：．依据以上规定计算：当____________时，． 16．（2026九年级上·全国·专题练习）一条直线上有n个点，共可以构成15条线段，则________． 17．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在四边形中，，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______． 18．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，．添加一个适当的条件：当______时，四边形为矩形． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题6分）（26-27九年级上·北京西城·开学考试）解下列方程： （1）； （2）． 20．（本题6分）（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）如图，在中，，为的中线．，，连接，求证：四边形为菱形． 21．（本题6分）（24-25九年级上·北京西城·期末）已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根： （2）若方程的一个根比另一个根大3，求的值． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 22．（本题8分）（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的周长． 23．（本题8分）（24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）观察求根公式． （1）求出的值； （2）设是方程的两个实数解，用（1）中得到的结果求的值． 24．（本题8分）（25-26九年级上·广东汕头·期末）为落实新课程教学要求，提高学生科学素养，我市某中学2023年投资20万元新增一批电脑，计划以后两年以相同的增长率进行投资，2025年投资万元． （1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率； （2）从2023年到2025年，该学校三年为新增电脑共投资多少万元？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，共24分） 25．（本题11分）（25-26九年级上·湖北宜昌·阶段检测）如图，在中，已知，于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线，为对称轴，画出，的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长，相交于点G．请按照小明的思路，探究并解答下列问题： （1）求证：四边形是正方形． （2）若，，试求出的长． 26．（本题13分）（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； （2）若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； （3）经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章、第二章综合测试卷【基础卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 测试范围：北师大版九上第一章 特殊平行四边形、第二章 一元二次方程 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个维度逐一判断各选项． 解：选项A：中未知数最高次数为1，不符合题意； 选项B：不是整式方程，且含有两个未知数和，不符合题意； 选项C：是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2，符合题意； 选项D：中未知数最高次数为3，不符合题意； 故答案为C． 2．（25-26八年级下·湖北黄冈·期末）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（     ） A．邻边相等 B．两组对边分别相等 C．两条对角线相等 D．两条对角线互相平分 【答案】C 【分析】对比两类图形的性质，由矩形与一般平行四边形的性质区别，逐一判断选项即可得到答案． 解：矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质矩形都具有， A、邻边相等不是平行四边形的性质，也不是矩形的性质，选项不符合题意； B、矩形和一般平行四边形都具有两组对边分别相等的性质，选项不符合题意； C、矩形的对角线相等，一般平行四边形的对角线仅互相平分，不一定相等，因此对角线相等是矩形具有而一般平行四边形不具有的性质，选项符合题意； D、矩形和一般平行四边形都具有对角线互相平分的性质，选项不符合题意． 3．（2026·甘肃白银·三模）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程定义确定二次项系数的限制，再利用方程无实数根时判别式小于0列不等式求解即可． 解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴ ∵方程没有实数根， ∴判别式， 整理得 解得． ∴k的取值范围是． 4．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在矩形中，对角线、相交于点O，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等，可知，然后由可得为等边三角形，然后可求得，进而即可求解． 解：四边形为矩形， ，，且， ， 又， 为等边三角形， ， ． 5．（2026·河北邯郸·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，若两根为，由根与系数的关系得，，先得到两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可得到结果． 解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 6．（25-26八年级下·天津南开·期末）如图，网格中每个小正方形边长均为1，点，，都在格点上，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得出，，，然后利用勾股定理求解即可． 解：∵每个小正方形边长均为1，， ∴，， ∴． 7．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半进行计算即可． 解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． 8．（26-27九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）已知三角形两边长分别是和，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先求出一元二次方程的根，再结合第三边需满足三角形三边关系，对根进行筛选后计算周长即可． 解：， ， 则或， 解得，； 当第三边长为时，三边长为， 由，可知不符合构成三角形的三边关系， 不能构成三角形，即此种情况不存在； 当第三边长为时，三边长为，符合构成三角形的三边关系， 此时三角形周长为． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（     ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是这个数的2倍？ A．1 B．4 C． D．1或4 【答案】D 【分析】设出这个数，再由题目的已知条件建立等式列方程求解即可． 解：设这个数为， 则，移项可得， 因式分解可得，解得，． 故有这样的数，为1或4． 10．（2026·云南西双版纳·一模）清晨，在泸沽湖升腾起的轻柔薄雾中，摩梭人摇着船，唱着山歌，带着远方的客人沉浸式体验“人在画中游”的诗情画意．图中画作描绘的正是“雾锁泸沽湖，舟行入画屏”的静谧美景．设计师要给画作四周安装上一个宽度相等的空白画框，制成一个矩形的工艺品．该工艺品的长为，宽为，中间画作的面积为．设空白画框的宽度为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设空白画框的宽度为，则中间画作的长为，宽为，根据中间画作的面积为，列出方程即可． 解：设空白画框的宽度为，则中间画作的长为，宽为，根据题意得： ． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（25-26八年级下·山东东营·阶段检测）将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为____． 【答案】 解：， ， ； 故一次项系数为. 12．（26-27九年级上·湖南·阶段检测）如图，在中，点是斜边的中点，，则________． 【答案】 【分析】根据直角三角形的斜边中线定理可得，，推出，即可求解． 解：在中，点是斜边的中点， ，， ， ． 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）方程的解是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解，解这类问题要先把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成的形式求解． 先把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，再利用直接开平方求解即可． 解：， 移项得， 两边除以3得， 开平方得， 解得或． 故答案为：． 14．（25-26八年级下·上海金山·期末）如图，在菱形中，，则________． 【答案】 【分析】利用菱形性质得出，利用等边对等角得出，然后结合三角形内角和定理求解即可． 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 15．（25-26九年级上·全国·课后作业）我们规定一种运算：．依据以上规定计算：当____________时，． 【答案】 【分析】 首先观察新定义的运算规律，根据新运算可得关于的一元二次方程； 利用公式法解一元二次方程可得方程的两个根. 解：由题意可得． 整理得 ， 解得． 故答案为. 【点拨】本题考查的知识点为新定义和解一元二次方程，解题的关键是根据新定义得出正确的一元二次方程并进行求解。 16．（2026九年级上·全国·专题练习）一条直线上有n个点，共可以构成15条线段，则________． 【答案】 【分析】根据题意，得，解方程即可． 解：根据题意，得， 整理，得， 解得， 点的个数不能为负数， 故舍去， 故． 17．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在四边形中，，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了中点四边形，三角形中位线定理，平行四边形和矩形的定义等知识点，画出图形、利用三角形的中位线推理证明是解题的关键． 连接、、、的中点、、、，根据三角形的中位线定理，得出，，，，求出、的长，推出，，根据平行四边形和矩形的定义证明四边形是矩形，根据矩形的面积，计算得出答案即可． 解：如图，、、、分别为、、、的中点，连接点、、、， ∴，，，，，（三角形的中位线定理）， ∴，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， ∴矩形的面积． 故答案为：． 18．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，．添加一个适当的条件：当______时，四边形为矩形． 【答案】O是的中点（答案不唯一） 【分析】先证，则，同理，再由，证出四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论． 解：添加条件为：O是的中点， 理由如下：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴平行四边形是矩形． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题6分）（26-27九年级上·北京西城·开学考试）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， （1）解： 解得，； （2）解： 或 解得，． 20．（本题6分）（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）如图，在中，，为的中线．，，连接，求证：四边形为菱形． 【答案】证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵，为的中线， ∴， ∴四边形为菱形． 【分析】本题主要考查菱形的判定及性质，能够熟练运用菱形的判定是解题关键．利用对边平行且相等证平行四边形，再通过直角三角形斜边上的中线的性质判定即可． 解：略． 21．（本题6分）（24-25九年级上·北京西城·期末）已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根： （2）若方程的一个根比另一个根大3，求的值． 【答案】（1）证明：， 因为，所以， 所以方程总有两个实数根． （2）或 【分析】此题主要考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用根与系数的关系建立关于的方程解决问题． （1）利用一元二次方程的根的判别式即可求解； （2）利用根与系数的关系建立关于的方程即可求解． 解：（1）略 （2）解：解方程，得， 整理，得或， ∵方程的一个根比另一个根大3，∴或， ∴或． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 22．（本题8分）（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的周长． 【答案】（1）证明：∵点E是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 点D为等腰的底边的中点， ，即， 四边形是矩形 （2） 【分析】（1）先根据对角线互相平分证明为平行四边形，再由三线合一得到，即可证明为矩形； （2）先证明是等边三角形，然后利用勾股定理求解，即可求解周长． 解：（1）略 （2）解：∵是等腰三角形，，， 是等边三角形， ， 点D是的中点， ， ， ， 矩形的周长． 23．（本题8分）（24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）观察求根公式． （1）求出的值； （2）设是方程的两个实数解，用（1）中得到的结果求的值． 【答案】（1）；（2）2018 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）由题意易得，然后相加即可； （2）由题意易得，然后代入进行求解即可． （1）解：由求根公式可得：， ∴； （2）解：∵m、n是方程的两个根， ∴， ∴， ∴． 24．（本题8分）（25-26九年级上·广东汕头·期末）为落实新课程教学要求，提高学生科学素养，我市某中学2023年投资20万元新增一批电脑，计划以后两年以相同的增长率进行投资，2025年投资万元． （1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率； （2）从2023年到2025年，该学校三年为新增电脑共投资多少万元？ 【答案】（1）；（2）万元 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． （1）设年平均增长率为，根据投资金额列出方程求解即可； （2）根据增长率求出2024年的投资金额，然后求出总和即可． （1）解：设年平均增长率为，根据题意得， ， 解得（不合题意，舍去）， ∴该学校为新增电脑投资的年平均增长率为； （2）解：2024年投资为（万元）， （万元）， ∴该学校三年为新增电脑共投资万元． 五、解答题（三）（本大题共2小题，共24分） 25．（本题11分）（25-26九年级上·湖北宜昌·阶段检测）如图，在中，已知，于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线，为对称轴，画出，的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长，相交于点G．请按照小明的思路，探究并解答下列问题： （1）求证：四边形是正方形． （2）若，，试求出的长． 【答案】（1）根据题意得，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵ ∴， ∴矩形是正方形； （2）2或3 【分析】（1）根据题意得，，得，，根据得，根据得，则，，可得四边形是矩形，根据得，即可得； （2）设，根据，，矩形是正方形得，，，根据，得，，则， 在中，根据勾股定理得，进行计算即可得． 解：（1）略 （2）解：设， ∵，，矩形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， 即或． 【点拨】本题考查了正方形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点． 26．（本题13分）（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； （2）若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； （3）经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 【答案】（1）1600；；（2）每个A商品的售价为37元；（3）解：月获利不能达到9600元，理由： 设每个A商品的售价为x元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个A商品的售价为x元，根据每个A商品的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元． （1）解：∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降5元，每月能售出（个）A商品， 若售价下降x元（），每月能售出个A商品； （2）解：设每个A商品的售价为x元，由题意，得 ， 解得， 当时，（舍去）， 当时，（符合题意）， 答：每个A商品的售价为37元； （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $