第一章、第二章综合测试卷【培优卷】- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

第一章、第二章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 测试范围：北师大版八上第一章 勾股定理、第二章 实数 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各数中是无理数的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东茂名·阶段检测）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足，则该直角三角形的第三边长为（    ） A．5 B． C．4 D．5或 4．（25-26八年级下·四川德阳·阶段检测）已知的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东佛山·阶段检测）如图，有一长和宽各、高且封闭的长方体纸盒，一只蚂蚁从顶点A爬到与A点相对的顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路径为（      ）． A．8 B．11 C．10 D．24 6．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·全国·周测）小康和小英玩摸卡片游戏．如图，有三张完全相同的卡片A，B，C，卡片正面分别写有一个算式．现将背面朝上打乱，小康随机抽取两张．若小康抽取的两张卡片中算式的结果都是无理数，则它们的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．（25-26八年级下·重庆忠县·期末）如图，已知是等腰直角三角形，，依次以点为直角顶点作等腰，若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记，，．若，．则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．9 C． D． 10．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，数轴直线，O是数轴上表示数0的点，点A在直线上，于点B，且，直线与之间的距离为1，以点O为圆心、的长为半径画弧，交于点D，交于点C；以点O为圆心、的长为半径画弧，交于点F，交于点E；再以点O为圆心、的长为半径画弧，交于点G．则在数轴上的四个点B，D，F，G中，表示的是点（   ） A．F B．B C．D D．G 2、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（24-25八年级下·广东惠州·阶段检测）若都是实数，且，则的值是______． 12．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，若，，，则的周长为_________． 13．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，则_____． 14．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知是的整数部分，是它的小数部分，则的值为_________． 15．（25-26八年级下·青海西宁·阶段检测）如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么的值为_____． 16．（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为_________ 17．（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段检测）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，点分别为射线，线段上的动点，若，则的最小值为__________． 18．（25-26八年级上·湖南益阳·期末）观察下列各式： … 请利用你发现的规律，计算：其结果为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题6分）（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）按要求解答下列各题： （1）已知x，y为实数，且，求的值． （2）设一个三角形的三边长为1，k，4，化简：． 20．（本题6分）（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F． （1）求证：； （2）若，，求． 21．（本题6分）（25-26八年级下·河北张家口·期末）计算下列各题 （1） （2） 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 22．（本题8分）（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知，，求下列各式的值： （1） （2）． 23．（本题8分）（25-26八年级上·河南驻马店·期末）我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，大正方形由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，，，． （1）请你利用这个图形，推导勾股定理：． （2）若直角三角形的面积为，，求小正方形的边长． 24．（本题8分）（24-25八年级上·吉林通化·阶段检测）如图，已知在中，，的面积是12，于点，点在直线上，且在点的左侧，，动点从点出发；以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，设运动的时间为（秒），回答下列问题． （1）直接写出线段__________； （2）用含的代数式表示线段的长； （3）在上取点，使，连接，当与全等时，求的值； （4）在点运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 25．（本题12分）（25-26九年级上·山东青岛·期末）某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 【探究发现】 ；； ；； ；． 【猜想结论】 如果，，那么存在（当且仅当时，等号成立）． 【证明结论】 ∵ ∴①当且仅当，即时，，∴； ②当，即时，，∴． 综合上述可得：若，，则成立（当且仅当时，等号成立）． 【应用结论】 （1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ （2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 【拓展应用】 （3）疫情期间，高速公路某检测站入口处，为了解决疑似人员的临时隔离问题，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），计划用钢丝网围成6间相同的长方形隔离房．如图，已知每间隔离房的面积为6m2．问：每间隔离房的长、宽各为多少米时，所用钢丝网长度最短？最短长度是多少？ 26．（本题12分）（25-26八年级上·上海·阶段检测）阅读与探究： 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾股数”， 【探究1】 （1）①如果、、是一组勾股数，即满足，则、、（为正整数）也是一组勾股数．如：3、4、5是一组勾股数，则_____________也是一组勾股数． ②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出：，，（为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的、、是一组勾股数． 【探究2】 （2）观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且以3起就没有间断过，并且勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦． 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： ①如果勾为7时，则股_____________；弦_____________． ②现在将勾用表示，股用表示，弦用表示，当时，（，且为奇数）则_________；_________；（用含有的式子表示）并证明这个规律的合理性． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章、第二章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 测试范围：北师大版八上第一章 勾股定理、第二章 实数 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股数，根据勾股数的定义和勾股定理逆定理进行判断即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 解：、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，但边不是整数，所以不是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各数中是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 解：A、，是整数，属于有理数，故选项不符合题意； B、，是整数，属于有理数，故选项不符合题意； C、是分数，属于有理数，故选项不符合题意； D、，是无理数，故选项符合题意， 故选：D． 3．（24-25八年级上·广东茂名·阶段检测）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足，则该直角三角形的第三边长为（    ） A．5 B． C．4 D．5或 【答案】D 【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理等知识，首先利用非负数的性质得，，再分为直角边或为斜边两种情形，分别利用勾股定理计算即可． 解：∵， ∴，， ∴，， 当为直角边时，第三边长为， 当为斜边时，第三边长为， 故选：D． 4．（25-26八年级下·四川德阳·阶段检测）已知的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简二次根式，根据结果求出的值，再代入代数式计算即可求解． 解：∵， ∴，， ∴． 5．（24-25八年级上·广东佛山·阶段检测）如图，有一长和宽各、高且封闭的长方体纸盒，一只蚂蚁从顶点A爬到与A点相对的顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路径为（      ）． A．8 B．11 C．10 D．24 【答案】C 【分析】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）两个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径． 解：由题意得， 路径一： ； 路径二： ； 路径三： ； ∵， ∴10为最短路径． 故选：C． 6．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用割补法求得的面积，利用勾股定理算出的长，再利用等面积法即可求得的长． 解：由题可得： ， ， ∴， 解得：， 故选：D． 7．（25-26八年级上·全国·周测）小康和小英玩摸卡片游戏．如图，有三张完全相同的卡片A，B，C，卡片正面分别写有一个算式．现将背面朝上打乱，小康随机抽取两张．若小康抽取的两张卡片中算式的结果都是无理数，则它们的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了无理数以及二次根式的混合运算，先分别计算卡片A，B，C上的算式，再根据无理数的定义判断其中的两个无理数，再根据二次根式的性质以及运算法则计算即可． 解：， ， ， 卡片A，C上的数是无理数，卡片B上的数是有理数， ． 故选：A． 8．（25-26八年级下·重庆忠县·期末）如图，已知是等腰直角三角形，，依次以点为直角顶点作等腰，若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求出、、的周长，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴的周长为， 同理可得：的周长为， 的周长为， 归纳类推得：的周长为（为正整数）， ∴的周长为 ． 9．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记，，．若，．则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理可知,即可求解． 本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题关键． 解：由勾股定理可知, , , 由图形可知，阴影部分的面积为． 故选:． 10．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，数轴直线，O是数轴上表示数0的点，点A在直线上，于点B，且，直线与之间的距离为1，以点O为圆心、的长为半径画弧，交于点D，交于点C；以点O为圆心、的长为半径画弧，交于点F，交于点E；再以点O为圆心、的长为半径画弧，交于点G．则在数轴上的四个点B，D，F，G中，表示的是点（   ） A．F B．B C．D D．G 【答案】A 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 由题意得， ∵， ∴， 由题意得， ∴表示的是点F． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（24-25八年级下·广东惠州·阶段检测）若都是实数，且，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，由二次根式有意义的条件可得，得到，即得，再代入代数式计算即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 解：由题意得，， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，若，，，则的周长为_________． 【答案】7 【分析】利用勾股定理求出 的长，根据折叠的性质得到 ，从而将 的周长转化为 求解． 解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴的周长 ． 13．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，先对分母有理化得到，再把即可求解，正确求出，再把所求式子变成是解题的关键． 解：∵， ∴ ． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知是的整数部分，是它的小数部分，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法，利用完全平方数和算术平方根估算无理数的大小，是解答本题的关键． 根据题意，得到，进而得到，，代入中，得到答案． 解：根据题意得： ， ， 的整数部分，小数部分， ， 故答案为：． 15．（25-26八年级下·青海西宁·阶段检测）如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么的值为_____． 【答案】3 【分析】根据所求问题，利用勾股定理得到的值，由已知条件得到的值，根据完全平方公式即可求解． 解：大正方形的面积为16， ， 由题意， ， ∴． 16．（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为_________ 【答案】 【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可． 解：当输入是16时，取算术平方根是4，4是有理数； 再把4输入，4的算术平方根是2，2是有理数； 再把2输入，2的算术平方根是，是无理数， 所以输出y的值是． 17．（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段检测）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，点分别为射线，线段上的动点，若，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的作图，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 过点C作于H，作点G关于的对称点，连接，根据对称的性质等可得的最小值为线段的长度，通过勾股定理和三角形面积求出长度即可求解． 解：过点C作于H，作点G关于的对称点，连接，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为线段的长度， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 18．（25-26八年级上·湖南益阳·期末）观察下列各式： … 请利用你发现的规律，计算：其结果为______． 【答案】 【分析】根据前几个等式发现的变化规律进行求解即可． 解：∵ … ∴， ∴ =+++…+ =9+（+++…+） =9+（1－） =， 故答案为：． 【点拨】本题考查与实数运算有关的规律题、二次根式的加减运算，能发现等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题6分）（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）按要求解答下列各题： （1）已知x，y为实数，且，求的值． （2）设一个三角形的三边长为1，k，4，化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求出的值，进而可得的值，再代入计算即可； （2）根据三角形的三边关系定理可得，据此化简绝对值和二次根式，再计算整式的加减即可． （1）解：由题意得：， 解得， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵一个三角形的三边长为， ∴，即， ∴，， ∴ ． 20．（本题6分）（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1）证明：长方形沿对角线对折，使落在的位置， ，， 又四边形为长方形， ， ， 而， 在与中： ； （2） 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，易证，即可得到结论； （2）根据（1）易得，设，则，，在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出，即可作答． 本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等，也考查了长方形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理；利用长方形的性质、三角形全等的性质以及勾股定理进行正确计算是解题的关键． 解：（1）略 （2）解：∵四边形为长方形， ，， ， ， 设， 则，， 在中，， 即， 解得． 21．（本题6分）（25-26八年级下·河北张家口·期末）计算下列各题 （1） （2） 【答案】（1）；（2） （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 22．（本题8分）（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知，，求下列各式的值： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接根据平方差公式计算即可； （2）根据完全平方公式将原式转化为，进而将已知数据代入计算即可． （1）解： （2）解： ． 23．（本题8分）（25-26八年级上·河南驻马店·期末）我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，大正方形由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，，，． （1）请你利用这个图形，推导勾股定理：． （2）若直角三角形的面积为，，求小正方形的边长． 【答案】（1）证明：由题意知，， ∴； （2）3 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，算术平方根．熟练掌握勾股定理的证明，完全平方公式，算术平方根是解题的关键． （1）由题意知，，整理作答即可； （2）由题意知，，根据小正方形的边长为，计算求解即可． 解：（1）略 （2）解：由题意知，， ∴小正方形的边长为， ∴小正方形的边长为3． 24．（本题8分）（24-25八年级上·吉林通化·阶段检测）如图，已知在中，，的面积是12，于点，点在直线上，且在点的左侧，，动点从点出发；以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，设运动的时间为（秒），回答下列问题． （1）直接写出线段__________； （2）用含的代数式表示线段的长； （3）在上取点，使，连接，当与全等时，求的值； （4）在点运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）3；（2）当时，；当时，；（3）或2；（4）或4或14 【分析】（1）根据勾股定理和等腰三角形的性质，求出结果即可； （2）根据点的运动速度和运动时间，分两种情况求出线段的长即可； （3）分两种情况：当点在点左侧，时，点在点右侧，时，分别列出方程，解方程即可； （4）分两种情况讨论：，分别求得的长，即可得出结果即可． （1）解：∵，，， ∴，， ∴； ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：∵动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，运动的时间为秒， ∴当时，； 当时，； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在点D左侧时，时，， ∴， 解得：； 当点P在点D右侧时，时，， ∴， 解得：； 综上分析可知：或时，与全等； （4）解：当时，点与点重合， ∴ 当时， ①当在点的左侧时， ∴ ②当在点的右侧时， ∴ 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，或4或14 【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 25．（本题12分）（25-26九年级上·山东青岛·期末）某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 【探究发现】 ；； ；； ；． 【猜想结论】 如果，，那么存在（当且仅当时，等号成立）． 【证明结论】 ∵ ∴①当且仅当，即时，，∴； ②当，即时，，∴． 综合上述可得：若，，则成立（当且仅当时，等号成立）． 【应用结论】 （1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ （2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 【拓展应用】 （3）疫情期间，高速公路某检测站入口处，为了解决疑似人员的临时隔离问题，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），计划用钢丝网围成6间相同的长方形隔离房．如图，已知每间隔离房的面积为6m2．问：每间隔离房的长、宽各为多少米时，所用钢丝网长度最短？最短长度是多少？ 【答案】（1）当时，函数的值最小，最小值是2；（2）当时，函数的值最小，最小值是7；（3）每间隔离房的长为3米、宽2米，所用钢丝网长度最短，最短长度是36米 【分析】（1）根据题目中给的结论将函数式进行变式，即可求出最小值； （2）先将函数式边变形为易于计算的形式，再按照题目中所给结论进行计算，求出最值； （3）设每间隔离房的长为米、宽为米，则钢丝网长度为米，由结论可知，，结合，可求出钢丝网的最短长度． （1）解：根据结论可知， 故函数的最小值为2， ∴当时，函数的值最小，最小值是2． （2）解：根据结论可知 故函数的最小值为7， 当时，， ∴当时，函数的值最小，最小值是7． （3）设每间隔离房的长为米、宽为米，则钢丝网长度为米 ∵， ∵， ∴， ∴钢丝网长度最短为36米， 此时， ∴，， 答：每间隔离房的长为3米、宽2米，所用钢丝网长度最短，最短长度是36米． 【点拨】本题考查规律的总结和应用，能够结合实际问题熟练应用规律是解决本题的关键． 26．（本题12分）（25-26八年级上·上海·阶段检测）阅读与探究： 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾股数”， 【探究1】 （1）①如果、、是一组勾股数，即满足，则、、（为正整数）也是一组勾股数．如：3、4、5是一组勾股数，则_____________也是一组勾股数． ②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出：，，（为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的、、是一组勾股数． 【探究2】 （2）观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且以3起就没有间断过，并且勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦． 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： ①如果勾为7时，则股_____________；弦_____________． ②现在将勾用表示，股用表示，弦用表示，当时，（，且为奇数）则_________；_________；（用含有的式子表示）并证明这个规律的合理性． 【答案】探究1（1）①6，8，10；②证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴a，b，c是一组勾股数 探究2（2）①，； ②当（，且n为奇数）时，，； 证明：∵，， ∴， ∴该规律合理． 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公式． （1）①根据为正整数举例即可； ②通过计算验证给定公式满足勾股定理即可； （2）①根据奇数勾股数的规律，勾的平方减1除以2得股，加1除以2得弦即可； ②由①得出规律，并证明其满足勾股定理即可． 解： 探究1：（1）①∵3，4，5是一组勾股数， 又为正整数， ∴当时，，，，且， ∴6，8，10也是一组勾股数（答案不唯一） ② 略 （2）①如果勾为7，则股，弦， 故答案为：；； ② 略 学科网（北京）股份有限公司 $